湖南省常德市2024届高三年级下册3月模拟考试数学试题（含答案解析）

湖南省常德市2024届高三下学期3月模拟考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4=卜—411,B=｛x\-2<x<2],贝3=()

A.[-2,0]B.[1,2]C.[-2,0),[1,2]D.[-2,2]

2.已知等差数列｛凡｝的前,项和为臬，%=23,凡=56,则$2=()

A.13B.14C.15D.16

3.已知奇函数y=/(x)是定义域为R的连续函数，且在区间(0,+S)上单调递增，则下

列说法正确的是()

A.函数+/在R上单调递增

B.函数y=/(%)-必在(0,+8)上单调递增

C.函数y=%2/(X)在R上单调递增

D.函数y=/孚在(0,+◎上单调递增

X

4.如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥A-EFG,

且瓦尸,G分别为棱AA,4月,4。靠近4的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品,

则该球形饰品的体积的最大值为()

„12563nrc3

C.--------7icm3D.727tcm3

2

1a1

5.已知cosa=—,sin—cos/3=—,则cos2y0=()

D.

2

6.已知平面向量2,6均为单位向量，且夹角为60。，若向量c与共面，且满足

ac=Bc=l,贝!1卜|=)

A.1B.冥।C.73D.2

3

7.已知(2x—3)9=4+q(尤_1)+%(x—l)-++%(尤―1)8+佝(尤_])9,则

旬+24+3电+…+94+10%=()

A.9B.10C.18D.19

8.设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%,乙箱中产品的合格

率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件

产品，则该件产品合格的概率为()

二、多选题

9.下列说法正确的是()

A.数据6,5,3,4,2,7,8,9的上四分位数(75%分位数)为7

B.样本数据占与样本数据%满足％=x,+1(7=1,2,,力)，则两组样本数据的方差相

同

C.若随机事件A,8满足：P(A|B)+P(A)=1,则A,8相互独立

D.若。~N(〃0与，且函数f(x)=P(x4j4x+2)为偶函数，则〃=。

10.过点尸(4,0)的直线I交抛物线C:y=人于A,8两点，线段48的中点为〃伍,九),

抛物线的焦点为尸，下列说法正确的是()

A.以A3为直径的圆过坐标原点

B.FAFB<0

2

C.若直线/的斜率存在，则斜率为一

D.若%=2,则|A/田即=12

11.若函数f(x)=2"sinx-l(0<x<的零点为A，函数g(x)=2"cosx-1^0<x<的

零点为巧，贝。()

、兀e3兀

A.西入2〉,B.玉+/<

C.cos(项+%2)<°D.cos-sinx2<0

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.已知曲线/3=灯11彳-1在％=1处的切线/与圆（7：0-1）2+丁=9相交于人、8两点，

贝力明=.

z—3i

13.若复数z满足：——=2,则|z+i|=.

Z

22

14.已知双曲线C：「-夫=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为耳,耳,过耳的直线与双

曲线的左、右两支分别相交于M,N两点，直线叫与双曲线的另一交点为P,若&.NPK

为等腰三角形，且△MB的面积是△尸6月的面积的2倍，则双曲线C的离心率

为.

四、解答题

15.在二ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，6,。，且

sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C.

⑴求角C;

（2）若a,b,c成等差数列，且ABC的面积为更1,求，ABC的周长.

4

16.某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人

数，得到下表：

时间X（天）123456789

每天普及的人数y8098129150203190258292310

（1）从这9天的数据中任选4天的数据，以X表示4天中每天普及人数不少于240人的

天数，求X的分布列和数学期望；

（2）由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的

数据求出每天普及的人数y关于天数x的线性回归方程.

（参考数据：

19999

歹=G90,£（%-君2=60,£（x-y）2=55482,£-廿（%-歹）=1800,

9i=lz=li=li=l

附：对于一组数据（%，%）,（马，%），L,（x„,y„）,其回归直线e=嬴+2的斜率和截

距的最小二乘估计分别为：3=J----------=号----------,a=y-bx^.

力（％-牙）2之X；-位2

i=li=l

17.如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面“DJL平面ABCD,AB//CD,ZABC=9Q°,

AB=2BC=2CD=4,PA=PD.

(1)证明：3D1平面PAO；

(2)已知三棱锥3-PAD的体积为迪，点N为线段AP的中点，设平面NCD与平面尸3D

3

的交线为/,求直线/与平面所成角的正弦值.

18.已知。为坐标原点，椭圆C：与+丫2=1(。>1)的上、下顶点为A、B,椭圆上的点

a

11,7

尸位于第二象限，直线加、PB、尸。的斜率分别为左且7+“=一他.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵过原点。分别作直线以、尸8的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依

次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否

则，请求出其取值范围.

19.已知函数〃尤)=率.

⑴判断函数在区间(0,3%)上极值点的个数并证明；

⑵函数/⑺在区间(0,+8)上的极值点从小到大分别为小天—，…，设

a„=/(%„),S„为数列｛%｝的前n项和.

①证明：％+/<°；

②问是否存在“eN*使得S.20?若存在，求出〃的取值范围；若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】由分式不等式解得集合A,再由交集的运算可得结果.

【详解】因为，1＜0^^fx(x1)＞0^解得％＜0或X21,

x„|"0

x^O1

所以集合4=5|无＜0或xNl},

所以AB=［-2,0)|［1,2］,

故选：C.

2.D

【分析】根据等差数列的通项公式、求和公式列方程求解即可.

4x3

【详解】由等差数列可知，a4=a1+3d=23,S4=4^+—1/-56,

解得％=5,d=6,

所以S,=4+a,=5+5+6=16.

故选：D

3.C

【分析】根据已知设/(x)=尤，由二次函数的性质确定AB错误；由幕函数的性质判断C正

确；由反比例函数的形式确定D错误.

【详解】因为＞=/(尤)是奇函数，且在区间(0,+刈上单调递增，

所以＞=/(x)在(-8,0)上也为单调递增函数，

对于A：不妨令/(x)=x,y=/(尤)+尤2=x+尤2,

所以＞=/(尤)+,在［-巩彳)单调递减，在［-；,+■单调递增，故A错误；

对于B:不妨令/(x)=x,y=f(x)-X2=X-X2+：，

所以y=，(x)--在卜cojj单调递增，在［:,+s］单调递减，故B错误；

对于c：y=x»(x),其定义域为R,

又(一尤y/(-X)=-x2f(x),所以y=X2f(x)是奇函数，

答案第1页，共15页

取0则0（尤:＜考，0＜〃西）＜/（々），故其〃不）＜君/（々）

所以乂-力=k/（%）-%“马卜。，则函数y=f/（尤）在（。,+°°）为递增函数;

所以函数丫=无2/（尤）在（一8,0）也为递增函数，且当x=0时，y=x12f*4（x）=0,

所以y=Y/（x）在R上单调递增，故C正确；

对于D:不妨令/（x）=x,y=^^=*=:，XWO,

由反比例函数的单调性可知y=午在（〜,。）和（。,+8）上单调递减，故D错误;

故选：C.

4.B

【分析】利用等体积法求出点A到平面底G的距离，说明所以所求球形体积最大时即为棱

长为6的正方体的正方体的内切球，再根据求得体积公式即可得解.

3

【详解】由题意AE=A尸=4G=],设点4到平面屏G的距离为d,

而EF=EG=FG=£^~

2

137218A/3

q=—X---------

°EFG2216

1333解得符,

由^E-AGjF=K^-EFG，X—X—X—XL曳1”,

叫2222316

棱长为6的正方体的正方体的内切球的半径为3,

棱长为6的正方体体对角线的长度为66，

因为3有一且=地＞3,

22

所以所求球形体积最大时即为棱长为6的正方体的正方体的内切球,

4o二

则该球形饰品的体积的最大值为§兀X3?=36兀加3.

故选：B.

5.A

【分析】由二倍角的余弦公式化简可得.

答案第2页，共15页

【详解】因为cosa==，所以cosa=l-2sin24nsin4=±，^,

3223

又sinUcos/7=；,所以cos£=土#,

31

所以cos2分=2cos2y0-l=2x—-1=—,

故选：A.

6.B

2

【分析】设c=mi+成，然后由a-c=4c=l解方程组求出m=〃=§,再利用模长的定义求

出即可.

【详解】设0=ma+nb，

因为Q•A=Hcos,,b）=lxlx；=g,

a-c=a-（ma+nb^=m+—n=\

即12,

又〃・c=b・c=l，

b'c=b'（ma+nb^=—m+n=l

2

解得m=n=~,

所以。=|a+|b,所以卜卜玛FxQ卜飙x；+抓=半,

故选：B.

7.D

【分析】先将等式两边同时乘以（x-1）,再将两边同时求导后，令％=2可得.

[详解]由（2尤一3）9=%+4（%_1）+〃2（尤_1）2++々8（兀_1）8+佝（芯_1）9得，

（%—1）（2]—3）=%（X—1）+〃]（%—1）+〃2（1—1）+.+々8（%—1）+的（X—1）

分别对两边进行求导得

（2%—3）9+18（x—l）（2x—3）8=%+2q（x—1）+34（x—1）2++9%（.^―1）8+10%（x—1）9,

令x=＞、^^（2x2—3）+18（2—l）（2x2—3）=4+24+3〃2+-,+9%+10%，

得4+2q+34++9/+10%=19,

故选：D

8.A

答案第3页，共15页

【分析】设事件均表示任选一件产品，来自于甲箱，事件层表示任选一件产品，来自于乙

箱，事件A从两箱产品中任取一件，恰好不合格，先利用全概率公式求出P（A）,进而可得

尸（41A）,P（B2|A）,进而可得放回原箱后再取该件产品合格的概率.

【详解】设事件用表示任选一件产品，来自于甲箱，事件层表示任选一件产品，来自于乙

箱，事件A从两箱产品中任取一件，恰好不合格，

P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）=0.1X0.5+0.2X0.5=0.15

又尸”=端=—）_31

0.153

p（B）二尸（破）。⑷4）产出）62x0.5=2

I2>尸（A）P（A）0.153?

经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为

19285

—x----1——x——=——.

3103106

故选：A.

9.BC

【分析】借助百分位数的概念，方差的性质，相互独立事件的定义与正太分布的性质及偶函

数的性质逐项判断即可得.

【详解】对A：将数据从小到大重新排列后为：2、3、4、5、6、7、8、9,

8x0.75=6,则其上四分位数为-^=7.5,故A错误；

对B：£）（y）=D（x+l）=£）（%）,故B正确；

对C：P(A|B)=1-P(A)=P(A)=,即尸(AB)=P(A)P(3),故A,B相互独立,故

C正确；

对D：由/(x)=P(xM=4x+2)为偶函数,贝！jP(—4j4x+2)=尸(一X4岁MLX+2),

又由对称性知Vx+2)=P(-x+2〃-2<J<-x+2〃),

故尸(一元+2〃-24—x+2〃)=尸(一*4JW—x+2),即〃=1,故D错误.

故选：BC.

10.ABC

答案第4页，共15页

【分析】设A（芯，X）,B（x2,y2）,l：X=my+4,将抛物线方程与直线方程联立，利用韦达

定理求出口+，进而得到%+x2,xtx2,代入各选项求解即可.

【详解】由题意可知直线/斜率不为0,设A（占,％）,B（x2,y2）,l:x=my+4,

[x=my+4

联立｛2A得y-4加丁-16=°，

2

则%+%=4加，yxy2=-16,+x2=+y2)+8=4m+8,

%马=£%%+4m(％+%)+16=16,

因为。4・03=%/+乂%=0，所以以A3为直径的圆过坐标原点，A说法正确;

2

FA-FB=（xl-4,yl）-（x2-4,y2）=xlx2-4（xl+x2）+16+y1y2=-16m-16<0,B说法正确；

因为"伍,九）为线段A3中点，所以巩2疗+4,2时，

若直线/的斜率存在，则772HO,

14,12

直线/:>=—%——的斜率％=—=一,C说法正确；

mm机为

若%=2,则"7=1,由抛物线的定义可得M刊+忸同=%+々+0=14,D说法错误；

故选：ABC

11.BCD

【分析】由函数零点的定义可得sinx=[g],cos尤=,在同一直角坐标系中作出

y=sin尤，y=cosx,尤e（o,[,/=[1），尤e]o，?的函数图象，数形结合

冗JlTT

可得0<不<一,—<%<—，即可判断A；由玉+%>—，—<%+%<一，即可判断B；

442244

yr3冗

由彳<%+9<下，即可判断C；由余弦函数的单调性即可判断D.

24

【详解】令〃x）=0得sinx=[],令g（x）=0得cosx=[],在同一直角坐标系中作出

y=sinx,xG,y=cosxfxe的函数图象,

答案第5页，共15页

__.

O”吧*x

42

y=sinx、y=cosx、y=在xe上分别递增、递减、递减，且在xe(0，w)上递

减速率，y=COSX先慢后快，y=g)先快后慢，

由sinO=0<cosO=(g)°,且sin：=cos：==(g)，>(g)”,cos-^=l>(^)^>siny=0,

2

所以0<%<：<々(方，所以0<芍与<3"，故A不正确；

由sin^=[<(3,,故7<占<-7，由cosC=L>d)"故々>彳，

因为xjo,?上函数尸sinx,V=cosx关于直线x对称，

所以工2—11—玉，即玉+工2>耳，又w<X+%2<彳，所以5<%+九2<彳，故B正确；

兀371

由5Vxi+/〈彳，所以COS(X[+%)<。，故C正确；

由石+%>3，所以%>3—％2，由]<“2<3，何。<方一％2<i，又。<石<1，

因为y=cosx在xe(0,：j单调递减，

JJ/fl^cosX1<cos^-x2^=sinx2,所以cos%-sin%<0,故D正确.

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：函数零点的问题可以转化为函数图象的交点问题，数形结合即可得到々，

巧的取值范围，结合函数的性质即可求解.

12.734

【分析】先求出函数在x=l处的切线方程，再由圆内弦长公式求得即可.

【详解】由f(x)=xlnx-l,定义域为(0,+e),f'(x)=\nx+l,

则切线斜率左=尸(1)=1,又/(l)=lnl-l=-l,

答案第6页，共15页

所以切线方程为：=化简为：彳-》-2=0；

又因为圆的圆心C（l,0）,半径r=3,

设圆心到直线的距离为d,则d』一尸L也,

V22

贝IJ|=2j产一屋=2,9一；=A/34.

故答案为：扃

13.2

【分析】设2=〃+历必力eR,贝!J由题设有/+/—2b=3,故可求|z+i|=2.

.z—3i13i13b+3m.3b3a

【详角军】^z=a+bi,a,beR,贝n----=l----------=l-------------=l-----------------------1

川za+bia2+b2a2+b2a2+b2

23a2

故|=4,故〃+〃+26=3

l+a?+Z?2

所以"+修+1)2=4即|z+i|=2,

故答案为：2.

14.叵或叵

33

【分析】由双曲线的定义和等腰三角形的定义，结合三角形的余弦定理和离心率公式，计算

可得所求值.

【详解】设1叫|=加，\PF2\=n,

由双曲线的定义可得lgl=2a+机，\PFi\=2a+n,

由耳耳的面积是月居的面积的2倍，可得旭=2",

又，.NP月为等腰三角形，可得INPHgl,或1尸用=1阪1,

当|NP|=|NKI,即机+〃=2<7+〃?，可得〃=2a,m=4a,INFt\=6a,|PFt\=4o,

在一NPF、中，cosNF、NP=(6。)2+(6-—(4。)2=7

12-6a-6a9

2

ANTNr-i>(6a)2+(4a)2—(2c)7

在△NKK中，cosZFNF=\\=-,

{22'6a'A4a9

化为3c2=111,即e=£=YH；

a3

当|N尸|二|期|,即%+〃=%+〃，可得机=2。，n=a,\NF1\=4a,|咫|二3〃，

答案第7页，共15页

在［NP片中，cos4；NP=(4不+(34-国产二,

2•4。・3。3

_f-A*777Z7r+t._.(4〃)2+(2〃)2—(2C)22

在中，COSZFNF~~一-二一,

{22・4。・2。3

15.⑴g

(2)15

【分析】(1)先利用正弦定理角化边得出/+从+/=02；再结合余弦定理得出cosC=-g

即可求解.

(2先根据〃，b,。成等差数列得出a+c=2Z?；再利用三角形的面积公式得出。/?=15；最

后结合⑴中的〃+〃+"=，，求出台后c即可解答.

222

【详解】(1)H^JsinA+sinB+sinAsinB=sinC,

由正弦定理上7=b=—^7；可得：a2+b2+ab=c2•

sinAsin3

由余弦定理可得:8SC=2一i+Ii+助」

2ab2ab2

又因为Cs(O,兀),

所以C=y.

(2)由。力，c成等差数列可得：a+c=26①.

因为三角形ABC的面积为竺四，C=?，

43

-absinC=,即ab=15②.

24

由⑴知:/+/+"=(?③

答案第8页，共15页

由①②③解得：a=3,b=5,c=J.

:.a+b-{-c=15,

故三角形ABC的周长为15.

4

16.⑴分布列见解析，£（X）=§

⑵R30x+=307

O

【分析】（1）利用超几何分布与数学期望公式即可得解；

（2）利用平均数的定义结合参考数据求得新的样本点，结合的计算公式进行转化整理

求得其值，从而得解.

【详解】（1）每天普及人数不少于240人的天数为3天，则X的所有可能取值为0」,2,3,

「45Cc；io

p（x=o）=百PXI中

42（=）=21

5c（3

叱2）=省C2c2P（X=3）=当1

14'/C；21

故X的分布列为

X0123

51051

p

42211421

£（X）=0x-^+lx—+2x^-+3x—4

''422114213

（2）设原来数据的样本中心点为叵J）,去掉第5天的数据后样本中心点为（元'，9'）

x=-（1+2+3+4+6+7+8+9）=5,7=x=5=J,

85

9'=；（99一%）4（9x190-203）=等

OOO

9y

（2龙，》一尤5,%）一8口歹'X,.x-x5-y5）-8?-

故b=谭---------------------------------------------=----------------5--------------------------------

22

£（x,-r）-（x5-r）2（占一毛2

1=1i=l

99

^x,.y,.-x5-y5-97-y+ry5£%%—9元亏

_Jzl___________________________________LUU

一9-9-AC—，

^（x,.-x）21（占-君2：，-

i=li=l

答案第9页，共15页

八jLJVJ/-DU/

a=y-bx=--------30x5=-----,

88

所以R30x+307*

o

17.(1)证明见解析

⑵也

3

【分析】(1)方法一：取的中点。，由条件证明PO_LAD,结合面面垂直性质定理证明

PO±BD,再证明3D_LAD,根据线面垂直判定定理证明结论；方法二：由条件，利用勾

股定理证明助，4),根据面面垂直性质定理证明结论；

(2)由条件结合锥体体积公式求PO,取尸8的中点M,证明直线DM为平面NCD与平面

PBD的交线，建立空间直角坐标系，求直线/的方向向量和平面的法向量，结合向量夹

角公式求直线I与平面PAB所成角的正弦值.

【详解】(1)方法一：取AD的中点0,PA=PD,:.PO±AD.

又平面PAD_L平面ABCD,平面平面A5c£)=AD,

;.PO_L平面ABCD

又平面ABC。，:.POLBD.

AB//CD,ZABC=9Q°,AB=2BC=2CD=4,

BD=AD=2V2,:.BD2+AD2=AB2，：.BD±AD.

又POAD=O,PO,AOu平面PAD,

平面PAD.

方法二：AB//CD,ZABC=90°,AB=2BC=2CD=4,

BD=AD=2V2,:.BD2+AD2=AB2,:.BD±AD.

答案第10页，共15页

又平面R1£>_L平面ABC。，平面平面ABCD=AD,5£>u平面ABCD,

平面尸AD.

11144J?

(2)Vg=V=-SPO=-X-ADBDPO=-PO=^—,

t5—prALD)Pr—At>BLD)3ADBL)D3233

.­.PO=B

取PB的中点M,又N为AP的中点，.•.肱V//AB,

又AB//CD,:.MN//CD,

■.平面NCD即为平面MNDC,

:.DM为平面NCD与平面PBD的交线/.

取AB的中点。，连结O。，由(1)可知，04、OP、OQ两两垂直.

如图建立空间直角坐标系。-邙，

则尸(0,0,戊)，A(也,0,0),£>(-5/2,0,0),3(-收,2应,0),M(--,A/2,

2

设平面上钻的法向量为〃=(x,y,z),PA=(A/2,0,-A/2),PB=(-A/2,2V2,-A/2),

‘旧-贬z=0

则厂rr

-，2x+2j2y-J2z=0

取%=1,贝！Jz=l,y=l,

•••”(1,1,1).

设直线/与平面RW夹角为，，DM=(^,垃与,

_变+后+变

则sin3=|cosDM,n|=；=Zxl,

"+3

故直线l与平面夹角的正弦值迪.

3

丫2

18.~+丁=1

答案第11页，共15页

（2）是定值，20

【分析】（1）设结合意义表示出左出,%,代入计算即可得;

（2）作出该四边形后，借助斜率表示出|。目、。尸|、\OH\.\OG\,结合倾斜角与斜率的关

系，借助面积公式计算即可得解.

【详解】（1）由题意可得4（0,1）,3（°，T），

设PG，%）,%e（O,l）,则勺=铝&=铝，&

AoAoAo

.上+上=乜

Kk2y0-l%+lx0

化简得：2（l-y；）=焉①，

又尸（%,为）在椭圆上，生+需=1②，

a

由①②得2（1-y：）=/（l—尤）,

又为£（。，1）,•・片=2,

故椭圆C的标准方程X+y2=l；

2-

（2）设直线R4的平行线与椭圆相交于点E、F（E在上方），

直线尸3的平行线与椭圆相交于点G、H（G在上方），

二直线EF的方程为y=小，直线GH的方程为y=k2x,

又仇；=_11

片-2(1-^)~22kx

2

y=k1x

2灯+1

联立J解得，

—+y=12k；

[2'y2

2M+1

答案第12页，共15页

146

y=------x

2k26+1

联立x解得，

1

y2

巳+…2%；+1

J1+44；

Z.\OH\^\OG\加+2计

设直线EF的倾斜角为直线GH的倾斜角为a,NEOx=0,4GOx=a,

.・.tan0=katana=k=------,

22kl

•A匕n112kl

Dillsin3=-<—i—,cos0=-j.,sincr=­,cosa

川河F师T而藕Jl+4k；

1+2公

sin/EOG=sin(a—6)=sinacos0-cosasin6=

，四边形面积为:

S=2(%EG+S.H)=2x；|o却0G|sin(a-e)+2XJOE|QMsin(a-d)

11+4612+26

=2|OE||OG|sin(«-6))=2\1+2/；1+2左；_1±^T_-2J2

5中一'

故该四边形的面积为定值2夜.

【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助斜率与倾斜角的关系及两角差的正弦公式,

得到sin/EOG,从而