2023-2024学年福建省莆田市高一年级上册期末联考数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年福建省莆田市高一上学期期末联考数学模拟试题

一、单选题

1.已知集合A为自然数集N,B={x|l<2X<8},则/口3=（）

A.{x|0<x<3}B.{JC|1<x<3}C.{1,2}D.{0,1,2）

2."$山二=必”是"。=£'’的（）

23

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知事函数〃力=（/+4"-4）#f（〃eZ）的图象关于y轴对称，且在（0,+功上是减函数,

则〃的值为（）

A.-5B.2C.1D.-5或1

4.下列四个函数中，以兀为最小正周期，且在区间［1,无］上单调递减的是（）

A.y=sinxB.y=|sinx|C.y=cos2xD.y=tanx

5.对任意。>0且awl,函数/'（x）=a6+1的图象都过定点尸，且点尸在角。的终边上，贝

tan。=()

1

A.B.-2C.D.

-2

6.已知sina+cosa=m,且戊£（0,兀），则sina—cosa的值为（）

晅D,叵或一叵

A.--B.--C.

33333

7

7.函数/（x）=lnx-1的零点所在的大致区间是）

A.B.（1,2）C.（2,3）D.（e,+8）

x2+4x-l,x<0

8.已知函数=2尤>0，若方程［/（尤）了+24（尤）+3=0有5个不同的实数解,

则实数。的取值范围为（）

（每2）D.彳］

A.（-co,-V3）B.C.

二、多选题

试卷第1页，共4页

9.下列命题为真命题的是()

A.3«eZ,/+〃为奇数

B.VaeR,二次函数y=/+。的图象关于丁轴对称

C.“a＞b”是“小＞加2”的必要条件

D./(x)=x2与g(x)=(&『是同一函数

17__

10.若0＜。＜6＜1,则Q++/中不可能是最大值的是()

A.2a2+b2B.2y［abC.2ypiabD.a+b

11.函数〃x)=/sin(0x+。)，,＞0,。＞0,网＜3的部分图象如图所示，下列说法正确的

是()

A.函数了=/卜)的图象关于直线―-力对称

B.函数y=f(x)在-兀，-5%7r上单调递减

C.函数/(X)的图像关于点(S三ir,0)对称

D.该函数V=/(x)的周期是2兀

12.下列结论正确的有()

A.函数=三三图象关于原点对称

e+e

B.函数/(x)定义域为R且对任意实数x、V恒有〃x)+/(y)=/(x+y).则/(尤)为偶函数

C.f(x)=bg2(x2-如c+1)的定义域为R,则切€(-8,-2)52,+(»)

D./(x)=log212-〃zx+l)的值域为R,则〃2«-8,_2］。［2,+8)

试卷第2页，共4页

三、填空题

13.函数/(x)=HM+ln(尤+1)的定义域是.

14.扇形的半径为2,圆心角为Irad,则该扇形的面积为.

15.为了得到函数y=3sin，x-j的图象，只要把函数y=3sin2x图象上所有的点向(左、

右、上、下)平移个单位长度

16.已知函数/(x)=ln(-X2+2X+3),则/(无)的单调增区间为.

四、解答题

17.(1)化简求值logs后+/25+吆4+7啮2+(_9.8)°

3sina+cos(兀+戊)

(2)已知。为锐角，且满足2tan2a_3tana-2=0.求c.(兀)的值；

2sma+5sm—+a

(2)

18.已知sina=^^,sin伍+4)=",其中a^,0^.

⑴求P;

(；2)求5皿2々-夕).

19.已知函数/(x)=sinxcosx-A/5-COS2X+工-.

⑴求函数/(%)的最小正周期和单调递减区间；

⑵求函数“X)在区间上的值域.

20.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，先准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防

辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关.若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿

舍与工厂的距离x(km)的关系式为P=(0<x<15),若距离为10km时，测算宿舍建造

费用为20万元.为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10

万元，铺设路面每千米成本为4万元.设/(x)为建造宿舍与修路费用之和.

(1)求/(x)的表达式；

(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求/(无)最小值.

2

21.设函数=7-a(aeR)是奇函数.

3+1

试卷第3页，共4页

(1)求。的值；

(2)判断函数/(x)的单调性，并用函数单调性的定义进行证明；

05

(3)已知。="2°，，Z＞=/(log21),c=f(3-),试比较三个实数a,6,c的大小并说明理由.

22.已知函数/(x)=--3mx+n(加＞0)的两个零点分别为1和2.

(1)求加、n的值；

(2)若不等式/(x)-左＞0在xd[0,5]恒成立，求后的取值范围.

(3)令g(x尸若函数/(x)=g(2x)-厂2》在工e[-1,1]上有零点，求实数r的取值

范围.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.D

【分析】根据指数函数的性质求出集合3,根据集合的交集运算，即可求得答案.

【详解】由题意得8={x|142'<8}={x|0Wx<3},集合A为自然数集N,

故/c8={0,l,2},

故选：D

2.B

［分析］根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案.

【详解】而夕=且推不出,所以“sinc=""是非充分条件，

2323

。£推出sin0=且，"sina="”是“a=必要条件.

3223

故选：B.

【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了三角函数问题，意在考查学生对这些知

识的理解掌握水平，是一道基础题.

3.C

【分析】根据募函数的概念得〃2+4〃-4=1即"=-5或〃=1,再根据性质可得〃=1时符合题意.

【详解】因为/（"=（/+4〃-4）/f（〃eZ）为幕函数，

所以〃2+4〃-4=1,得力=-5或〃=1,

当〃=-5时，/仁）=尤4。为偶函数关于〉轴对称，且在（O,+e）上单调递增，不满足题意；

当〃=1时，1（耳=V2,偶函数关于y轴对称，且在（0,+/）上单调递减，满足题意，

故选：C

4.B

【分析】根据函数的周期性、单调性确定正确选项.

【详解】>=$山工的最小正周期是2兀，不符合题意.

y=tanx在区间［,兀］上单调递增，不符合题意.

兀

对于y=cos2x,5Vx<兀，兀<2x<2兀，

所以y=cos2x在区间上单调递增，不符合题意.

答案第1页，共11页

对于y=|sinx|,画出图象如下图所示，由图可知了=卜出尤|的最小正周期为兀,

且在区间仁,兀J上单调递减，B选项正确.

故选：B

【分析】根据指数函数的图象特点确定/（力=。㈤+1的图象所过定点坐标，结合正切函数的

定义，即可求得答案.

【详解】对于函数1（力=。印+1,令x+l=O,，x=-l,

故/（x）=。向+1的图象过定点尸（T2）,

由于点夕在角。的终边上，则tan6=?=-2,

故选：B

6.C

【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得sinacosa=-根据。£（0,兀）即可求得结果.

【详解】将sina+cosa=1两边同时平方可得，sin2a+cos2«+2sinorcosa=—

39

4

可得sinacosa=一§；

又a£（0,兀），所以sina>0,cosa<0；

易矢口（sina-cos=sii?a+cos2a—2sinacosa=?,可得sina—cosa=;

后

又sina>0,cosa<0,所以sina-cosa=-----

3

故选：C

7.C

【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.

【详解】/（x）=lnx-1的定义域为（0,+动，

又y=lnx与歹=—-在（0,+"）上单调递增，

答案第2页，共11页

7

所以/(x)=lnx-t在(O,+e)上单调递增，

又/(2)=ln2一«0J(3)=ln30,

所以〃2)〃3)<0,

根据函数零点的判定定理可得函数/(x)=Inx-；的零点所在的大致区间为(2,3),

故选：C.

8.D

【分析】画出函数的大致图象，令t=方程［〃x)T+2”(x)+3=0有5个不同的

实数解，转化为“+2R+3=0根的分布问题，分情况讨论即可.

【详解】函数/(x)的大致图象如图所示，对于方程［/5)7+2/5)+3=0有5个不同的实数

解，

令l=/(x),则/+2"+3=0在(-5,-2),(-2,-1)上各有一个实数解或『+2出+3=0的一个

解为-1，另一个解在(-2,-1)内或产+2勿+3=0的一个解为2另一个解在(-2,-1)内.

当/+2加+3=0在(-5,-2),上各有一个实数解时，设g0=/+2m+3,则

A=4a2-12>0,

g『2}7一4"0一

g(-l)=4-2a>0,4

g(-5)=28-10a>0,

当产+2勿+3=0的一个解为-1时，。=2,此时方程的另一个解为-3,不在(-2,-1)内，不满足

题意;

7Q

当「+29+3=0的一个解为-2时，此时方程的另一个解为在(-2,-1)内，满足题

综上可知，实数。的取值范围为；,2).

答案第3页，共11页

故选：D.

9.BC

【分析】根据全称量词命题、存在量词命题、必要条件、同一函数等知识对选项进行分析,

从而确定正确答案.

【详解】A选项，当“是整数时，=+是偶数，故为假命题.

B选项，二次函数>的对称轴为V轴，所以B选项正确.

C选项，当时，a>b,

所以"a>"是"砥2>加2”的必要条件,所以C选项正确.

D选项，〃x)的定义域是R,g(x)的定义域是｛x|x2。｝,

所以不是同一函数，故为假命题.

故选：BC

10.ABC

【分析】利用基本不等式可比较大小，判断B,C；利用作差法可比较2/+/,4+6的大小,

判断A,D.

17

【详解】由于,则/b,

故a+b>2册,2a2+b2>142ab-贝巾2而，2缶。不可能是最大值，B,C符合题意；

由于2/+62_(0+6)=2("/12+(6_51)2_3r

当时，2(a--)2<2(0--)2=-,(Z>--)2<(1--)2=-,

39448224

,,_1.21、23113_

故2(zq——Y+(b——)--<-+------=0,

428848

即2/+°2<°+6,故2/+/不可能是最大值，A符合题意，

故选：ABC

11.BCD

【分析】根据函数的图象，结合函数周期、对称性以及最值求出参数，可得函数解析式，由

此结合正弦函数的对称性、单调性以及周期，一一判断各选项，即可得答案.

【详解】由函数y=/(x)的图象可知/=2,

设函数最,小正周期为T,则二3T=7271-(-V71)=3q兀二T=2兀，贝！|。=今27r=1,

答案第4页，共11页

jrI7[]ITTT

又/（-§）=0,即2sinl-y+I=0,则+Q=2k7i,kGZ,/.cp=2kn+—,kGZ

由于阿＜、，故夕=；,即/（x）=2sin[x+W],

对于A,4f2sin（_*W=2sin（一日H±2,

即函数了=/（x）的图象不关于直线x=-£对称，A错误；

.5兀―,.,71、2兀

对于B,x£一兀,一-—，则（%+；）£~——，

oJ3[_5z_

2兀

由于正弦函数V=sinx在-]兀，-万上单调递减，

5冗

故函数了=/（x）在-71,——上单调递减，B正确；

O_

对于C,/[m]=2sin[g+；|=2sin（27i）=0,

故「（X）的图象关于点（半57T,0）对称，C正确；

对于D,结合上面分析可知函数了=/（力的周期是2兀，正确，

故选：BCD

12.AD

【分析】根据函数的奇偶性定义可判断A；利用赋值法，结合函数奇偶性定义判断B；根据函

数的定义域为R,列不等式求解，可判断C；根据函数的值域为R,列不等式求解，可判断

D.

【详解】对于A,7■（x）=J=的定义域为R,满足/（-x）=£二=-〃x）,

e+ee+e

即/■（x）=《士为奇函数，其图象关于原点对称，A正确；

对于B,令x=y=0,则/（0）+/（0）=/（0）,;./（0）=0,

令歹=T,则/（X）+/（-X）=/（0）=0,/（-x）=-/（X）,

即/'（X）为奇函数，B错误；

对于C,f（x）=log2,-S+1）的定义域为R,即/-始+1＞0在R上恒成立，

故加2_4＜0,.―2〈加＜2,即机式一2,2）,C错误;

对于D,/（x）=log2，一加x+1）的值域为R,即一—mx+1能取至1」（0,+«＞）内的所有值，

答案第5页，共11页

i^m2-4>0,:.m>2^m<—2,即加e,D正确，

故选：AD

【点睛】易错点点睛：解答本题容易出错的是选项C、D的判断，解答时要注意区分定义域和

值域为R时的区别，列出的不等式是不一样的，因此要特别注意这一点.

13.(-1,2]

【解析】根据函数〃x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可.

【详解】解：函数/(x)=j2-x+/〃(尤+1)中,

2—..0

令

x+l>0f

解得-l<x,2,

所以/(x)的定义域是(-1,2],

故答案为：(T,2],

14.2

【分析】根据扇形面积公式进行求解即可.

【详解】S=5=lxlx4=2;则该扇形的面积为2,

222

故答案为：2.

15.右

88

【分析】化简函数解析式为>=3sin2，根据三角函数图象的平移变换规律，即可得答

案.

【详解】由于函数歹=3sin2x-：=3sin2fx-

故为了得到函数V=3sin12x-；J的图象，只要把函数y=3sin2x图象上所有的点向右平移5个

8

单位长度,

故答案为：右；£

O

16.(—1,1)/(-1,1)

【分析】先求定义域为(-L3),再利用复合函数的单调性法则“同增异减”即可求得.

【详解】因为一》2+2工+3>0,解得：T<x<3,所以〃x)=ln(--+2X+3)的定义域为(一1,3).

答案第6页，共11页

令I=-x?+2x+3=+4,贝!|y=lnf.

要求〃x）的单调增区间，只需xVL

所以-1<XW1,所以〃x）的单调增区间为（-15.

故答案为：（-1,1].

17.（1）1—3；（2）51

29

【分析】（1）根据对数的运算法则，即可求得答案；

3sinct+cos（7t+a）

（2）解方程求出tana=2,利用诱导公式化简二<.。」V结合齐次式法求值，即

（2J

可得答案.

log72

【详解】(1)log3V27+lg25+lg4+7+(-9.8)°

3

=log332+lg(25x4)+2+l

3c-13

=—+2+2+1=——

22

（2）因为a为锐角，且满足2tan2a-3tana-2=0,

解得tana=2,（负值舍）,

3sina+cos(7i+o)3sma-cosa。

一；----------------3tancr-13x2-1_5

故2sma+5cosa=-----------

2sina+5sin—+a2x2+5-9

12,2tana+5

jr

18.(1)/?=--

皿

50

【分析】（1）依题意，先确定a+0的取值范围，利用同角三角函数的平方关系，求得cos（a+0

和cosa的值，然后把万凑成夕=（。+夕）-7的形式，再利用两角差的正弦公式，展开求解即

可;

（2）结合（1）中结论，利用二倍角公式求得sin2a和cos2a的值，再利用两角差的正弦公式,

展开求解即可.

71

【详解】（1）因为，匹,0,所以£+/?€

2

答案第7页，共11页

又因为sin(e+/?)=g,且a+£e[o,1^,所以cos(tz+£)=g.

因为sina=7五,«ef0,->1,所以cosa=Y^,

10I2j10

则sin/?=sin[(a+⑼-c]=sin(a+0)cost/-co《a+0)sina--x^---x=血,

又因为Pe,go],所以〃=一；.

(2)由(1)可得cosa=^^,B=-匕

104

因为sin2a=2sinacosa=2x)&x^-=—,

101025

24

则cos2a=1-2sin26Z=-----,

25

\76

所以sin(2a一夕)=sin2acos,-cos2asin夕

50

SjT11JT

19.(1)最小正周期为兀，单调递减区间为kTt+—,kit+—依eZ)

1I

(2)-t-

【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数”X)的解析式为1(x)=sin[2x-gJ,利用正弦型函

数的周期公式可求出函数/(无)的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求得函数/(x)的单

调递减区间；

(2)由-.VxV；求出"-三的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求出函数/(x)在区

间上的值域.

_64_

【详解】(1)解：因为f(x\=sinxcosco^xI"=—sin2x百0+c°s2')

v72222

1・。百o.八叫

=—sm2x-----cos2x=sin2x——,

22I

所以，函数/(x)的最小正周期为T吟=兀，

所以，函数/(X)的单调递减区间为^i+—，^+―«力

(2)解：当一.4x4；时，一—^4看，贝UTVsin12x—

答案第8页，共11页

TTJT1

因此，函数〃x)在区间-石，7上的值域为-1,-.

ann25

20.(1)/(x)=-——+10+4x,0<x<15；(2)宿舍应建在离工厂二km处，可使总费用最小,

/(x)最小值为65万元.

【解析】(1)根据距离为10的t时，测算宿舍建造费用为20万元，可求后的值，由此，可得/(x)

的表达式；

(2)f(x)=^-+10+4x,利用基本不等式，即可求出函数的最小值.

【详解】解：(1)由题意可知，距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元，则20=—^—,

4x10+5

解得4900,所以p=9°。，则/(x)=900+10+4x,0VxV15；

4x+54x+5

(2)y(x)=222_+io+4x=-^-+(4X+5)+5^2,(4x+^+5=63当且仅当

4x+54x+5y4x+5

90025

4X+5=TL,即时取等号，此时总费用最小.

4x+54

答：宿舍应建在离工厂jkm处，可使总费用最小，/(x)最小值为65万元.

【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，

则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个

定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

21.(l)o=l；

(2)减函数，证明见解析；

⑶a<c<b,理由见解析.

【分析】(1)列出关于。的方程，解之即可求得。的值；

(2)利用函数单调性的定义即可证明函数/(x)为减函数；

(3)先比较三个自变量的大小，再利用函数/(x)为减函数即可得到a,b,c的大小关系.

2

【详解】(1)奇函数〃幻二丁^-。定义域为R

3+1

2

贝!1/(0)=卸-。=0,解之得。=1，经检验符合题意.

答案第9页，共11页

2

(2)由(1)得/(M=丁7-1易得函数在R上单调递减，证明如下：