2023-2024学年黑龙江省佳木斯市三校联考高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年黑龙江省佳木斯市三校联考高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=(m−2)+(A.1 B.−1 C.2 D.2.已知向量a=(k,3)，向量b=A.12 B.34 C.−12 3.已知a=(2,1)，b=(1A.−310 B.−110 C.4.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π6，b=A.34 B.43 C.835.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形，

A.2 B.22 C.3 6.已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于

(

)A.33π B.3π 7.在边长为6的正方形ABCD中，点E为DC的中点，点F在边BC上且BA.18 B.24 C.30 D.428.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD=4A.163 B.16 C.12二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下面说法正确的是(

)A.多面体至少有四个面

B.棱柱所有的面都是平行四边形

C.棱台的侧面都是梯形

D.以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台10.设z1，z2为复数，则下列结论中正确的是(

)A.若z1=3+5i，z2=3−2i，则z1+z2=11.对于△ABC有如下命题，其中正确的是A.若sinA=sinB，则△ABC一定为等腰三角形

B.若sin2A+sin2B+cos三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.正三棱柱所有棱长都为1，则其表面积为______．13.已知向量|a|=6，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于45o时，则向量a在向量e14.已知正方体的棱长为2，则它的外接球的表面积为______，体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z1=3+4i，z2=−2i，i为虚数单位．

(1)求z1z2；16.(本小题15分)

已知：|a|=2，|b|=3，向量a与b的夹角为π3．

(1)求a⋅b；

17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A为锐角，2asinB=3b.

(1)求A；

(2)设AD为BC边上的中线，若b=3，c=1，请选择以下思路之一求出A18.(本小题17分)

某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得∠BAC=30°，∠ABC=60°，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得∠BAD=75°，∠ABD=45°.(19.(本小题17分)

在△ABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且|AO|=2|OC|，设AB=a，AC=b．

(1)试用a，b表示AR；

(答案和解析1.【答案】C

【解析】解：z=(m−2)+(m+1)i，

2.【答案】B

【解析】解：由于向量a=(k,3)，向量b=(1,4)，若a/​/3.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运算，属于基础题．

由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运算法则，求得m的值．【解答】

解：∵已知a=(2,1)，b=(1,m)，c=(4.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，A=π6，b=2，sinB=34，

利用正弦定理：5.【答案】C

【解析】解：如图，

作平面直角坐标系x−O−y，使A与O重合，AD在z轴上，且AD=2，AB在y轴上，且AB=2，

过B作BC/​/6.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了圆锥的体积计算问题，是基础题．

根据题意求出圆锥的母线、底面半径和高，再计算圆锥的体积．【解答】

解：如图所示，

圆锥的母线为l=2，底面半径为r=1，

所以圆锥的高为h=l2−r7.【答案】C

【解析】解：如图，

AE⋅AF=(AD+DE)⋅(8.【答案】C

【解析】解：设AD=DC=AC=a，由托勒密定理知，AB⋅a+a⋅BC=a⋅BD，

∴AB+BC=BD9.【答案】AC【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，多面体至少有四个面，A正确；

对于B，棱柱的上底面和下底面不一定是平行四边形，B错误；

对于C，棱台的侧面都是梯形，C正确；

对于D，以等腰梯形的对称轴所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台，D错误．

故选：AC．

根据题意，由多面体的定义分析A，由棱柱的定义分析B，由棱台的定义分析C，由圆台的定义分析D，综合可得答案．

10.【答案】AB【解析】解：对于A：由于z1，z2为复数，z1=3+5i，z2=3−2i，则z1+z2=6+3i，故A正确；

对于B：设z1=a+bi(a,b∈R)，故1z1=1a+bi=a−bia2−b2，由于1z11.【答案】AB【解析】解：对于A，sinA=sinB，由正弦定理可得a=b，所以三角形为等腰三角形，所以A正确；

对于B，因为sin2A+sin2B+cos2C<1，

可得sin2A+sin2B<1−cos2C=sin2C，

由正弦定理可得a2+b2<c2，

所以cosC=a2+b2−c22ab<0，所以C为钝角，所以△ABC为钝角三角形，所以B正确；

对于C，因为b=8，c=10，B=π3，

由正弦定理可得12.【答案】3+【解析】解：因为正三棱柱所有棱长都为1，

所以其表面积为：S侧面积+S底面积=13.【答案】3【解析】解：由定义可得向量a在向量e上的投影为a⋅e|e|=|a||e|cos45°14.【答案】12π

4【解析】解：正方体外接球半径R=22+22+222=3，

所以外接球的表面积S=15.【答案】解：(1)z1=3+4i，z2=−2i，

则z1z2=(3+4i)(−【解析】(1)结合复数的四则运算，即可求解．

(2)根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．

16.【答案】解：(1)a⋅b=|a|⋅|b|⋅【解析】(1)由向量数量积的定义，求解即可；

(2)根据向量模长的计算方法，即可得解；

17.【答案】解：(1)由正弦定理，得2sinAsinB=3sinB，

又sinB≠0，所以sinA=32，

又A为锐角，所以A=60°

(2)在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2【解析】(1)直接运用正弦定理可得出sinA=32，再由A为锐角即可得出角A的大小；(2)首先运用余弦定理可得a=18.【答案】解：(Ⅰ)在△ABD中，∠BAD=75°，∠ABD=45°，所以∠ADB=60°，

由正弦定理：ADsin∠ABD=ABsin∠ADB，得ADsin45∘=ABsin【解析】本题考查了正余弦定理和三角形面积的计算问题，属于中档题．

(Ⅰ)由三角形内角关系求出∠ADB=60°，利用正弦定理可得AD，计算19.【答案】解：(1)由P、R、C共线，则存在λ使PR=λPC，

∴AR−AP=λ(AC−AP)，整理得：AR=(1−λ)AP+λAC