福建省南平市高三第二次（5月）综合质量检查数学理试题

2018年南平市普通高中毕业班第二次综合质量检查考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知为虚数单位，复数，，若复数是纯虚数，则（）A．1B．C．2D．42．若，是第三象限的角，则（）A．B．C．D．3．命题，命题，真命题的是（）A．B．C．D．4．如图，半径为的圆内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为，这四个小圆都与圆内切，且相邻两小圆外切，则在圆内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．5．过双曲线上任意点作双曲线的切线，交双曲线两条渐近线分别交于两点，若为坐标原点，则的面积为（）A．4B．3C．2D．16．的展开式中的常数项为（）A．20B．20C．40D．407．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．现有一块底面两直角边长为3和4，侧棱长为12的“堑堵”形石材，将之切削、打磨，加工成若干个相同的石球，并让石球的体积最大，则所剩余的石料体积为（）A．B．C．D．8．已知函数，将的图象向右平移个单位后所得图象关于点对称，将的图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称，则的值不可能是（）A．B．C．D．9．在中，若，边上中线长为3，则（）A．7B．7C．28D．2810．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．1008B．1010C．1009D．100711．已知顶点在同一球面上的某三棱锥三视图中的正视图，俯视图如图所示．若球的体积为，则图中的的值是（）A．B．C．D．12．若函数在区间有一个极大值和一个极小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若实数满足，且的最大值为4，则的最小值为．14．已知实数满足，则的取值范围是．15．直线与椭圆相交于两点，若（为坐标原点），则以点为圆心且与直线相切的圆方程为．16．在中，若，则角．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设为数列的前项和，已知，，．（Ⅰ）求证：是等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和．18．某地区某农产品近五年的产量统计如下表：（Ⅰ）根据表中数据，建立关于的线性回归方程，并由所建立的回归方程预测该地区2018年该农产品的产量；（Ⅱ）若近五年该农产品每千克的价格（单位：元）与年产量（单位：万吨）满足的函数关系式为，且每年该农产品都能售完．求年销售额最大时相应的年份代码的值，附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的计算公式：，．19．如图，在四棱锥中，侧面为钝角三角形且垂直于底面，，点是的中点，，，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若直线与底面所成的角为60°，求二面角余弦值．20．过点任作一直线交抛物线于两点，过两点分别作抛物线的切线．（Ⅰ）记的交点的轨迹为，求的方程；（Ⅱ）设与直线交于点（异于点），且，．问是否为定值？若为定值，请求出定值．若不为定值，请说明理由.21．己知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数的最小值为1，，数列满足，，记，表示不超过的最大整数．证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，曲线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，（），曲线与曲线分别交于两点．（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）求的取值范围．23．选修45：不等式选讲已知函数，．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若关于的不等式有解，求的取值范围.2018年南平市普通高中毕业班第二次综合质量检查考试理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题15:CDCAD610:CCBAC11、12：BA二、填空题13．214．15．16．三、解答题17．（Ⅰ）证：当时，，代入已知得，，所以，因为，所以，所以，故是等差数列；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知是以1为首项，1为公差的等差数列，所以从而，当时，，又适合上式，所以．所以①②②－①得，18．解：（Ⅰ）由题意可知：，，，，∴关于的线性回归方程为；当时，，即2018年该农产品的产量为6.69万吨（Ⅱ）当年产量为时，年销售额（万元），因为二次函数图像的对称轴为，又因为，所以当时，即2016年销售额最大，于是.19．（Ⅰ）证明：取中点，连接，设，，依题意得，四边形为正方形，且有，，所以，所以，又平面底面，平面底面，底面，所以平面.又平面，所以平面平面（Ⅱ）过点作的垂线，交延长线于点，连接，因为平面底面，平面底面，平面，所以底面，故为斜线在底面内的射影，为斜线与底面所成的角，即由（Ⅰ）得，，所以在中，，，，在中，，，，由余弦定理得，所以，从而，过点作，所以底面，所以两两垂直，如图，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量得取得，设平面的法向量得，取得，，所以故所求的二面角的余弦值为.20．解（Ⅰ）设切点，，交点由题意得切线的方程为，切线的方程为，又因为点分别在直线上，所以,则直线的方程为，又因为点在直线上，所以，即切线交点的轨迹的方程是.（Ⅱ）设点，，因为，所以，因此，，即，，又因为点在抛物线上，所以（1）由于点在直线上，所以，把此式代入（1）式并化简得：（2），同理由条件可得：（3），由（2），（3）得是关于的方程的两根，由韦达定理得.即为定值.21．解：（Ⅰ）函数的定义域为.1、当时，，即在上为增函数；2、当时，令得，即在上为增函数；同理可得在上为减函数.（Ⅱ）有最小值为1，由（Ⅰ）知函数的最小值点为，即，则，令当时，，故在上是减函数所以当时∵，∴.（未证明，直接得出不扣分）则.由得，从而.∵，∴.猜想当时，.下面用数学归纳法证明猜想正确.1、当时，猜想正确.2、假设时，猜想正确.即时，.当时，有，由（Ⅰ）知是上的增函数，则，即，由得.综合1、2得：对一切，猜想正确.即时，.于是，，则.故22．解：（Ⅰ）因为，，所以曲线的极坐标方程为，即由（为参数），消去，即得曲线直角坐标方程为将，，代入化简，可