麦克斯韦速率分布律

1、1麦克斯韦速率分布率麦克斯韦速率分布率 2 气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。这个规律也叫这个规律也叫麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律。 按统计假设，各种速率下的分子都存在，可以用按统计假设，各种速率下的分子都存在，可以用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比某一速率区间内分子数占总分子数的百分比来表示分来表示分子按速率的分布规律。子按速率的分布规律。1. .

2、将速率从将速率从 分割成很多相等的速率区间。分割成很多相等的速率区间。0例如速率间隔取例如速率间隔取100m/s ,整个速率分为整个速率分为01000100；100200100200；等区间。等区间。NNi/区间内的概率为在vvv2. .总分子数为总分子数为N，区间内的在vvvN分子数为3ovvNNv则可了解分子按速率分布的情况。则可了解分子按速率分布的情况。NNi/2. .总分子数为总分子数为N，区间内的在vvvN分子数为区间内的概率为在vvv3. .概率概率NNi/与与v有关，不同有关，不同 v 附近概率不同。附近概率不同。v有关，速率间隔大概率大。有关，速率间隔大概率大。4. .dvv速

3、率间隔很小，速率间隔很小，该区间内分子数为该区间内分子数为dN，在该速率区间内分子的概率在该速率区间内分子的概率dvNdN4NdvdNvf)(写成等式写成等式dvvfNdN)(速率分布函数的物理意义：速率分布函数的物理意义：表示在速率表示在速率 v 附近，单位附近，单位速率区间内分子出现的概率，或单位速率区间内分子速率区间内分子出现的概率，或单位速率区间内分子数占总分子数的百分比。数占总分子数的百分比。0)(dvvf有限区间内的概率为在21vv dvvfNNvv21)(:, 021则有取vv由于全部分子百分之百地分布在由由于全部分子百分之百地分布在由0 0到到 的整个速率范的整个速率范围内，围

4、内，NNdN01归一化条件归一化条件速率分布函数速率分布函数表示分布在表示分布在 区区间内的分子数占总分子数的间内的分子数占总分子数的比率（或百分比）比率（或百分比）dvvv区间内的分子数为在dvvvdvvNfdN)(5例：例：试说明下列各式的物理意义。试说明下列各式的物理意义。;)() 1 (dvvf; )() 3 (21vvdvvf;)()2(dvvNf21)() 4( vvdvvNf答：答：由速率分布函数可知由速率分布函数可知 NdvdNvf)(NdNdvvf)()1 (表示在速率表示在速率v附近，附近，dv速率区间内分子出现的概率。速率区间内分子出现的概率。dNdvvNf)()2(表示

5、在速率表示在速率v附近，附近，dv速率区间内分子的个数。速率区间内分子的个数。表示在速率表示在速率v1 v2速率区间内，分子出现的概率。速率区间内，分子出现的概率。NNdvvfvv)()3(21NdvvNfvv)()4( 21表示在速率表示在速率v1 v2速率区间内，分子出现的个数。速率区间内，分子出现的个数。6dvvekTmNdNkTmvv2223224 2223224vekTmvfkTmv麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数1860年麦克斯韦推导出理想气体的速率分布律。年麦克斯韦推导出理想气体的速率分布律。在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，在平衡态下，当气体分子间的相互作用

6、可以忽略时，分布在任一速率区间分布在任一速率区间 vv+dv 的分子数占总分子数的的分子数占总分子数的比率为：比率为：1.1.麦克斯韦速率分布定律的内容麦克斯韦速率分布定律的内容7dvov)(vfvvv)(vf1. . f(v)v曲线曲线0)( 0vfv时0)( vfv时2. .在在 dv 速率区间内分子出现的概率速率区间内分子出现的概率NdNdvvf)(NdvdNvf)(dvvekTmkTmv22232243. .在在f(v)v曲线下的面曲线下的面积为该速率区间内分子积为该速率区间内分子出现的概率：出现的概率：NNdvvfvvv)( 2223224vekTmvfkTmv84. .在在f(v)

7、v整个曲线下的面积为整个曲线下的面积为 1 - - 归一化条件。归一化条件。ov)(vfdvvf)(0分子在整个速率区间内出现的概率为分子在整个速率区间内出现的概率为 1 。NdNN011NN0dvNdvdNov)(vfpv5.5.最可几速率最可几速率vP物理意义物理意义：若把整个若把整个速率范围划分为许多速率范围划分为许多相等的小区间，则分相等的小区间，则分布在布在 v vP P所在区间的分所在区间的分子数比率最大。子数比率最大。9ov)(vfpv将将 f(v) 对对 v 求导，令一次导数为求导，令一次导数为 0，0)(dvvdf222/3224)(vekTmvfkTmvvekTmv22/2

8、0222/22kTvmevkTmv0212kTmvmkTvp2最可几速率：最可几速率：由由0NRk和和mNMmol0mkTvp202mNRTmolMRT2molMRT41. 1101）vP与温度与温度T的关系的关系mkTvp2pvT 曲线的峰值右移曲线的峰值右移, ,由于由于曲线下面积为曲线下面积为1不变，不变，所以峰值降低。所以峰值降低。12TTov)(vf1pv2pv 2T1Tov)(vf1pv2pv 2m1mpvm 曲线的峰值左移曲线的峰值左移, ,由由于曲线下面积为于曲线下面积为1不不变，所以峰值升高。变，所以峰值升高。12mm2）vP与分子质量与分子质量m的关系的关系11 气体分子在

9、各种速率的都有，那么平均速率是多大呢？气体分子在各种速率的都有，那么平均速率是多大呢？假设：速率为假设：速率为v1的分子有的分子有 个，个，1N 速率为速率为v2的分子有的分子有 个，个，2N平均速率：平均速率：NvNvNvNvNN2211niiiNvN1v1. .平均速率平均速率dvvvfv)(0dvvfNdN)(NvdNN1v 利用麦克斯韦速率分布率可计算方均根速率、平利用麦克斯韦速率分布率可计算方均根速率、平均速率等物理量。均速率等物理量。2.2.麦克斯韦速率分布定律的应用麦克斯韦速率分布定律的应用12计算一个与速率有关的物理量计算一个与速率有关的物理量 g(v) 的统计平均值的公的统计

10、平均值的公式：式：dvvfvgvg)()()(0利用此公式还可计算分子的方均根速率、利用此公式还可计算分子的方均根速率、分子的平均分子的平均平动动能等。平动动能等。dvvvfv)(02/3024kTmdvvekTmv322利用积分公式利用积分公式10!naxnandxexmkTv8molMRTv8上下同乘上下同乘N0有：有：平均速率平均速率molMRT59. 1得：得：2121)()()()(vvvvdvvfdvvfvgvg13 利用方均根速率可计算分子的平均平动动能。利用方均根速率可计算分子的平均平动动能。利用计算统计平均值公式：利用计算统计平均值公式：dvvfvgvg)()()(0dvvfvv)(202dxexaxn220利用广义积分公式利用广义积分公式aannn12)12(5312vmkTv32mkTv32molMRT3方均根速率方均根速率与前面温度公式中所讲的方均根速率相同。与前面温度公式中所讲的方均根速率相同。molMRT73. 114ov