函数综合（能力提升）-2021年中考数学一轮基础知识复习和巩固提升训练

函数综合一能力提升

【知识梳理】

考点一、平面直角坐标系

1.相关概念

(1)平面直角坐标系

(2)象限

(3)点的坐标

2.各象限内点的坐标的符号特征

3.特殊位置点的坐标

(1)坐标轴上的点

(2)一三或二四象限角平分线上的点的坐标

(3)平行于坐标轴的直线上的点的坐标

(4)关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标

4.距离

(1)平面上一点到x轴、y轴、原点的距离

(2)坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离

(3)平面上任意两点间的距离

5.坐标方法的简单应用

(1)利用坐标表示地理位置

(2)利用坐标表示平移

方法指导：

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

(1)点P(x,y)到x轴的距离等于国；

(2)点P(x,y)到y轴的距离等于N；

(3)点P(x,y)到原点的距离等于.

考点二、函数及其图象

1.变量与常量

2.函数的概念

3.函数的自变量的取值范围

4.函数值

5.函数的表示方法(解析法、列表法、图象法)

6.函数图象

方法指导：

由函数解析式画其图像的一般步骤：

(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；

(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；

(3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.

考点三、一次函数

1.正比例函数的意义

2.一次函数的意义

3.正比例函数与一次函数的性质

4.一次函数的图象与二元一次方程组的关系

5.利用一次函数解决实际问题

方法指导：

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式,=七；（k/0）中的常数k；确

定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=（k/0）中的常数k和b.解这类问

题的一般方法是待定系数法.

考点四、反比例函数

1.反比例函数的概念

2.反比例函数的图象及性质

3.利用反比例函数解决实际问题

方法指导：

反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数y=K（4wo）图像上任

X

一点P（x,y）作X轴、y轴的垂线PM,PN,垂足为M、N,则所得的矩形PMON的面积

S二PM'PN二|亦国=\xy\.

k

y=—,/.xy=k,S=|左|.

x

考点五、二次函数

1.二次函数的概念

2.二次函数的图象及性质

3.二次函数与一元二次方程的关系

4.利用二次函数解决实际问题

方法指导：

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方

法）

如图：点A坐标为（xi,I），点B坐标为（x2,y2）,则AB间的距离，即线段AB的长

度为—%2)2+(y—为丫,丫

•A

2、函数平移规律：左加右减、上加下减.

3、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当

4ac-b2

y最值二4a

如果自变量的取值范围是%VX〈尤2,那么，首先要看-土b是否在自变量取值范围

2a

Xi<x<X2内，若在此范围内，则当x=-二b时，y最值=4CLC—h；若不在此范围内，则

2a4a

需要考虑函数在项范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当

x=X2时，y最大=ax；+6々+。，当％=玉时，y最小=ax；++c；如果在此范围内，

y随x的增大而减小，则当x=芭时，y最大=ax：+如+c,当x=々时，

ax

>最小=2+bx2+c.

4、抛物线的对称变换

①关于x轴对称

y=ax2+Zzx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y二-〃/一加:一。；

y=九『+左关于工轴对称后，得到的解析式是y=-a^x-h^-k.

②关于y轴对称

y=ax2+Zzx+c关于y轴对称后，得至！J的解析式是y=ax'—bx+c；

y=a(x-h)2+k关于y轴对称后,得至！J的解析式是y="(x+"+人.

③关于原点对称

y=ax2+Zzx+c关于原点对称后，得至!)的解析式是y=—依2+AX—C；

y=a(x-h)2+k关于原点对称后，得至！J的解析式是y=-〃(x+犷-女.

④关于顶点对称

廿

y=ax+Zzx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-依2一版+。---；

2a

y=a(x-h)2+k关于顶点对称后，得至(J的解析式是y=-a[x-h^+k.

⑤关于点(m,〃)对称

y=a(x-h)2+k关于点(m,九)对称后，得到的解析式是y=-。(％+九一2机J+2几一左.

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此同

永远不变.求抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的

形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定

其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.

考点六、函数的应用

L一次函数的实际应用

2.反比例函数的实际应用

3.二次函数的实际应用

方法指导：

分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函

数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计

费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.

【能力提升训练】

一、选择题

1.函数》=互3中自变量x的取值范围是（）

x-1

A.x2一3B.x2一3且xWlC.xWlD.xW—3且xWl

2.如图为抛物线y=ax?+bx+c的图象，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且0A=

OC=1,则下列关系中正确的是（）

A.a+b=-1B.a—b=—1C.b<2aD.ac<0

3.设一元二次方程（x—l）（x—2）=m（m>0）的两实根分别为a、B,则a、8满足（）

A.1<a<0<2B.1<a<2<&C.a<1<0<2D.a<1且B>2

4.如图，正方形ABCD的边长为4,P为正方形边上一动点，运动路线是A-D-C-B-A,

设P点经过的路线为X,以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y

与x的函数关系的是（）

ABCD

5.如图，A、B是双曲线y=当上的两点，过A点作ACLx轴,交OB于D点，垂足为

x

C.若△ADO的面积为1,D为OB的中点，则k的值为（）

A-3

B.&

3

C.3

D.4

6.如图，一次函数y=—gx+2的图象上有两点A、B,A点的横坐标为2,B点的横

坐标为a(0<a<4且aW2),过点A、B分别作x的垂线，垂足为C、D,△AOC、ABOD

的面积分别为Si、S2,则Si、S2的大小关系是()

A.Si>S2B.Si=S2C.Si<S2D.无法确定

二、填空题

7.抛物线丁=以2+2依+/+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴

交点的坐标是.

8.在直角坐标系中，有如图所示的Rt^ABO,ABLx轴于点B,斜边A0=10,sin/AOB

3k

=-,反比例函数y=—(k>0)的图象经过A0的中点C,且与AB交于点D,则点D的坐标

5x

为.

第7题第8题第9题

k

9.如图，点A在双曲线丫=一上,ABLx轴于B,且AAOB的面积SAAOB=2,则k=.

x

10.如图，已知二次函数yi=2x，-Wx的图象与正比例函数yz=2x的图象交于点A(3,

333

2),与x轴交于点B(2,0),若0<外<丫2，则x的取值范围是

y.

11.如图所示，直线0P经过点P(4,4也),过X轴上的点1、3、5、7、9、11...分

别作x轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为

Si、S2、

12.t按如图所示的

方式放置，其中点Al、Az、A3、…、An均在一次函数y=kx+b的图象上，点3、C2>C3、…、

Q均在x轴上.若点Bi的坐标为(1,1),点氏的坐标为(3,2),则点A0的坐标为

三、解答题

13.已知，如图所示，正方形ABCD的边长为4cm,点P是BC边上不与点B、C重合的

任意一点，连结AP,过点P作PQLAP交DC于点Q,cm.

(1)求点P在BC上运动的过程中y的最大值;

(2)当y=；cm时，求x的值.

14.大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家

饰品店.该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件

60元，每月可卖出300件.市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；

售价每下降1元每月要多卖20件.为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/

件）（x>0即售价上涨，x<0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）.

（1）直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；

（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？

m2+1m2+2,,..

15.已知关于x的二次函数y=x?—+与y=x2—mx---------，这两个二

22

次函数的图象中的一条与x轴交于A、B两个不同的点.

（1）试判断哪个二次函数的图象经过A、B两点；

（2）若A点坐标为（-1,0）,试求B点坐标；

（3）在（2）的条件下，对于经过A、B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的

增大而减小？

16.探究（1）在下图中，已知线段AB,CD,其中点分别为E,F.

①若A(-l,0),B(3,0),则E点坐标为；

②若C(-2,2),D(-2,-1),则F点坐标为；

(2)在下图中，已知线段AB的端点坐标为A(a,b),B(c,d),求出图中AB中点D的坐

标(用含a,b,c,d的代数式表示)，并给出求解过程.

归纳无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A(a,b),B(c,d),

AB中点为D(x,y)时，x=,y=.(不必证明)

3

运用在下图中，一次函数y=x-2与反比例函数y=—的图象交点为A,B.

①求出交点A,B的坐标;

②若以A,0,B,P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐

标.

答案与解析

一、选择题

1.【答案】B；

【解析】由x+3N0且x—1W0,得X2一3且xWl.

2.【答案】B；

【解析】由OA=OC=1,得A(—1,0),C(0,l)-所以《

3.【答案】D；

【解析】当y=(x—1)(x—2)时，抛物线与x轴交点的横坐标为1,2,抛物线与直线y

=m(m>0)交点的横坐标为a,0,可知a<1,0>2.

X

4.【答案】B；

【解析】当点P在AD上时，SAAPD=0；当点P在DC上时，SAAPD=-X4X(x-4)=2x-

2

当点P在CB上时，SAAPD=-X4X4=8；当点P在BA上时，SAAPD=-X4X(16-x)=

—2x+32.

故选B.

5.【答案】B；

【解析】过点B作BE_Lx轴于点E,

：D为OB的中点，

CD是仆OBE的中位线，即CD=1BE.

设A(x,?),则B(2x,JC),CD=2,AD=?-2,

x2x4xx4x

△ADO的面积为1,

1AD»OC=1,1(2-J£)・x=l,解得y=&,

2x4x

,k=x・？=y=旦

故选B.

【解析】当x=2时，y=——x+2=l,A(2,1),SI=SAAOC=-X2X1=1；

22

当x=a时，y=——x+2=——a+2,B(a,——a+2),

222

==

S2SABOD=■—XaX(--a+2)=一—a~\~a.一1—(a-2)~+l,

2244

当a=2时，Sz有最大值1,当a#2时，SzCl.所以Si>Sz.

二、填空题

7.【答案】(1,0)；

【解析】丁=奴2+2奴+标+2的对称轴工=---=-1,由二次函数的对称性知，抛

2a

物线与x轴两交点关于对称轴对称，所以%*=-2,所以设另一交点坐标为(x“0),

22a

则二±±=一1,解得知=1,故坐标为(1,0).

2

8.【答案】(8,3:

2

AB3

【解析】在Rtz^AOB中，A0=10.sinZA0B=——=-,则AB=6,0B=8.又点C是AC

AO5

121233

中点，得C(4,3),k=4X3=12,y=—.当x=8时，y=—=—./.D坐标为(8,—).

x-822

9.【答案】-4；

【解析】设A(x,y).SAAOB=—OB•AB=—•|x•|y|=—x•(—y)=--xy—2.

2222

所以xy=—4,即k=-4.

10.【答案】2<x<3；

【解析】•.•二次函数yi=2x2-Wx的图象与正比例函数y2=2x的图象交于点A(3,2),

333

与X轴交于点B(2,0),.♦.由图象得：若0<yi<y2,则x的取值范围是：2<x<3.

11.【答案】(8n—4)&;

【解析】设直线0P的解析式为y=kx,由P(4,4百)，得4百=4k,k=6,

.'.y=6x,则Si=—X(3—1)X(\/3+3月)=4百，

2

S2=-X(7-5)X(573+7百)=12JL

2

S3=-X(11-9)X(9A/3+1173)=20A^,....,

2

所以S„=4(2n—1).=(8n—4)也.

12.【答案】(2"T—1,2“T)；

【解析】可求得由(0,1),A2(l,2),AB(3,4),4(7,8),…，其横坐标0,1,3,7…的规律

为2nJ,纵坐标1,2,4,8…的规律为2"一\所以点A”的坐标为Qi—

三、解答题

13.【答案与解析】

解:(1)VPQXAP,.\ZCPQ+ZAPB=90°.

又；NBAP+NAPB=90°,

/.ZCPQ=ZBAP,

tanZCPQ=tanZBAP,

因此点P在BC上运动时始终有竺=£2.

ABPC

•「AB=BC=4,BP=x,CQ=y,

••一——,

44-x

222

y=_l(x_4x)=-^-(^-4x+4)+l=-^-(%-2)+l(0<%<4).

,**ci——<0,

4

1•y有最大值，当x=2时，y最大=l(cm).

11

(2)由⑴知y=——(x29-4%),当y=—cm时，

44

11

—二——(x92-4%),整理，得%92—4%+1=0.

44

1

b-4ac=12>0f

…上主⑫=2土石.

2

x的值是(2+逝)cm或(2—73)cm.

14.【答案与解析】

,小小叫—且f300-10x(0<x<30)

解：(1)由题思可得：y=<.；

300-20x(-20<x<0)

“、+不上4%((20+x)(300-10x)(0<x<30)

(2)由题意可得：w=J」，

(20+x)(300-20x)(-20<x<0)

〃*f-102+100X+6000(0<X<30)

化间得：W=JX,

2

-20x-100x+6000(-20<x<0)

’-10(x-5)2+6250(0<x<30)

即w=<r-，

-20(x+po2+6125(-20<x<0)

由题意可知X应取整数，故当x=-2或x=-3时，w<6125<6250,

故当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；

(3)由题意wN6000,如图，令w=6000,

即6000=-10(x-5)2+6250,6000=-20(x+至)-+6125,

2

解得：xi=-5,x2=0,x3=10,

-5WxW10,

故将销售价格控制在55元到70元之间(含55元和70元)才能使每月利润不少于6000

元.

m2+1

解：（1）对于关于x的二次函数y=必—+

2

2

由于△=(-m)'-4XIX+1=—m-2<0,

2

所以此函数的图象与x轴没有交点.

m2+2

对于关于x的二次函数y=x2-mx-

2

m2+2

由于A=(-/n)2+4x1x()=3/+4>0,

2

所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点.

m2+2

故图象经过A,B两点的二次函数为y=x2-mx-

2

mm

(2)将A(T,0)代入y=——"a_+