第12章 证明（学生版）

2023-2024学年苏科版数学七年级下册章节知识讲练1．了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，会判断一个命题的真假；2．了解综合法的证明步骤和书写格式.3．运用平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及其推论去解决一些简单的问题，用几何语言进行简单的推理论证.4.了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立.会判断一个命题的逆命题的真假.知识点01：定义、命题、真命题、假命题定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给它们的定义.命题：判断一件事情的句子叫命题．真命题：如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题.假命题：如果条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题.【易错点剖析】命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以，即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可.要说明一个真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理,证明它的正确性.知识点02：证明根据已知真命题，确定某个命题的真实性的过程，叫做证明．经过证明的真命题称为定理.证明过程必须做到言必有据.证明过程通常包含几个推理，每个推理都应包括因、果和有因得果的依据.其中，“因”是已知事项，“果”是推出的结论；“有因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质.证明的步骤：1.根据题意，画出图形；2.根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；3.写出证明过程.【易错点剖析】推理和证明是有区别的，推理是证明的组成部分，一个证明过程往往包含多个推理.知识点03：三角形的内角和定理及其推论三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.【易错点剖析】(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．(2)三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．(3)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（4）三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360°．

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（5）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．知识点04：互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.把一个命题的条件与结论互换，就得到它的逆命题，我们能够判断一个命题及其它的逆命题的真假.证明一个命题是假命题，只需举出一个反例就可以了.【易错点剖析】每一个命题都有对应的逆命题，一个真命题的逆命题不一定是真命题，同样一个假命题的逆命题也不一定仍为假命题.反例就是复合命题的条件，但不符合命题的结论的例子，它可以是数值、图形，也可以是文字说明.一个命题的反例可以有很多个，解题时只需要举出其中最易懂的一个即可.检测时间：120分钟试题满分：100分难度系数：0.55一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023秋•常德期末）下列选项中可以用来说明命题“若x2＞1，则x＞1”是假命题的反例是（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x＝﹣32．（2分）（2023秋•晋江市期末）对于命题“若m＝2，则m2＝4”，能说明该命题的逆命题是假命题的m的值可以是（）A．m＝﹣2 B．m＝2 C．m＝﹣4 D．m＝43．（2分）（2023秋•靖边县期末）下列各语句中，不是真命题的是（）A．直角都相等 B．对顶角相等 C．若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，则∠1与∠3相等 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补4．（2分）（2023秋•青白江区期末）下列命题是真命题的是（）A．两直线平行，同旁内角相等 B．相等的角是对顶角 C．三角形的外角大于任一内角 D．直角三角形的两锐角互余5．（2分）（2023秋•城关区校级期末）下列各命题的逆命题是假命题的是（）A．两直线平行，同旁内角互补 B．若两个数a+b＝0，则这两个数为相反数 C．对顶角相等 D．如果a2＝b2，那么a＝b6．（2分）（2022秋•商水县期末）下列命题中：①同旁内角互补，两直线平行；②无理数都是无限不循环小数；③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是0或1，是真命题的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个7．（2分）（2023秋•李沧区期末）对于命题“如果a＜2，那么a2＜4”，能说明它是假命题的反例是（）A．a＝﹣3 B．a＝3 C．a＝﹣1 D．18．（2分）（2023秋•秦州区期末）下列命题是真命题的是（）A．相等的角是对顶角 B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．内错角相等 D．如果a∥b，b∥c，则a∥c9．（2分）（2023春•信都区期末）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形10．（2分）（2018春•绍兴期中）甲乙丙丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色．在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色．”乙说：“丙的车是红色的．”丙说：“丁的车不是蓝色的．”丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是（）A．甲的车是白色的，乙的车是银色的 B．乙的车是蓝色的，丙的车是红色的 C．丙的车是白色的，丁的车是蓝色的 D．丁的车是银色的，甲的车是红色的二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•晋城期末）请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题：．12．（2分）（2023春•任城区期末）命题“如果，那么a＞b”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．13．（2分）（2023春•临邑县期末）如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝30°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中∠AED＝n°，则∠BCE的度数为°（用含n的代数式表示）．14．（2分）（2022秋•阳山县期末）“对顶角相等”的逆命题是．（用“如果…那么…”的形式写出）15．（2分）（2023春•安顺期末）在说明命题“若|a|＞3，则a＞3”是假命题的反例中，a的值可以是．16．（2分）（2023春•三台县期中）如图，现有以下3个论断：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F．如果以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，能够构成个真命题．17．（2分）（2023春•宣化区期末）下列命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③若∠1＝40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2＝40°；④若b⊥c，a⊥c，则b∥a；⑤若两条平行线被第三条直线所截，则一对同旁内角的平分线互相平行．其中真命题的是．（填写序号）18．（2分）（2023春•大丰区期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝126°，∠B与∠ADC互为补角，点E在BC上，将△DCE沿DE翻折得到△DC′E，若AB∥C′E，DC′平分∠ADE，则∠A的度数为°．19．（2分）（2023春•金乡县月考）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为．20．（2分）（2023秋•射洪市期末）把命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”改写成“如果…那么…”的形式：．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023春•双辽市期中）（1）如图，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB；（2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由．22．（6分）（2023春•汝南县期末）发现：如图，∠AOB内有一点P：过点P画PC∥OB交OA于点C，画PD∥OA交OB于点D；根据所画图形试说明：∠O与∠CPD的数量关系；验证：完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：∵PC∥OB∴∠O＝（）∵PD∥OA∴∠CPD＝∴∠O＝∠CPD探究：某数学兴趣小组通过以上练习发现了命题“两边分别平行的两个角相等”，甲同学认为该命题是真命题并画了图1进行验证，乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到∠B≠∠D，根据乙同学的作图，试判断此时∠B与∠D的数量关系，并说明理由．归纳：综合甲乙两同学的证明得到结论：两边分别平行的两个角．23．（8分）（2023春•龙口市期末）如图，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN．AB与CD平行吗？请说明理由．24．（8分）（2023春•清江浦区期末）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为；请选择其中一种情况说明理由．②由①得出一个真命题（用文字叙述）：．（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．25．（8分）（2023春•宁乡市期末）定义：对于任意实数m，n，如果满足m+n＝mn，那么称m，n互为“好友数”，点（m、n）为“好友点”．（1）若（5，n）为“好友点”，则n＝；（2）判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”．①与4是互为“好友数”的；②若点（m，n）为“好友点”，则点（n，m）也一定为“好友点”；③若m与n互为相反数，则（m，n）一定不是“好友点”；④存在与1互为“好友数”的实数；已知A（x、y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于x，y的二元一次方程组的解，请判断点A（x，y）是否能成为“好友点”？若能，请求出a的值和点A的坐标；若不能，请说明理由．26．（8分）（2023春•合江县期中）如图1，已知AB∥CD，AC∥EF．（1）观察猜想：若∠A＝45°，∠E＝65°，则∠CDE的度数为；（2）探究问题：请在图1中探究∠A，∠CDE与∠E之间有怎样的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠CAB，∠CDE与∠E又有怎样的数量关系呢？请写出结论并说明理由．27．（8分）（2023春•清丰县期中）【问题提出】课堂上，李老师提出了这样一个问题：“已知一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角是什么关系？”【问题探索】为了解答李老师问题，小明与小颖分别画出了下面图形，请你根据这两位同学画的图形，解答下列问题：（1）如图，AB∥DE，BC∥EF，则下列结论正确的是A．∠B＝∠EB．∠B+∠E＝180°C．∠B＝∠E或∠B+∠E＝180°D．以上答案都不对（2）请你选择其中一位同学所画的图形，给出你的结论并证明．我用画