2023年高考数学考前终极押题模拟卷1（解析版）

绝密★启用前

-2023年高考数学考前终极押题01

新高考地区专用(解析版)

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.已知z=l—i,贝()

z+2z

DIL21.12

A.-2+匕B-万+不c.—+—iD.-+—

105555

【答案】C

【分析】根据共粗复数的概念和复数的除法运算即可得到答案.

1+i1+i_l+i_(l+i)(3—i)_2J_.

【详解】因为z=l-i,所以z+2z-l-i+2(l+i)-3+i-W-5M

故选：C.

2.设集合A={0,l,2,3},B={1,3,4},C={xeR|x2-3x+2>0},则(AiB)\\C=()

A.{3}B.{1,2}C.{1,3}D.{0,3,4}

【答案】D

[分析]根据一元二次不等式化简。，进而由集合的交并补运算即可求解.

2

【详角星】C={X^R\X-3X+2>0]={X\X>2^X<]}9由A={04,2,3}5={1,3,4}得

A_6={0,1,2,3,4},所以(AB)C={0,3,4},

故选：D

3.19世纪美国天文学家西蒙・纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率

更高.约半个世纪后，物理学家本・福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据

中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本・福特定律，即在大量b进制随机

数据中，以“开头的数出现的概率为85)=108b—■，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比

n

较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真

20log?21-log23

实性.若£/(")=(ZEN*,%«20),则％的值为()

n=k1+log25

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可.

【详解】依题意，得

20左+]

k+2।21।21

Z4⑺=6。伏)+/优+1)++^o(2O)=lg—+lg--------F+坨犷陵'

n=k化左+1

*芈导=产得=怆7,

l+log25log210

故选：B.

4.若。为第二象限角，且3sin2。—835仁一6)+4=0,

()

B-4C.—亚

A-—2

2

【答案】C

【分析】利用诱导公式及解一元二次方程求出sin。，从而求出cos。，再利用二倍角余弦公

式及诱导公式化简，最后代入计算可得.

【详解】因为3sin2。一8cos(方一夕)+4=0,即Bsi/e—8sin8+4=0,

2

解得sin8=§或sin8=2(舍去),

因为。为第二象限角，所以cos<9<0,cos6=-Jl-sin2e=一好,

3

COS。cos。_cos6_v5

所以2siY-1-cosp+|sin。2.

故选：C.

2x-3,x>0,

5.已知函数〃x)=函数g(x)=恰有5个零点，则m的取值

x3—3x+1,x<0>

范围是()

A.(-3,1)B.(0,1)C.[-1,1)D.(1,3)

【答案】C

【分析】由题意可先做出函数f(x)的大致图象，利用数形结合和分类讨论，即可确定小的

取值范围.

【详解】当X<0时，/^X)=3X2-3.由得X<-1,由r(x)<0,得一1<X4。,

则/(X)在(T，。］上单调递减，在(f,-1)上单调递增，故/lx)的大致图象如图所示.

设/=〃力，则机=〃。，由图可知当机>3时，m=有且只有1个实根,

则/=/(*)最多有3个不同的实根，不符合题意.

当m=3时，根=/⑺的解是彳=-1,々=3.八x)=%有2个不同的实根，/(x)=f2有2个

不同的实根，

则/="*)有4个不同的实根，不符合题意.

当1M”<3时,加=/。)有3个不同的实根G，%小且与«-2,—1),4目2,3).

/(X)=L有2个不同的实根，八工)=。有2个不同的实根，八x)=4有3个不同的实根，

则r=〃x)有7个不同的实根，不符合题意.

当一1(根<1时，根=/(。有2个不同的实根七，小且弓目1,2).

八元)=%有2个不同的实根，八无)=今有3个不同的实根，

则r=〃x)有5个不同的实根，符合题意.

当一3c机<-1时，〃z=/(r)有2个不同的实根%,%，且4e(-3,-l),tge(0,l),

/(x)=%有2个不同的实根，八尤)=%，有2个不同的实根，则/=/(》)有4个不同的实根,

不符合题意.

当机V-3时，m=有且只有1个实根，则t=/(x)最多有3个不同的实根，不符合题意,

综上，根的取值范围是［-M).

故选：C.

6.(x+y)5(2x-V)3的展开式中尤5y5的系数为()

A.-30B.-15C.15D.30

【答案】D

【分析】首先写出(x+y)s、(2x-y1展开式的通项，将两个通项相乘，令「一；一：；5,

求出优、r,再代入计算可得.

5

【详解】因为(尤+y)展开式的通项为Tr+i=C)5一了，

33m3m2m

(2x-必)展开式的通项为Tm+l=(-lf2-C^x-y,

所以(包=(-If23-mC^xs-r-myr+2m,令F一；一机：§,解得『二；,

'Ir+zm=JIr=1

所以展开式中的系数为(—1)223.2C；C：=30.

故选：D

7.设函数〃x)在R上存在导数r(x),对任意的xeR,有〃力-〃T)=2siriY,且在

［0,+c®)±/(x)>cosx,若/停—1-/(0>cosf-sint.则实数/的取值范围为()

A.HB.C.朋)D.与+勺

【答案】A

【分析】先构造函数可得g(x)在［0,+8)上单调递增，在(一双。)上单调递减，将不等式等价

转化为利用函数的单调性和奇偶性得到，<1一，解之即可.

【详解】因为/(力一/(—X)=2sinx，所以〃x)-sinx=/(-%)-sin(-x),

设g(x)=〃x)-sinx,可得8(力=8(-尤),8(司为偶函数

在［0,+oo)上有/,(A,)>cosx,.,.g,(x)=/,(x)-co&r>0,

故g(无)在［0,+8)上单调递增，根据偶函数的对称性可知，且(“在(-8,0)上单调递减,

由/［,_'_/(0>cosf_sinf得

即g⑺<gg_；，

即工,土一位>0,解得

uJ44

故选：A.

8.如图，正方体ABCD-ABC。的棱长为2,线段BQ上有两个动点E,尸(E在尸的左边),

旦EF=拒.下列说法不正确的是()

A.当E运动时，二面角£-AB-C的最小值为45

B.当E,尸运动时，三棱锥体积3-AEF不变

C.当区尸运动时，存在点瓦尸使得AE〃屏1

D.当区尸运动时，二面角C-£F-8为定值

【答案】C

【分析】对A：建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角夹角的余弦值，根据其范围，

即可判断；对B：利用棱锥体积公式，即可求得三棱锥的体积，即可判断.对C：由反证法

判断；对D：平面跳B即为平面瓦，平面CEF即为平面CBQi，从而得出二面角

C-EF—3为定值.

【详解】对A：建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(2,2,0),以0,2,0),C(0,0,0),。(2,0,0),R(2,0,2).

因为瓦尸在耳2上，且4R=20,EF=y/2,

可设E1,2T,2)(1W/W2),则爪f—l,3T,2),

则“=(f—2,T,2),8#=(f_l,lT,2),

设平面ABE的法向量为m=(x,y,z),

AB•欣=0\-2x=0

又AB=(-2,0,0),所以＜印2)%—(y+2z=0

AE•加=0

取y=2,则机=(0,2,。，

平面A3c的法向量为〃=(0,0,1),所以cos(m,〃)=j^q

„m-nZ>Z"*QZjt------1-------------

设二面角E-AB-C的平面角为e,则。为锐角，故一网“_J『+4_J1+4，

因为1W2,y=Jl+1■在1,2]上单调递减,

所以后VJl+?w5<cos^<—,

Vt252

当且仅当f=2时，cos6取得最大值变，即。取最小值45,故A说法正确.

2

对B：因为SBEF=JX所*8旦=；*应、2=血，点4到平面8£>方用的距离为0,

所以体积为为_AEF=匕一BEF=；X&X0=g,即体积为定值，故B说法正确.

对C：若AEHBF,则4尻综2四点共面，与A3和与2是异面直线矛盾，故C说法错误.

对D：连接C〃,C耳,CE,平面跖8即为平面8。，瓦，而平面CEF即为平面CBQ,故当瓦尸

运动时，二面角C-EF-8的大小保持不变，故D说法正确.

故选：C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数〃x)=sin(s+010>O,[d<]J的部分图象如图所示，则下列结论正确的是

IT

B.函数/（元）的图象可由y=sin2尤的图象向左平移个单位得到

6

c.若Ya）-〃X2）|=2,则民-4的最小值为"I

D.方程/（尤）=摩2）有3个实根

【答案】BCD

T71（71A71

【详解】由图可知，-=所以7=兀,0=2,

又图象过点借』],所以sin12x^|+e]=l,仁+°=]+防1,左eZ,即e=；+Mr,AeZ,

因为|司<5，所以9=],所以/（尤）=$山（2彳+5]

因为〃x)=sin=sin(-7i)=0,

所以直线x=-曾不是/（%）的对称轴，A错误；

y=sin2x的图象向左平移聿个单位得产sin21+£|=sin|^2x+^,B正确;

因为|〃为）-/（尤2）|=2,所以〃%）,“W）必为一个为最大值，一个为最小值，

所以民-力的最小值为[=]，C正确；

作函数y=fW,y=log2,r尤如图,

当了=2兀时，/（2n）=sin+=<l°g27t2兀=1,

又x>2兀时，log2nx>l>/（x）,

结合图象可知，函数y=/（x）与y=log21tx有且只有3个交点，即方程〃X）=log27tx有3个

实根，故D正确.

10.定义在R上的函数Ax),g(x)满足/(0)<0,f(3-x)=/(l+x),g(2-x)+g(x)=2,

g[x+g)=/(2x)+l,则()

A.x=6是函数/（x）图象的一条对称轴

B.2是g(x)的一个周期

C.函数/(无)图象的一个对称中心为(3,0)

D.若weN*,且〃<2023,/(n)+/(n+l)++/(2023)=0,则〃的最小值为2

【答案】ABC

【分析】由已知可推得g(x)关于直线了=]对称，g(2-x)-l=g(x+l)T.又有

g(l-x)T=-g(l+x)+l.进而得出g(l-x)=-g(2-“，即有g(-x)=g(-x+2),即可得出B项；

根据g(x)的周期可得出〃x)的周期为4,结合〃x)的对称性，即可得出A项；由g(x)的

对称中心，即可得出关于点。,0)对称，结合“X)的性质，即可得出C项；根据“X)

的周期性以及对称性可得/(0)+/(D+/(2)+/(3)=0,/(2023)=/(3),然后分〃=1,2,3讨

论求解，即可判断D项.

【详解】由/(3-x)=/(l+x)可得〃2-x)=/(2+x),所以〃幻关于直线x=2对称,

所以〃2力关于直线彳=1对称，即g，+£|-l关于直线x=l对称，

所以g[+£|关于直线》=1对称，所以g(尤)关于直线尤=9对称，

所以有g(3—x)=g(x),所以有g(2-x)=g(x+l),所以g(2—x)-l=g(x+l)-l.

又由g(2-力+g(x)=2可得，g(l-»+g(l+x)=2,所以g(x)关于点(1,1)对称,

所以g(l-a)-l=-g(l+a)+L

对于B项，因为g(2-x)-l=g(x+l)-1,g(l-x)-l=-g(l+%)+l,

所以，g(1_x)=_g(2-x),所以g(-x)=_g(l-x)=g(_x+2),

所以，g(x)的周期为7=2,故B项正确；

对于A项，由已知〃2x)=g[x+£|-l周期为2,所以〃x)的周期为4.

因为了(无)关于直线x=2对称，所以x=6是函数图象的一条对称轴，故A项正确；

对于C项，g(x)关于点(1,1)对称，所以〃2x)=g[x+£|-l关于点g,01寸称，

所以“X)关于点(1,0)对称，所以/(2-尤)=一〃一无).

又/")关于直线x=2对称，所以〃4+x)=/(—x),

所以〃4+x)=—〃2—x),所以有f(3+x)=—/(3-尤),

所以函数"X)图象的一个对称中心为(3,0),故C项正确；

对于D项，由C知，〃尤)关于点。,0)对称，外“关于点(3,0)对称，

所以，/(0)+/(2)=0,/(1)=/(3)=0,所以/(0)+y(l)+/(2)+*3)=0.

又了(X)的周期为4,所以对左eZ,f(4k)+f(4k+1)+f(4k+2)+f^k+3)=0.

因为/(2023)=/(4x505+3)=〃3),

则当〃=2时，有/(〃)+/(〃+1)++/(2023)=/(2)+f(3)=/(2).

因为)(0)+/(2)=。所以〃2)=—〃0)>0,不满足题意;

当〃=1时,/(n)+/(n+l)+-+/(2O23)=/(l)+/(2)+/(3)=/(2),不满足题意；

当“=3时，/(«)+/(«+1)++/(2023)=/(3)=0,满足题意.

故〃的最小值为3,D错误.

故选：ABC.

ii.如图，在正方体中，"为棱A4上的动点(不含端点)，下列选项正确

的是()

A.当时，82,平面DMG

B.平面。MG与平面A4,用B的交线垂直于

C.直线24，与2与平面。MG所成角相等

D.点4在平面DMC,内的射影在正方体ABCD-A耳GR的内部

【答案】BC

【分析】A选项，可证明BA，平面AG。，然后注意到平面4G。与平面不重合从而

得出结论；

B选项，先补全两个平面的交线后进行证明；

c选项，利用平行关系转化线面角后进行说明；

D选项，投影点是否在内部，结合B选项构建的平面，考虑二面角是钝角还是锐角.

【详解】

对于A,连接AG，AD,BD=BC+BA+BBl,AlCl=AC=BC-BA,

AlD=BlC=BC-BBl,

BDA.Q=^BC+BA+BB,)-(BC--BA^+BB「(BC-BA^=0,

类似可说明即小。二。，

故BD1AQ,又AZ)CAG=A，AD,4Gu平面AG。，

于是BD1平面4CQ,而M■为441中点时，平面AG。与平面。MG不重合，

故A错误；

对于B,延长24，DM交于N,连接GN交4用于G,连接GAf,

则GM为平面DMC,与平面AA.B.B的交线，

根据正方体性质易知ADC4为平行四边形，故A8"/G。,

由中位线性质，ABJ/GM,于是GM〃CQ,

而根据A选项，由GDu平面AG。，B"_LG。，

:BDJGM,故B正确；

对于C,连接8D,则3。〃瓦%,由可知，

8C”8。与平面。MG所成角相等，于是直线BQ,8Q与平面。所成角也相等,

故C正确；

对于D,易知三棱锥A-GMN是正三棱锥,

除,.G肱V为等边三角形之外，其余都是等腰直角三角形，

取GM中点J,连接由NJ=NM,GJ=JM,

得N/_LGM(三线合一)，同理AJ_LGM,

于是4-GM-N的平面角是ZA.JN,

若设长方体的边长为4,则=1M=AN=2,MG=NM=GN-2A/2>

可得也，JN=a,又AN=2,

IT

根据勾股定理可得z/AN=m，即A-GM-N是锐二面角.

于是a-GM-O是钝二面角，根据B选项可知GM//C。，于是G,M,D,C］共面，

•••点A在平面DMC,内的射影在四边形GMDQ之外，

即正方体ABCD-的外部，故D错误.

故选：BC.

12.已知点P是圆C:(x-3y+(y-4)2=/上一点，A(-l,0),3(1,0),则以下说法正确的

是()

A.若直线与圆C相切，则r=4

B.若以A,2为直径的圆与圆C相切，则厂=4

C.若P4PB=0，贝U4VrW6

D.当厂=1时，|P4「+|p同2的最小值为34

【答案】ACD

【分析】根据直线与圆相切，可得圆心到直线的距离即为半径，进而即可判断A；根据圆与

圆的位置关系，分圆Y+9=1与c外切和内切两种情况讨论即可判断B；设P点的坐标为

(x,y),从而得到Y+y2=l,即圆C与尤2+y2=i有交点，进而即可判断C；设尸点的坐标

为(3+sina,4+cos(z)(a为参数)，从而得到+|尸叶=20sin(a+6>)+54其中tanO=g,进

而即可判断D.

【详解】对于A,由A(TO),3(1,0),则直线48的方程为〃B：y=O,

所以圆C的圆心(3,4)到直线AB的距离为d=4,

又直线AB与圆C相切，所以厂=4,故A正确；

对于B,由A(TO),5(1,0),则以A,8为直径的圆方程为：x2+y2=l,

所以圆C的圆心(3,4)到圆f+y2=1的圆心(0,0)的距离为5,

当圆/+>2=］与c外切时，有「+1=5,得厂=4,

当圆尤2+>2=I与c内切时，有厂_］=5,得r=6,故B不正确;

贝=P3=(l-苍一y),

所以外,PB=(-l_x,-y)x(l_x,_y)=x2_]+y2=0,即/+/=1，

所以圆C与，+必=1有交点，所以结合选项B可得44rW6,故C正确;

对于D,设尸点的坐标为(3+sin%4+costz)(a为参数)，

则PA=(-4-sinor,-4-cosor),PB-(-2-sina,-4-cos«),

所以邳2=12sina+16cos(z+54=20sin(e+6»)+54,其中tan6=g,

所以当sin(a+6)=-1时，|PA「+|P8『取得最小值，且最小值为34,故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”，也称传彩球.游戏规则为：鼓响时，众人开始依次

传花，至鼓停为止，此时花在谁手中，谁就上台表演节目.甲、乙、丙三人玩击鼓传花，鼓

响时，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两人中的任何一

人，经过6次传递后，花又在甲手中的概率为.

【答案喘

【分析】设第附次传球后球在甲手中的概率为匕，根据题意找出匕的递推关系，写出巴的

通项公式，然后求々即可.

【详解】设第〃次传球后球在甲手中的概率为匕，wwN*.则5M=2XO+(1-乙卜；，得

^+1=4^+1

一次传球后，花不在甲手上，故片=。，所以数列［匕-；［是以-g为首项，公比为的等

比数列，所以5=

111

所以H—=——

332

故答案为：苴

14.已知点。在线段A3上，CD是ABC的角平分线，E为CD上一点,且满足

BE=BA+A岩+当(Z>O),|CA|-|CB|=6,|BA|=14,设A4=〃,则跖在4上的投影向量

IHlACU

为•(结果用4表示).

【答案】

77

【分析】由网=14可设A(-7,0)、*7,0),结合双曲线的定义可得点C的轨迹，再根据内心

的向量性质可得E为.ABC的内心，进而根据双曲线焦点三角形内心的性质求解即可.

【详解】由网=14,可设4(—7,0)1(7,0),由同-倒=6,

得点C的轨迹是以A乃为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(不含右顶点).

/、

AJJAr

因为以)是必(7的角平分线，且BE-ZM=AE=2।~|+|一।(2>0),

眄KIJ

如图，设E(%,为),EM±AC,EQ±AB,EN±BC,

则由双曲线与内切圆的性质可得，忸C=|AMTBN|=|AQ|-忸Q|=6,

又|A0+|攸2|=14,所以，忸。|=7-3=4,...BE在°上的投影长为4,

42

则郎在。上的投影向量为77。=三。-

147

2

故答案为：

15.已知抛物线C：Y=2py（p>0）的焦点为F,准线为/,点。（2,%）在抛物线上，点K为/

与>轴的交点，且|QK|=0|QF|,过点尸（4,2）向抛物线作两条切线，切点分别为则

AFBF=

【答案】1

【分析】根据题目条件，先求出抛物线的标准方程，然后求出直线A3的方程，联立消y,

利用韦达定理即可求得本题答案.

22

【详解】把点。（2,%）,代入抛物线C:d=2py（"0）,得％=一,则点。（2,一）,

PP

作。〃虫，垂直为a,^\QF\=t,所以|QK|=",|。叫=人易知|"K|=2,

在Rt=。"中，因为。82+印1=。片，即》+2?=（"了，得t=2,

所以|。"|=2+§=2,得p=2,所以抛物线标准方程为：x2=4y,

设A,8两点的坐标分别为（尤1,%）,（々,必），

因为尤2=4y,所以y=；x2,y=；x,y|^=1^；又％:X：,

所以切线总的直线方程为：y-^=^x-x1）,化简得y=

因为经过点P（4,2）,所以2%-必-2=0,同理可得，2x2-y2-2=0,

所以点A8的坐标满足方程2x-y-2=0,即直线AB的方程为2x-y-2=0,

r――c联立消y得，尤2-8x+8=0,

[2x-y-2=0

所以，％1+%2=8,玉%2=8,

所以AF•砥=（一芯,1—%）•（一9/—%）=（—不3—2%）•（—々,3—2々）

=5%142-6（芯+无2）+9=5x8-6x8+9=l

故答案为：1.

-+2尤+1,x<0

16.已知〃无)=尤，若关于x的不等式4y'2(尤)-4(x)+'=0恰好有6个不

—,x>0e

同的实数解，则a的取值范围是.

【答案】(4,5).

【分析】设g(x)=j,可得g'(x)=F，得到函数8⑺的单调性与极大值，画出函数“X)

的图象，如图(1)所示，根据题意转化为/z(r)=4er+：的图象与y=a在fe(O,')内有2个

不同的交点，结合从。的图象和函数的性质，即可求解.

【详解】设g(x)=W，xNO,可得g'(x)=W，

ee

当0<x<l时，g'(x)>0,g(x)单调递增;

当x>l时,g'(x)<0,g(无)单调递减，

所以当X=1时，函数g(x)取得极大值，极大值为g⑴=：,

所以函数、="力的图象，如图(1)所示，

关于X的不等式4e/-2(x)-4'(尤)+工=0恰好有6个不同的实数解，

e

11

等价于4e/一8+―=0在区间fe(0,一)内有2个不同的实根，

ee

即//⑺=4*+、的图象与y在/e(0,；)内有2个不同的交点，

又由函数//(f)=4ef+g的大致图象，如图(2)所示，

则/?(1)=4,/2(g)=5,所以4<a<5,即实数。的取值范围是(4,5).

故答案为：(4,5).

图⑵

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数/(x)=2百sinxsin］/+xj-2cosxsing-xj+l,

⑴求函数的最值；

(2)设一ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若/(A)=2,人=2,且

2sinB+sinC=sinA,求一ABC的面积.

【答案】(1)最大值为2,最小值为-2

Q心B或显

23

【分析】(1)把f(尤)化为“一角一函数”的形式：先用诱导公式把角化为x,再用二倍角公式

把二次项化为一次项，同时把角化为2%,最后用辅助角公式把函数名化为正弦，即可求出

函数的最值；

(2)先求出角A,由余弦定理得到关于凡。的方程，再由正弦定理把己知的方程化简为含“，c的

方程，联立方程组即可解出。的值，再代入三角形的面积公式即可.

［详角军］(1)因为/(x)=26sinxsin((+x)—2cosxsin(q—x)+l

=2A/3sinxcosx-2cos2x+1=JJsin2A:-cos2x

所以/(%)的最大值为2,最小值为-2.

(2)结合(1)可知〃A)=2sin(2AqJ=2,所以5424-2卜1.

/\71(71\17T

因为)，所以三£一二~

AE(。,»2A—0\700

则2A_£4A=g

o23

由余弦定理得cosA==4+c一一。一=1,

2bc4c2

化简得2c+4①.

又2sinB+sinC=JYsinA,由正弦定理可得2b+c=,即4+C=J7Q②.

结合①②得a=c=3或〃=c=—.

33

c17.A373_217.4V3

。=3时，5ABC=-bcsmA=—^-；。一§时，SAABC=-bcsmA=—.

综上，ABC的面积为述或更.

23

18.已知数列｛%,｝的前〃项和为S“，的=3,｛疯｝是公差为1的等差数列.

⑴求｛4,｝的通项公式；

111

7=b+b+b

(2)记2=7^—，Tn\23++b〃,求证：-<Tn<-.

anUn+\32

【答案】(D4=2/T

⑵证明见解析.

【分析】(1)根据等差数列的性质，结合%=s“一Si("之2)即可求解｛疯｝的通项，进而可

得｛4｝的通项；

(2)根据裂项求和可得<=:卜-不］］,再证明不等式.

【详解】(1)由｛后｝是公差为1的等差数列，可得

=i=>=F^+I=>s2=a+1+2^^=>s2—Sj=1+25y,

所以为=1+2^/s^-=3=4=1,

2

所以7^7=5/^"+(〃-1)x1=Sn=nf

222

当〃>2时，Sn_r=(n-l),所以4=Sn-Sn_i=n-(n-1)=2n-l,

当〃=1时，4=d=l也符合，所以%=2〃—1

]=]=lp______L_]

anan+i（2H—l）（2n+l）2\2n—l2H+1J

所以4+H+&+…+

所以［一1<ixl=i

2n+l22

当"=1时，2〃+1取到最小值3,此时北取到最小值g.

所以gw7；＜g.故得证.

19.已知，正三棱柱48C-A4cl中，AA,=2,AC=1,延长CB至。，使CB=BD.

D

⑴求证：CA±D\；

(2)求平面BtAD与平面ADC所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)平

【分析】(1)通过底面的边角关系可得NDAC=90,94,6,进而可证得。4，平面44。，

从而得证；

(2)法一：取AD中点E,联结用E,可证得NBE6为二面角片-AO-C的平面角，从而

得解.

法二：建立空间直角坐标系用向量的方法求解.

【详解】(1)因为是正三棱柱ABC-A4G，所以用，。4,

AB=BC,5.^BAC=^BCA=60,从而/£＞朋=120

又CB=BD,所以==,

ZDAC^ZDAB+ZBAC=9Q,即D4_LC4,

又A4(=A,AAj、DAc面AAD,

.•.C4_L平面AAD,又£＞4u面AA。，

CA1D\

(2)解法一：取AD中点E,联结瓦瓦所以BE〃&C,

4

又D4JLC4,故D4J_BE,

因为881_L平面ABC,D4u面ABC,所以。4_124，

又BEcBB[=B,BB[、BEu面BBjE,

所以ZM_L平面BB|E,又B[Eu面BB[E,所以D4_LB[E,

所以ZBEB,为二面角B,-AD-C的平面角，

因为BE=LAC=L,BB】=2所以=毁=4,

22BE

平面B}AD与平面ADC所成锐二面角的余弦值为客.

解法二：以直线AD为x轴，直线AC为y轴，直线AA为z轴建立空间直角坐标系.

=(\/§\0,0),AB[=-^-,—,2

\7

设平面的一个法向量々=（〃,匕卬）,

AD-%=yfiu=0

则J31

AB.,a.,=—u—v+2w=0

1122

令w=l,fflv=-4,所以々=（0,<1）,

又平面ACB的一个方向量4=（0,0,1）,

设二面角耳-C的大小为a,

-1#7

贝Icosa=%.几2

时.国A/1717

平面BXAD与平面ADC所成锐二面角的余弦值为*.

20.2016-2020年广西城乡居民人均可支配收入的柱形图如下图所示.

□农村居民人均可支配收入

（1）不考虑价格因素,求广西2020年农村居民人均可支配收入的年增长率（结果精确到0.15%）.

（2）现欲了解广西各年城镇居民人均可支配收人y（单位，元）与农村居民人均可支配收入x（单

位:元）是否存在较好的线性关系.设广西2016年城镇居民人均可支配收人为山元，农村居民

人均可支配收人为天元，2017年对应的数据分别为上，须，2018年对应的数据分别为为、

%，2019年对应的数据分别为以，匕，2020年对应的数据分别为%,%.根据图中的五组

数据，得到关于x的线性回归方程为a=1.75+相，试问y关于x的线性相关系数厂是否大

于0.95,并判断y与x之间是否存在较好的线性关系.

参考数据：1・7株£（%-12522）2.21732390,£（%-方206140,7127090^356.

IVi=l

fany）

附：样本的相关系数丁=In11nr，

丁丁

t（七-丁）（》-9）

线性回归方程9=意+4中的系数方=『-----------，a=y-bx.

i=l

【答案】⑴8.3%

⑵r>0.95,y与尤存在较好的线性关系

【分析】（1）由增长率定义求解;

5

（2）求出求出无，再由已知5=1.71求出L71xZ（x,-12522）2,21732390,根据相关系数公

Z=1

式求出r.

【详解】（1）因为广西2020年农村居民人均可支配收入为14815元，广西2019年农村居民

人均可支配收人为13676元，所以广西2020年农村居民人均可支配收入的年增长率为

14815—13676xl0Q%=J1Hx100%«8.3%

1367613576

_10359+11325+12435+13676+1481562610

(2)九二--------------------------------二------=12522,

55

因为y关于X的线性回归方程为亍=1.7卜+机，所以另=1.71,

555

所以2(无，一刀)(%-刃=^(x0-x)-=1.71^(^-12522)«21732390,

1=1i=lZ=1

21732390

X(王-元)2=12709000,

i=lL71

5

工（为-丁）5-9）

2173239021732390八一

所以,i=l«--------------->----------------«0.97,

电"才3560x61403600x6200'

所以厂>0.95,

y与彳存在较好的线性关系.

21.已知函数/(x)=lnx+(l-a)x+l(aeR).

⑴讨论函数〃x）的单调性；

（2）若Vx>0,不等式/（x）<e'-2（a-l）x-。恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】（1）答案见解析

⑵（-M

【分析】（1）首先求出函数的导函数，再对。分aV