上海市2023-2024学年高考冲刺数学模拟试题含解析

上海市青浦一中2023-2024学年高考冲刺数学模拟试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知椭圆工+3=1（。〉6〉0）的焦点分别为片，F2,其中焦点工与抛物线V=2px的焦点重合，且椭圆与抛

ab"

物线的两个交点连线正好过点K，则椭圆的离心率为（）

A.B.72-1C.3-2A/2D.73-1

2.数列｛4｝满足：4+2+”“=4+1，4=1，出=2,S0为其前“项和，贝！JS2O19=（）

A.0B.1C.3D.4

3.阅读下侧程序框图，为使输出的数据为；・，则①处应填的数字为

C.£D.-

4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

0O

AX■>•>1

■■■■,川

K

10

A.—B.3

3

5.一辆邮车从a地往3地运送邮件，沿途共有“地，依次记为4，…4（A为A地，4为3地）.从4地出

发时，装上发往后面地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各

地的邮件各1件，记该邮车到达A,4,...4各地装卸完毕后剩余的邮件数记为q（左=.则知的表达式为

（）.

A.k（n-k+1）B.k（n-k-1）C.n（n-k）D.k（n-k）

6.下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是

（）.

金牌银牌铜牌奖牌

（块）（块）（块）总数

245111228

2516221254

2616221250

2728161559

2832171463

29512128100

3038272388

A.中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势

B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义

C.第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降

D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5

7.集合A={-2,—1,1}乃={4,6,8},M^{x\x^a+b,b^B,x^B}，则集合M的真子集的个数是

A.1个B.3个C.4个D.7个

8.已知集合U=R,A=｛y|y20｝,3=卜卜=«+1卜则d5=()

A.[0,1)B.(0,+oo)C.(1,-HX>)D.

x-y+l>0

9.如果实数无、y满足条件｛y+l>0,那么2尤-y的最大值为()

x+y+lWO

A.2B.1C.-2D.-3

10.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到4、B、。三个贫

困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A县的分法有()

A.6种B.12种C.24种D.36种

11.已知命题2："m=1”是“直线x-my=0和直线x+冲=0互相垂直”的充要条件；命题4：对任意

aeH"(x)=V+a都有零点；则下列命题为真命题的是()

A.(「p)A(w)B.p/\—q)C.pwqD."4

12.已知P为抛物线/=4x的焦点，点A在抛物线上，且|A司=5,过点R的动直线/与抛物线瓦。交于两点，。为

坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为给出下列四个命题：

①在抛物线上满足条件的点4仅有一个；

②若P是抛物线准线上一动点，贝!||弘|+归。|的最小值为29；

③无论过点p的直线/在什么位置，总有=

④若点C在抛物线准线上的射影为。，则三点3、。、。在同一条直线上.

其中所有正确命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛4｝满足«„+1=3%,且出+%+4=9,则l°gi(%+%+%)=.

3

14.已知a>0,b>0,c>4,且a+/?=2,则竺+工_£+二匠的最小值为.

bab2c-2

15.已知数列｛4｝是等比数列，4=1,。3=36,则为=.

16.定义在R上的奇函数“X)满足〃l+x)=/(l—x),并且当OWxWl时/(x)=2,—l,则〃123)=一

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城

镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.

(1)填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？

城镇居民农村居民合计

经常阅读10030

不经常阅读

合计200

(2)从该地区城镇居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为X,若用

样本的频率作为概率，求随机变量X的期望.

附：号=______〃(㈤一姐之_______

其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

j)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.(12分)在四边形ABCP中，AB=BC=y/2,ZP=~,K4=PC=2；如图，将R4C沿AC边折起，连结P3,

3

使PB=PA,求证：

(1)平面ABC_L平面PAC；

(2)若产为棱A3上一点，且AP与平面PCF所成角的正弦值为且，求二面角尸―PC-A的大小.

4

19.(12分)已知数列｛%｝的各项均为正数，S”为其前”项和，对于任意的“eN*满足关系式2S”=34-3.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设数列｛an｝的通项公式是%=---------------,前〃项和为Tn,求证：对于任意的正数"，总有Tn<-.

10g3TOg3an+24

20.（12分）棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别

种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取21根棉花纤

维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于311相加的为“长纤维”，其余为“短纤维”）

纤维长度(0,100)[100,200)[200,300)[300,400)[400,500]

甲地（根数）34454

乙地（根数）112116

（1）由以上统计数据，填写下面2*2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过L125的前提下认为“纤维长度与土壤

环境有关系”.

甲地乙地总计

长纤维

短纤维

总计

n(ad-bcf

附：（1）k-=

(t?+b)(c+d)(a+c)(£»+d)

（2）临界值表;

2

P(K>k0)1.111.151.1251.1111.1151.111

ko2.7163.8415.1246.6357.87911.828

（2）现从上述41根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这

8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为X,求X的分布列及数学期望.

21.（12分）如图，已知四棱锥尸—A5CD的底面是等腰梯形，AD//BC,AD=2,BC=4,ZABC=60°,^\PAD

为等边三角形，且点P在底面ABC。上的射影为AD的中点G,点E在线段6c上，且CB:EB=1:3.

B

（1）求证：Z）E_L平面上4D.

（2）求二面角A—PC—D的余弦值.

x=-l+2cos（z»

22.（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为0.（9为参数）.以坐标原点为极点，x轴正

y=2sin°

半轴为极轴，建立极坐标系.已知点P的直角坐标为（-2,0）,过尸的直线/与曲线C相交于"，N两点.

（1）若/的斜率为2,求/的极坐标方程和曲线C的普通方程；

,、UULOUUL^—一

（2）求PATPN的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

220+3

2_,2(1---P--~------------2

4

根据题意可得易知c管且＜a—，解方程可得，,再利用e?=:c即可求解.

2222_立+12a

pb+4pa=4a2b2P

.2

【详解】

a二点生

/一/上P~

易知c=e,且＜4

4

2/=忘+1

p2b2+4p2a2=4a2b2P2

2

「2L/-------

故有e?=/=3—2班，则e=，3-20=&-1

故选：B

【点睛】

本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题

2、D

【解析】

用〃+1去换4+2+4=4+1中的"，得4+3+4+1=。”+2，相加即可找到数列｛4｝的周期，再利用

52019=336s6+q+%+%计算.

【详解】

由已知,。2+4=%+1①，所以4+3+4+1=4+2②，①+②，得4+3=—%，

从而4+6=4,数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1,2,1,-1,-2,-1,所以$6=0,

S，oi9=336(%+a2++%)+%+。＞+4/3=0+1+2+1=4.

故选：D.

【点睛】

本题考查周期数列的应用，在求5刻9时，先算出一个周期的和即$6,再将S2019表示成336s6+6+出+%即可，本题

是一道中档题.

3,B

【解析】

考点：程序框图.

分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我

们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案.

解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

Si是否继续循环

循环前11/

第一圈32是

第二圈73是

第三圈154是

第四圈315否

故最后当iV5时退出，

故选B.

4、A

【解析】

根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.

【详解】

由题意，该几何体如图所示：

本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题.

5、D

【解析】

根据题意，分析该邮车到第左站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案.

【详解】

解：根据题意，该邮车到第左站时，一共装上了(力-1)+(力-2)+……("一幻=包二'产生件邮件，

需要卸下1+2+3+……(1)=”容3件邮件,

(2n一1一无)x左kx(k-I)7/7、

贝!14=-------=----------------=k(n-k),

故选：D.

【点睛】

本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题.

6、B

【解析】

根据表格和折线统计图逐一判断即可.

【详解】

A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；

B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；

C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；

D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为——=56,5，不正确

2

故选:B

【点睛】

此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.

7,B

【解析】

由题意，结合集合A,8,求得集合得到集合M中元素的个数，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，集合A={—2,—1,1}乃={4,6,8},xeA,

则"={x|x=a+b,xeA,Z?GB,XGB}=14,6},

所以集合M的真子集的个数为22-1=3个，故选B.

【点睛】

本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合"，再由真子集个数

的公式2〃-1作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

8、A

【解析】

求得集合3中函数的值域，由此求得“I，进而求得Ac

【详解】

由y=6+l»l,得5=[1,4W),所以a6=(YO,1),所以AI加6=[0,1).

故选:A

【点睛】

本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.

9、B

【解析】

解：当直线2x—y=z过点4(0,—1)时，z最大，故选B

10、B

【解析】

分成甲单独到A县和甲与另一人一同到A县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到4县的分法数.

【详解】

如果甲单独到4县，则方法数有C；x用=6种.

如果甲与另一人一同到A县，则方法数有C；x$=6种.

故总的方法数有6+6=12种.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.

11、A

【解析】

先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.

【详解】

当m=］时，直线％-阳=0和直线x+zwy=0,即直线为x—y=0和直线x+y=0互相垂直，

所以“m=1”是直线x-my=0和直线x+my=0互相垂直”的充分条件，

当直线％-加丁=0和直线x+枢V=0互相垂直时，刈2=1，解得加=±1.

所以=1”是直线x-my=0和直线x+my=0互相垂直”的不必要条件.

0：“m=1”是直线x-冲=0和直线％+切=0互相垂直"的充分不必要条件，故。是假命题.

当。=1时，/(x)=f+i没有零点，

所以命题4是假命题.

所以(「。)人(「q)是真命题，〃△(-!4)是假命题，是假命题，。人4是假命题.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象，考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12、C

【解析】

①：由抛物线的定义可知|人典=。+1=5,从而可求A的坐标；②：做A关于准线x=-l的对称点为4,通过分析

可知当4,P,O三点共线时|K4|+|P0]取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值|40|；③：设出直线/方程,

联立直线与抛物线方程,结合韦达定理,可知焦点坐标的关系，进而可求kMB+kMC=Q,从而可判断出NOMB/OMC

的关系；④：计算直线。。,03的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点3、。、。在同一条直线上.

【详解】

解：对于①，设由抛物线的方程得b(1,0),贝!]|AE|=a+l=5,故a=4,

所以4(4,4)或(4,T),所以满足条件的点A有二个，故①不正确；

对于②，不妨设4(4,4),则4关于准线尤=—1的对称点为4(—6,4),

^L\PA\+\OP\=\PA'\+\OP\>\A'o\=452=2y/13,

当且仅当4,尸,O三点共线时等号成立，故②正确；

对于③，由题意知，M(-l,0),且/的斜率不为0,则设/方程为：x=my+l(m^0),

设I与抛物线的交点坐标为％),C(9,为)，联立直线与抛物线的方程为，

x=my+l。

<2二，整理得»-4根y—4=0,则%+%=4根,%%=-4,所以

y^=4x

222

x}+x2=4m+2,XjX2=(my+1)(加％+1)=-4771+4m+1=1

则上+k=%+%=%(-+1)+%(%1+1)=2%+2%+2根5%

MBMC

%]+]x2+1(%1+l)(x2+1)Xj+x2+x1x2+1

OXA777—Dyyix4

=:=0.故的倾斜角互补,所以NQWB=NOMC,故③正确.

4m2+2+1+1

对于④，由题意知。(一L%),由③知，%+%=4山,%%=-4

=

则上08=&=—，48=一丁2>由唯一%=一+V2---匕立■=(),

七%%%

知k°B=koD，即三点3、。、。在同一条直线上，故④正确.

故选:C.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的

斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-5

【解析】

数列｛?｝满足知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得l°gJ%+%+a9)的值即

可.

【详解】

an+i=,

•・•数列｛〃〃｝是以3为公比的等比数列，

又4+“4+4=9,

/.%+。7+“9=9X33=359

5

log1(%+%+%)=-to1g33=-5

3

故答案为：—5.

【点睛】

本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题.

14、包।

2

【解析】

由2=丝土21,先将?变形为5-+”,运用基本不等式可得最小值，再求

2bab24ab

&c+昱=s/5[-(c-2)+,+1]的最小值，运用函数单调性即可得到所求值.

2c-22c—2

【详解】

解：因为〃>0,b>0,c>4,且〃+/?=2,

_c(2a2+2-ab)逐

2abc—2

/7、2C2(〃+人)21

因为2="十为一,所以2a2+2-仍2矿+-2ab

2-----------=------------------

『2ablab

_5/+匕2〉2亚ab_y/5

4ab4ab2

当且仅当人=可时，取等号，

cc，5(a1，5

bab2c-2\bab2)c-2

C(2〃2+2-ab)y/5

labc-2

=闻9-2)+工+i]

2c-2

令t=c-2(?>2),则^5[—(c—2)H-------F1]=A/5(—tH—l-1)，

2c-22t

令/'(/)=e/+?+l(/22),贝！Jf⑺=/一户>0,

所以函数f(t)在[2,+8)上单调递增，

所以1y«)2/(2)=%x2+g+l=g

所以君[工(c—2)+^—+1]=&(l/+!+1)»君乂2=施

2c—22t22

则所求最小值为反5

2

故答案为：

2

【点睛】

此题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形和满足的条件：一正二定三相等，考查利用单调性求最值，考查化简

和运算能力，属于中档题.

15、±6

【解析】

根据等比数列通项公式，首先求得彘然后求得的.

【详解】

设｛4｝的公比为4,由。1=1,。3=36,得q2=36,q=±6,故g=±6.

故答案为：±6

【点睛】

本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.

16、-1

【解析】

根据所给表达式，结合奇函数性质，即可确定函数/(%)对称轴及周期性，进而由OWxWl的解析式求得了(123)的

值.

【详解】

/⑺满足〃l+x)=〃l—X),

由函数对称性可知““关于X=1+x；j=1对称，

且令x=l+x,代入可得〃2+x)=/(r),

由奇函数性质可知一/(%)=/(-x),所以/(2+x)=-/(x)

令x=2+x,代入可得〃4+x)=—/(2+x)=/(%),

所以/(%)是以4为周期的周期函数，

则〃123)=/(4x31—1)=〃-1)=一〃1)

当OWxWl时/(x)=2，—1,

所以〃1)=2-1=1,

所以/(123)=_/(1)=—1,

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查了函数奇偶性与对称性的综合应用，周期函数的判断及应用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

25

17、(1)见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(2)E(X)=—

【解析】

(1)根据题意填写列联表，利用公式求出R2,比较K?与6.635的大小得结论;

(2)由样本数据可得经常阅读的人的概率是则乂〜吕，,]],根据二项分布的期望公式计算可得;

【详解】

解：(1)由题意可得:

城镇居民农村居民合计

经常阅读10030130

不经常阅读403070

合计14060200

贝q个=200x(100x3。-40x30)2。＞,

所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.

(2)根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率是g,且所以随

525

机变量X的期望为E(X)=5x-=—.

77

【点睛】

本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的数学期望的计算，考查运算求解能力，属于基础题.

18、(1)证明见详解；(2)2

6

【解析】

(1)由题可知，等腰直角三角形ABC与等边三角形P4C,在其公共边AC上取中点O,连接08、OP,可得

OB±AC,OP±AC,可求出OP=6.在△0P3中，由勾股定理可证得03,结合OPcAC=O,可证明

OB_L平面P4C.再根据面面垂直的判定定理，可证平面ABC_L平面PAC.

(2)以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,由点尸在线段A5上，设AE=MA5(0<1),

得出C歹的坐标，进而求出平面。尸。的一个法向量〃.用向量法表示出AP与平面PC尸所成角的正弦值，由其等于

息,解得".再结合为平面PAC的一个法向量，用向量法即可求出〃与08的夹角，结合图形，写出二面角

4

尸―PC—A的大小.

【详解】

证明：(1)在AB4C中，PA=PC="P=—

3

.•.△PAC为正三角形，且AC=2

在ABC中，AB=BC=6

ABC为等腰直角三角形，且AB，5c

取AC的中点。，连接08,。尸

:.OB±AC,OP±AC

OB=1,OP=6,PB=PA=2,

:.PB2=OB2+OP-，

：.OPLOB

OPAC=O,AC,OPu平面PAC

O3_L平面PAC

O3u平面ABC

..平面ABC±平面PAC

(2)以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系孙z,则

A(0,-l,0),B(l,0,0),C(0,l,0),P(0,0,,

AB=(I,I,O),AP=(O,I,6),

CP=(0,-1,石),CA=(0,-2,0),

设AF=mAfi(0<m<l).贝!1CF=CA+AF=(m,m-2,0)

设平面PFC的一个法向量为n=(x,y,z).则

n-CF=0

nCP=0

mx+y(m-2)=0

-y+A/3Z=0'

2-m[-

l,%=------73

令y=6，解得jm

Z=1

AP与平面PFC所成角的正弦值为正,

4

.“AP_2百_旦

…川川;5(2-附2]=不

NqIJ,十D十1-

Vm

整理得3疗+4m—4=0

2

解得加=耳或加=一2(含去)

:.n=(2区区》

又OB为平面PAC的一个法向量

n-OBy/3

/.cos(n,OB)=

HH=T

TT

二.〈tt,OB〉=—,

二面角F—Q4—C的大小为占.

o

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，向量法解决线面角、二面角的问题,属于中档题.

19、(1)a”=3"(2)证明见解析

【解析】

(1)根据公式an=Sn-S“T得到an=3a„_1(n>2),计算得到答案.

(2)b^\---M,根据裂项求和法计算得到+：—一二-一二

n得到证明.

2\nn+2)212〃+1"+2

【详解】

⑴由已知得(〃之2)时,2(S〃-S”_J=3a“-3%,^an=3>an_x(n>2).

故数列｛4｝为等比数列，且公比4=3.

又当〃=1时，2a1=3%-3,，q=3.，a“=3".

____1____=

log3«„-log3tz;i+2n(n+2)2^nn+2J

•，=2+仇++H

\nn+2JJ

【点睛】

本题考查了数列通项公式和证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.

20、（1）在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）可以根据所给表格填出列联表，利用列联表求出K?，结合所给数据，应用独立性检验知识可作出判断;

（2）写出X的所有可能取值，并求出对应的概率，可列出分布列并进一步求出X的数学期望.试题解析：（I）根

据已知数据得到如下2x2列联表：

甲地乙地总计

长纤维91625

短纤维11415

总计212141

根据2x2列联表中的数据，可得K2=4°（9X4T6XH）°5227>5024

25x15x20x20

所以，在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.

（II）由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为二x8=3,

40

X的可能取值为：1,1,2,3,

P（x=。）喀备P（x=g警端

中=2）=华=空，P（X=3）=4=—.

\/a455\）*455

X的分布列为:

X1123

3344654

P

9191455455

:.E（X）=Ox至+lx”+2x且+3x4=空，.

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