安徽2023-2024学年高考考前模拟数学试题含解析

安徽2023-2024学年高考考前模拟数学试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（）

俯视图

A.275B.4C.2D.20

y<x

2.已知不等式组卜2-x表示的平面区域，、的面积为9,若点J)-',则二丁的最大值为()

x<a

A.3B.6C.9D.12

3.已知函数/(x)=(x—a—1)/,若2°=腕26=。,则()

A.f(a)<f(b)<f(c)B.f(b)<f(c)<f(a)

C.f(a)<f(c)<f(b)D.f{c)<f(b)<f(a)

4.若复数z满足(l+i)z=i(i是虚数单位)，贝!!z的虚部为()

111.1.

A.—B.----C.—ID.----1

2222

5.设直线/过点A(0,—1),且与圆C：d+y2—2)=o相切于点3,那么我.屁=()

A.±3B.3C.粗D.1

6.J+x+y]的展开式中工、2的系数是()

A.160B.240C.280D.320

冗冗

7.已知函/(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,xe,则/(x)的最小值为()

A.2-72B.1C.0D.-V2

,、,、=a+10/>„a

8.已知正项数列{%},{2}满足：7",设G=力，当。3+。4最小时，。5的值为()

[2+1=4+4明

14c

A.2B.yC.3D.4

9.已知口为抛物线/=4x的焦点，点4在抛物线上，且卜耳=5,过点口的动直线/与抛物线瓦C交于两点，。为

坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为给出下列四个命题：

①在抛物线上满足条件的点4仅有一个；

②若P是抛物线准线上一动点，贝！)归4|+|尸。|的最小值为2而；

③无论过点厂的直线/在什么位置，总有NOMB=NQ0C；

④若点C在抛物线准线上的射影为。，则三点3、。、。在同一条直线上.

其中所有正确命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

10.已知4=卜卜|<1},3={,2'<1},则AB=()

A.(—1,0)B.(°」)C.(—1,+8)D.(TO』)

2%(%<0)

11.已知函数/(%)二一,且关于x的方程/(x)+x-。=0有且只有一个实数根，则实数，的取值范围

Inx(x>0)

().

A.[0,+oo)B.(1,-Hx))C.(0,+oo)D.[-oo,l)

22

12.设耳,E分别为双曲线=-==1(。>0,6>0)的左、右焦点，过点片作圆好+丁2=标的切线，与双曲线的左、

ab

右两支分别交于点P,Q,若|QE|=|PQI,则双曲线渐近线的斜率为()

A.±1B.±(73-1)C.土(G+l)D.±75

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（x+工—2）4的展开式中/的系数为.

X

14.三对父子去参加亲子活动，坐在如图所示的6个位置上，有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有种（比

如：B与D、3与C是相邻的，4与。、C与。是不相邻的）.

15.设歹为抛物线C：V=4x的焦点，A3,。为C上互相不重合的三点，且|4斤|、|8/|、可成等差数列，若

线段AD的垂直平分线与x轴交于E（3,0）,则3的坐标为.

16.已知Rd公=〃，则（x+y+1）”展开式中/,的系数为一

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知椭圆E：4+^=1的离心率为e=Y3,且短轴的一个端点5与两焦点A,C组成

a2b22

的三角形面积为四.

（I）求椭圆E的方程；

（II）若点尸为椭圆E上的一点，过点尸作椭圆E的切线交圆。：好+/=”于不同的两点"，N（其中M在N

的右侧），求四边形AQBN面积的最大值.

18.（12分）如图，在四棱锥尸-A5CD中，底面ABC。，底面ABC。是直角梯形，〃为侧棱上一点,

已知BD=2,BC=26,CD=4,DP=4,DM=3.

（I）证明:平面平面PBD；

（II）求二面角A—AW—C的余弦值.

19.（12分）车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件，对之前加工的100个零件的加工时间进行

统计，结果如下：

加工1个零件用时X（分钟）20253035

频数（个）15304015

以加工这100个零件用时的频率代替概率.

（D求X的分布列与数学期望EX;

（2）刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座，用时40分钟，另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零

件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.

20.（12分）选修4-5：不等式选讲

设函数二。：）=口一口卜口<。.

（1）证明:入二）十二（一百然;

（2）若不等式」（匚）.+二:二的解集非空，求二的取值范围.

21.（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通

过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示.

组别[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频数2515020025022510050

（1）已知此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（〃,210）,〃近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该

组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求尸（36<Z<79.5）；

（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.

（i）得分不低于〃的可以获赠2次随机话费，得分低于〃的可以获赠1次随机话费；

（ii）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.

赠送的随机话费/元2040

3_£

概率

44

现市民甲要参加此次问卷调查，记X为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望.

附：,210h14.5，若X,则P（〃—cr<X+=0.6827,P（//-2cr<X<//+2cr）=0.9545,

-3b<XW〃+3b）=0.9973.

22.（10分）［选修4-4：极坐标与参数方程］

x-A/2+A/2costz

在直角坐标系X0y中，曲线G的参数方程为土厂(a是参数)，以坐标原点。为极点，X轴的正半轴

y=12sina

为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为夕=4sin，.

(1)求曲线G的极坐标方程和曲线G的直角坐标方程；

(2)若射线夕=尸［0<〃<|^与曲线G交于0,A两点，与曲线交于0,3两点，求+可取最大值时tan6

的值

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.

【详解】

根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：

由三视图知：|">|=2,\CE\=V3,\SD\=2,

所以,q=\DC\=2,

所以W=J⑼2+留2=2痣，阂=+忸4=2亚，

所以该几何体的最长棱的长为272

故选：D

【点睛】

本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

2、C

【解析】

分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出。=3,然后分析平面区域多边形的各个顶

点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.

详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：

则A(a,a),B(a,—a),所以平面区域的面积S=--a-2a=9,

2

解得。=3,此时A(3,3),3(3,—3),

由图可得当z=2x+y过点A(3,3)时，z=2x+y取得最大值9,故选C.

点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目

标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最

优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相

应的方法求解.

3、C

【解析】

利用导数求得了(九)在(氏―)上递增，结合y=c与＞=2£»=叫2羽丁=》图象，判断出”,仇C的大小关系，由此

比较出了(。)"仅)"(C)的大小关系.

【详解】

因为/4x)=(x-a)e\所以/(X)在3,y)上单调递增；

在同一坐标系中作V=c与y=22y=log2x,y=x图象，

a

2=log2b=c,可得a<c<6,故.于(a)〈于(c)〈于(b).

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查数形结合的数学思想方法，属于

中档题.

4、A

【解析】

由(1+。z=z•得z=，，然后分子分母同时乘以分母的共朝复数可得复数z,从而可得z的虚部.

1+i

【详解】

因为(l+i)z=i,

5iz(l-z)i-i2z+111.

1+Z(1+0(1-0i-i1+122

所以复数Z的虚部为

2

故选A.

【点睛】

本题考查了复数的除法运算和复数的概念，属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共朝复数，转化

为乘法运算.

5、B

【解析】

过点4(0,—1)的直线/与圆C：f+y2—2y=o相切于点3,可得花.陇=0.因此

ABAC^AB^AB+Bc\^AB+ABBC=AB1=AC-r2>即可得出.

【详解】

由圆C：犬+>2-2y=0配方为/+(y-l)2=l,

c(o,l),半径r=1.

•••过点4(0,—1)的直线/与圆C：x2+y2-2y=0相切于点B,

•••ABBC=0；

•*.AB-AC-AB-(A5+BC^=AB+AB-BC-AB"=AC-r~=3；

故选：B.

【点睛】

本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.

6、C

【解析】

首先把［+X看作为一个整体，进而利用二项展开式求得V的系数，再求［工+X)的展开式中xT的系数，二者相乘

即可求解.

【详解】

由二项展开式的通项公式可得9+X+/］的第厂+1项为4+1=4卜+力/，令r=1,则(=c；p+x)V，

又［工+x］的第r+1为xr=C；x2r-\令r=3,贝！］烯=35,所以犷成？的系数是35x8=280.

故选:C

【点睛】

本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.

7、B

【解析】

/(x)=V2sin(2x+-)+2,xe—,—2V2x+工〈至利用整体换元法求最小值.

4L44J444

【详解】

由已知，/(x)=1+2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+2=A/2sin(2x+?)+2,

又一JwxwJ,9<2x+£〈号，故当2x+J=—彳，即》=—：时，f«in=l.

44444444

故选：B.

【点睛】

本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题.

8、B

【解析】

nQ

ra.=a+10&-^=1+-----]9.9

由丁，得2+i4口，即％+1=1+—7，所以得。3+。4=。3+1+—7,利用基本不等式求出最

〔%=4+勿r1g+iq+i

小值，得到。3=2,再由递推公式求出C5.

【详解】

r»10

。“+1=4+10%坦4+1an+10b“bn9

.2+1=4+勿an+bn组+12+1

bnbn

9

C3+。4=。3+1+'—726,当且仅当C3=2时取得最小值,

c3+l

9914

此时。4=1+'------7=4，。5=1+'―T

q+1Q+1y

故选：B

【点睛】

本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.

9、C

【解析】

①：由抛物线的定义可知|4同=。+1=5,从而可求A的坐标；②：做A关于准线x=-1的对称点为A',通过分析

可知当A；P,O三点共线时|B4|+|P0]取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值|A'0|；③：设出直线/方程,

联立直线与抛物线方程,结合韦达定理,可知焦点坐标的关系，进而可求kMB+kMC=Q,从而可判断出ZOMB,ZOMC

的关系；④：计算直线。。,03的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点3、。、。在同一条直线上.

【详解】

解：对于①，设4(。力)，由抛物线的方程得尸(1,0),贝!]|AF|=a+l=5,故a=4,

所以4(4,4)或(4,T),所以满足条件的点4有二个，故①不正确；

对于②，不妨设4(4,4),则A关于准线l=—1的对称点为4(—6,4),

^L\PA\+\OP\=\PA'\+\OP\>\A'o\=452=2y/13,

当且仅当4,尸,O三点共线时等号成立，故②正确；

对于③，由题意知，M(-l,0),且/的斜率不为0,则设/方程为：x=7ny+l(m^0),

设I与抛物线的交点坐标为%),C(%,%)，联立直线与抛物线的方程为，

x=my+l。

<2二，整理得》-4根丫—4=0,则%+%=4/〃,％%=-4,所以

y=4%

22

x,+x2=4m+2,xxx2=+1)+1)=~4rrr+4/12+1=1

所“=%+为=%(%2+1)+%(七+1)=2%+2%+2岫%

MBMC

玉+1x2+1(%1+l)(x2+1)+x2+xvx2+1

Dx4^/7_QYYIx4

=:=0.故的倾斜角互补,所以NOAffi=NOMC,故③正确.

4m2+2+1+1

对于④，由题意知。(一L%),由③知，%+%=4瓶,%%=-4

则kOB=&=-，尢”>=一%，由自B_&>£>=—+，2=---匕匹=0,

七%为%

知k°B=koD，即三点3、。、。在同一条直线上，故④正确.

故选:C.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的

斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.

10、D

【解析】

分别解出集合4民然后求并集.

【详解】

解：A=卜料<1}={x|-4<x<1},<1}={x|x<0}

A,B=(-oo,l)

故选：D

【点睛】

考查集合的并集运算，基础题.

11,B

【解析】

根据条件可知方程/(%)+%-。=0有且只有一个实根等价于函数y=/(x)的图象与直线y=-x+a只有一个交点,

作出图象，数形结合即可.

【详解】

解：因为条件等价于函数y=/(x)的图象与直线y=-*+a只有一个交点，作出图象如图，

由图可知，<7>1,

故选:B.

【点睛】

本题主要考查函数图象与方程零点之间的关系，数形结合是关键，属于基础题.

12、C

【解析】

如图所示：切点为"，连接OAf,作PNLx轴于N,计算归周=2匹归阊=4d|PN|=^，⑶N|=*,

cc

根据勾股定理计算得到答案.

【详解】

如图所示：切点为"，连接，作ZWJ_x轴于N,

\Q^-\QF2\=\Q^+\PFi-\QF2\=\PFi=2a,故|尸阊=4匹

在放中，smZMFxO=-,故cosNMGO=。，故|尸网=肛，闺N|=必，

根据勾股定理：164=（+[2。-9],解得，=3+1.

本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、28

【解析】

将已知式转化为（X+L-2）4=0?，贝!|（X+^-2）4的展开式中％2的系数（X—1）8中的系数，根据二项式展开式

XXX

可求得其值.

【详解】

一(工+工一2)4=叵二字=gE，所以(X+^—2)4的展开式中12的系数就是(x—l)8中的系数，而(x—1)8

XXXX

中X6的系数为Cf-(-1)2==28,

二展开式中炉的系数为《=28

故答案为：28.

【点睛】

本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的募的形式转化为可求的二项式的形式,

属于基础题.

14、192

【解析】

根据题意，分2步进行分析：①，在三对父子中任选1对，安排在相邻的位置上，②，将剩下的4人安排在剩下的4

个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】

根据题意，分2步进行分析：

①，在三对父子中任选1对，有3种选法，由图可得相邻的位置有4种情况，将选出的1对父子安排在相邻的位置，

有3x4=12种安排方法；

②，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，有2义2义2义2=16种安排方法，

则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法16x12=192种；

故答案为：192

【点睛】

本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

15、(1,2)或(1,—2)

【解析】

设出4瓦。三点的坐标，结合等差数列的性质、线段垂直平分线的性质、抛物线的定义进行求解即可.

【详解】

抛物线C:/=4x的准线方程为：x=-l,设4(占,%),3(々,%)，。(毛,％),由抛物线的定义可知：

|”|=七一(一1)=内+1,尸|=w—(—1)=%2+1，|£>F|=X；-(-1)=X3+1,因为|4/|、|8斤|、］。尸|成等差

数列，所以有2|3/|=|。口+|AP|,所以马=土受，

因为线段AO的垂直平分线与x轴交于E(3,0),所以胡=应),因此有

J(3-国产+yj=J(3-室)?+??=>9—6%+Xy+4%=9—6退++4退9化简整理得：

(玉-九3)(玉+$—2)=0=>X=%3或再+%3=2・

若药=%，由々=%；七可知;%=々=七，这与已知矛盾，故舍去；

若X]+£=2,所以有x2="；项=],因此于=4々=4=>%=±2.

故答案为：(L2)或(1,-2)

【点睛】

本题考查了抛物线的定义的应用，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.

16、1.

【解析】

由题意求定积分得到〃的值，再根据乘方的意义，排列组合数的计算公式，求出展开式中/y的系数.

【详解】

042

,已知1》3公=—=4=n,贝！I(x+y+1)"=(x+y+1)4,

24o.

它表示4个因式(x+y+1)的乘积.

故其中有2个因式取X,一个因式取y,剩下的一个因式取1,可得-y的项.

故展开式中x2y的系数c]C；•C：=12.

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查求定积分，乘方的意义，排列组合数的计算公式，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

丫2

17、(I)—+y2=1；(II)4.

4

【解析】

(I)结合已知可得g=走，6c=百求出”，8的值，即可得椭圆方程；

a2

(II)由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得加2=4左2+1,

联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得5AMe。+5AAN。，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出

SAMON9得至！ISAC=S\MON+S^co+S^o,整理后利用基本不等式求最值.

【详解】

解：（I）可得£=走，bc=6结合a1=b2+c2,

a2

解得a=2,c=邪,b=l,得椭圆方程?+y2=i；

(II)易知直线肱V的斜率兀存在，没MN：y=kx+m,

由,得(4左2+1)%2+8输+4(m2_1)=0,

222

由△=64/忆2_16(4/+l)(m-l)=0,^m=4Z:+l,

9

•SACMN~S^fON+S^co+S^ANO

设点O到直线MN：丘-y+m=o的距离为d,

2

，\MN\=2yl\OM\2-d2=24-m

k2+l

2

SAMQN=5义2,4—m|m\

—oX—/~=—[---------------(—

人+1yjl+k2y/l+k2y/k2+1k2+l

‘履：1n,得(左2+1)12+2^^+w2-4=0,

由《

x+y=4''

—2kmm2-4

…2=铲下…2=百口

/.%+%=Ax,+根+牝+zn二女(玉+x2)+2m

2km2m

=k+2m=

l+lr+1

®|x|+|%|)=¥(lX+%l)=

••^AMCO+SgfAO=5X

••SACMN=S^JON+(SkNAO+S^JCO)=_+c

k-+lk2+l

而帆2=4左2+1,易知人220,.则同之1,

_273\m\_86\m\_8+<8上_

四边形ACMV的面积3=切2_],=徵2+3=3一亚=’

+]\m\+n

4-------------------11\m\

3

当且仅当而IT加I,即冽=±3时取"=”.

本题考查了由”,仇c求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于难题.

18、(I)证明见解析；(II)—叵.

4

【解析】

(I)先证明BCLPD,再证明3CL平面尸如，利用面面垂直的判定定理，即可求证所求证；

(II)根据题意以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面A3M和平面BMC的向量，利用公式

即可求解.

【详解】

(I)证：由已知得8ZP+8C2=C£>2.BCLB。

又平面ABC。，BCu平面ABC。，ABC±PD,

而正£>仆6£>=。故，3C，平面PBD

.BCu平面P5C,二平面P5CJ_平面尸3£)

(II)由(I)知5CL6D,推理知梯形中A6//CD,AD±AB,AD1DC,

有+，又NBCD+NBDC=90，故ZADB=NBCD

所以AABD相似ABDC,故有理=处，即竺=2=A3=1

BDDC24

AD=>/BD2-AB2=V22-l2=V3

所以，以。ADC,DP为X轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系。-孙Z,

则D(0,0,0),A(A/3,0,0),B(Al,0),C(0,4,0),Af(0,0,3)

AB=(0,1,0),BC=(-A/3,3,0),=(-A-l,3),设平面ABM的法向量为1=(%,%,zj，则

nx-AB=QJ%=0

M],BM=0—-%+3Z]=0

令%=3,则4=石，，勺=(3,0,6)是平面AA/B的一个法向量

设平面BMC的一个法向量为巧=（%,%，z2），

—\/3%2+3%=0

n2-BC=0

n,-BM=0-y。+3^2=0

令％2=3,则%=百

【点睛】

本题考查线面、面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直观想象能力与运算求解能力,

属于中档题.

19、(1)分布列见解析，EX=27.75;(2)0.8575

【解析】

(1)根据题目所给数据求得分布列，并计算出数学期望.

(2)根据对立事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式，计算出刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不

超过100分钟的概率.

【详解】

(1)X的分布列如下：

X20253035

p0.150.300.400.15

EX=20x0.15+25x0.30+30x0.40+35x0.15=27.75.

(2)设X2分别表示讲座前、讲座后加工该零件所需时间，事件A表示“留师傅讲座及加工两个零件示范的总时

间不超过100分钟”，

则P(A)=P(X1+X1<60)=1-P{Xx+X2>60)

=1-[P(X1=30,X2=35)+P(X1=35,X2=30)+P(X1=35,X2=35)]

=1-(0.4x0.15+0.4x0.15+0.152)=0.8575.

【点睛】

本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查对立事件概率计算，考查相互独立事件概率计算，属于中档

题.

20、⑴见解析.

(1)⑼.

【解析】

试题分析：(1)直接计算一1=二：:一一二，由绝对值不等式的性质及基本不等式证之即可；

(1)二二-二二二»=二-二I-二二-二，分区间讨论去绝对值符号分别解不等式即可.

试题解析：(1)证明：函数f(x)=|x-a|,a<2,

贝(If(x)+f(--)=|x-a|+|---a|=|x-a|+|—+a|>|(x-a)+(-+a)|

XXXX

=|x+1|=|x|+合

(1)f(x)+f(lx)=|x-a|+|lx-a|,a<2.

当x<a时，f(x)=a-x+a-lx=la-3x,贝1)f(x)>-a；

当a<x<—f(x)=x-a+a-lx=-x,贝!|--<f(x)<-a；

22

当xA|时，f(x)=x-a+lx-a=3x-la,则f(x)>-则f(x)的值域为[--1,+co).

不等式f(x)+f(lx)得的解集非空，即为之>-"|,解得，a>-1,由于a<2,

则a的取值范围是

考点：1.含绝对值不等式的证明与解法.1.基本不等式.

21、(1)0.8186；(2)见解析.

【解析】

(1)根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数〃的值，再利用数据之间的关系将36、79.5表示为36=〃-2。,

79.5=〃+b,利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率;

(2)根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为工，再结合得20元、40元的概率，分析得出话费的可能数据

2

都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望.

【详解】

35x25+45x150+55x200+65x250+75x225+85x100+95x50「

(1)由题意可得〃=----------------------------------------------------------------二65,

1000

易知er=J210~14,5>36=65—29=65—2x14.5=〃-2cr,

79.5=65+14.5=JU+CT,

：.P(36<Z<79.5)=P(//-2cr<Z<〃+cr)=P(〃-2cr<ZW〃)+P(〃<ZW〃+cr)

尸(〃一2cr<XV〃+2cr)+P(〃一cr<X<〃+cr)0.9545+0.6827.,

=-------------------------------------------=--------------=O.oO1Soo;

22

(2)根据题意，可得出随机变量X的可能取值有20、40、60、80元,

=20)=-x-=-,P(X=40)=-x-+-x-x-=—,

[7248'72424432

1133ill1

p(X=60)=2x-x-x-=—,P(X=80)=-x-x-=—.

')24416、724432

所以，随机变量X的分布列如下表所示：

X