2024届莆田高三3月市质检数学试题含答案

莆田市2024届高中毕业班第二次教学质量检测试卷

数学

本试卷共5页,19小题，满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.i为虚数单位,iz=l+i,则|z|=

A.1B.-JlC.V3D.2

2.若集合4={3,4,5},AHB=[3,4},则集合8可能为

A.[2,3,4}B.[2,3,5}C.[3,5,6}D.{4,5,6}

3.某校高三年级有男生600人，女生400人.为了获得该校全体高三学生的身高信息，采用按比例

分配的分层随机抽样抽取样本，得到男生、女生的平均身高分别为173cm和163cm,估计该校

高三年级全体学生的平均身高为

A.167cmB.168cmC.169cmD.170cm

4.柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点.

六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性.将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连

接可得正八面体（图2）.若正八面体外接球的体积为h，则此正八面体的表面积为

C.273

D.473

痂*#奖卷1市4市、

］-31

5.若P(42)=dP(4)=二,P(2)=T，则

A.事件4与B互斥B.事件4与8相互独立

13-1

C.尸(4+8)=)D.P(AB)=y

6.已知抛物线/=4x的焦点为产，点M在抛物线上.若点Q在圆(彳-3尸+/=1上，

贝！］|M川+|MQ|的最小值为

A.5B.4C.3D.2

7.已知角a的顶点为坐标原点,始边与彳轴的非负半轴重合,把它的终边绕原点逆时针旋转角乃后

经过点］a呼=卷,万［0；)),则sina二

A心3363

B.一D.

656565

8.对于函数y=/(%)和y二g(光)，及区间。，若存在实数使得/(%)^kx+62g(%)对任意冗w。

恒成立，则称y=/(%)在区间D上“优于"y=g(%).有以下四个结论：

①/(%)-COS%在区间R上“优于"g(九)=1-;%2；

②/(%)=tan%在区间卜，上“优于"g(%)=sin%；

③/(%)=ex-1在区间(T,+8)上“优于"g(%)=In(%+1)；

④若/(%)=ax(x-1)在区间(0,+8)上“优于"g(%)=In%,则a=1.

其中正确的有

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、选择题：本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.已知函数/(%)=sin%cos%,则

B./(%)的最大值为1

C.f(x)在10,()上单调递增

D.将函数/(支)的图象向右平移TT个单位长度后与/(")的图象重合

痂*#奖卷O市/+h4市、

10.在正方体43C£>中，点M在平面4CQ上(M异于点C),则

A.直线与CM垂直

B.存在点M,使得

C.三棱锥A-BgM的体积为定值

D.满足直线GM和4a所成的角为三的点M的轨迹是双曲线

11.已知定义在R上的函数/(,)满足：/(支+y)=/(")t/O)-3xy(x+y)，则

A.y=/(x)是奇函数

B.若/(1)=1,贝"(-2)=4

C.若/(1)=-1,则y=/(«)+/为增函数

D.若V”>0,/(%)+%3>0,则y=/(*)+x为增函数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知a=(l,有)，a-b=2,则|a|=,。在a上的投影向量的坐标为.

(本小题第一空2分,第二空3分)

,/T

13.已知八ABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,若cosC=—,a=266,

贝UcosA=.

14.如图，点。是边长为1的正六边形48COE/的中心，/是过

点。的任一直线，将此正六边形沿着/折叠至同一平面上,

则折叠后所成图形的面积的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

已知等差数列｛4｝的前w项和为S.，公差d关0,且a2,。4,g成等比数列，$5=15.

(1)求数列｛*｝的通项公式；

an,n为奇数，

(2)若加=求数列｛i｝的前2n项和T2n.

为偶数,

痂*#奖卷2市/+E4市、

16.(本小题满分15分)

如图，在四棱柱-45孰2中，底面48CZ)为直角梯形,481AD,AB//CD,CD=2AB.

(1)证明：品(?/平面4/q；

(2)若M1平面4BC0,AB=AAt=1,4。=2,

求二面角A,-BD1-D的正弦值.

17.(本小题满分15分)

某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：

顾客投掷3枚质地均匀的骰子.若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张

“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况

不获得“刮刮乐”.

(1)据往年统计，顾客消费额X(单位:元)服从正态分布N(130,25?).若某天该商场有20000

位顾客，请估计该天消费额X在［105,180］内的人数；

附:若X~,则-crWX+(r)«0.6827,P〃-2CTWXWH+2(T)=0.9545.

31

(2)已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为?，刮出乙奖品的概率为1.

(i)求顾客获得乙奖品的概率；

(ii)若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率.

痛叫#兴的“市/+K〈市、

18.(本小题满分17分)

22/V

已知椭圆E：=+4=l(a>b>0)的离心率为?，且E上的点到右焦点的距离的最大值

ab2

为2+万.

(1)求椭圆E的方程；

(2)已知。为坐标原点，对于E内任一点P，直线0P交E于A,C两点，点B，。在E上，且满

足4=2而，求四边形ABCD面积的最大值.

19.(本小题满分17分)

已知函数/(彳)=ex-mx,xe(0,+8).

(1)证明：当mWe时,/(«)，0；

(2)若函数g(支)=f(x)-xlnx-1有两个零点町，Q

(i)求正的取值范围；

/2

(ii)证明：阳+lnx2<m---.

痂*#奖卷<市/+E4市、

莆田市2024届高中毕业班第二次教学质量检测

数学试题参考解答及评分标准

评分说明：

1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要

考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和

难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;

如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

4.只给整数分数.单项选择题和单空填空题不给中间分.

一、选择题：每小题5分，满分40分.

题号I2345678

答案BACDBCAB

二、选择题：每小题6分，满分18分.（本题为多项选择题，每小题中，全部选对得6分，部

分选对的得部分分，有选错的得。分）

题号910H

答案ADACDABD

三、填空题：每小题5分，满分15分.

12.2,（本小题第一空2分，第二空3分）

1厂

13.--14.6V3-9

皿4小r也a田1舌/44-1c\

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.本小题主要考查等差数列、等比数列及数列求和等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推

理能力等；考查化归与转化思想，分类与整合思想，函数与方程思想等；考查逻辑推理，

数学运算等核心素养；体现基础性和综合性.满分13分.

解：方法一：（1）因为%，%，成等比数列，所以。;二的4，.................1分

即（%+3d）2=（/+d）（%+7d）,即a：+6%d+9/2a^+S^d+7d2,

所以I?=axd,............................................................2分

因为"wO,所以％=d.....................................................3分

5x4

又S5=15,所以5q+；—1=15,即q+21=3,..............................4分

所以〃i=d=l,............................................................5分

所以数列｛an｝的通项公式为%=%+—=l+—=〃.................6分

⑵由⑴可得T鬻哉...........

因为b2k+1-%广磔+1）—（2左一1）=2（左eN*）,

所以｛砥1是以1为首项，2为公差的等差数列...............................8分

因为％±1=二21=22=4（左eN*）,

所以也”｝是以4为首项，4为公比的等比数列...............................9分

所以4“=〃+4+…+如

=（4+“+…+仇"_1）+（仇+"+,一+&）................................1。分

=[1+3+…+（2〃-1）]+（22+24+…+2*）

=+4。-叫...............................................12分

21-4

皿4小r也a田cH

4〃+i_4

所以数列｛b,,｝的前2n项和为4="+土................................13分

方法二:（1）因为$5=15,所以5（%；%）=15,..............................................................1分

所以5%=15,即％=3.........................................................................................................2分

因为出，a4,做成等比数列，所以。:二名私，..................................3分

所以（/+"）-=（%—"）（03+54），...........................................................................................4分

即（3+d）2=（3-d）（3+5d）,所以9+6〃+屋=9+121—5屋，即6/=6d,

因为所以d=1,..............................................................................................................5分

所以数列｛4｝的通项公式为g=%+（"_3）d=3+（"-3）xl=〃...............................6分

（2）同方法一.

16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识；

考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数形结合思

想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性.满分15分.

解：方法一：（1）如图，取CQ中点V,CD中点N,连接4",CM,BN,D｝N.

因为/B〃CD,CD=2AB,匹

所以/叱如,立品砂

=/Z

所以四边形即D是平行四边形，所以3N幺40............................................£............1分

又AD&AR,所以所以四边形4即@是平行四边形..............2分

因为442皿，所以四边形44地）|是平行四边形，所以与河〃4A.

又因为U平面4区01,4AU平面48〃，所以4M〃平面4区01....................3分

同理可得CM〃平面4A01...................................................................................................5分

又CA/n4/=M，CA/u平面4cA/,4/u平面4CM,

皿•也i田cH/44-1e-X

所以平面BtCM//平面48n.6分

又gcu平面耳cw,所以gc〃平面4台2.7分

(2)如图，以/为原点，以方，AD,瓯的方向分别为x,y,Z轴的正方向，建立

空间直角坐标系，则

4(0,0,1),5(1,0,0),Z)(0,2,0),A(0,2,1),

所以丽=(一1,2,0),西=(0,0,1),45=(1,0,-1),

设"i=(Xi，M，zJ是平面8。。的法向量，则

饮上°'所以尸+2%=。，所以2=2,,.................................§分

"[•DD]=0,Z=0.12]—0.

取必=1,贝1项=2,所以％=(2,1,0)是平面瓦肛的一个法向量...............10分

设〃2=(%2，%/2)是平面AXBDX的法向量，则

n•A^B=0,x—z=0,

22211分

n2=0,2%=

取Z?=1,则迎=1，所以"2=(1,0,1)是平面的一个法向量...............12分

设二面角A}-BDt-D的大小为9,则

|cos01=1cos<〃],〃2>1=।"J"?।................................................13分

I«1II«2I

12x1+1x0+0x11710，“八

V5xV25

所以sin6=g,即二面角同一班)「。的正弦值为害.....................15分

方法二：(1)证明：如图，取CD中点连接"8,1分

因为48〃CD,CD=2AB,

所以

所以四边形48四。是平行四边形，所以W2分

皿斗M3/-44-1rH、

又所以员/幺42，所以四边形48MA是平行四边形.............3分

因为。0幺48,AB&A[Bi,所以CM幺4耳，................................4分

所以四边形4月。0是平行四边形，所以4C〃4M.............................5分

又耳CU平面43孙，4"u平面/啰闻兀.................................6分

所以BXC//平面AtBMDt,即B.C//平面48n...................................7分

(2)如图，以/为原点，以方，AD,苞的方向分别为x,y,2轴的正方向，建立

空间直角坐标系，则

4(0,0,0),5(1,0,0),2)(0,2,0),

4(o,o,i),乌(i,o,i),，(0,2,1),

所以函=(1,0,1),50=(-1,2,0),西=(0,0,1),

8分

AB・A[B=0,

所以{9分

AB{9AXDX=0,

所以葩=(1,0,1)是平面4Aoi的一个法向量.................................10分

设〃=(x,y,z)是平面8。〃的法向量，则

丽二°，所以尸+2k0，所以[x=2y，...................................U分

n.DDx=0,[z=0.1z=0.

取y=l,则x=2,所以〃=(2,1,0)是平面灰)2的一个法向量.................12分

设二面角4-8,-。的大小为e,则

Icos01=1cos<AB,,n>1=〔]................................................13分

|2xl+lx0+0xl|VlO,3八

=-----r=-r=-----=>.............................................14分

V5xV25

所以sin6=半，即二面角4一8〃一。的正弦值为半......................15分

17.本小题主要考查正态分布，排列组合，条件概率与全概率公式等基础知识；考查数据处理

能力，运算求解能力，逻辑推理能力等；考查统计与概率思想，分类与整合思想等；考查

逻辑推理，数学运算，数据分析，数学建模等核心素养；体现基础性，综合性和应用性.满

分15分.

解：由顾客消费额X服从正态分布N(130,252),得〃=130,。=25,......................1分

所以消费额X在［105,180］内的概率为

尸(105WX(180)=尸(〃-crWXW〃+2cr).......................................................................2分

0.6827+0.9545、八

X................................................................................................................3分

2

=0.8186..................................................................................................4分

所以该天消费额X在［105,180］内的人数约为20000x0.8186=16372.........................5分

(2)记事件同="顾客中龙腾奖”，事件均="顾客中旺旺奖”，事件2="顾客获得乙奖品”，

.......................................................................................................................................................6分

由题意知尸(4)=*=上尸(叫4)=1一g；=［，尸(叫4)=：.............................7分

事件4包括的事件是：“3枚骰子的点数之和为6”，“3枚骰子的点数之和为12”，“3

枚骰子的点数之和为18”，则

①若“3枚骰子的点数之和为6”，则有“1点，1点，4点”，“1点，2点，3点”，“2点，

2点,2点”三类情况，共有C；・C：+H+l=10种;...........................8分

②若“3枚骰子的点数之和为12”，则有“1点，5点，6点”，“2点，5点,5点"，“2点,

4点，6点”，“3点，4点，5点”，“3点，3点，6点”，“4点，4点，4点”六类情况，

共有m+C；C；+W+H+C1C；+1=25种；..................................9分

③若“3枚骰子的点数之和为18”时，则只有“6点，6点，6点”一类情况，共有1种.

与二i、in(A\10+25+1361/\

所以尸(4)=-—=/=%•......................................................................................10分

(i)由全概率公式得尸(5)=尸(4)尸(3|4)+尸(4)?(冏4)..........................................11分

71137

------1——x—=

81664384

即顾客获得乙奖品的概率是々.......................................................................................12分

384

皿4小r也a田/=/44-1c\

(ii)若顾客已获得乙奖品，是中“龙腾奖”而获得的概率是

一尸（4）尸（阴4）....................................................13分

P（B）

17

—X——

=匕/............................................................14分

384

-37,

所以，若顾客已获得乙奖品，是中“龙腾奖”而获得的概率是...............15分

37

18.本小题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，面积公式等基

础知识；考查逻辑推理能力，运算求解能力和创新意识等；考查数形结合思想，化归与转

化思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础

性，综合性与创新性.满分17分.

解：方法一：(1)由题意可得，土=昱,....................................1分

a2

q+c=2+V3,.............................................................2分

所以i=2,c=8,........................................................3分

从而〃=。2_。2=］，........................................................4分

所以E的方程是0+丁=1..................................................5分

4

(2)设点5到直线ZC的距离为d,

因为丽=2两，所以点5到直线NC的距离是点。到直线NC的距离的2倍.……6分

所以四边形ABCD的面积为S=SAACB+SAACD..................................7分

=^\AC\d+^\AC\^

=^AC\d-.......................................8分

①当直线/C垂直于x轴时，MG=2,点8到直线4C的距离d的最大值为2,

皿斗M3/-44-1rH、

3

«5max=-x2x2=3......................................................9分

②当直线/C不垂直于x轴时，可设直线NC的方程为了=日，

，242

代入椭圆方程一+丁=1,整理得，x=---,即x=±7r三肃，............io分

4____1+4产W+4K

所以=4=4尸记...................11分

J1+4后2V4P+1

设过点B与直线AC平行的直线I的方程为y=kx+m,........................12分

代入椭圆方程，+r=1,并整理得，（1+4-）/+8加x+4〃/-4=0,..........13分

由A=(8而z)2-4(1+4/)(4加2_4)20,

得川W4严+1,............................................................14分

,|w-0|V4F+11〈人

所以d=................................................15分

7F+iV^+i

店2c314jl+」2Y4k2+1

所以S=一|/C|——\-=3,..................................16分

414*+17^71

当上=0,且"7=1时，上述等号成立.

综上，四边形N8GD面积的最大值为3.17分

方法二：（1）同方法一.

（2）上同方法一,11分

设5(2cose,sine)，.........................................................12分

\lkcossin0\,,

则d=J——j-------........................................................13分

VFTi

\yj4k2+1sin(0-^)1、，“八

_Ir'(其中tan。=2左)..................................14分

jF+i

W*+l,..........................................................15分

jF+i

当卜in（e-e）|=i时，等号成立.

皿4小r也a田cH/-H-ILH、

所以四边形曲，面积=/电《磊・痣"

s16分

综上，四边形48co面积的最大值为3..............................................................................17分

方法三：(1)同方法一.

(2)因为加=2可5,

所以点B到直线AC的距离是点D到直线AC的距离的2倍....................6分

所以四边形ABCD的面积S=S-cB+S—CD

=//虚.........................................7分

=

3s—OB'.................................................................................8分

设A(2cosa,sina),B(2cos[3.sin/?),..................................................................................9分

则S)OB布卜in〃a.................................................................................................10分

\2

OA^B11分

12分

4cos2a+sin2a)(4cos20+sin2/?)一(4cosacos夕+sinasin/?)213分

2

cos2asin2尸一8cosacos/?sinasin尸+4sin2acos2[3

2

^(cos(7sin-cos(3sintz)2...................................................................................14分

=|sin(；0-a)\

Wl，............................................................................................................................15分

TT

当,—a=]+E/eZ)时，等号成立........................................16分

所以“'OB最大值是1，

所以四边形4BCD的面积的最大值为3.............................................................................17分

皿4小r也3田八=

19.本小题主要考查函数的零点，导数及其应用，不等式等基础知识；考查逻辑推理能力，运

算求解能力，直观想象能力和创新意识等；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类

与整合思想等；考查直观想象，数学运算，逻辑推理等核心素养；体现基础性，综合性和

创新性.满分17分.

解：方法一：(1)f'(x)=ex-m.............................................1分

①当机W1时，/'(x)>1-加20对X£(0,+8)怛成立，

所以/(X)在(0,+oo)上单调递增，

所以.............................................................2分

②当l<mWe时，由/'(x)=0，得x=lnm，

所以当x£(0,lnM时，<0;当X£(1IIM,+OO)时，/'(工)〉0,

所以/(%)在(0,In⑼上单调递减,在(In加,+oo)上单调递增,....................3分

所以/(%)，/(lnm)=elnw-mlnm=，

又因为IvzwWe,所以IIIMWI,所以/'(x)2加(l-ln加)20.....................4分

综上，当加We时，.............................................5分

X-1

x

(2)(i)令g(%)=0，BPe-mx_x\nx-i=Q,所以---m-lnx——=0•

xx

设/(X)=J_inx-■-加，则g(x)有两个零点等价于/(x)有两个零点...........6分

XX

因为小)=24+—飞1),

X2XX2X2

由/'(x)=0,得x=l，

所以当尤e(0,1)时，I\x)<0;当xe(l,+oo)时,I'(x)>0,

所以/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+oo)上单调递增，

所以/(元)，/(l)=e-l-掰..................................................7分

①当机<e-l时，/(x)至多只有一个零点，不合题意，舍去；8分

②当〃z>e-l时，/(1)<0.

皿斗M3任1cH/44-1rM、

ez1-1

取/=ef,贝(II(t)=-----Int------m=----------]nt-m>-In/—m=-ln(e-/M)-加=0,

此时/(x)在七一加,1)上有唯一零点............................................9分

X2

由(1)知e*2ex,得/二便了》©,2,即砂2,.一；

由e"Nex,得ln(e")21n(ex),即x>1+lnx,即lnxWx-l.

4777pr1e?e2

取尸二-....，贝！!/(r)=-----Inr-------m>—r+1—r—1—m=(------V)r—m=0，

e-4rr44

此时/(x)在(1,孚—)上有唯一零点........................................10分

e-4

因此，根〉e-l时，/(%)有两个零点，即g(x)有两个零点.

综上,加的取值范围为(e-1,+8)....................................................................................11分

(ii)由(i)知/(再)=0,BP-----In%,---m=0»即加---In--

xl再再再

欲证玉+In/〈加一“^，只需证项+In/<----lnx1—-—，

2王X12

即证111(项%2)<----------项---e.............................12分

再再~T.

设G(x)=f-x」-电(x>0)，则G，(x)=(xTXe'「l)

xx2x

由e'Nex得e'T》x,所以e'Nx+1(当且仅当％=0时，等号成立),

所以，当尤>0时，er-x-1>0.

令G'(x)=0,得x=l，所以当xe(0,l)时，G'(x)<0;当xe(l,+oo)时，G'(x)>0,

所以G(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

V2O3分

所以G(x)》G6=e-l-l->

V21

4分

要证ln(X1X2)<-----xt---

xxxx

令/(x)=/(x)-心(x》l),

X

:11

贝I」尸(x)=r(X)+4/心=eT,xT)+-L.-_'_I=(xT)(e-：e，+xJ,

XXXX1X

....................................................................................................................................................15分

皿丛林但任it—/-4+1c\

1_L]J.

令加(x)=e"-xex+x-1(x1),则mr(x)=ex-ex+—ex+1,

x

1-

因为xNl,所以0<—Wl,所以e“>e"

x

所以W(x)>0对X£(1,+00)恒成立，

所以m(x)在(1,+co)上单调递增，

所以m(x)2m(l)=0.

所以当X£(l,+o))时，Fr(x)>0,所以尸(X)在(1,+00)上单调递增，

所以当x>l时，F(x)>F(l)=0,即/(x)>/p)..............................16分

X

若0<%<1<.，则/(%)>/(')，所以/(%)>/(▲)，

x2x2

因为/(%)在(0,1)上单调递减，所以玉<，,BPx,x2<1;

x2x2

若0<%2<1<不，贝1/(西)〉/(,)，所以/(%)>/(')，

占X1

因为/(X)在(0,1)上单调递减，所以％2<,，即

命题得证...............................................................17分

方法二：(1)因为aWe,x>0,所以二x)=)-加工2e”-ex................2分

设/z(x)=ex-ex,贝Uh\x)=ex-e,..........................................3分

令h'(x)=0,得x=1,

所以当xw(0,1)时，hf(x)<0；当X£(l,+oo)时,hr(x)>0,

所以/z(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，.........................4分

所以〃⑴=0,即/(x)>0.............................................5分

(2)⑴同方法一.

xx,

e>1e1

(ii)由⑴矢口/(玉)=0,即----In/-----m=0,即加=----\nx1---.