2024年高考数学 尺规作图在压轴题中的应用（7种题型归类）（含答案）

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重难点题型突破N

题型01作线段

1.（2024•江苏常州•统考中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点。是圆心，直径的长是12cm,C

是半圆弧上的一点（点C与点2、B不重合），连接力C、BC.

AOBAOB

备用图

（1）沿AC、BC剪下△ABC,则△ABC是三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；

（2）分别取半圆弧上的点E、F和直径力B上的点G、H.已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个

边长为6cm的菱形.请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C,一定存在线段4C上的点M、线段BC上的点N和直

径上的点P、Q,使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形.小明的猜想是否正确？

请说明理由.

【答案】（1）直角

（2）见详解

（3）小明的猜想正确，理由见详解

【分析】（1）N8是圆的直径，根据圆周角定理可知乙4c5=90。，即可作答；

（2）以N为圆心，/。为半径画弧交0。于点£,再以E为圆心，EO为半径画弧交于。。点尸连接EF、

FO、EA,G、〃点分别与/、。点重合，即可；

（3）当点C靠近点N时，设CN=£B,可证MN||4B,推出MN==4cm,分别以N为圆

心，MN为半径作弧交NB于点尸，Q,可得MN=MP=NQ=4cm,进而可证四边形尸是菱形；当点C

靠近点8时，同理可证.

【详解】（1）解：如图，

AOB

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•••48是。。的直径，

.■■^ACB=90°,

:.乙4cB是直角，

即MBC是直角三角形，

故答案为：直角；

(2)解：以/为圆心，40为半径画弧交O。于点E,再以£为圆心，EO为半径画弧交于O。点厂连接

EF、FO、EA,G、，点分别与4、。点重合，即可，

作图如下：

A一；0B

-1

由作图可知AE=EF=FH=HG=OA=^AB=6,

即四边形EFHG是边长为6cm的菱形；

(3)解：小明的猜想正确，理由如下：

如图，当点C靠近点N时，设CN=*B,

CM_CN_1

~CA~~CB~V

MN\\AB,

.MN_CM_1

一"AB~~CA~39

：.MN=^AB=[x12=4cm.

分别以M,N为圆心，MN为半径作弧交NB于点尸，。，作MD14B于点。，NE14B于点E,

MN=MP=NQ=4cm.

•・•MN\\AB,MDLABfNELAB,

.・.MD=NE,

在RtAMOP和RtANEQ中,

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=NQ

C=NE'

RtAMDP^RtANEQ（HL）,

.・.乙MPD=LNQE,

・•.MP//NQ,

又・.・MP=NQ,

四边形MNQP是平行四边形，

又•：MN=MP,

四边形尸是菱形；

同理，如图，当点C靠近点5时，采样相同方法可以得到四边形MN0P是菱形,

故小明的猜想正确.

【点睛】本题考查了圆周角定理、尺规作图、菱形的性质与判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运

用上述知识解决问题.

2.（2024•江苏镇江•统考中考真题）【算一算】

如图①，点/、B、C在数轴上，8为/C的中点，点/表示-3,点8表示1,则点C表示的数为,

/C长等于；

【找一找】

如图②，点M、N、P、0中的一点是数轴的原点，点/、8分别表示实数孝-1、乎+1,0是的中点，

则点—是这个数轴的原点；

【画一画】

如图③，点/、8分别表示实数c-"、c+n,在这个数轴上作出表示实数〃的点E（要求：尺规作图，不写

作法，保留作图痕迹）；

【用一用】

学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测。个学生.凌老师

提出了这样的问题：假设现在校门口有俏个学生，每分钟又有6个学生到达校门口.如果开放3个通道，

那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进

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校.在这些条件下，。、m、6会有怎样的数量关系呢？

爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数%+46记作+(加+46),用点/表示；将2

分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作-8a,用点3表示.

①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+(m+2b)、-12。的点足G,并写出+(加+26)的实际意义；

②写出人〃，的数量关系：.

ABC

--i1«------------------------------•---------►

-3---------0---1

图①

--M•---Ai--N-•_____P•---Q•------------B*_►

孚+1

图②

---------------------------3__,---------------------------------U

c-n0----c+n

图③

_________2.________________a_____>

-8a0m+4b

图④

【答案】(1)5,8；(2)N；(3)图见解析；(4)①+(加+26)的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校

的学生人数，图见解析；②加=4服

【分析】(1)根据数轴上点/对应-3,点8对应1,求得N8的长，进而根据45=8。可求得NC的长以

及点C表示的数；

(2)可设原点为0,根据条件可求得N2中点表示的数以及线段的长度，根据/3=2,可得/0=80=

1,结合的长度即可确定N为数轴的原点；

(3)设的中点为先求得N3的长度，得到"，根据线段垂直平分线的作法作图即可；

(4)①根据每分钟进校人数为6,每个通道每分钟进入人数为a,列方程组］党\根据m+26=

OF,加+46=12a,即可画出RG点，其中心+26表示两分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；

②解①中的方程组，即可得到加=4a.

【详解】解：(1)【算一算】：记原点为。，

-：AB=1-(-3)=4,

；.AB=BC=4,

：.OC=OB+BC=5,AC=2AB=8.

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所以点C表示的数为5,4C长等于8.

故答案为：5,8；

(2)【找一找工记原点为。，

•••/3=争4-(孝-1)=2,

■■.AQ^BQ=1,

■.OQ=OB-BQ=^+\-1=^,

・•.N为原点.

故答案为：N.

(3)【画一画】：记原点为O,

由/3=c+〃-(c-«)=2n,

作4B的中点M,

得/A/=8M=〃，

以点。为圆心，

AM^n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E,

则点£即为所求；

__________________4，，加：，产B丫

c-n0；；；'nc+n

图③•::

\\I.II

y\：./I

、、*./,

、、1/

、I，/

Y

(4)【用一用】：在数轴上画出点凡G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m=4a.

•••4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，

.,.加+46=3xax4,即m+46=12a(I)；

•­­2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，

.,."+26=4x0x2,即a+26=8a(II)；

①以O为圆心，0B长为半径作弧交数轴的正半轴于点F,则点F即为所求.

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作0B的中点E,则0E=BE=4a,在数轴负半轴上用圆规截取OG=3OE=12a,

则点G即为所求.

-12a3-4a0m+2bm+^b

图④

+(机+26)的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；

②方程(II)x2-方程⑴得：心=4°.

故答案为：m=4a.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，实数与数轴，作图.解决本题的关键是根据题意找到等量关

系.

3.(2024•浙江金华•校联考二模)如图，在7x7的网格中，每个小正方形的边长为1,△/BC的顶点均在格

点上.仅用无刻度的直尺，试按要求作图.画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.

图3

(1)如图1,在2c作一点。，使得BD=：BC；

(2)如图2,E为A42C内一格点，M,N为48,3c边上的点，使四边形EA/BN为平行四边形;

(3)如图3,8c交网格线于点尸，过点尸作的平行线交NC于P.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)在点3右侧第一条竖格线画线，即可得到；

(2)过点E,在格点上画出与线段//8C相等的线，即可得到；

(3)点尸是2C的三等分点，在/C上画出NC的三等分点，即可得到.

【详解】(1)解：如图：在点2右侧第一条竖格线画线，与2c的交点。即为所求的点

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【点睛】本题考查了利用无刻度的直尺作图，找到关键点是解决本题的关键.

4.（2024•山西太原•山西大附中校考模拟预测）已知线段a、b、c.

.a,

b

（1）用直尺和圆规作出一条线段AB,使它等于a+c-氏（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕迹）

（2）若a=6,b=4,c=7,点C是线段4B的中点，求力C的长.

【答案】（1）作图见解析

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（2）4.5

【分析】（1）作射线4M,在射线4M上顺次截取4E=a,EF=c,在线段凡4上截取FB=6,则线段力B即为所

求；

（2）由（1）中结论及已知条件，求得力B的长，再利用线段中点的性质即可解得力C的长.

【详解】（1）解：如图，线段4B即为所求：

A~/£JFM

（2）如图，

ACB\~*M

•••a=6,b=4,c=7,

AB=a+c—b=6+7—4=9

•・・点C是线段ZB的中点，

11

AC=-AB=-x9=4.5

22

即24c的长4.5.

【点睛】本题考查基本作图、线段的和差、线段的中点等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

题型02作角

5.（2024•江苏镇江•统考中考真题）操作探究题

（1）已知力C是半圆。的直径，N40B=（詈）。（门是正整数，且n不是3的倍数）是半圆。的一个圆心角.

操作：如图1,分别将半圆。的圆心角42。8=（陶。（n取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆

规作图，不写作法，保留作图痕迹）;

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n=10

图I

从上面的操作我发现，就是利用60°、〔喘T所对的弧去找圈f的三分

之一即罄T所对的孤.

交流：当n=ll时，可以仅用圆规将半圆。的圆心角乙40B=（詈）。所对的弧三等分吗？

我发现了它们之间的数量关系是4X，普y-硕。=昭:

我再试试：当＞1=28时,僵］°、MF、寓|°之间存在数量关系

因此可以仅用圆规将半圆。的圆心角乙4。8=，要了所对的弧三等分.

探究：你认为当几满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆。的圆心角N40B=（一）。所对的弧三等分？说说

你的理由.

（2）如图2,。。的圆周角NPMQ=（竿）。.为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧而（要

求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

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【答案】（1）作图见解析；交流：60°-9x（嘿）。=偿）°，或19x（嘿）。—2x60°=（|?。；

探究：正整数n（n不是3的倍数），理由见解析

（2）作图见解析

【分析】（1）由操作可知，如果（岑）°可以用60。与（岑）。的线性表示，那么该圆弧就可以被三等分

（2）将圆周14等分就是把NPMQ=（券）。所对的圆周角NQOP所对弧三等分即可,给出一种算法：180。-当

【详解】（1）

操作：

交流：60。-9x（嘿）。=（勖。，或19x（嘿）。-2x60。=鬻）。；

探究：设60°—从¥）°=（今°,解得n=3k+l（k为非负整数）.

或设”一60。=俘）。，解得"=3I（k为正整数）.

所以对于正整数几5不是3的倍数），都可以仅用圆规将半圆。的圆心角乙4。8=（噜）。所对的弧三等分;

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(2)

【点睛】本题考查了用圆规作图的基本技能，需要准确理解题意，对于复杂图形的作图要学会将其转化成

基本图形去作，本题第二问利用转化思想，转化为第一问的思路从而得以解决，这也是本题求解的关键.

6.(2024•广东广州•统考一模)如图，。。是△ABC的外接圆，AB=AC,4。是O。的切线.

(1)尺规作图：过点8作2C的平行线交4。于点E,交。。于点尸，连接2F(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)证明：AF=BC；

(3)若。。的半径长为|,BC=4,求EF和BF的长.

【答案】(1)见解析；

(2)见解析；

⑶EF=等，8/=等

【分析】(1)根据题意进行尺规作图即可；

(2)由BEII4C可得448尸=4"4。，从而得出赤=而，最后证得结果；

(3)连接4。并延长交BC于点连接。C,先通过勾股定理求得CM及2C的长，再证四边形4EBC是平行四

边形，再证然后列比例式即可求得结果.

【详解】(1)作图如下图所示：

DEA

B

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(2)vBE||AC,

：.Z-ABF=Z.BAC,

.-.AF=BC,

：.AF=BC；

(3)如图，连接4。并延长交BC于点河，连接0C,

DEA

'：AB=AC,4M过圆心O,

.,.AM工BC,

.•.BM=MC=Sc=2,

•.•在Rt^OMC中，OC=|,MC=2

■-OM=VOC2-MC2=J(|)-22=I，

53

.-.AM=0A+0M=^+-=4,

■-AB=AC=7AN2+MC2=V42+22=2炳,

・•・an是。。的切线，

：.AMLAD,

.-.AD\\BCf

•・•BE||AC,

四边形4EBC是平行四边形，

■.BE=AC=2V5,AE=BC=4,zAEB=^ACB,

.,.AB=BE,

：.Z.BAE=Z-BEA,

,•・四边形AFBC是圆内接四边形，

：.Z.AFE=乙AEB,

：.Z-AFE=Z-BAE,

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EF_AE

：'~AE~'EB"

EF4

,••丁=运

.-.EF=竿，

：.BF=2遥一等=等，

【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质、圆内接四边形性质、等腰三角形的性质，平行四边

形的判定及性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键.

7.（2024・福建厦门•福建省厦门第六中学校考一模）如图1,△4BC中，〃CB=90。，”的大小保持不变,

点。在斜边4B上，DELAC,垂足为点£如图2,把△4DE绕着点4顺时针旋转，旋转角为a

（0。＜戊＜90。），点E的对应点为点P.

（1）求作点。的对应点Q（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连接PQ,CP,BQ,直线CP,BQ相交于点尸，试探究在整个旋转过程中，直线CP,BQ所相交成的锐角是

否保持不变？若不变，请证明：若有变化，说明理由.

【答案】（1）见解析

（2）不变，理由见解析

【分析】（1）作NP4Q=NB4C,AQ=AD,则点Q即为所求；

（2）根据题意得出DEIIBC,则*=条，进而根据旋转的性质得出4P=4E/Q=4D,证明△SP-aBAQ

ADAC

得出N4BQ=NaCP=4aCF,根据三角形的外角的性质即可得出=进而得出结论.

【详解】（1）解：如图所示，点Q即为所求；

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（2）解：如图所示，设CFM8交于点G,

-DELAC,乙4cB=90。，

：.DE\\BC,

AD_AE

•,布一就‘

••・把△40E绕着点4顺时针旋转，旋转角为曲0。<a<90。），点后的对应点为点「，点。的对应点Q,

：,AP=AEtAQ=AD,

AP_AQ

•,就一病

又"4P=乙DAQ=a,

・••4CAPFBAQ,

：,Z.ABQ=AACP=乙ACF,

MBGC=乙ABF+乙BFC=Z-ACF+LBAC,

;/BFC=Z-BAC,

的大小保持不变，

.・2B尸C是定值.

【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题

的关键.

题型03作角平分线

8.（2024•江苏扬州・统考中考真题）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇

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形的面积？

【初步尝试】如图1,已知扇形。48,请你用圆规和无刻度的直尺过圆心0作一条直线，使扇形的面积被这

条直线平分；

【问题联想】如图2,已知线段MN,请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形

MNP；

【问题再解】如图3,已知扇形。请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点。为圆心的圆弧，使扇形的面

积被这条圆弧平分.

（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）

【答案】见解析

【分析】【初步尝试】如图1,作乙的角平分线所在直线即为所求；

【问题联想】如图2,先作的线段垂直平分线交于点。再以O为圆心为半径作圆，与垂直

平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；

【问题再解】如图3先作0B的线段垂直平分线交0B于点N,再以N为圆心NO为半径作圆，与垂直平分

线的交点为然后以。为圆心，为半径作圆与扇形所交的圆弧即为所求.

【详解】【初步尝试】如图所示，作乙4。的角平分线所在直线OP即为所求；

【问题联想】如图，先作的线段垂直平分线交于点。，再以。为圆心为半径作圆，与垂直平

分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；

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【问题再解】如图，先作的线段垂直平分线交03于点N,再以N为圆心M9为半径作圆，与垂直平分

线的交点为“，然后以。为圆心，（W为半径作圆与扇形。48所交的圆弧C。即为所求.

【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类

题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法.

9.（2024•甘肃兰州・统考中考真题）综合与实践

问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角.”即:

作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在04和0B上分别取

点C和。，使得。C=。。，连接CD,以CD为边作等边三角形CDE,贝IJ0E就是乙40B的平分线.

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请写出。E平分乙4。8的依据：；

类比迁移：

(2)小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE=DE即可.他查阅资料：我

国古代已经用角尺平分任意角.做法如下：如图3,在乙40B的边04。8上分别取。M=0N,移动角尺，

使角尺两边相同刻度分别与点"，N重合，则过角尺顶点C的射线。C是N40B的平分线，请说明此做法的

理由；

拓展实践：

(3)小明将研究应用于实践.如图4,校园的两条小路力B和4C,汇聚形成了一个岔路口/,现在学校要在

两条小路之间安装一盏路灯£,使得路灯照亮两条小路(两条小路一样亮)，并且路灯£到岔路口/的距离

和休息椅。到岔路口/的距离相等.试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的

示意图5中作出路灯£的位置.(保留作图痕迹，不写作法)

A

图3图4图5

【答案】(1)SSS；(2)证明见解析；(3)作图见解析；

【分析】(1)先证明△0CE三△ODE(SSS),可得=从而可得答案；

(2)先证明△0CM三△OCN(SSS),可得N40C=NB0C,可得。C是乙40B的角平分线;

(3)先作NBAC的角平分线，再在角平分线上截取4E=40即可.

【详解】解：(1)-：OC=OD,CE=DE,DE=DE,

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/.AOZ）E（SSS）,

.,.Z-AOE=Z-BOE,

.・.。后是乙4。8的角平分线；

故答案为：SSS

（2）YOM=0N,CM=CN,OC=OC,

AOCM=AOC/V（SSS）,

：.Z.AOC=乙BOC,

；.0C是乙408的角平分线；

（3）如图，点E即为所求作的点；

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分

线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键.

10.（2024・江苏无锡・统考中考真题）如图，已知锐角△ABC中，AC=BC.

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作乙4cB的平分线CD；作△ABC的外接圆。0；（不写作法,

保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若。。的半径为5,贝UsinB=.（如需画草图，请使用图2）

【答案】（1）见详解；（2）?

【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤，即可作N4CB的平分线CD,作出/C的中垂线交CD于点。，再

以点。为圆心，OC为半径，画圆，即可;

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（2）连接。4,根据等腰三角形的性质得CDVAB,利用勾股定理求出OD,BC,进而即可求

解.

【详解】解：（1）如图所示:

（2）连接CM,

■,-AC=BC,NACB的平分线CD,

114824

•-AD=BD=-AB=-x—=—,CDLAB,

••・。。的半径为5,

.•.OD=VQ42—力。2=卜_（穿=

CD=CO+OD=5+~,

:.BC=\BD2+=J偿了+停了=8,

-,.s.innB=—CD=^—-=-4.

BCs5

故答案是：三.

【点睛】本题主要考查尺规基本作图，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，理解三角形

外接圆的圆心是三角形各条边中垂线的交点，是解题的关键.

11.（2024•浙江金华・统考中考真题）如图，为制作角度尺，将长为10,宽为4的矩形。ABC分割成4X10的

小正方形网格.在该矩形边上取点P,来表示乙尸。4的度数.阅读以下作图过程，并回答下列问题：

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OA（答题卷用）

作法（如图）结论

"1。。=455点

①在C8上取点Pi，使CPi=4.

Pi表示45。.

②以。为圆心，8为半径作弧，与BC交于点Z-P2OA=30°,点

尸2.P2表示30。.

招出二4f

③分别以为圆心，大于。长度一半的

0/222、8/

长为半径作弧，相交于点与乩连结EF与BCA

相交于点尸3.

④以P2为圆心，。02的长为半径作弧，与

射线CB交于点。，连结OD交力B于点P4.

⑴分别求点P3F4表示的度数.

（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5,使该点表示37.5。（保留作图痕迹，不写作法）.

【答案】（1）点P3表示60。点P4表示15。

（2）见解析

【分析】Q）根据矩形的性质可求出NOP2c度数，根据线段垂直平分线的性质度数，即可求出

的度数，从而知道P3点表示度数；利用半径相等即可求出4。2。。=4P2。。，再根据平行线的性质即可求出

NP2。。=4。。力以及对应的度数，从而知道「3点表示度数.

（2）利用角平分线的性质作图即可求出答案.

【详解】（1）解：①•••四边形0aBe是矩形，

：.BC\\OA.

・・・4。22。=血。/=30。

由作图可知，EF是。尸2的中垂线，

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图1

0P3=P3P2.

乙P30P2=4P3P2。=30°.

乙

・•・Z-P3OA=P30P2+〃2。4=60°.

：•点尸3表示60°.

②由作图可知，P2D=P2O.

・••Z-P2OD=Z-P2DO.

又•・.CB||OA,

・••Z-P2DO=Z.DOA.

1

・•・4尸2。0=^-DOA=54尸2。4=15°.

・•・点尸4表示15°.

故答案为：点P3表示60°,点P4表示15。.

(2)解：如图所示，

作乙「3。24的角平分线等.如图2,点P5即为所求作的点.

图2

•・•点23表示60°,点表示15。.

^P5OA=QP3O4-NP4O4)+〃4。4=l^P3OA+出04)=|(60°+15°)=37.5°.

•孑5表示37.5。.

【点睛】本题考查的是尺规作图的应用，涉及到的知识点有线段垂直平分线、角平分线性质、圆的相关性

高考复习材料

质，解题的关键需要正确理解题意，清楚知道用到的相关知识点.

12.(2024•广东广州•统考一模)已知O。为△48C的外接圆，。。的半径为6.

(1)如图，是。。的直径，点C是通的中点.

①尺规作图：作乙4cB的角平分线CD,交。。于点D,连接BD(保留作图痕迹，不写作法)：

②求BD的长度.

(2)如图，AB是G)。的非直径弦，点C在诟上运动，^ACD=乙BCD=60°,点C在运动的过程中，四边形力DBC

的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)①见解析；@672

(2)存在，最大值为36VJ

【分析】(1)①根据角平分线的作图方法画出C。，在连接BO即可；②由点C是通的中点，得出

AC=BC.根据等腰三角形的性质得出CD14B.结合4B是。。的直径,即得出CD经过圆心O,即NBOD=90°,

最后根据勾股定理求解即可.

(2)连接4B,过点。作DO148于点E,交。。于点过点C作CF14B.由题意易证△4DB为等边三

角形.根据DO14B,即得出DO为。。直径，。是通的中点.根据a/WB为等边三角形，可得出AB和4B

边上的iWi都为定值，再根据根据S四边形ADBC=,(DE+CF),即得出当CF最大时，S四边形ABCD最大，此

时点C与点。重合，即当点C为通中点时，S四边形4DBC最大，此时OC为O。直径，得出此时

乙4=NB=90。.易求出乙4。。=90。-447。=30。，结合勾股定理和含30度角的直角三角形的性质得出

AC=|CZ)=6,AD=7CD2-AC2=673,进而可求出S。。。=/iC•AD=18V3,又易证△BCD三△ACD(SSS

),得出SABCD=SgcD=从而可求出S四边形4BCD=S^BCD+S/V1CD=36V§\即点C在运动过程中,

四边形4DBC的面积存在最大值，最大值为36g.

【详解】(1)解：①如图1,即为所作图形；

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图1

②;点C是通的中点，

.\AC=BC.

••・CD是4CB的平分线，

.-.CDLAB.

MB是O。的直径，

.,.CD经过圆心O,

.-.Z.BOD=90°.

•••。。的半径为6,

■■.OB=OD=6,

：.BD=VOB2+OD2=6V2；

(2)点C在运动过程中，四边形4DBC的面积存在最大值.

理由：如图，连接4B,过点。作DCU42于点E,交O。于点C',过点C作CF14B.

CC

图2

•:乙ACD=LBCD=6Q°,

.-.AD=BD,Z.ACB=2/.BCD=120°,

：.AD=BD.

•・•四边形4DBC为。。内接四边形，

.'.Z.ADB=18O°-Z>1CB=60°,

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.•.△ZDB为等边三角形.

■：DCLAB,

・•.DC，为。。直径，。是乐的中点.

：S四边形40BC=S4ABD+S"BC，

•'•S四边形4DBC—/B-DE+^AB-CF=-(DE+CF).

•・•△4DB为等边三角形，

.•MB和AB边上的高都为定值，

二当CF最大时，s四边形ADBC最大，此时点c与点C'重合，

.•・当点C为厢中点时，s四边形4DBC最大，此时DC为O。直径,

.•24=NB=90。，如图3.

图3

•••。。的半径为6,

.-.CD=12.

MADC=90°-4CD=30°,

■.AC=^CD=6,

■■AD='CD2—AC2=6V3,

',■^AACD=-AD6x6V3=18V3.

•：BD=AD,BC=AC,CD=CD,

•••△BC0wZ\4C0(SSS),

:S^BCD=^AACD—18^3,

•••S四边形4BCD=S4BCD+^AACD=36遮，

・•.点。在运动过程中，四边形4DBC的面积存在最大值，最大值为36g.

【点睛】本题考查作图一角平分线，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系,

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圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形全等的判定和性

质，综合性强.正确作出辅助线，并利用数形结合的思想是解题关键.

13.(2024•山西晋中•统考一模)综合与实践

问题情境：

在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

操作发现：

某数学小组对图1的矩形纸片进行如下折叠操作：

第一步:如图2,把矩形纸片/BCD对折，使/。与8c重合，得到折痕然后把纸片展开；

第二步:如图3,将图2中的矩形纸片沿过点2的直线折叠，使得点/落在上的点4处，折痕与交

于点E,然后展开纸片，连接24,BA',EA".

ADAD

M-----------N

BCBC

图1图2

图3图4

问题解决：

(1)请在图2中利用尺规作图，作出折痕3E；(保留作图痕迹)

(2)请你判断图3中的形状，并说明理由；

(3)如图4,折痕与〃N交于点尸，54的延长线交直线CD于点尸，若“尸=1,BC=1,请你直接写出

PD的长.

【答案】(1)见解析

(2)△4B4是等边三角形，理由见解析

(3件

【分析】(1)以点8为圆心，加的长为半径作弧交于点⑷，连接AT,作乙484的角平分线交4D于

点E；

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(2)由折叠可知MNIIBC,MNLAB,BM=^AB,AB=A'B,

可得=推出N84M=30。，进而可得A4B4是等边三角形；

(3)由等边三角形的性质可求得板为aaBE的中位线，得到4E=2MF=2,进而求得48=2旧”BE=4

,再根据矩形的性质及平行线的性质求得NEB4=乙EHB=30°,最后求得PD的长.

【详解】(1)如图，线段BE即为所求.

(2)△4B4是等边三角形.

证明：由折叠可知MNllBC,MNLAB,BM=^AB,AB=A'B,

•••sinzBXM=—=~,

：./LBA'M=30°.

在RtZ\B4M中，^A'BM=90°-/LBA'M=60°.

•••44BM=60°,AB=A'B,

.•・△4B4是等边三角形.

(3)•••△AB4是等边三角形,

.-.AA'=A'B=AB,^ABA'=60"

■.■MNIIADIIBC,MNA.AB,

为48的中点，MF=\,

."/尸为△ABE的中位线，

：.AE=2MF=2,

•••矩形纸片沿过点B的直线折叠，使得点A落在〃N上的点4处,

1

•••/.ABE=4ABBE=-/.ABA,=30°,

RtAABE中，^ABE=30°,AE=2,

■■.AB=2V3.,BE=4,

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•••四边形43co为矩形，BC=1,

-.^ADC=AABC=90°,

•••力。=2C=7.ADHBC,

•••Z.HDP=90°,

:.乙PBC=30°,

■.■ADUBC,

：.4EHB=Z.PBC=30°,

•­•/.EBA'=乙EHB=30°,

•••EB=EH=4,

•••DH=7-4-2=1,

乙PHD=4EHB=30°,

.♦.在RtAZZDP中，DH=l.PD-.DH=1：V3

:.PD普

【点睛】本题考查四边形的综合问题、动点问题及锐角三角函数的定义.解题的关键在与分析动点的运动

状态，特别是要准确地判断零界点发生的条件，并计算位置.

题型04作垂线

14.（2024・重庆•统考中考真题）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为

a,高为/7的三角形的面积公式为S=》h.想法是：以BC为边作矩形BCFE,点/在边FE上，再过点/作BC

的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证.按以上思路完成下面的作图与填空:

证明：用直尺和圆规过点/作BC的垂线4D交BC于点。.（只保留作图痕迹）

在△ADC和中,

,：AD1BC,

・・・44。。=90。.

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vZF=90°,

•••①.

­：EF||BC,

•••②.

又•:—③.

△ADC^△CFA(AAS).

同理可得：®.

1111

^AABC-S^ADC+S△ABD=5s矩形4DCF+5s矩形AEBD=5s矩形BCFE=5ah•

【答案】图见解析，UDC=4F；41=42；AC=AC；/^ABD=ABAE

【分析】根据垂线的作图方法作图即可，利用垂直的定义得到乙4DC=N尸，根据平行线的性质得到41=42,

即可证明八4。。三△C4F,同理可得△A&D三ABNE,由此得到结论.

【详解】解：如图，即为所求，

在△4DC和△CE4中，

,：AD1BC,

・・Z/OC=90。.

vZF=90°,

・・2DC=LF.

-EF||BC,

•,.zl=z2.

又•・・/C=ZC.

AADC=ACFA(AAS).

同理可得：AABD=ABAE.

1111

S^ABC—S^ADC+^AABD=5s矩形/女尸+5s矩形/EBD=5s矩形BCFE=-ah.

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故答案为：乙4DC=541=42；AC=AC；AABD=ABAE.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，垂线的作图方法，矩形的性质，熟练掌握三角形的判定定

理是解题的关键.

15.(2024・河南•统考中考真题)如图，反比例函数y=§Q:>0)的图像经过点4(2,4)和点8,点B在点4的下

⑴求反比例函数的表达式.

(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线.(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用23铅笔作

图)

(3)线段。4与(2)中所作的垂直平分线相交于点。，连接CD.求证：CD||AB.

【答案】(i)y=g

(2)图见解析部分

(3)证明见解析

【分析】(1)把点4的坐标代入反比例函数解析式，即可得出答案；

(2)利用基本作图作线段ac的垂直平分线即可；

(3)根据垂直平分线的性质和角平分线的定义可得到ABAC=Z.DCA,然后利用平行线的判定即可得证.

【详解】(1)解：；反比例函数丫=3%>0)的图像经过点4(2,4),

.•.当x=2时，5=4,

;.k=8,

・••反比例函数的表达式为：y=p

(2)如图，直线EF即为所作;

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・•・直线EF是线段ac的垂直平分线,

.\AD=CD,

：.Z-DAC=Z.DCA,

•••/C平分

：.Z-DAC=乙BAC,

.,.Z.BAC=Z-DCA,

【点睛】本题考查了作图一基本作图，用待定系数法求反比例函数的解析式，垂直平分线的性质，等腰三

角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义等知识.解题的关键是熟练掌握五种基本作图（作一条线段

等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直

线的垂线）.

16.（2024•甘肃兰州•统考中考真题）综合与实践

问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车害范、芯组

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成的(如图1),它的端面是圆形，如图2是用“矩”(带直角的角尺)确定端面圆心的方法：将“矩”的直角

尖端/沿圆周移动，直到在圆上标记/,B,C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在/,8点

上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为。点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的N,B,C,。四点，连接

AD,3c相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的B,C,。四点，连接3c相交于点。，即。

为圆心.

图3图4图5

(1)问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心。如图3,

点B,C在。。上，AB1AC,且4B=4C,请作出圆心。(保留作图痕迹，不写作法)

(2)类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”(带直角的角尺)确定端面圆心的方法后发现，如果

48和NC不相等，用三角板也可以确定圆心。如图4,点/,B,C在。。上，ABLAC,请作出圆心

。.(保留作图痕迹，不写作法)

(3)拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图

的方法确定圆心可以减少误差.如图5,点N,B,C是。。上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出

圆心0.(保留作图痕迹，不写作法)请写出你确定圆心的理由：.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)作乙45ZA90。，3。与圆相交于。，连接BC、相交于点O,即可；

(2)作乙480=90。，AD与圆相交于。，连接3C、相交于点。，即可；

(3)作的垂直平分线OE,作/C的垂直平分线MN,DE交MN千O,即可，则垂径定理得出确定圆心

的理由即可.

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【详解】（1）解：如图所示，点。就是圆的圆心.

图3

作乙4AD=90。，2。与圆相交于。，连接2C、4D相交于点

“CAB=UBD=90°,

:.BC、/£＞是圆的直径，

.••点O是圆的圆心.

（2）解：如图所示，点。就是圆的圆心.

图4

作乙4AD=90。，AD与圆相交于。，连接3C、4D相交于点0,

♦:乙CAB=UBC=9Q°,

:.BC、是圆的直径，

.・•点。是圆的圆心.

（3）解：如图所示，点。就是圆的圆心.

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作48的垂直平分线作NC的垂直平分线MN,DE交MN于0,

••,DE垂直平分48,

・•・OE经过圆心，即圆心必在