2024年中考数学考试易错题-最值问题之四边形

中考特色题型专练之最值问题—四边形

1——

题型一、将军饮马(最小值)

1.如图，菱形/BCD中，440=60。,M是AB的中点，?是对角线ZC上的一个动点,

若PM+尸3的最小值是G，则48长为()

试卷第1页，共14页

D

A.2B.1C.273D.3

2.如图，在边长为2的正方形/BCD中，点。是3c的中点，点尸是对角线/C上一

D.V5+1

3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-/+2x+3的图象与x轴交于点B,

与y轴交于点C,点P在线段3C上，则加+尸。的最小值是—.

4.如图，在正方形23c。中，E是48上一点，BE=2,AE=3BE,则=

若P是/C上一动点，则尸8+PE的最小值是.

题型二、中位线最值

5.如图，在菱形N3CD中，E,尸分别是边CD,8c上的动点，连结NE,EF,G,H

分别为/E,E尸的中点，连结G".若/B=60°,BC=4,则G”的最小值为（）

试卷第2页，共14页

A.2B.V6C.V3D.3

6.如图，在菱形/BCD中，E,尸分别是边CD,3c上的动点，连接NE,EF,G,H

分别为4E,EF的中点，连接AG.若23=45。，8C=2百，则属的最小值为（）

22

7.如图，在〃/BCD中，ZC=120°,AD=24B=8,点、H,G分别是边CD,BC上

的动点，连接N",AG,点E为的中点，点尸为GH的中点，连接EF,则E厂的

最大值与最小值的差为.

8.如图，在菱形48co中，48=8,48=45。，E,尸分别是过CZ>,3c上的动点,

连接工£,EF,G,H分别为4E,E尸的中点，连接G”,则G/Z的最小值

为.

题型三、两动一定

9.已知矩形/BCD中48=6,ZABD=60°,M,N分别是3D4D上的动点，则

/M+MN的最小值为（）

A.6B.6+65/5C.9D.12

10.如上图所示，矩形/BCD,AB=6,8c=66,点E是边上的一个动点，点尸

试卷第3页，共14页

是对角线8。上一个动点，连接BE,EF,则8E+EF的最小值是（）

A.6B.6gC.12D.1273

11.如图，在矩形N3CD中，/8=4,/。=8,点£、厂分别为40、边上的点,

且EF的长为4,点G为E尸的中点，点尸为3c上一动点，则PA+PG的最小值为.

12.如图，在正方形48CD中，点£在边40上，AE=2,点P、0分别是直线/8、BC

上的两个动点，将沿翻折，使点/落在点尸处，连接跖,纱，PF,PD,若

正方形的边长是6,则PD+PF的最小值是

题型四、两定一定长

13.如图，N4OB=90°,OC=2,。为OC中点，长为1的线段E尸（点尸在点£的

下方）在直线03上移动，连接。E,CF,则DE+CF的最小值为（）

A.V5B.V10C.2石D.3也

14.如图，在边长为10的正方形A8C。对角线上有E,尸两个动点，旦AB=4iEF,

点尸是3C中点，连接/旦夕尸，则NE+尸尸最小值为（）

试卷第4页，共14页

c.5V2D.10

15.如图，在矩形48CD中，AB=6,BC=3,点、E,尸分别是N8,CD上的点,

EF1AC,垂足为点O,连接EC,AF,则EC+/P的最小值为.

16.如图，在矩形48CD中，48=8,8c=6,点E在边3c上，CE=2,若点P、Q

分别为边。与上两个动点，线段尸。始终满足与/E垂直且垂足为尸，则“尸+0£

题型五、两点最值

17.如图，矩形43CZ）中，AB=6,BC=1O,点E在边/。上，S.AE=2,F为边AB

上的一个动点，连接E尸，过点£作EG1.E/交直线3C于点G,连接尸G,若P是FG

的中点，则。P的最小值为（）

A.B.6C.5D.2710

5

18.如图，在矩形N8CZ）中，AB=2,BC=4,P是对角线/C上的动点，连接。P,将

直线DP绕点P顺时针旋转,使旋转角等于/'C,且。GLPG,即

试卷第5页，共14页

则CG最小值为（）

436

C.一D.——

525

19.图，在矩形/BCD中,AB=6,AD=4.点£是22上的动点，点尸是线段NE上

的点，且EF=3/F,DE,CF相交于点尸，则DP的最大值为,最小值

20.如图，正方形48CD的边长为4,£是CD边上的一点，连接/E,过3点作昉

于点F,点G与尸关于CD对称，”为CG的中点，则///的最小值为

题型六、平行线之间距离最短

21.如图，在RM/8C中，z5=90°,48=4,BC=3,点E在月2上，以/C为对角

线的所有口ADCE中，对角线的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

22.如图，在Rt448C中，NB=90°,BC=4,AC=5,点。在3C上，以NC为对角

线的所有平行四边形"OCE中，。£的最小值是（）

试卷第6页，共14页

6C.8D.10

23.如图，在RtA/8C中，48=90。，/C=10,BC=8,点。是线段8C上一动点,

以NO,CD为邻边作口4DCE,则对角线的最小值是.

24.如图，三角形材料NBC,zJB=90°,BC=4,NC=5,点。在边3C上，添加一

块三角形材料/CE,加工成口ADCE的材料，则口/DCE的对角线。E的最小值

是

题型七、斜中定值最值

25.如图，在平面直角坐标系中，正方形48cZ）的两个顶点/、8是坐标轴上的动点,

若正方形的边长为4,则线段OC长的最大值是（）

C.472D.8

26.如图，己知/MQV=90。，线段45长为6,N3两端分别在ON、ON上滑动，以4B

为边作正方形/BCD,对角线4C、8。相交于点尸，连接OC.则OC的最大值为（）

试卷第7页，共14页

C.3+3后D.9

27.如图，AMEN=90°,矩形/BCD的顶点8,C分别是/AffiN两边上的动点，已知

28.如图，己知/MCW=90。，线段N8长为6,N8两端分别在。用、ON上滑动，以4B

为边作正方形N3C。，对角线/C、2。相交于点P,连接。C,则。。的最大值

题型八、矩形对角线最值

29.如图，Rt448C中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,。是N8上的动点，过点。

作。E//C于点E,。尸，8c于点尸，连接EF,则线段E尸的最小值是（）

30.如图，在RtZ\48C中，ZC=90°,BC=3,/C=4,M为斜边上一动点，过

“作于点。，过/作MELC8于点E,则线段。£的最小值为（）

试卷第8页，共14页

55~

31.如图，在R/AA8C中，NBAC=90°,且A4=3,NC=4,点。是斜边3c上的一

个动点，过点。分别作DM）48于点M,DN，AC于点、N,连接MN,则线段

的最小值为.

32.如图，在正方形A8CD中，点£在对角线/C上，EFLAB于点F,EG_L8C于点

G,连接DE,若4B=20,则尸G的最小值为

题型九、费马点

33.如图，矩形48co中，AB=6,BC=3,尸为矩形内一点，连接尸/,PB,PC,

则尸/+尸3+尸。的最小值是（）

A.2月+3B.2右C.2G+3D.国

34.如图，在矩形48CD中，AB=43,BC=3,尸为矩形内一点，连接/P,BP,

CP,则尸N+P8+PC的最小值是（）

试卷第9页，共14页

A.V21B.273+3C.V3+3D.4A/3

35.如图，在菱形NBCD中，点尸为对角线4c上的动点（不与端点重合）.过点尸作

尸于点M,PN1BC于点、N,连接P。，已知tan/A4C=《，AC=24,则

PD+PM+PN的最小值等于

A/

36.如图，设尸，。是边长为1的正方形/8C。内的两个点，贝iJ/P+AP+PQ+QC+纱

的最小值为

题型十、隐直线A

37.如图，在矩形48c。中，48=10,40=6,动点尸满足丛咏=；8矩硼比。，则点P

到48两点距离之和PA+PB的最小值为（）

2734C.1072D.2A/41

38.如图，在长方形/BCD中，AB=5,AD=3,动点尸满足S△咏=；S长方如先。，则

P4+P8的最小值为（）

试卷第10页，共14页

A.V41B.V34C.V29D.5V2

39.如图，尸是长方形ABC。内部的动点，AB=4,BC=6,APg。的面积等于9,则

点P到B、C两点距离之和尸8+PC的最小值为.

40.如图，动点P在矩形23CZ）内运动，AB=1,8C=5,且满足国谢=10.5,PA+PB

的最小值是.

题型十一、折叠圆

41.如图，在矩形48CD中，AB=2,8c=4,点£为3c边上的动点，将△幺BE沿4E

A.275-2B.2石-3C.2石-4D.无法确定

42.如图，在平行四边形/5CZ）中，ZB=60°,AB=4,AD=6,£是48边的中点,

厂是线段3C上的动点，将4£8尸沿E尸所在直线折叠得到△E8'尸，连接夕。，则夕。

A.2厢-2B.6C.4D.2屈-2

试卷第11页，共14页

43.如图，在矩形/BCD中，ND=8cm,尸是3c边上的一点，且BP=3cm,£是线段CD

上的一个动点，把APCE沿PE折叠，点C的对应点为足当点£与点。重合时，点、F

恰好落在边AB±,则/的最小值是.

44.如图，矩形ABCZ）中，48=5,AD=3,E是CD边上一点，将沿/E折叠,

使点。落在点。'处，连接CO.则CD的最小值为.

题型十二、直角圆

45.如图，尸为正方形48co的边C。上一动点，AB=2,连接B尸，过A作

交BC于H,交BF于G,连接CG,当CG为最小值时，的长为（）

2后

A.V2C.3-75D.3+石

—

46.如图，正方形48CD的边长为4,点E是边上的一动点，点厂是CD边上的一

动点，且/E=Z）尸，即与BE相交于点尸，连接尸£）,在厂运动的过程中，尸。的最小值

B.75-1C.2>/3-1D.273-2

47.如图，在边长为1的正方形/BCD中，点、E,尸分别是边4D,上的动点，且

AE=DF,连接BE,AF,交于点G.

试卷第12页，共14页

（1）连接。G,则线段DG的最小值是；

（2）取CG的中点H,连接则线段的最小值是.

48.如图，在矩形48CD中，AB=6,4D=8,E是3C上的一动点（不与点3、C重

合）.连接4E,过点。作。尸，垂足为尸，则线段B/长的最小值为.

题型十三、其它最值

49.如图，P是边长为1的正方形/BCD内的一个动点，且满足/尸8C+/尸DC=45。,

则”的最小值是（）

A.2-V2B.；C.卫D.V2-1

50.如图，平行四边形/BCD中，AB=12,AD=10,ZA=60°,£是边4D上一点,

且NE=6,尸是边上的一个动点，将线段E尸绕点E顺时针旋转60。，得到EN,连

接BN、CN,则3N+CN的最小值是（）

----------R

\/

HT~

A.3A/21B.4V14C.14D.4月

51.如图，E,尸是正方形48C。的边48的三等分点，尸是对角线/C上的动点，当

试卷第13页，共14页

PE+PF取得最小值时，—的值是■

52.阅读理解：平面内任意两点（国,弘），（%，%）的距离可以表示为

-xj+（%—%），反之，1（X[-X?）+（%—%）表示点（X[,_V1）与点（马必）之间的

距离.尝试利用阅读内容解决问题：如图，在正方形中，M为/。上一点，且

—=1，E,F分别为BC,CD上的动点，且BE=2DF,若48=4,则ME+2/尸的

MD1

最小值是.

试卷第14页，共14页

1.A

【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，轴对称最短路

径问题，连接3DPD,MD,由菱形的性质得到=/C垂直平分5D,贝U

PD=PB,故当尸、D、M三点共线时，尸加■+2£）最小，即此时PM+P8最小，贝！|

DM=证明ABAD是等边三角形，得到ZADM=30°,求出

n

AM=—DM=1,贝U=2W=2.

3

【详解】解:如图所示，连接即，PD,MD,

由菱形的性质可得=/C垂直平分8。，

•••PD=PB,

：.PM+PB=PM+PD,

当尸、D、M三点共线时，PM+尸。最小，即此时PM+P8最小，

DM=V3，

ABAD=60°,

t^BAD是等边三角形，

・•,M是的中点，

.•.DMJ.AB,ZADM=30°,

3

AB=2AM=2,

故选；A.

2.D

【分析】本题考查了正方形的对称性，线段和最小，勾股定理，根据正方形性质，得到点8

与点。是对称点，连接交4C于点尸，此时AP8。周长最小，结合边长为2的正方形

ABCD^,点。是的中点，^gljBQ=QC=^BC=\,BC=CD=2,ZBCD=90°,根据勾

股定理计算即可..

答案第1页，共50页

［详解】•••边长为2的正方形ABCD中，点0是3c的中点，

■.BQ=QC=^BC=1,BC=CD=2,ABCD=90。，点B与点D是对称点,

连接交"C于点尸，此时APS。周长最小，

•••DQ=yJCQ2+CD2=V5,

△尸3。周长的最小值是PB+PQ+BQ=DQ+BQ=&\,

故选D.

3.5

【分析】先求出8(3,0),"(TO),过点3、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交

于点7,连接PT,证明四边形OBTC是正方形，且7(3,3),即有点。与点7关于直线3C

对称，贝U有尸N+P0=P/+P7,当/、P、7三点共线时R4+PT最小，即P/+P。最小，

最小值为4T,问题随之得解.

【详解】解：在y=-/+2x+3中，当x=0时，歹=3,

.­.C(0,3),

OC=3；

当V=°时，-Y+2x+3=0,

解得：再=—1,工2=3,

・・.8(3,0),4(-1,0),

0B=3,0A=1；

过点夙C分别作x轴、〉轴的垂线，两线交于点T,连接尸T,如图，

答案第2页，共50页

CTVOC,BTA.OB,

•••OBIOC,OB=OC=3,

••・四边形O8TC是正方形，且7(3,3),

.••点。与点7关于直线3C对称，

PO=PT,

.-.PA+PO^PA+PT,

・••当4P、7三点共线时尸N+尸？最小，即尸N+PO最小，最小值为/T,

•••^(-1,0),7(3,3),

PA+PO的最小值NT=](3+1)?+(3一二5,

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，考查了二次函数与坐标轴交点的问题，轴对

称的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，证明四边形O8TC是正方形，且

7(3,3),得出点。与点7关于直线3c对称，是解题的关键.

4.810

【分析】首先根据题意解得/E、23的值，再根据正方形的性质求得4D的值；连接。E,

交4c于P,连接8P,则此时尸3+PE的值最小，由题意易知AD关于/C对称，进而可得

PB=PD,所以PB+PE=PD+PE=DE,利用勾股定理解得。E的值，即可获得答案.

【详解】解：••・BE=2,AE=3BE,

・•.AE=3BE=3x2=6,

AB=AE+BE=6+2=8,

•・・四边形/BCD为正方形，

/.AD=AB=8；

如下图，连接交4C于P,连接5尸，则此时尸5+尸£的值最小，

答案第3页，共50页

••・四边形/3C。是正方形，

关于4。对称，

・•・PB=PD,

PB+PE=PD+PE=DE,

AE-6,AD-8,

DE=^AD2+AE2=V82+62=10，

故PB+PE的最小值是10.

故答案为：8,10.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、最短路径问题、轴对称对称的性质、勾股定理等知识,

正确作出辅助线是解题关键.

5.C

【分析】连接版，利用三角形中位线定理，可知=；/尸，求出"'的最小值即可解决

问题.

【详解】解：连接相，如图所示：

•••四边形23CD是菱形，

AB=BC=4,

■■■G,〃分别为NE,E尸的中点，

是A/E厂的中位线，

:.GH=-AF,

2

当Nb/BC时，井最小，G”得到最小值,

答案第4页，共50页

贝l|ZAFB=90°,

ZB=60°NBAF=90°-NB=30°,

.­.BF=LAB=2,AF=」AB2-BF。=2拒,

2

:.GH=-AF=s/3,

2

即GH的最小值为g,

故选：C.

【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、垂线段最短等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线.

6.D

【分析】连接斯，利用三角形中位线定理，可知=求出肝的最小值即可解决

问题.

【详解】解：连接〃，如图所示：

••・四边形是菱形，

AB=BC=2。,

■-G,“分别为/E,跖的中点，

;.GH是△/所的中位线，

:.GH=-AF,

2

当时，的最小，所得到最小值,

则ZAFB=90°,

ZB=45°,

是等腰直角三角形，

AF=—AB=—x2也=V6,

22

:.GH=—,

答案第5页，共50页

即所的最小值为逅，

2

故选：D.

【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂

线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

7.V3

【分析】连接NG,AC,过N作/于M；由题意得/8=60。，则可求得/",2M的

长，从而由勾股定理求得/C；由三角形中位线定理得=当G与C重合时，AG

最长；当G与M重合时，AG最短,从而可求得E尸的最大值与最小值的差.

【详解】解：如图，连接/G,AC,过4作/ML8c于跖

贝l|ZAMB=ZAMC=90°；

•・・四边形45C。是平行四边形，且NC=120°,

AB//CD9BC=AD=8

Z5=180°-ZC=60°；

・・・/RW=90。-60。=30。；

vAD=2AB=8,

••・AB=4,

,-.BM=-AB=1,

2

由勾股定理得：AM=SJAB2-BM2=273>

:.MC=BC-BM=8-2=6,

由勾股定理得AC=^AM2+MC2=J12+36=473；

,・•点E为的中点，点尸为面的中点，

：.EF=-AG-

2

当G与C重合时，/G最长且为46，此时£5=26；

当G与河重合时，/G最短且为2VL此时即=8；

■■EF的最大值与最小值的差为2g=百.

故答案为：V3.

答案第6页，共50页

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理.连接

/G利用三角形中位线定理是关键.

8.26

（分析】连接在，利用三角形中位线定理，可知GH=\AF,求出AF的最小值，当/尸，8C

时，根据垂线段最短，即可解决问题.

【详解】解：连接如"如图所示：

••・四边形/3CZ）是菱形，

*'.AB=BC=8,

-G,H分别为E尸的中点，

.•.S是△/£尸的中位线，

：.GH=-AF,

2

当4F7,5C时，4'最小，GH得到最小值，

则ZAFB=90°,

■.■ZB=45°,

尸是等腰直角三角形，

.■.AF=—AB=—xS=4y[2,

22

GH=2^2,

即GH的最小值为2&，

故答案为：2&.

【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂

线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

答案第7页，共50页

9.C

【分析】作点A关于AD的对称点H,交3。于点O,连接HM,A'N,A'D,先根据轴对称

的性质可得=从而可得+=+再根据两点之间线段最短、垂线

段最短可得当时，HN取得最小值，HM+MN取得最小值，然后根据含30。角的

直角三角形的性质、矩形的性质求解即可得.

【详解】解：如图，作点A关于3。的对称点/,交于点。，连接HM,A'N,A'D,

由轴对称的性质得：A'M-AM,A'O^AO,AA'1BD,

AM+MN=A'M+MN,

由两点之间线段最短得：当点4，M,N共线时，4M+MV取最小值，最小值为HN,

由垂线段最短得：当时，HN取得最小值，

•.,在矩形/BCD中，4B=6,AABD=60°,

ZADB=30°,

•••BD=2AB=12,AD=^BD2-AB2=673-

在Rt"O。中，AO=LAD=3GDO=yjAD2-AO2=9,

2

AA'=AO+A'O=：2AO=673,

AA'•DO673x9

A'N=

AD6V3

故/M+九W的最小值为9.

故选：C.

【点睛】本题考查了矩形的性质、含30。角的直角三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质

等知识点，利用两点之间线段最短和垂线段最短得出当时，HN取得最小值是解

题关键.

10.B

答案第8页，共50页

【分析】作点8关于/。的对称点8,过点"作笈GL8D于点G,交AD于点、H,即可得到

8E+既的最小值为B'G,再解直角三角形即可解答.

【详解】解作点8关于4D的对称点"，过点"作夕GL8D于点G,交AD于点H,如图

B«

由对称性可得=

:.BE+EF>B'G,

当夕，E,尸三点共线，且5户，AD时，即点E在点H处，点厂在点G处时，BE+BF

的值最小.

AB=6,BC=643,

:.BB'=12,BD=J+(6哺=12,

ZADB=30°,

NABD+ZBB'G=NABD+NADB=90°,

:.ZBB'G=ZADB=30。,

DD'

B，G="xG=6百.

2

故选：B.

【点睛】本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问题，勾股定理，含30度的直角三角形

的性质，解题的关键在于作出适当的辅助线.

11.8A/2-2##-2+8>/2

【分析】本题考查了利用轴对称求最短路径，解题关键利用轴对称和直角三角形的性质确定

最短路径.作点/关于3C的对称点X,连接HP,DG,DH,可知当〃、P、G、。共线

时，尸/+PG最小，求出DH、DG长即可.

【详解】解：作点/关于的对称点连接〃P,DH,GH,如图所示：

答案第9页，共50页

〃

■：DH-DG<GH<HP+PG=PA+PG,

.•当H、P、G、。共线时，P/+PG最小,

vAB=4,AD=8,

,,,4H=8,DH=A/82+82=8A/2>

•••E尸的长为4,点G为E尸的中点，

GD=2,

■■8s/2-2<AP+PG，

故答案为：872-2.

12.4vHi-2

【分析】此题考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称,

根据两点之间线段最短解决最短问题.

作点。关于3c的对称点。'，连接PD；ED',由轴对称可知，DP=D'p,

PD+PF=PD'+PF,又EF=AE=2,即可推出当E、F、P、。共线时，P0+PR定值最

小，最小值为4瓦-2.

【详解】解：如图，作点。关于3C的对称点。，连接PD',ED',

答案第10页，共50页

在中，

■：DE=AD-AE=6-2=A,DD'=2DC=\2,

ED'=yjED2+DD'2=V42+122=4710，

由轴对称可知，DP=DP'

：.PD+PF=PD'+PF,

•••EF=AE=2,

当E、F、P、。共线时，PD'+尸尸定值最小，最小值为4丽-2,

PD+PF的最小值是4丽-2,

故答案为：4丽-2

13.B

【分析】如图，作点。关于08的对称点7,作窗〃OB,使得TR=EF,连接CR交08于尸，

在尸。的延长线上，取点E,使得斯=1,连接ET.DE,此时OE+C/的值最小.

【详解】解：如图，作点。关于的对称点T,作窗〃OB,使得TR=EF,连接CR交05

于尸，在尸。的延长线上，取点E,使得斯=1,连接ET.DE,止匕时OE+C尸的值最

答案第11页，共50页

---RT=EF=\,RT//EF,

四边形TME是平行四边形，

ET=FR,

D,r关于OB对称，

ED=ET,

DE=RF,

DE+CF=RF+FC=RC,

此时CR的值最小，最小值=JTR2+CT：=+3,=而,

故选：B.

【点睛】本题考查轴对称一最短问题，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的

关键是学会利用轴对称添加辅助线，构造特殊四边形解决最短问题，属于中考常考题型.

14.A

【分析】取CD的中点Q,连接尸。，EQ,证明四边形尸QE尸为平行四边形，求出

AE+PF=AE+EQ,最后用勾股定理求出最小值.

【详解】解：取的中点。，连接尸0,EQ,如下图所示：

•.•正方形/BCD的边长为10,

；.4B=BC=CD=4D=1。,NADC=90°,

•••BD是正方形ABCD的对角线，

•••BD=41AB=1072，

••・P。是的角平分线，

•••PQ=41BD=5叵P01|BD,

AB=41EF,AB=\0,

EF=5A/2,PQ=EF,

■.■PQ//BD,gpPQ//EF,

答案第12页，共50页

••・四边形PQEF为平行四边形,

：.PF=EQ,

.-.AE+PF^AE+EQ,

.•・当/、E、0三点共线时，/£+尸尸的值最小，最小值就是工。的长，

•••点。时CD的中点，.•.8=1。=5,

由勾股定理得，AQ=^AD2+DQ2=5A/5,

故选：A.

【点睛】本题考查三角形中位线，勾股定理的知识，掌握性质是解题的关键.

15.—##7.5

2

【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的

三边关系，勾股定理，分别以EREC为边作平行四边形ESF,连接/〃，过点尸作

FG〃BC交AB于点G,根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可，根据题意

正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解分别以EF、EC为边作平行四边形ECHF,连接,过点尸作尸G〃交AB

于点G,则尸G=BC=3,FH=EC,

H

4

-AC=YIAB2+BC2=A/62+32=3A/5，

ZCCF,ZAOG+ZBAC=90°f/COF+/GFE=90。,

ABAC=ZGFE

•：/ABC=NFGE=90。,

小FGEs^ABC,

答案第13页，共50页

FG_AB

~FE~liC

解得EF=C7/=「L,

2

•.•四边形石CHF是平行四边形，

'.EF//CHf

•・•AC1EF,

・・・/ACH=90。,

在RG4C〃中，由勾股定理得：

AH=^AC2+CH2=](3指了+]孚)=^-<AF+FH=AF+EC,

・♦.EC+E4的最小值为9，

故答案为：-y-.

16.5A/5

【分析】过点。作于点利用相似三角形的性质求出产以=3,设5。=%,则

CH=x,PD=5-x,AP+QE=^62+(5-x)2+Vx2+42,求N尸+0£的最小值，相当于在x

轴上找一点M(x,O),使得点加到(0,4),K(5,6)的距离和最小，作点J关于x轴的对称点

J',连接KT,则灯=炉而=56,由MJ+MK=MJ'+MKNKJ'=5后,可得结论.

【详解】解：如图，过点。作。于点

E

四边形A8CD是矩形，

AB=CD=8,AD=BC=6,/B=NC=/D=90°,

■:CE=1,

答案第14页，共50页

:.BE=BC—CE=6—2=4,

•・•QHLCD,

/B=ZQHP=ZQHC=90°,

J四边形5C7/0是矩形，

BQ=CH,BC=QH=6,QH//BC,

:.NAQH=NB=90。，

AELQP,

ZQAF+ZAQP=90°,AAQP+AHQP=90°,

/BAE=/LHQP,

“BEsgHP,

AB_BE

一函一丽'

.8_4

,•,

6PH

PH=3,

设8Q=x,则C〃=x,DP=5-x,

AP+QE=而+(5-X)2+VX2+42,

欲求NP+QE的最小值，相当于在x轴上找一点M(x,0),使得点"到J(0,4),K(5,6)的距离

和最小，如图1中，

作点J关于x轴的对称点/,连接K/',

;K(5,6),/(0,-4),

:.KJ'=^52+W2=5>/5，

答案第15页，共50页

■：MJ+MK=MJ'+MK>KJ'

.•.加+压的最小值为5vL

，/P+QE的最小值为50.

故答案为：5石.

【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质等知识，解题的

关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于

中考填空题中的压轴题.

17.A

【分析】先找出P点的运动轨迹.作EG，于G1,连接NG1,BE交于点。作EG2LEB交BC

的延长线于G.当尸点与/点重合时，G点与G1点重合，此时尸点与O点重合.当尸点与8

点重合时，G点与G2点重合，此时尸点与C点重合，因此P点的运动轨迹就是线段OC.当

DPJ_OC时，DP的值最小.由AOBC歹吐匕例式求出DP的长即可.

解：••・四边形/BCD是矩形，

ABAD=NABC=ZBCD=ZADC=90°,

且DC==6,AD=8C=10.

当点尸与点4重合时，作EGjBC于G”

则四边形/5GH是矩形.

连接交于点O,则。点是NG】的中点，也是8E的中点,

此时，尸点与。点重合.

当厂点与2点重合时，作EG2JLE8交3c的延长线于

AD\\BC,

:.ZAEB=ZEBG2.

答案第16页，共50页

又•/ZBAE=ZBEG2=90°,

/SJ4,BE~^EG?B,

.AE_BE

■：BE=yjAB2+AE2=V62+22=2屈，

,22V10

"2V10-BG2

解得2G2=20.

设3G2的中点为Q,则=10,

5点与C点重合，

••.P点的运动轨迹是线段OC.

当。PLOC时，。尸的值最小.

,・・。点是BE的中点，C点是BG2的中点，

二.OC是"EG2的中位线.

.-.OCHEG],

NBOC=NBEG[=90°,

ZBOC=ZDPC.

•1•ZOBC+ZOCB=90°,ZOCB+ZPCD=90°,

NOBC=ZPCD,

:.^OBC~APCD,

.PC_BC

"DPDC'

■：BO=；BE=®,BC=IQ,

OC=^BC2-BO2=7102-(V10)2=3丽.

3A/W10

--------.....,

DP6

解得。?=亚.

5

答案第17页，共50页

故选：A.

【点睛】本题是一道矩形中的动点问题，难度较大.主要考查了矩形的性质、勾股定理、三

角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，综合性较强.解题的关键是要找出P点的运动

轨迹.

18.C

【分析】作于X,连接7/G延长HG交C。于R作HELCD于H,证明

△ADHs小PDG,得NO〃G=NNP=定值，则点G在射线上运动，故当CGLHF时,

CG的值最小，^FH=FC=DF=\,可知HE=CG,利用等积法求出HE的长即可.

【详解】解：如图，作。。丁•〃，连接"G延长"G交CD于R作HELCQTE,

•・•四边形45cZ）为矩形，

CD=AB=2,ZADC=90°,

-DG±PG,DH±AC,

:・/DGP=NDHA=90。,

-ZDPG=ZDAHf

・•・小ADHs^PDG,

AD_PH

而一访ZADH=ZPDG,

：・NADP=/HDG,

・•・AADPS^DHG,

・・・ZDHG=ZDAP=定值，

・•・点G在射线HF上运动，

・•・当CGL77F时，CG的值最小,

••・四边形/BCZ）是矩形，

・・・/4。。=90。，

:./ADH+NHDF=90。，

•・•ZDAH+ZADH=90°,

・•.ZHDF=ADAH=ZDHF,

答案第18页，共50页

：.FD=FH,

-ZFCH+ZCDH=90°,ZFHC+ZFHD=90°,

・•.ZFHC=ZFCH,

FH=FC=DF=-CD=1,

2

在氏A/DC中，

ZADC=90°,AD=4,CD=2,

由勾股定理得：AC=y^AD2+CD2=A/42+22=275-

处型=坪=拽

AC2755

-CH=yJCD2-DH2=拽

5

PHCH4

CD5

・・・ZCFG=/HFE,ZCGF=ZHEF=90°,CF=HF,

小CGFWHEF(AAS),

4

...CG=HE=~,

4

■■CG的最小值为m.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以

及全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形得出点G的运动路径是解题

的关键.

8V138A/5

1\.Oy.-------------

75

【分析】设/尸=x,可得EF=3x,=4x,由矩形性质可得Z3〃CQ,推出APCDS.FE,

求得PD=JL>E,由勾股定理可得。石=痴而=石，推出尸〃=83+1

x+2x+2

令x+2=入贝！Jx=t-2,得出尸Ong,s[1一]]+1,即可求得答案.

【详解】解：设/尸=x,♦:EF=3AF,

••・EF=3x,

・•.AE=AF+EF=x+3x=4x,

答案第19页，共50页

••・四边形/3C。是矩形，48=6,AD=4,

AB//CD,AB=CD=6fAD=BC=4,ZA=ZB=90°,

MPCDS^PFE,

PDCD口口PD6

---=---,即

PEEFDE-PD3x

.-.PD=-^—DE,

x+2

2222

在Rt/XZOE中,DE=yjAD+AE=^4+（4X）=4V?+1,

x+2

令x+2=，，贝｛Jx=t—2.,

-0<AE<6,BP0<4x<6,

3

0<x<—,

2

37

••.（）<£—2«—,