广东惠州三校联考2024年高一年级下册第一次月考数学试题含答案

惠州市2026届高一联考试题

数学

考试时间：2024年4月2日下午：3:00-5:00试卷满分：150分

注意事项：

1、答卷前，考生务必将姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息在答题卷上填写清楚。

2、选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每

题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效。

第I卷

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.已知i为虚数单位，则复数z=々的实部是（）

1+1

2.已知向量4=(1,k),b-(2,2),且a+5与a共线，贝Ua区的值为(

A.lB,2C,3D,4

3.已知角a的终边过点(m,3),且2sma+cosjJ则实数m=(

sma+2cos。4

3+qz-

4.复数z=2i+——（i是虚数单位），则z的共匏复数z对应的点在复平面内位于（

z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.已知a、b、c分别是aABC的内角A、B、C的对边，若c<bcosA,则4ABC的形状为（

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形

6.如图，在四边形ABCD休闲区域中，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能

源环保电动步道AC,ZD=2NB,且AD=LCD=3,cosB=—,则氢能源环保电动步道

AC的长为()

A.lB.26C.3D.2V2

7.在复平面内,0是原点，厉，反,通表示的复数分别为-2+i,3+2i,l+5i,则前表示的复数为（）

A.2+8iB.-6-6iC.4-4iD.-4+2i

8.《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式:如

图，公式中“弦''是指扇形中加所对弦AB的长，“矢”是指反3所在圆0的半径与圆心0到弦的距离之差,

“径''是指扇形所在圆。的直径。若扇形的面积为亍，扇形的半径为4,利用上面公式，求得该扇形的弧长

的近似值为()

A.V3+1B.2V3+1C.3V3+1D.4V3+1

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目

要求的。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。

9.已知向量〃二(1,3),b-(2x,2-x),其中％£尺，下列说法正确的是(

则x=6；B.若。与B夹角为锐角，贝ljx<6

2

c若x=i,贝在B方向上投影向量为BD.若b+囚=忖+恸,则％=_

7

10.设复数z的共辗复数为胃，i是虚数单位，则下列命题正确的是(

A.z+ze7?B.z-z是纯虚数

C.若z=cosq+isin-^,则目=1D.若卜-4=1,则目的最大值为2

11.已知函数f(x)=Asin(4r+0)A>0,a)>0,闸的部分图像如图所示，下列说法正确的是

A.函数y=f(x)的最小正周期为2n

S77IT

B.函数y=f(x)在--，二上单调递增

57r

C函数y=f(x)的图象关于直线x=-二对称

12

71

D.该图象向右平移一个单位可得y=2sin2x的图象

6

第II卷

填空题：(本大题共3小题，每题5分，共计15分)

•2021

12.口一

13.在AABC中，若乙A=30。，a=7V2,c=14,贝IJC二

14.八卦是中国传统文化中的概念和哲学符号，如图1是八卦模型图，其平面图形为图2中的正八边形

ABCDEFGH,设该正八边形对角线的交点为。，若OA=1,则下列结论中所有正确结论的序号

是.

®AD=(V2+1)BC;

—■—-41

②04000=-三

③次+反=-亚赤;

四、解答题：共77分。解答时应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知sin(n-a)=2cos(2TI-(X)。

71

(1)若ex为锐角，求cos(Q+7)的值;

6

(2)求tan12a+?

16.(本小题15分)

已知函数f(X)=2cos[X-y

cosx+1o

7171

(1)设xe——,求f(x)的最值及相应x的值;

63

(2)设--n-j=—,求cos磊—2^的值。

I122J6

17.(本小题15分)

222

在锐角△ABC中，角A,B,C满足条件：sinA+sinC=sinB+sinAsinCo

(1)求角B；

(2)求sinA+sinB+sinC的取值范围。

18.(本小题17分)

如图，已知aABC是边长为2的正三角形，片,鸟,鸟四等分线段BC。

(1)求荏施+丽加；

(2)Q为线段A《上一点，若而=4荏+《恁，求实数2的值；

(3)P为边BC上一点，求而瓦的最小值。

19.(本小题17分)

如图，半圆。的直径为2cm,A为直径延长线上的点，0A=2cm,B为半圆上任意一点，以AB为一边

作等边三角形ABC。设NAOB=a。

(1)当a为何值时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值；

(2)克罗狄斯・托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸

四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，

则当线段0C的长取最大值时，求乙AOC。

0

惠州市2026届高一联考试题

数学参考答案

*-A•,"**»-i|ij.aus,A.

2-D=（1.*）.»-（^2）.加；+».（3,24.t）

又Z+B与£共%颊，G+5n点」知Ht,即|：=：,

12+A»M

故C=2+2=4dti£：D

3.C【惮解】由三角所敷的定义得'的。=2,磬筌变形为詈驾=。，

mdna+2cosa4-tanar+24

MWit*na«2,即2=2,解得：加工二.故选】C

m2

4・A【详解】因为*=方*2±冬=方）+也=2i+4-3i=4-i,则7=4+”

i।

所以,复H工对应的点在宣平面内位于第一叙限故选：A.

5・A【详解】*.c<bcosA,

二利用正弦定理化flMhsinC=sin（/+，）=血/a»6+<x»<sin5vsinBcos/,

■理得：mAcosB<0,•.iin^>0,/.co»B<0.VB€（0.»）>

二方为惊角，三角形处为低角三角形.故选，A

6.B【详解】（l）VCM0**^ZD-2Z»..*.a»D-co«2jB-2co«,fl-l--|,

：LCD・3,...由余弦定事得心・AD*+CD*-2AZrCD«»。・1+9-6x（-：）-12,

-：jtC>0,:-ACS

7.CIWM>］配-衣-SS)-m・3+2l+2-I-5i-4-4l4C

«.D【详解】《tat•形的・O/为a?由■■■•(公式・:x^xa-号，所以。•军，

取石的中点C，连接8.交”于点£>•JgOCXJ*.■OO-fxc«^OD-4ce«y-2,

>40vZ4D*2x4m-"4^>CD»OC-QD»J»_C_

3

所以』海的M长总阪值为

«A

G乙13/n

3弦十%~0彳“^^・46♦筌故逸:b

9.ACD【详解】若网13.2>+3(27)・0.*Mx«6»A正•$

若。与6夹角为锐角，则a.A・2x+3(2-x)A0,WW.*<6(又当*■亨.”专争，此时"=/，

G与5夹角为0.故B情根，

若工［1,则5=(41)、因为a在5方向上授勤为首一需一石，与E同向的单位向量为

g-(乎•争，所以3在5方向上投影向★为背=(24)=心C正

若伍+训训同，JIG与5同向，由上可知，此时DiE・.故的ACD

10.AD1详解】解：因为复数，与其共粗复数为；的实部相等，虐部互为相反效，所以工+；・£，A

正％

当，为实数时，；也为实«t.则z-；是实效，B错误；

若z=cos/-iain,,»C错误；

若|zT卜1表示震平面内点Z(x»y)到点(0,1)的距离，即动点Z形成一个以(0,1)为■心半程

为1的园，|z|衰示0上的点到原点的距离，所以其♦大值为2,D正确.

故选：AD.

11.BCD【详解】由图象可知t彳=2,周期丁=«；卡卜森•：・。工学=2，

由/■管)=2sin(2x^+.)=2,所以2x盘“吟+2AM.Z,解得伊吟+2Ax»£wZ.

由1，1<：可得♦=/,故函数/(x),2iin(2x+"・

对于A.T-w,故A错误；

对于B：当-*1哈时，因为在［-弱匕正弦制h■而.单B遢增.

所以函数大/(x)M考匍上单■■■故B1E%

对于G当…制,4制3等2+升-2,

即直线X--含是yn/(x)的一条对耐*,故CjB%

对于Di,=/(X)向右平，/单位，黑=242(*用+；卜2向2X,故D正..

12.一文♦/【详解】

所以，七===尚告T芋+*故答案为，-丹.

aC详■】*根搪正弦定理W・金得血C.哼孝.

因为C-（（r/5<r）.所以c・4£联C・13f,故答案为：45•或135*

14.①⑧④【详解】由图知，在正八边形丽DKFGH中，每个也对应的中心角为46,以点。为生

标原点，it立如图的直角坐标系，期”（0,-1），，停,-用.C（L。）,《李用‘用孙

.对T0,祝惇亭”,丽+孝用,伊+呼=停字1｝所

614D-(J2+1)BC,故①正修，

对于②：CW«(O,-l),ZX)=^~^-，―^1,OA-DO^-^-t故②I#课;

对于③rOi-(Q,-1),OC-tkO),OF-,所以

oi+5c-(i,-i)«-42QF,故③正•；

对于④8BE=（一•所以户可■V2+Vi»故④正—・

故答案为，①®④.

,分

15、（13分）【详解】<1）解，由已如，血a=28»a・

又811a=1,且。为悦角.

__4.2«・・・・・・・・・・

l»Wco«a«—•«ma・―^―・•—•▼••—4

所以，吟)玄一*

oos(a.OMaco•a*‘_________S分

万百2行1岳-邛

st.一X-u'一'一._________7分

525210

(2)解，由(D。皿。=2,_________8分

10分

2tana=_2旺

所以*-切=二5在1-2

............13分

所以《«（20+习=

Ico«x+-J

16、（15分）»-侬=2|

____2分

uZx+G而xa»x+l

吧在+且isn2*+1

22

疝”用

.6分

因为工+若］所以力+彳右

,8分

故当21Gq.印，一泊，函效/⑸取g-

当小泻,即4时,函数朋取得最大心二...10分

⑵由小+才农+舒小ET卜代_____12分

............13分

得sin（2«+；卜会

于是皿仔㈤=8栏-，闻］14分

IS分

=-血（2«+；）

s——

3

,2分

17、（15分）［详解】鲜，＜»＞程福正效定皿互化#，

整理用/+/-加=8

/+/-*»」.4分

所以由余弦定理#，3-^―"I,

因为"C为机角三角形，

所以5=擀•

jf-2<

（2>由⑴/B-1，/+C=gr

所以sinZ+sinB+sinC=sin"+亨+sin（竽_4）=3cos4+2,in4

=6停cos"+惇sin/卜半=6时”+裕学，

因为“07为锐角三角形，

所以，/外所以“+3信部

所以空虱Y1条曝

故sin/+sin3+sinC的取值范围......15分

18.（17分）【详解】由题知，《为BC的中点，4为熙的中点，鸟为5的中点，5为6月的中点,

因为“5C是正三角形，所以此LBC.

（1）万万+再祠=诟（万+9）=2/=可珂...................分

因为四=陛sin600=75,此=；,AP2J.BC,

所以期=〃/5?+/}#=J"；=，4分

故而不药腐=2x/埋|=黑..........5分

（2）因为。为线段期上一点，所以可设初=用商，..........6分

又廊-刀+丽=荏+；而=万+.（而-而）=：而+；%.............~...7分

所以而,用需片次+：而............8分

又京疝+看而，且向量而，而不共线，

借=4卜=；,

由1、1J，JJ-八

--=---|义N—

,412[4

所以实数4的值为"___________10分

4

因为尸为边友?上一点，所以可设=石，

（3）5------------------11分

答案第5页，共6页