2024-2025学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.1.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选择性必修第一册

第三章3.1.1椭圆及其标准方程学习单元1

椭圆圆锥曲线是高中解析几何课程的重要内容.在“直线和圆的方程”的基础上,通过行星运行轨道、抛物运动轨迹等,了解圆锥曲线的背景与应用;在平面直角坐标系中,认识椭圆、双曲线、抛物线的几何特征,建立它们的标准方程;运用代数方法进一步认识圆锥曲线的几何性质以及它们的位置关系;运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题.根据解析几何的学科特点,对于曲线的研究都贯彻了“先用几何眼光观察与思考,再用坐标法解决”的策略,并以“四步曲”大观念来实施具体的问题研究,促进对于平面解析几何中蕴含的数学思想的感悟.椭圆这一学习单元,具体包括椭圆的概念、标准方程与简单几何性质等内容.对其研究是按照“椭圆的几何特征—椭圆的标准方程—通过方程研究曲线的性质—应用”的过程来展开的.这也是本单元的知识明线.具体知识结构如下图所示:上述知识明线的学习过程,蕴含着“解析几何是一种方法论”的核心定位,凸显了“四步曲”大观念的具体实施:一是观察几何特征,明确几何要素;二是利用几何特征合理建立坐标系,用代数方式表示几何要素及其之间的关系;三是进行代数运算;四是把代数运算的结果用几何语言解释.这也是本单元的素养暗线.在此过程中,提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养.学习目标1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(数学抽象)2.掌握椭圆的定义和标准方程.(逻辑推理)3.会求椭圆的标准方程.(数学运算)基础落实·必备知识一遍过知识点1

椭圆的定义1.定义.

此条件不可忽略我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于

(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.

2.定义的集合语言表述.椭圆就是下列点的集合:P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}.常数

名师点睛在椭圆定义中,要求常数必须大于两定点F1,F2之间的距离,这是椭圆定义中非常重要的一个条件,可以验证:如果这个常数等于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将是一条线段;如果这个常数小于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将不存在.微思考1.平面内与两定点的距离之和为定值的点的轨迹是否一定为椭圆?为什么?

2.椭圆的定义把文字语言改成集合语言有什么好处?提示

不一定.平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于定值,且定值大于|F1F2|的点的轨迹叫做椭圆.如已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内与F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹则是线段,而平面内与F1,F2两点的距离之和等于6的点不存在,也就无轨迹.提示

更容易把几何问题逐步向代数问题转换,聚焦.如椭圆定义就直接转化成距离的代数表示.知识点2

椭圆的标准方程

焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程(a>b>0)(a>b>0)图形

焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上焦点坐标

F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系a2=b2+c2该关系中蕴含:①a>b,a>c;②可知二求一

F1(-c,0),F2(c,0)名师点睛1.两种椭圆

(a>b>0)的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有a>b>0,a2=b2+c2.不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.2.给出椭圆方程

(m>0,n>0,m≠n),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大.这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.微思考1.在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗?

2.能否根据椭圆的标准方程,判定焦点位置?提示

不一定,只需a>b,a>c即可,b,c的大小关系不确定.提示

能.根据x2与y2的分母的大小来判定,哪个的分母大,焦点就在哪个

轴上.重难探究·能力素养速提升问题1在椭圆的定义中,为何要求2a>2c?请结合图形进行说明.问题2椭圆定义中涉及的几何问题有哪些?如何把这些几何问题通过集合的形式来表示出来?问题3可否把集合形式表示的几何问题用代数式表示?这一步凸显的方法本质是什么?问题4对于椭圆方程的化简过程,为什么要令b2=a2-c2?有无实际意义?探究点一求椭圆的标准方程问题5从代数的角度来分析椭圆的标准方程,涉及了a,b两个量.据此,如何求椭圆的标准方程?角度1待定系数法【例1】

根据下列条件,求椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);(3)经过点A(,-2)和点B(-2,1).规律方法

待定系数法应用注意事项(1)利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下:①先确定焦点位置;②设出方程;③寻求a,b,c的等量关系;④求a,b的值,代入所设方程.(2)焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为焦点位置包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两种情况,所以可以避免分类讨论,从而简化运算.角度2定义法【例2】

一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.解

圆Q1和圆Q2的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题意有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,∴|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.由椭圆的定义可知点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.故动圆圆心的轨迹方程为规律方法

1.若动点轨迹满足椭圆的定义,则根据椭圆的定义来确定a,b,c,从而确定椭圆的标准方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法.2.一般步骤:(1)将条件转化为到两定点的距离之和为定值(该定值大于两定点之间的距离);(2)判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴;(3)确定椭圆的基本量a,b,c,从而确定椭圆的标准方程.探究点二对椭圆标准方程的理解问题6对于椭圆标准方程中的a,b,应满足什么样的条件?A.(-9,25) B.(-9,8)∪(8,25)C.(8,25) D.(8,+∞)B(2)若方程x2-3my2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是

.

规律方法

根据椭圆方程求参数的取值范围

探究点三椭圆中的焦点三角形问题问题7焦点三角形有哪些几何性质?能联系到求解什么几何问题?【例4】

已知F1,F2是椭圆

的两个焦点,P是椭圆上的任一点.(1)求|PF1|·|PF2|的最大值;(2)若∠F1PF2=,求△PF1F2的面积.规律方法

本节要点归纳1.知识清单:(1)椭圆的定义及其应用;(2)椭圆的标准方程.2.方法归纳:定义法、待定系数法.3.常见误区:(1)忽视椭圆定义中a,b,c的关系;(2)混淆椭圆的两种标准方程.学以致用·随堂检测促达标12341.(例1对点题)根据下列条件,求椭圆的标准方程.1234(2)经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点.

12342.(例2对点题)已知圆Q1:(x+3)2+y2=1,圆Q2:(x-3)2+y2=81.若动圆与两个圆都内切,求动圆圆心的轨迹方程.解

设动圆圆心为P(x,y),半径为r.由圆P与圆Q1内切,得|PQ1|=r-1;由圆P与圆Q2内切,得|PQ2|=9-r.所以|PQ1|+|PQ2|=8>6=|Q1Q2|.所以P点轨迹是以Q1,Q2为焦点的椭圆,且2a=8,即a=4,c=3,所以b2=a2-c2=7.故动圆圆心的轨迹方程12343.(例3对点题)若方程

表示焦点在y轴上的椭圆,则实数a的取值范围是

.

(-4,0)∪(0,3)12344.(例4对点题)如图,已知经过椭圆

的右焦点F2的直线AB垂直于x轴,交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.(1)求△AF1B的周长.

(2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长有变化吗?为什么?1234故有|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,|AF2|+|BF2|=|AB|,∴△AF1B的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(