2024届浙江省嘉兴市第五高级中学高考冲刺数学模拟试题含解析

2024届浙江省嘉兴市第五高级中学高考冲刺数学模拟试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数(上一年同月=100)变化图表，则以下说

图表一图表二

(注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是

北京、天津、上海、重庆)

A.3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均

B.4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102

C.四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小

D.仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

2.已知定义在R上的奇函数/Xx)满足：/(x+2e)=—/(x)(其中e=2.71828),且在区间［e,2e］上是减函数，

令。=<，6=矍，c=—,则/3),于3),/'(c)的大小关系(用不等号连接)为()

ZD3

A./(Z7)>/(«)>/(c)B./(Z7)>/(c)>/(«)

C./(«)>/(&)>/(c)D.

3.设a,b,ceR且。＞6,则下列不等式成立的是()

11

A.c-a<c-bB.ac1>be1C.—<—D.

aba

4.已知复数2=——，则Z对应的点在复平面内位于（）

1+Z

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5.已知/,机是两条不同的直线，机_1_平面a,则“///a"是"LLm"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种

病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大.武汉市出现疫情最早，

感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎

患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不

漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地

逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为P

且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为/（°）,当p=0o时，f⑺最

大，贝!IA）=（）

A.1-^-B.亚C.-D.1—走

3323

22

7.已知椭圆三+/=l（a〉b〉0）的左、右焦点分别为耳、B，过点片的直线与椭圆交于尸、。两点.若APgQ的

内切圆与线段尸&在其中点处相切，与PQ相切于点月，则椭圆的离心率为（）

A.也B.旦C.也D.3

2233

8.已知AABC中，角A、3所对的边分别是a,b,则“a>6”是“A>5”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充分必要条件

1Ir

9.已知函数〃x）=ln^—+x+l且〃a）+〃a+l）>2,则实数。的取值范围是（）

3

10.^a=log8Q.2,b=log034,c=4°,贝(J()

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

x-y>0

11.已知x,丁满足约束条件<x+y«2,则z=2x+y的最大值为

y>0

A.1B.2C.3D.4

12.已知函数〃x）=cos2x+sin2，+m，则/（尤）的最小值为（）

AI亚u1「、立n1加

A.1-1--------B・C•1-----D•1----

2224

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货

款，则有种不同的支付方式.

14.已知直线x—y+a=O与圆心为C的圆¥+：/+2*一4'—4=0相交于A,3两点，且ACL3C,则实数。的值

为_________

15.已知全集。={-1,。,1},集合A={0,|无I},则即A=.

16.在长方体43。一46。1。1中，AB=1,AD=2,M=1,E为的中点，则点A到平面ADE的距离是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

JT

17.（12分）如图，四边形ABC。中，ZADC=-,AD^AB=BC=2CD,AE=EC,沿对角线AC将AACD

2

翻折成AACD',使得BD'=BC.

B

（1）证明：BELCD'；

（2）求直线BE与平面ABD'所成角的正弦值.

18.（12分）如图，在等腰梯形ABC。中，AOAD=AB=CD=2,BC=4,M,N,。分别为BC,CD,

AC的中点，以AC为折痕将ACD折起，使点。到达点P位置(Pe平面ABC).

(1)若H为直线QN上任意一点，证明：〃平面A5P；

TT

(2)若直线与直线所成角为一，求二面角A-PC-5的余弦值.

4

19.(12分)已知圆M：卜+26)+/=64及定点日260),点A是圆M上的动点，点5在ML上，点G在M4

上，且满足NA=2NB，GBNA=G，点G的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设斜率为k的动直线/与曲线C有且只有一个公共点，与直线y=：》和y=—分别交于P、Q两点.当河,1

时，求AOPQ(0为坐标原点)面积的取值范围.

20.(12分)已知向量a=(2sinx,一6｝Z?=(cosx,2cosFT),f[x)=a-b.

(1)求/(九)的最小正周期；

(2)若AABC的内角A,5c的对边分别为a,4c,且。=省力=1,/(A)=也，求AABC的面积.

21.(12分)已知数列｛为｝的前"项和为S“，且〃、a“、S”成等差数列，^=21og2(l+a„)-l.

(1)证明数列｛。“+1｝是等比数列，并求数列｛4｝的通项公式；

(2)若数列也｝中去掉数列｛«„｝的项后余下的项按原顺序组成数列｛%｝,求q+。2+…+%0的值.

22.(10分)已知数列｛为｝的前〃项和S“和通项4满足2S,+4=l("eN*).

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)已知数列也｝中，々=34,d+|=6“+l(〃eN*),求数列｛为+2｝的前几项和7“.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

采用逐一验证法，根据图表，可得结果.

【详解】

A正确，从图表二可知，

3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大

B正确，从图表二可知，

4月份只有北京市居民消费价格指数低于102

C正确，从图表一中可知，

只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大

D错误，从图表一可知

上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

故选：D

【点睛】

本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.

2、A

【解析】

因为/(x+2e)=—/(%),所以/(x+4e)=/(x),即周期为4,因为/(%)为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]

示意图，如图“力在(0,1)单调递增，因为52<25;.55<25,23<32;.25<33.,.0<c<a<0<l，因此

f(b)>f(a)>f(c),选A.

1

点睛：函数对称性代数表示

(1)函数/Xx)为奇函数。/(%)=-/(-幻，函数/■(》)为偶函数。/(%)=/(-X)(定义域关于原点对称);

(2)函数/(%)关于点(a,切对称0f(x)+f(-x+2a)=2b,函数/(x)关于直线％=7〃对称o/(%)=f(-x+2)n),

(3)函数周期为T,则/(x)=/(x+T)

3、A

【解析】

A项，由得至U—a<—Z?,则c-a<c-Z?,故A项正确；

B项，当c=0时，该不等式不成立，故B项错误；

C项，当。=1,6=-2时，1〉—工，即不等式!〈工不成立，故C项错误；

2ab

bb

D项，当a=—1,6=-2时，一=2〉1,即不等式一<1不成立，故D项错误.

aa

综上所述，故选A.

4、A

【解析】

利用复数除法运算化简z,由此求得z对应点所在象限.

【详解】

4z(l-z)

依题意z==2z(l-z)=2+2z,对应点为(2,2),在第一象限.

(1+')(J)

故选A.

【点睛】

本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.

5、A

【解析】

根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.

【详解】

当机_1_平面a时，若/〃a"则"LLm”成立，即充分性成立，

若ZL",贝！j/〃a或/ua,即必要性不成立，

则“/〃a"是充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题

6、A

【解析】

根据题意分别求出事件A：检测5个人确定为“感染高危户”发生的概率和事件B：检测6个人确定为“感染高危户”发

生的概率，即可得出f(p)的表达式，再根据基本不等式即可求出.

【详解】

设事件A：检测5个人确定为“感染高危户”，

事件B：检测6个人确定为“感染高危户”，

P(A)=以1—",0㈤=以1—")5.

即/(P)=P(1-P)4+P。-Pl=.(2—p)(l—pf

设％=1一〃>。,则8(%)=/5)=(1_司。+%卜4=(]_工2卜4

__i3

.,.g(x)=(l-x2)x4=|x[(2-2x2)xx2xx2]<|x"产+x喙

当且仅当2-2f=尤2即x='时取等号，即p=p0=l当.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查概率的计算，涉及相互独立事件同时发生的概率公式的应用，互斥事件概率加法公式的应用,以及基本不等

式的应用，解题关键是对题意的理解和事件的分解，意在考查学生的数学运算能力和数学建模能力，属于较难题.

7、D

【解析】

可设APgQ的内切圆的圆心为/，设|尸耳|=相，忸闾=〃，可得〃z+〃=2a,由切线的性质:切线长相等推得根=g〃，

解得加、〃，并设|。制="求得/的值，推得APKQ为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所

求值.

【详解】

可设的内切圆的圆心为/,M为切点,且为Pg中点，周=|「M=W用，

设|尸制=〃，]。阊="，则机=；〃，且有〃z+〃=2a,解得相=g,n=~^~'

设|Q周=八|。耳|=2aT,设圆/切。工于点N,^\NF2\=\MF2\=^-,\QN\=\QF^t,

由2aT=|。囚=|QN|+|N用=/+?,解得/=彳，.•.|PQ|=/w+、=?,

所以为等边三角形，

\PF2\=\QF2\=^,APBQ

所以，2c=叵肛,解得£=走.

23a3

因此，该椭圆的离心率为走.

3

故选：D.

【点睛】

本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属

于中档题.

8、D

【解析】

由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】

AABC中，角A、3所对的边分别是。、b,由大边对大角定理知“a>b"n“A>5”，

“A>B,,=>ua>b,\

因此，“a>b”是“A>5”的充分必要条件.

故选：D.

【点睛】

本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题.

9、B

【解析】

构造函数网力=〃力—1,判断出厂（%）的单调性和奇偶性，由此求得不等式/（。）+/（。+1）>2的解集.

【详解】

1।Y1।丫

构造函数尸（x）=/（x）-l=ln^—+X,由^—〉0解得-1<彳<1,所以尸（龙）的定义域为（-1,1）,且

1—X1—X

1+x1-x1-x

F（-x）=ln-x=-ln+x=-F（x）,所以网龙）为奇函数，而

1-x1+x1+x

F（x）=ln1^+x=ln[-l+-^-|+x,所以网外在定义域上为增函数，且-0）=lnl+O=0.由

1X\LXJ

〃+〃+1>0

/（。）+/（。+1）>2得++即方（。）+尸（。+1）>。,所以<一1<〃<1=>—<〃<0.

2

-1<<7+1<1

故选：B

【点睛】

本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.

10、D

【解析】

结合指数函数及对数函数的单调性，可判断出-1<。<0/<-1,C>1，即可选出答案.

【详解】

由logo_34<log03g=-1,即/?<—1,

又一1=log80.125<logs0.2<logs1=0,即一1<。<0,

4°3>1,即C>1,

所以Z?<a<c.

故选:D.

【点睛】

本题考查了几个数的大小比较，考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.

11、D

【解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论.

【详解】

作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，

z=2x+y等价于y=_2x+z,作直线y=-2x,向上平移,

易知当直线经过点（2,0）时z最大，所以入砍=2x2+0=4,故选D.

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.

12、C

【解析】

利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值.

【详解】

1—cosI2xH—

由于，/、2.-271l+cos2xI2

j(x)=cosx+sinXH-----------------+

422

1cos2xsin2x

=l+--------+--------

22

叩x+3

故其最小值为：1-正.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查利用降毒扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

按照个位上的9元的支付情况分类，三个数位上的钱数分步计算，相加即可.

【详解】

9元的支付有两种情况，5+2+2或者5+2+1+1,

①当9元采用5+2+2方式支付时，

200元的支付方式为2x100,或者1x100+2x50或者1x100+1x50+2x20+10共3种方式，

10元的支付只能用1张10元，

此时共有lx3xl=3种支付方式；

②当9元采用5+2+1+1方式支付时：

200元的支付方式为2x100,或者1x100+2x50或者1x100+1x50+2x20+10共3种方式，

10元的支付只能用1张10元，

此时共有lx3xl=3种支付方式；

所以总的支付方式共有3+3=6种.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题.做题时注意分类做到不重不漏，分步做到步骤完整.

14、0或6

【解析】

计算得到圆心c(-1,2),半径厂=3,根据AC,3c得到d=半，利用圆心到直线的距离公式解得答案.

【详解】

x2+y2+2x-4y-4=0,即(x+1)?+(y—27=9,圆心。(—1,2),半径厂=3.

AC1BC,故圆心到直线的距离为』=逑，即［=也言=逑，故。=6或。=0.

2V22

故答案为：。或6.

【点睛】

本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。

15、{-1}

【解析】

根据题意可得出A={0,1},然后进行补集的运算即可.

【详解】

根据题意知，|x|=l,

：.A={Q,1},t/={-1,0,1),

•.•”={—1}.

故答案为：{-I}.

【点睛】

本题考查列举法的定义、全集的定义、补集的运算，考查计算能力，属于基础题.

、---

3

【解析】

利用等体积法求解点到平面的距离

【详解】

由题在长方体中，

1323

A。=底。E=&,坳=JM+AS=6，

所以=。石2+4石2,所以。E，A]E,

S^DE=gX忘X6=手

设点A到平面ADE的距离为h

VA.DE--x^-xh=—>解得

4»E3233

故答案为：&

3

【点睛】

此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见证明；(2)立

6

【解析】

(1)取C。'的中点K,连EK,5K.可证得EKLC。，BK±CD',于是可得C。'，平面5KE,进而可得结论成

立.(2)运用几何法或向量法求解可得所求角的正弦值.

【详解】

(1)证明：取C。'的中点K,连EK,BK.

D

'：AE=EC,

:.EK//AD'.

又AD」CD',

：.EKLCD'.

在ABCD'中，BC=BD',

：.BK±CD'.

又EKcBK=K,

CD'，平面3KE,

又BEu平面BKE,

：.BE上CD'.

(2)解法1：取AD'的中点b，连结所,5斤，

'：AE=EC,

：.EFUCD',

又CD'LAD',

/.AEf±EF.

又由题意得♦AB。'为等边三角形，

:.AD'±BF,

■:BFcEF=F,

，A。'_L平面5郎.

作EHLBF,则有EHL平面ABD',

ZEBF就是直线BE与平面ABD'所成的角.

设CD=1,则跖=工,

2

在等边中，BF=BX2=6

2

AsinZEBF=—，

6

二直线BE与平面ABD,所成角的正弦值为正

6

解法2：由题意可得Efi,平面AC。'，建立如图所示的空间直角坐标系改死.

不妨设C£>=1,则在直角三角形ACD'中，可得AO'=2,AC=行，

作。'GLAC于G,则有平面几何知识可得。'G=1^,EG=EC—CG=^~,

510

105

又可得A0,--^-,0,,0,0.

竽,竽卜0平石,。］

设平面ABD'的一个法向量为m=(苍y,z),

s，4^/5245n

m-AD=-----yH------z=0A/55

55x=---------y

得11

—屈曲c

m-AB=----xH-----y=0z=-2y

22

令y=4T,则得根=卜石,而2而).

设直线BE与平面ABD'所成的角为0,

则sin。=cos(m,EB

\m\\EB~6

所以直线BE与平面ABD'所成角的正弦值为且

6

【点睛】

利用向量法求解直线和平面所成角时，关键点是恰当建立空间直角坐标系，确定斜线的方向向量和平面的法向量.解

题时通过平面的法向量和直线的方向向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取

其余角就是斜线与平面所成的角.求解时注意向量的夹角与线面角间的关系.

18、(1)见解析(2)叵

7

【解析】

⑴根据中位线证明平面"NQ平面即可证明MH〃平面A3P；(2)以。河，QC,QP为x,y,z轴建立

空间直角坐标系，找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：连接,

'：M,N,。分别为BC,CD,AC的中点,

AQMAB,

又；平面ABi平面

•*.QM,平面RLB,

同理，QN〃平面R43,

•.•QMu平面MAQ,QNu平面脑VQ,QM\QN=Q,

平面MNQ平面及B,

平面MNQ,

:.MH〃平面ABP.

(2)连接PQ,在ABC和ACD中，由余弦定理可得，

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC

AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosZADC'

由NABC与/ADC互补，AD^AB^CD=2,BC=4,可解得4。=26，

于是5c2=AB2+AC2,

：.AB±AC,QMLAC,

TT

VQMAB,直线AB与直线MN所成角为一，

4

TT

：.ZQMN=-,又QM=QN=1,

4

71

ZMQN=-,即QMLQN,

QAf，平面APC,

平面ABC_L平面APC,

•.•。为AC中点，PQ^AC,

.•.P。，平面ABC,

如图所示，分别以QM,QC,QP为X,y,Z轴建立空间直角坐标系，则3(2,-百,0),C(0,V3,0),P(0,0,l),

PB=(2,-A-1)»PC=(0,V3,-l).

设平面尸5C的法向量为〃=(x,y,z),

2x-\/3y-z=0

KPB=O,即《

n-PC=Oy/3y-z=0

令y=l,则％=也，z=g,可得平面尸的一个法向量为〃=(g,l,退).

又平面APC的一个法向量为根=(1,0,0)，

.m-nvZl

•・cos<m,n>=----------=------,

\m\-\n\7

二面角A—PC—6的余弦值为叵.

7

【点睛】

此题考查线面平行，建系通过坐标求二面角等知识点，属于一般性题目.

22

19、(1)-----F-^―=1；(2)(8,+co).

164

【解析】

(1)根据题意得到G8是线段AN的中垂线，从而|GM|+|GN|为定值，根据椭圆定义可知点G的轨迹是以M,N为

焦点的椭圆，即可求出曲线C的方程；(2)联立直线方程和椭圆方程，表示处AOPQ的面积代入韦达定理化简即可求

范围.

【详解】

(1)\NA~2NB=8为4V的中点，且=是线段AN的中垂线，

GBNA=0

二|AG|=|GN|,x\GM\+\GN\=\GM\+\G^=\AM\=S>4j3=\MN\,

点G的轨迹是以M,N为焦点的椭圆，

r2y2

设椭圆方程为二+=1(a>b>0)

ab29

则〃=4,c=2^3,:.b—a2—c2-2,

22

所以曲线c的方程为工+匕=1.

164

(2)设直线/：y=kx+m(k±—),

2

由消去y,可得(1+4左2卜2+86:+而^-16=0.

x+4y=16'7ra

因为直线/总与椭圆C有且只有一个公共点，

2

所以A=64%2病一4(1+4的(4痴一16)=0,m=16^+4.0

又由1y-=2k广x+m。可得02mm’-2mm

同理可得。

1—2左'1—2左J+2/1+2左

lml

由原点0到直线PQ的距离为d=和=J1+42kp-%|,

J1+k2|PQ|e

可得SA°L+Q|M=施|辰一"/=；••②

2m2AI2i

将①代入②得SA0.2=E=8E

当上2＞；时，

综上，^。「。面积的取值范围是母+⑹.

【点睛】

此题考查了轨迹和直线与曲线相交问题，轨迹通过已知条件找到几何关系从而判断轨迹，直线与曲线相交一般联立设

而不求韦达定理进行求解即可，属于一般性题目.

20、(1)万；(2)旦或叵

22

【解析】

TF

(1)利用平面向量数量积的坐标运算可得/'(x)=2sin(2x-可)，利用正弦函数的周期性即可求解；(2)由(1)可求

O

sin(2A-工)=走，结合范围-£领2A-£孚，可求A的值，由余弦定理可求c的值，进而根据三角形的面积公

32333

式即可求解.

【详解】

(1)f(%)—a-b=2sinxcosx-A/3(2cos2x-1)

=sin2x-y/3cos2x=2sin(2x-g)

.**最小正周期T=丁="

2

(2)由⑴知"x)=2sin[2x—d/(A)=2sin12A—0卜6

..(TTY73JoaJ57r

..sin2A----=——，又-----<2A-----<—

I3)2333

_.TC71.7C27r.,0.TCTC

・・2A----=一或2A-----=——,解得A=一或A=一

333332

IT

当A=4时，由余弦定理得a2=b2+c2-2Z?ccosA

即(省『=：P+c2—zxi.ccos^,解得c=2.

此时S“