2024届山东省济南市高三年级下册3月高考模拟考试数学试题【解析版】

2024届山东省济南市高三下学期3月高考模拟考试数学

试题【解析版】

本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡

上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.记等差数列｛4｝的前〃项和为5“.若为=7,%。=2,贝”必=（）

A.49B.63C.70D.126

2.已知a=Z?=（3m-1,2）,若〃〃人则机=（）

22

A.1B.—1C.-D.—

33

3.某公司现有员工120人，在荣获“优秀员工”称号的85人中，有75人是高级工程师.

既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人，公司将随机选择一名

员工接受电视新闻节目的采访，被选中的员工是高级工程师的概率为（）

3口17门4h33

AA.-B.—C.-D.—

824540

4.与抛物线/=2y和圆/+口+1）2=1都相切的直线的条数为（）

A.0B.1C.2D.3

5.已知b,c分别为一ABC三个内角A,B,C的对边，且〃cosC+J^asinC=b,则

A=（）

71c兀

As.—B.-C.-D.-

6432

。二，则（）

6.^a=sinl,Z?=lg(tanl),

2

A.c<b<aB.b<a<c

C.b<c<aD.a<c<b

7.已知复数4,z?满足2团=闫=|24-22|=2,贝I]Z[+；Z2=（）

A.1B.6C.2D.26

8.若不等式心无三旦+/^1（4力€区）对任意的％6[11]恒成立，则。的最小值为（）

X_乙_

3

52-

A._3e2B.--e

333

C.-In-D.3e-31n-

222

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选

错的得0分.

9.已知椭圆C：3/+今2=48的两个焦点分别为々，F2,p是C上任意一点，则（）

A.C的离心率为在B.△尸月鸟的周长为12

2

C.|「制的最小值为3D.|巡卜|尸用的最大值为16

10.已知函数/（彳）=8$（0彳+夕）（0>0,0<0<1]的图象在、轴上的截距为3，专是该

函数的最小正零点，则（）

71

A4.（p=—

3

B./（x）+/'（x）W2恒成立

C.在,,2上单调递减

D.将y=的图象向右平移三个单位，得到的图象关于y轴对称

11.下列等式中正确的是（）

88

A.EC8-28B.£c：=C；

k=lk=2

8c

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知随机变量X~N（1,22）,则O（2X+1）的值为.

13.在三棱柱ABC-44G中，AM=2MB，&N=mAq,且3N//平面ACM,则加

的值为.

14.已知集合4={〃（％）,（%）=加一（4+匕）%+/?,〃,。£呼,函数一].若函数

g(x)满足：对任意"(x)eA,存在X,〃eR,使得“(x)=4/(x)+〃g(x),则g(x)的解

析式可以是.(写出一个满足条件的函数解析式即可)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

qH2-I-rj

15.已知数列｛。“｝的前〃项和为工，4=；且5“=2」「3,令2=——.

a

2n

⑴求证：｛4｝为等比数列；

⑵求使或取得最大值时的n的值.

16.已知函数/'(x)=e2*+eX-flx.

⑴当。=3时，求“X)的单调区间；

(2)讨论)(x)极值点的个数.

17.抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得的点数分别为a,b,记［：］的取值为随机变

量x,其中;2］表示不超过夕的最大整数.

|_a」a

b

⑴求在X〉0的条件下，X=—的概率；

a

⑵求X的分布列及其数学期望.

18.已知双曲线C：9-丁=1的左右顶点分别为a，4,过点尸(4,0)的直线/与双曲

线C的右支交于M,N两点.

⑴若直线/的斜率/存在，求左的取值范围；

⑵记直线&W,AN的斜率分别为尢，k2,求，的值；

(3)设G为直线A"与直线&N的交点，GMN,△G&42的面积分别为岳，邑，求要

d2

的最小值.

19.在空间直角坐标系。-邙中，任何一个平面的方程都能表示成Ax+3y+Cz+£)=0,

其中A,民C,OeR,A2+B2+C2^0,且"=(A,氏C)为该平面的法向量.已知集合

P=^(x,y,z)||x|<l,|^<l,|z|<l^,Q=｛(x,y,z)||x|+|^|+|z|<2^,

T=y,z)||x|+1y|<2,|y|+1z|<2,|z|+|x|<2^.

⑴设集合/=｛(羽y,z)|z=o｝,记PCM中所有点构成的图形的面积为S］,QM中所

有点构成的图形的面积为s2,求岳和邑的值；

(2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为匕，PQ中所有点构成的几何体的体积为

V2,求匕和匕的值：

(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.

①求W的体积匕的值；

②求W的相邻(有公共棱)两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.

1.B

【分析】

利用等差数列的项的“等和性”得到％+a14=9,再运用等差数列的前"项和公式计算即得.

【详解】因｛为｝是等差数列，故%+%4=%+%。=9,于是解==63.

故选：B

2.A

【分析】

根据平面向量共线的充要条件即可得解.

【详解】因为〃=（利,1）,b=（3m-l,2）,a//b>

所以2m-（3力z-l）=O,解得根=1.

故选：A.

3.C

【分析】

求出没有荣获“优秀员工”称号的高级工程师人数，得到公司的高级工程师总人数，从而得到

概率.

【详解】由题意得，没有荣获“优秀员工”称号的高级工程师有120-85-14=21人，

则公司共有高级工程师的人数为75+21=96,

故被选中的员工是高级工程师的概率为9含6=]4.

故选：C

4.D

【分析】

设出切点坐标，利用导数的几何意义求出抛物线的切线方程，再由圆的切线性质列式计算即

得.

【详解】设直线与抛物线V=2y相切的切点坐标为9g/），由y=求导得y=x,

因此抛物线犬=2y在点处的切线方程为y-^t2=t（x-t）,即tx-y-^t2=0,

依题意，此切线与圆f+（y+l）2=l相切，于是।2解得=0或=±2拒，所以所

+1

求切线条数为3.

故选：D

5.A

【分析】

由题设条件和正弦定理化边为角，再利用和角公式进行拆角化简，即可得到tanA=立，利

3

用三角形内角范围即得.

【详解】由QCOSC+J^asinC=b以及正弦定理可得：sinAcosC+sinAsinC=sinB,

因sin3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入整理得上sinAsinC-cosAsinC=0,

因0<C<兀,sinC>0,则得tanA=3,又因。<A<TT,故4=工.

36

故选：A.

6.C

【分析】

利用三角函数和对数函数的单调性，放缩求解即可.

TT1

【详解】因为sinl>sin5=彳，所以a>c,

62

因为tanl<tan/=百，所以33111)<电6<坨&5=；,即b<c,

综上bvcv。，

故选：C

7.B

【分析】

首先分析题意，设出复数，求出复数的模找变量之间的关系，整体代入求解即可.

【详解】

设Z]=。+bi,z?=c+di,贝lj2\/+b1=Jc?+d?=J(2〃-+Qb-d)?=2

所以。2+/=],c2+J2=4,8—4(ac+bd)=4,gpac+bd=1,

故选：B.

8.A

【分析】

因为InxW乌+人We",所以％,即求直线V="+。的纵截距〃的最小值，设

x

-3一

f(x)=xex,利用导数证明在1,-的图象上凹，所以直线与〃尤)相切，切点横坐标

越大，纵截距越小，据此即可求解.

【详解】因为ln%W@+b<e",所以,

x

所以即求直线丁=法+〃的纵截距〃的最小值，

设/(%)=xe"，所以广(%)=eX(%+l)>0,

―「31「31

所以/(九)在V—单调递增，所以/(九)在的图象上凹，

所以直线与/(光)相切，切点横坐标越大，纵截距越小，

令切点横坐标为；，所以直线过点(3,』£),且直线y="+a斜率为

2222

所以y=6x+a的直线方程为y=e5(gx-g),

33

当丫一1时”2.56’..1

三%一口」，y=—>-------=1.024>xlnx，

44

即直线y="+〃与"X)相切时，

直线y="+〃与/⑴无交点，

设g(x)=xln%,所以g'(%)=lnx+l,

33

所以g(x)在x=5时斜率为In^+l,在％=1时斜率为1,均小于直线的斜率,

3

所以可令直线y="+。在1=/处与人%)相交，在％=1处与y=%inx相父，

3-

2

-e-03

所以直线方程为尸卷一(x-l)+0=3e^(x-l),

--1

2

3

所以截距为_3「.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于111妇0+6＜1,xlnxW笈+即求直线y="+a

X

的纵截距。的最小值的分析.

9.BD

【分析】

首先分析题意，利用椭圆性质进行逐个求解，直接求出离心率判断A,利益椭圆的定义求出

焦点三角形周长判断B,举反例判断C,利用基本不等式求最大值判断D即可.

【详解】

22

由椭圆C:3d+4y2=48,得上+匕=1,

1612

则。=4/=2班,0=2,所以6=£=[,故A错误；

a2

易知但的周长为片工+P£+P工=2a+2c=8+4=12故B正确；

当尸在椭圆长轴的一个端点时，归娟取得最小值，最小值为a-c=4-2=2,故C错误；

由基本不等式得|P用•|P用W(阀丁周)2=16,当且仅当归耳|=|尸局时取等，

则忸轴4明|取得最大值16,故D正确.

故选：BD.

10.AC

【分析】

由题意求出。，夕，然后由余弦型函数的性质判断即可.

【详解】函数/口)=85(5+夕)(°＞0,0＜夕＜3的图象在丫轴上的截距为,

所以coso=:，因为。＜夕＜：，所以。=《.故A正确；

又因为二7T是该函数的最小正零点，

12

LLt、r|兀兀)cLLt、i7T7L7T

所以cos0有=°,所以。高+弓=3，

解得0=2,所以/(%)=＜；0$(2苫+21/(x)=-2sin(2x+|J,

所以/(x)+/'(无)=cos+^-2sin^2x+=5/^cos(2x+g+e]＜A/5,故B错误；

当xe(。,"时，2x+|efy,7r'|e(O,7t),故C正确；

将y=〃x)的图象向右平移三个单位，得到y=cos2k-|Uy=cos(2x-|

是非奇非偶函数，图象不关于＞轴对称，故D错误.

故选：AC.

11.BCD

【分析】

利用。+切8的展开式与赋值法可判断A,利用组合数的性质C：+C；=C3可判断B,利用阶

乘的裂项法可判断C,构造(1+.r)16=(l+x)8(l+x)8求其含f的项的系数可判断D.

【详解】对于A,因为(l+x)8=C；+C/+Ck++鹿三，

88

令尤=1,得28=1+C；+C；++《=1+2晨，则E段=28-1,故A错误；

k=lk=l

对于B,因为C：+C：=C：+「

所以£8&=c；+c；+c：++c；=c；+c；+c：++c；

k=2

=C：+C；++C；==C；+C；=C；,故B正确；

对干C因为11_妇-(I)!(I)(I)匚I

寸于，因力优-I)!k\k\{k-\)\k\[k-\)\k!，

所以自与左我一？1?9]『1一H1=丁115+1司1下++万1旷1,1一1作故C正一确.

对于D,(1+“6=(l+x)8(1+08,

对于(1+"6,其含有f的项的系数为C*,

对于(1+*)8(1+同8,要得到含有炉的项的系数，

须从第一个式子取出左(0＜左＜8,左eN)个尤,再从第二个式子取出8-k个x,

88°

它们对应的系数为=£©),

k=0k=0

82

所以£©)=ck故D正确.

k=0

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是，利用组合的思想，从多项式(1+X)8(1+X『

中得到含有f的项的系数，从而得解.

12.16

【分析】

理解正态分布的均值、方差的含义即得。(X),再利用随机变量的方差性质即可求得

D(2X+1).

【详解】由X~N(l,2)可得D(X)=2?=4，则D(2X+1)=4Z)(X)=16.

故答案为：16.

13.-##0.5

2

【分析】

利用三棱柱模型，选择一组空间基底AS=a,AC=6,AA=c,将相关向量分别用基底表示,

再利用3N//平面ACM,确定BN,MA，MC必共面，运用空间向量共面定理表达，建立方

程组计算即得.

22—2

如图，不妨设=AC=Z?,=c，依题意，AM=-a,MAi=MA+A^=--AB=c--a,

___________9

MC=AC-AM=b——a,

3

因A[N=mAiCi=mb,贝！JBN=B%+AN=c-a+mb,

又因HN//平面A*，故j?N,肱VMC必共面,

22

即存在使即c-a+mb=A(c~—a)+pi(b-—tz),

2

-j(2+//)=-l

从而有｛N=m解得加="

2

A=1

故答案为：■

14.g(x)=%-l(满足g(l)=O,且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正

确)

【分析】

根据"(1)=0,求得g(l)=o,则满足g(l)=o的一次函数或二次函数均可.

【详解】u(x)=ax2-(a+b)x+b,f(<x)=jC-1,

〃(l)=a-(a+Z?)+b=0,〃1)=0,

〃(x)=Af(x)+(%),"(1)=%/⑴+〃g(1)=〃g(1)=。，

所以g(1)=0,则g(x)的解析式可以为g(x)=x-1.

经检验，g(x)=xT满足题意.

故答案为：g(x)=Al(答案不唯一).

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的形式，确定函数的关键特征和条件.

15.(1)证明见解析

【分析】

a3a,3

(1)结合已知，由“22时a“=S“-S,i化简得3=不，再由一=不及等比数列的定义证明

，6ZjL

即可；

(2)先求得(/+“)，利用作商法判断数列｛2｝的单调性即可求得最值.

【详解】(1)

由S”=2%-3,可得“22时，an=Sn-Sn^=2an+l-2an

g7339%3

即〃22,---又因为％=彳，所以%=:，

an2224q2

(23a

综上，〃21,3=不，所以｛%｝为首项和公比均为|■的等比数列.

an22

(2)由⑴可得a“=(|),所以勿("+“

bn2（/+〃）2（〃+1）

〃22时,

bn-l3（〃2-〃）3（77-1）

bb

令可得2«〃V5,(或令可得”>5）,

%履］

可知々V。vZ?4=0

综上，〃=4或扑=5时，b〃的取得最大值不

81

16.(1)单调递增区间为(0,+8),单调递减区间为(-8,0)；

(2)答案见解析.

【分析】

(1)求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；

(2)求出函数的导函数，分aVO、。>0两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得

到函数的极值点个数.

【详解】(1)

当°=3时，/•(x)=e2工+eX-3x定义域为R,

又/''(xLZeZx+eX-3,

所以((无)=(2e，+3)(e=l),

由y4勾>。，解得x>0,此时〃尤)单调递增；

由r(x)<o,解得尤<o,此时“X)单调递减，

所以“X)的单调递增区间为(0,+巧，单调递减区间为(-8,0).

(2)

函数〃x)的定义域为R，

由题意知，/，(x)=2e2v+ejr-«,

当aWO时，f\x)>0,所以〃x)在R上单调递增,

即极值点的个数为。个；

当a>0时，易知1+8。〉0,

故解关于f的方程2〃+"0=0得，％=土正至，-1+后赤,

1424

所以广（力=2©—%）©—，2），

-r-；—1+Jl+8a—1+16—1—Jl+8a„

又。=---------->-----=0,t.=----------------<0，

24414

所以当x>ln4时，/^）>0,即在（In修内）上单调递增，

当尤<lnq时,r（x）<0,即〃无）在（9，山幻上单调递减,

即极值点的个数为1个.

综上，当aWO时，〃x）极值点的个数为。个；当。>0时，极值点的个数为1个.

17.（1）|

41

⑵分布列见解析，£（X）=—

【分析】

（1）利用列举法结合条件概率公式即可得解；

（2）写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求

期望即可.

【详解】（1）

记抛掷骰子的样本点为6）,

则样本空间为O={(a,6)[l<a<6,l<Z?<6,aeZ,Z?eZ^,

则”(fl)=36,

记事件A="X>0”，记事件8="X=凹=。”，

a

贝(|A-^a,b^\l<a<b<6,a&Z,beZ^,且“(A)=21,

又AB={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,4),

(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)},

则”(AB)=14,

所嚅』二

213

b2

即在X>0的条件下，X=g的概率为

a

(2)

X所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.

36-21小尸()12尸()

p(X=0)=X=1rx=2=X

3636

)

p(X=3=2—,P(X=4)=—,P(X=5)=—,P(X=6)=—,

l)3618v736v736v736

所以X的分布列为:

X0123456

5111111

P123918363636

所以矶X)=0x，+lx-+2x-+3x—+4x—+5x—+6x—=—

391836363636

1U［2，+O0］；

18.(1)—00,-------

2

(2)--:

(3)3.

【分析】

(1)设直线/的方程为无=冲+4,联立方程组,结合题意列出不等式组，即可求解;

8m12

(2)由(1)得至！］%+%=-，求得力利1%=-3(%+%),结合斜率公

式，准确运算，即可求解;

(3)由(2)可知七=-3勺，设AM与AN的方程分别为y=《(x+2)和y=-34(x-2),两

两方程组，求得%=1，结合三角形的面积公式和不等式的性质，即可求解.

【详解】⑴

解：设〃(%,%),N(x2,y2)f直线/的方程为尤=切+4,

x=my+4

联立方程组m

,整理得（租2-4）y?+8〃zy+12=0,

彳/=i

因为直线/与双曲线的右支交于",N两点，

A=（8/n）2-4（m2-4）xl2=16（m2+12）＞0

可得,解得一2＜机＜2,

又由直线/的斜率为左=，，可得％的取值范围是J”,+e

m\2）\2

（2）

2

解:由双曲线C:3_y2=l,可得A（-2,0）,4（2,0）,

8Azz12

由（1）可得%+%=-一%%=—^，贝3（%+%）・

m—4m-4

M

山2勺一士+2一%（尤2-2）_M（my2+2）_myiy2+2%

h%y2（xj+2）y2（myx+6）myxy2+6y2

%-2

一|（M+%）+2y-|y2]

=F（、<=9-=-3'

一5（％+%）+6%三/+万%'

（3）

解：由（2）可知内=-3勺，

所以直线4〃与直线&N的方程分别为y=£（x+2）和y=-36（x-2）,

联立两直线方程可得交点G的横坐标为%=1，

-13sl_5GM,GNsinNMGN_GMGNx?-l_（叫+3）（:佻+3）

JJZ?------------------------------------------------------------------•---------------------,------------------------------------------------------

GA

$2jcA-GA,sinZ^GA'G4313

_疗％必+37心]+必）+9_相212_16.,,16,

3m2-44-m2-4-0

故券的最小值为3,当且仅当根=0时取等号成立.

【点睛】

方法技巧：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略与技巧：

1、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲

线的定义、图形，以及几何性质求解；

2、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这

个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角

换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.

19.⑴A=4,邑=8；

3220

⑵乂=5，%=可；

⑶①16；②T，共有12个面，24条棱.

【分析】

（1）首先分析题意进行解答，分别表示出集合M