2024年中考数学训练-平行线四大模型（专项训练）原卷版+解析

03平行线四大模型（专项训练）

1.将一副三角板按图中方式叠放，则角a等于（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

2.如图，直线a〃b,直线c分别交a,6于点A,C,NBAC的平分线交直线6于点。，若

Nl=55°,则N2的度数是（）

A.50°B.70°C.80°D.110°

3.如图，a//b,M、N分别在a,b上，P为两平行线间一点，那么/1+/2+/3=（）

A.180°B.360°C.270°D.540°

4.把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若Nl=38°,则N2的度数为.

5.如图，是赛车跑道的一段示意图，其中测得48=140°,/。=120°,则N

C的度数为度.

B

C

Rn

6.问题情境

（1）如图①，已知N2+NE+N£>=360°,试探究直线AB与CD有怎样的位置关系？并

说明理由.

小明给出下面正确的解法：

直线AB与CD的位置关系是AB//CD.

理由如下：

过点E作匹〃AB（如图②所示），

所以N8+/BEF=180°（依据1）,

因为28+/8皮>+/。=360°（已知），

所以NB+NB£F+/FEr）+ND=360°,

所以NEED+/£）=180°,

所以EF〃CD（依据2）,

因为团"A8,

所以4B〃a）（依据3）.

交流反思

上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？

“依据1”：,

“依据2”：,

“依据3”：,

类比探究

（2）如图，当NB、NE、/F、ND满足条件时，有AB

//CD.

拓展延伸

（3）如图，当N8、/E、ZF.ND满足条件时，有A3〃CD

第⑴小题图①第⑴小题图②

第（2）小题图第⑶小题图

7.如图，a//b,将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置.若/1=15°,则/2的大小

D.45°

8.将长方形纸条按如图方式折叠，折痕为。E,点A,8的对应点分别为A',B',若/a

=Zp-20°,则N0的度数为（）

9.如图，AB//DE,ZABC=80°,ZCDE=140°,则N8CD的度数为（）

A.30°B.40°C.60°D.80°

10.如图，将直尺与30角的三角尺叠放在一起，若N2=50°,则N1的大小是（）

30：

A.40°B.50°C.70°D.80°

11.如图，一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O,AB//OC,QC与OA交于点E,

则的度数为()

A.85°B.75°C.70°D.60°

12.如图，船C在观测站A的北偏东35°方向上，在观测站B的北偏西20°方向上，那么

/ACB=()度.

A.20°B.35°C.55°D.60°

13.如图，AB//CD,将一副直角三角板作如下摆放，ZG£F=60°,ZMNP=45°.下列

结论：①GE〃MP；②/EFN=150°；③/BEF=65°；④/AEG=35°,其中正确的

A.1B.2

14.已知人〃/2,一个含有30°角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若Nl=65°,则N2

=度.

15.如图，AB〃CD,点E,F分别是AB,CC上的点，点M位于与C£＞之间且在EF的

右侧.

(1)若/M=90°,则NAEM+NCFW=；

(2)若,/BEM与的角平分线交于点N,则NN的度数为.(用

含n的式子表示)

16.小明同学遇到这样一个问题：

如图①，已知：AB//CD,E为AB、C£>之间一点，连接BE,ED,得到/BED

求证：ZBED^ZB+ZD.

小亮帮助小明给出了该问的证明.

证明：

过点E作EF//AB,则有ZB.

'：AB//CD,

：.EF//CD,

:./FED=/D,

/BED=ZBEF+ZFED=NB+/D.

请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：

直线直线斯和直线人、/2分别交于C、。两点，点A、B分别在直线/1、/2上,

猜想：如图②，若点尸在线段O)上，NE4c=15°,NPBD=40°,求NAPB的度数.

拓展：如图③，若点P在直线斯上，连接以、PB(BD<AC),直接写出NE4C、Z

APB、NP3D之间的数量关系.

17.如图1,AB//CD,£。厂是直线A3、C。间的一条折线.

(1)试证明：ZO=ZBEO+ZDFO.

(2)如果将折一次改为折二次，如图2,则N2E0、/0、/P、NPPC之间会满足怎样

的数量关系，证明你的结论.

18.如图，AB//CD,点E为AB上方一点，FB、CG分另U为NEFG、NECD的角平分线,

若NE+2NG=210°,则/EFG的度数为（

A.140°B.150°C.130°D.160°

19.如图，AB//EF,NC=90°,则a、0和丫的关系是（）

A.B=a+yB.a+B+y=180°C.a+P-y—90°D.p+y-a=180°

20.某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右图所示模型.已知AB垂直

于水平地面AE.当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高,

CD段则一直保持水平状态上升（即。与AE始终平行），在该运动过程中NA5C+N

BCD的度数始终等于（）度

A.360B.180C.250D.270

03平行线四大模型（专项训练）

1.将一副三角板按图中方式叠放，则角a等于（）

C.60°D.75

【答案】D

【解答】解：如图，根据两直线平行，内错角相等，

.\Z1=45°,

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,

.,.Za=Zl+30°=75°.

故选：D.

2.如图，直线。〃b,直线c分别交a,6于点A,C,N8AC的平分线交直线6于点若

Nl=55°,则N2的度数是（）

C.80°D.110°

【答案】B

【解答】解：平分NBAC,

：.ZBAD^ZCAD,

'：a//b,Zl=55°,

：.ZBAD=ZCAD=55a,

.".Z2=180°-55°-55°=70°.

故选：B.

3.如图，a//b,M、N分别在a,b上，P为两平行线间一点，那么Nl+N2+N3=()

A.180°B.360°C.270°D.540°

【答案】B

【解答】解：过点P作朋〃a,

''a//b,PA//a,

：.a//b//PA,

.\Z1+ZMB4=18O°,/3+NAPN=180°,

：.Z1+ZMB4+Z3+ZAP2V=18O°+180°=360°,

；./1+/2+/3=360°.

故选：B.

4.把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若/1=38°,则N2的度数为

【答案】128。

【解答】解：如图，

VZ1=Z3=38°,

.,./2=90°+/3=90°+38°=128°.

故答案为：128°.

5.如图，是赛车跑道的一段示意图，其中测得/8=140°,/。=120°,则/

C的度数为度.

【答案】100

【解答】解:如图所示：过点C作C尸〃A3.

'：AB//DE,

J.DE//CF-,

AZBCF=180°-ZB=40°,ZDCF=180°-ZD=60°；

ZC=ZBCF+ZDCF=100°.

故答案为：100.

6.问题情境

（1）如图①，已知N8+NE+NO=360°,试探究直线48与CD有怎样的位置关系？并

说明理由.

小明给出下面正确的解法：

直线AB与CD的位置关系是AB//CD.

理由如下：

过点E作匹〃AB（如图②所示），

所以/8+/BEF=180°（依据1）,

因为N2+NB£D+/£）=360°（己知），

所以/8+/8EF+/FED+NQ=360°,

所以/FEZ）+/O=180°,

所以EF〃CD（依据2）,

因为E尸〃AB,

所以（依据3）.

交流反思

上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？

“依据1”：,

“依据2”：,

“依据3”：,

类比探究

（2）如图，当NB、NE、/F、ND满足条件时，有AB

//CD.

拓展延伸

（3）如图，当NB、/E、ZF.满足条件时，有AB〃CZX

第⑴小题图①第⑴小题图②

第⑵小题图第⑶小题图

【解答】解：(1)“依据1"：两直线平行，同旁内角互补,

“依据2”：同旁内角互补，两直线平行，

“依据3”：平行于同一条直线的两直线平行，

故答案为：两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直

线的两直线平行，

(2)如图，当48、/BEF、NEFD、/£)满足条件NB+/BEF+/E尸。+/。=540°时，

有48〃CD

理由：过点E、/分别作GE〃族〃CD

则/GE/+/EFH=180°,Z//FD+ZCDF=180°,

AZGEF+ZEFD+ZFDC^360°；

XVZB+ZBEF+ZEFD+ZD=540°,

.•./B+N2EG=180°，

J.AB//GE,

J.AB//CD；

故答案为：ZB+ZBEF+ZEFD+ZD=54Qa；

(3)如图，当NB、/BEF、/EFD、满足条件180°+/EFD时,

有AB〃CD

理由：过点E、/分别作GE〃尸H〃CD

则/D=NHFD,

"：ZB+ZBEF+ZD=180°+ZEFD,

即ZB+ZBEG+ZGEF+ZD^180°+ZEFH+ZHFD,

：.ZB+ZBEG=1SO°,

J.AB//GE,

J.AB//CD,

故答案为：ZB+ZBEF+ZD=180°+ZEFD.

第⑶小题图

第(2)小题图

7.如图，a//b,将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置.若Nl=15°,则N2的大小

C.30°D.45°

【答案】C

【解答】解：如图：过点8作8C〃b,

：.Z1=ZCBD=15°,

・・・AABD是等腰直角三角形，

/.ZAB£)=45°,

・•・ZABC=ZABD-ZCBD=30°,

u：a//b,

.\a//BC,

・・・N2=NABC=30°,

故选：C.

8.将长方形纸条按如图方式折叠，折痕为。2点A,5的对应点分别为A，，B',若Na

=Zp-20°,则N0的度数为()

A，

C.70°D.80

【答案】C

【解答】解：如图：延长四'交A产于点G,

・・•四边形尸是矩形,

：.ZB=90°,AF//BH,

由折叠得:

ZB=ZA'B'E=90°,ABEB'=2/BED=2NB，

：.ZCB'G=180°-ZArB'E=90°,

a：AF//BH,

：.ZFGBrNBEB'=2Zp,

VZFGBf是△CG3’的一个外角,

ZFGBr=/GCB'+ZCBfG,

/.2Zp=Za+90°,

VZa=Zp-20°，

A2Zp=Zp-20°+90°,

・・・N0=7O°,

故选：C.

9.，ZCZ)E=140°,则N8CD的度数为()

A.30°B.40°C.60°D.80°

【答案】B

【解答】解:反向延长0E交于如图:

B

\'AB//DE,

：.ZBMD=ZABC=^°,

：.ZCMD=180°-ZBMD=100°；

又•；ZCDE=ZCMD+ZC,

：.ZBCD=ZCDE-ZCMZ）=140°-100°=40°.

故选：B.

10.如图，将直尺与30角的三角尺叠放在一起，若N2=50°,则N1的大小是（）

【答案】C

VZ2=50°,AB//CD,

：.Z4=Z2=50°,

.,.Zl=180°-60°-50°=70°,

故选：C.

11.如图，一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O,AB//OC,与。4交于点E,

则NO石。的度数为（）

A.85°B.75°C.70°D.60°

【答案】B

【解答】解：过点E作E/〃CO,

/.ZAEF=ZA=30°,

'：AB//CO,

J.EF//CO,

：.ZFEC=ZC=45°,

AZAEC=ZAEF+ZFEC=15°,

：.ZDEO=ZAEC=75°,

故选：B.

12.如图，船。在观测站A的北偏东35°方向上，在观测站8的北偏西20°方向上，那么

ZACB=()度.

A.20°B.35°C.55°D.60°

【答案】C

【解答】解：如图：过点。作C尸〃AD,

由题意得：

ZDAC=35°,ZCBE=20°,AD//EB,

：.CF//EB,

：.ZFCB=ZCBE=20°,

9：CF//AD,

：.ZACF=ZDAC=35°,

AZACB=ZACF+ZFCB=55°,

故选：c.

13.如图，AB//CD,将一副直角三角板作如下摆放，ZG£F=60°,/MNP=45；下列

结论：①GE〃MP；②NEFN=150。；③NBEF=65°；®ZAEG=35°,其中正确的

个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解答】解：①由题意得：NG=NMPN=90°,

J.GE//MP,故①正确；

②由题意得NE尸G=30°,

:.NEFN=18Q°-NEFG=150°,故②正确；

③过点尸作也如图，

'：AB//CD,

：.ZBEF+ZEFH=180°,FH//CD,

：.ZHFN=ZMNP=45°,

NEFH=NEFN-ZHFN=105°,

：.ZBEF=180°-ZEFH=15°,故③错误；

@VZGEF=60°,/BEF=15°,

：.ZA£G=180°-ZGEF-ZBEF=45°,故④错误.

综上所述，正确的有2个.

故选：B.

14.已知人〃/2,一个含有30°角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若Nl=65°,则N2

=度.

h

1

【答案】25

【解答】解：如图，

过直角顶点作

VZI/7/2,

：.h//h//l3,

.\Z1=Z3,N2=/4,

.•.Zl+Z2=Z3+Z4=90°,

；/l=65°,

.\Z2=25°.

故答案为：25.

15.如图，AB〃CD,点E,尸分别是AB,CD上的点，点M位于A8与C£）之间且在EP的

右侧.

（1）若/M=90°,则；

（2）若。，/BEM与NOFM的角平分线交于点N,则NN的度数为.（用

含n的式子表示）

【答案】270°.

2

【解答】解：（1）过点M作

,JAB//CD,

J.AB//CD//MP,

：.Z1=ZMEB,N2=NMFD,

VZM=Z1+Z2=9O°,

AZMEB+ZMFD^90°,

VZAEM+ZMEB+ZCFM+ZMFD=180°+180°=360°,

AZA£M+ZCFM=360°-90°=270°.

故答案为：270°；

(2)过点N作N。〃48,

AED

'：AB//CD,

.,.AB//CD//NQ,

:—NEB,N4=NNFD,

ZNEB+ZNFD=Z3+Z4=ZENF,

,//BEM与NDFM的角平分找交于点N,

VZNEB^—ZMEB,ZDFN^—/MFD,

22

：.N3+/4=NBEN+/DFN=L(NMEB+/MFD),

2

由(1)得，ZMEB+ZMFD=ZEMF,

:.NENF=L/EMF=Z"。.

22

故答案为：.

2

16.小明同学遇到这样一个问题：

如图①，已知：AB//CD,E为AB、C£＞之间一点，连接BE,ED,得到/BED

求证：ZBED^ZB+ZD.

小亮帮助小明给出了该问的证明.

证明：

过点E作EF//AB,则有ZB.

'JAB//CD,

：.EF//CD,

・•・ZFED=NO,

・•・NBED=ZBEF+ZFED=ZB+ZD.

请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：

直线/1〃/2,直线口和直线/1、/2分别交于。、。两点，点A、8分别在直线/1、/2上,

猜想：如图②，若点尸在线段CD上，ZPAC=15°,NPBD=40°,求NAPB的度数.

拓展：如图③，若点P在直线跖上，连接B4、PB(BD<AC),直接写出NB4C、Z

APB、NP5Q之间的数量关系.

【解答】解：猜想：如图1,过点尸作尸〃〃AC,则NB4C=NAPH,

V/1//Z2,

J.BD//PH,

：.ZPBD=NBPH,

：.ZAPB=NAPH+/BPH=ZPAC+ZPBD.

VZB4C=15°,NPBD=40°,

/.ZAPB=150+40°=55°.

拓展：①如图1,当点尸在线段CO上时，

由猜想可知，ZAPB=ZPAC+ZPBD；

②如图2,当点尸在射线。尸上时，

过点P作PH//AC,则APAC=NAPH,

V/1/7Z2,

J.BD//PH,

:・/PBD=/BPH,

：.ZAPB=ZAPH-ZBPH=ZPAC-NPBD；

③如图3,当点尸在射线CE上时，

过点尸作尸H〃AC,则NB4C=NAPH,

VI1//I2,

J.BD//PH,

:・/PBD=/BPH,

ZAPB=ZBPH-ZAPH=ZPBD-ZPAC；

综上所述，APAC.AAPB,NPBD之间的数量关系为NAP2=NE4C+NPB。或NAPB

=ZPAC-/PBD或NAPB=/PBD-APAC.

图1图2图3

17.如图1,AB//CD,EOF是直线AB、CO间的一条折线.

(1)试证明：ZO=ZBEO+ZDFO.

(2)如果将折一次改为折二次，如图2,贝IJ/8E。、/O、/尸、/PFC之间会满足怎样

的数量关系，证明你的结论.

【解答】(1)证明：作。如图1,

.•.Z1=ZB£O,

'：AB//CD,

：.OM//CD,

：.Z2=ZDFO,

：.Z\+Z2=ZBEO+ZDFO,

即：ZO=ZBEO+ZDFO.

(2)解：ZO+ZPFC=ZBEO+ZP.理由如下:

OM//AB,PN//CD,如图2,

•：AB//CD,

：.OM//PN//AB//CD,

J.Zl^ZBEO,Z2=Z3,Z4=ZPFC,

：.Z1+Z2+ZPFC=ZBEO+Z3+Z4,

：.ZO+ZPFC=ZBEO+ZP.

18.如图，AB//CD,点E为45上方一点，FB、CG分别为NEFG、/EC。的角平分线,

若NE+2NG=210°,则NE尸G的度数为（）

A.140°