浙江省2024年高三3月份模拟考试数学试题含解析

浙江省考试院2024年高三3月份模拟考试数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

1侧视图

B.4

D.5

2.已知p:|x+l|>2,q：x>a,且力是r的充分不必要条件，则〃的取值范围是（）

A.a<\B.a<—3C.a>-\D.a>l

3.复数z=2±I,i是虚数单位，则下列结论正确的是

1-z

31

A.|z|=^5B.z的共辗复数为—+—，

22

C.z的实部与虚部之和为1D.z在复平面内的对应点位于第一象限

/、ex,x<l

4.已知函数=若方程/（X）-5-1=0恰有两个不同实根，则正数利的取值范围为（)

A.-/卜(1,6—1)

I2)

c/V«,e—1)

I3)

5.为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分

值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（）

A.乙的数据分析素养优于甲

B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养

C.甲的六大素养整体水平优于乙

D.甲的六大素养中数据分析最差

6.设〃尤）是定义在实数集R上的函数，满足条件y=/（尤+1）是偶函数，且当时，/（x）=Qj-1,则

lo2

«=/（g3）»6=c=/（3）的大小关系是（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

7.已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）

8.执行如图所示的程序框图后，输出的值为5,则尸的取值范围是（）,

37597151531

A.C.D.

4,8610851616532

9.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）

I开始|H-=9^=1\-T*\输出s7~H结束）

A.z<3?B.z<4?C.z<5?D.z<6?

10.如图所示，矩形ABC。的对角线相交于点。，E为AO的中点，若。E=+则2+〃等

于（）.

22

11.如图，平面四边形AC6D中，ABLBC,AB±DA,AB=AD=1,BC=y/2>现将△ABD沿AB翻折,

使点。移动至点尸，且则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）

8A/2

C.4%D.---71

3

12.执行下面的程序框图，若输出的S的值为63,则判断框中可以填入的关于i的判断条件是()

A.i<5B.i<6C.Z<7D.Z<8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知sm|夕+一|=一，且一<1<一，贝！|cosa=________.

k4J544

14.设是公差不为0的等差数列｛4｝的前"项和，且。7=-2卬，则空」=.

15.已知函数/■(x)Tsinx|+|cosx|,则下列结论中正确的是•①/(*是周期函数；②的对称轴方程

为x=1,keZ；③/(九)在区间上为增函数；④方程=g在区间-¥，0有6个根.

16.圆C:(x+Ip+(y-2>=4关于直线y=2x—1的对称圆的方程为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知数列｛4｝的前几项和为S“，且点(",Sj[eN*)在函数了=2旬-2的图像上；

(1)求数列｛4｝的通项公式;

⑵设数列也｝满足：伪=0,bn+l+bn=an,求也｝的通项公式；

(3)在第(2)问的条件下，若对于任意的“eN*，不等式句＜力2中恒成立，求实数X的取值范围；

18.(12分)已知圆0:必+/=4,定点A(L0),尸为平面内一动点，以线段AP为直径的圆内切于圆。，设动点尸的

轨迹为曲线C

(1)求曲线C的方程

(2)过点。(2,6)的直线/与C交于瓦尸两点，已知点。(2,0),直线x=不分别与直线尸交于S,T两点，

线段ST的中点〃是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.

19.(12分)在锐角AABC中，a,b,c分别是角人，B,C所对的边，AABC的面积S=2,且满足

tzcosB=Z?(1+cosA),则(c+a—b)(c+b—〃)的取值范围是()

A.(8^/2-8,8)B.(0,8)C.迪心,86D.迪心,8

I3)I3,

20.(12分)已知数列｛%｝是等差数列，前”项和为S“，且$5=3%,%+4=8.

(1)求4.

(2)设“=2”q,求数列也｝的前几项和7“.

21.(12分)某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不

超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/

度收费.

(I)求某户居民用电费用V(单位：元)关于月用电量x(单位：度)的函数解析式；

(II)为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示

的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%,求。，b的值；

(ni)在满足(ii)的条件下，若以这loo户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数

据用该组区间的中点代替，记F为该居民用户1月份的用电费用，求F的分布列和数学期望.

22.(10分)已知/(%)=asin(l—x)+lnx,其中aeR.

(1)当。=0时，设函数g(x)=_/(x)—求函数g(x)的极值.

(2)若函数/(x)在区间(0,1)上递增，求。的取值范围；

(3)证明：^sin—~—<ln3-ln2.

k=l(2+上]

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

还原几何体的直观图，可将此三棱锥A-C2E放入长方体中，利用体积分割求解即可.

【详解】

如图，三棱锥的直观图为体积

Vv—V_vv—Vv—V—V—Vv

A-CDiE-V长方体AGBB[E-AAlFE-ABC旷E-CCR*E-AD{FDt-ADC

=2x4x2—x2x2x2—x—x4x2x2—x—x2x2x2=4.

23232

故选:B.

【点睛】

本题主要考查了锥体的体积的求解，利用的体积分割的方法，考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.

2、D

【解析】

“力是f的充分不必要条件”等价于“q是。的充分不必要条件”，即q中变量取值的集合是p中变量取值集合的真子

集.

【详解】

由题意知：。：|%+1|>2可化简为{x|x<—3或r>l},q'.x>a,

所以4中变量取值的集合是0中变量取值集合的真子集，所以

【点睛】

利用原命题与其逆否命题的等价性，对"是F的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.

3、D

【解析】

13

利用复数的四则运算，求得2=7+7"在根据复数的模，复数与共朝复数的概念等即可得到结论.

22

【详解】

2+i(2+z)(l+z)l+3z13.

由题意z=—+—z

(i-z)(i+z)-i-z222

-13

Z的共飘复数为z=——i,

22

复数Z的实部与虚部之和为2，z在复平面内对应点位于第一象限，故选D.

【点睛】

复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似

于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数

。+初(。/€氏)的实部为。、虚部为沙、模为，/+♦、对应点为(a,切、共粗为。―4.

4、D

【解析】

当x>l时，函数周期为2,画出函数图像，如图所示，方程两个不同实根，即函数/(%)和了=〃杭+1有图像两个交

点，计算左m=*，左BC=e-1，根据图像得到答案.

【详解】

当尤>1时，f(x)=f(x-2),故函数周期为2,画出函数图像，如图所示：

方程/(%)-加x—l=O,即=〃a+1,即函数/(X)和y=mx+l有两个交点.

x

f(x)=e,/'(X)=",故/'(0)=1,3(1,e),C(3,e),kAC=~^,kBC^e-l.

【点睛】

本题考查了函数的零点问题，确定函数周期画出函数图像是解题的关键.

5、C

【解析】

根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.

【详解】

根据雷达图得到如下数据：

数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析

甲454545

乙343354

由数据可知选C.

【点睛】

本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.

6、C

【解析】

Vy=f(x+1)是偶函数，.If(-x+1)=f(x+1),即函数f(x)关于x=l对称.

・•,当xNl时，=H-1为减函数，＞(log32)=f(2-logs2)=f(jOg2)

Q2?

且T°g石5=l°g阴T0g4log34V]0g?V3,/.b>a>c,

故选C

7、C

【解析】

试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求的.

考点：三视图

8、C

【解析】

框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n.

【详解】

1113

第一次循环:S=-,n=2；第二次循环：S=-+—=-,n=3

22224;

„1117.必„111115_

第三次循环:s=+中+炉=/=4；第四次循环：s=]+»+/+吩=记/=5；

715

此时满足输出结果，故

816

故选：C.

【点睛】

本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题.

9、C

【解析】

根据程序框图的运行，循环算出当S=31时，结束运行，总结分析即可得出答案.

【详解】

由题可知，程序框图的运行结果为31,

当S=1时，z=9；

当S=l+9=10时，z=8；

当S=l+9+8=18时，z=7；

当S=l+9+8+7=25时，z=6；

当S=l+9+8+7+6=31时，i=5.

此时输出S=31.

故选：C

【点睛】

本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.

10、A

【解析】

1313

由平面向量基本定理，化简得DE=：AB-：AD,所以九=:，四=-二，即可求解，得到答案.

4444

【详解】

由平面向量基本定理，化简DE=DA+AE=DA+-AC=—AD+-（AB+AD）

13131

=-AB——AD,所以九u=__,即九+|i=——,

44442

故选A.

【点睛】

13

本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到DE=—AB—-AD是解答

44

的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题.

11,C

【解析】

由题意可得面ABC,可知因为则3c，面243,于是.由此推出三棱锥

P-A3C外接球球心是PC的中点，进而算出CP=2,外接球半径为1,得出结果.

【详解】

解：由翻折后得到又

则？4_1_面A8。，可知B4_L5C.

又因为则面R43,于是BCLPB,

因此三棱锥P-ABC外接球球心是PC的中点.

计算可知CP=2,则外接球半径为1,从而外接球表面积为47.

R

—

故选：c.

【点睛】

本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识,

属于中档题.

12、B

【解析】

根据程序框图，逐步执行，直到S的值为63,结束循环，即可得出判断条件.

【详解】

执行框图如下：

初始值：S=O/=1,

第一步：S=0+l=l,i=l+l=2,此时不能输出，继续循环；

第二步：S=l+2=3,i=2+l=3,此时不能输出，继续循环；

第三步：S=3+4=7,i=3+l=4,此时不能输出，继续循环；

第四步：5=7+8=15,7=4+1=5,此时不能输出，继续循环；

第五步：5=15+16=31,z=5+l=6,此时不能输出，继续循环；

第六步：5=31+32=63,/=6+1=7,此时要输出，结束循环；

故，判断条件为云6.

故选B

【点睛】

本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13>

10

【解析】

试题分析：因?<a<奈故言-“死所以cosCa+g)=-Jl-^

cosCt=cos[(ct-—)--]=-^^(-―+—)=―^~，应填一^^.

4J2551010

考点：三角变换及运用.

14、18

【解析】

将已知%=-2%已知转化为q,d的形式，化简后求得q=-2d,利用等差数列前九公式化简不匚，由此求得表

达式的值.

【详解】

因为%=-2囚，所以q=—2d,」^=-^=幽土包=—^网一=18.

S5+«45a3+a464+13d-12d+l3d

故填:18.

【点睛】

本题考查等差数列基本量的计算，考查等差数列的性质以及求和，考查运算求解能力，属于基础题.

15、①②④

【解析】

由函数/(x)=|sinx\+|cosx|=J°sinx|+|cos+|sin2x|)对选项逐个验证即得答案.

【详解】

函数/(x)=卜inH+|cosx\-J(|sinx\+|cosx。"=^l+|sin2x|，

・・・/(x)是周期函数，最小正周期为”，故①正确；

当sin2x=±l或sin2x=0时，/(九)有最大值或最小值，此时2x="+■^或2x=Z肛/eZ,即x=£+?或

x=—,t&Z,BP%=,kQZ.

24

・••/(%)的对称轴方程为工=今，kwZ,故②正确；

当时，此时y=回112%］在［疝万］上单调递减，在上单调递增，：./(x)在

(jr34\

区间［彳,彳)上不是增函数，故③错误；

作出函数/(九)的部分图象，如图所示

二方程"X)=£在区间苫,0有6个根，故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于中档题.

16、(x-3)2+y2=4

【解析】

求出圆心关于直线的对称点，即可得解.

【详解】

C:(x++(y-2>=4的圆心为(T,2),关于y=2x-l对称点设为(x,y),

'y+2x-l

----=2x------1(-

221=3o

则有：。[，解得八，

y-2_1[y=0

、%+12

所以对称后的圆心为(3,0),故所求圆的方程为(%-3)2+V=4.

故答案为：(x—3)2+y2=4

【点睛】

此题考查求圆关于直线的对称圆方程，关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

/*\2"22"2

17、(1)«„=2"(neN)(2)当〃为偶数时，h=-+-；当"为奇数时，b=---.(3)(1,+^)

V7"3333

【解析】

(1)根据4=S〃-S“T，讨论〃=1与“22两种情况,即可求得数列｛4｝的通项公式；

(2)由(1)利用递推公式及累加法，即可求得当"为奇数或偶数时也,｝的通项公式.也可利用数学归纳法，先猜想出通

项公式，再用数学归纳法证明.

b

(3)分类讨论，当〃为奇数或偶数时,分别求得广的最大值，即可求得兄的取值范围.

【详解】

(1)由题意可知,S'=2"+i—2.

当〃22时,4=之—一=2向-2-(2〃-2)=2〃，

当〃=1时,％=H=21+1-2=2也满足上式.

所以4=2"(neN*).

(2)解法一：由(1)可知d+]+d=2"("wN*),

即6—(心)

当左=1时,打+4=21,①

当左=2时,4+4=2?,所以—4—旬=—2?,②

当左=3时,"+4=23,③

当上=4时,4+%=2",所以—4—a=-24,®

1

当左=〃—1时，”为偶数bn+*=2-

当左="时,"为偶数所以一切—2-=-2"-1

以上1个式子相加，得

b+Z?!=2-22+23-24+---+2^'=2口一(-2)，二十工.

1-(-2)33

2"2

又4=0,所以当"为偶数时,4=土+'.

同理，当n为奇数时，

234n12(2：＞

=2-2+2-2+----2-=^--"']=j―j1,

1-(-2)3

所以，当〃为奇数时,么=2土"―24.

33

解法二：

猜测：当"为奇数时,

猜测：当”为偶数时,

「㈢一

以下用数学归纳法证明：

〃=1,命题成立；

假设当n=k时，命题成立；

当〃为奇数时,4=2i—2"2+…一F22-2,

当〃=左+1时,"为偶数，由仇+1+d二=2*,eN*）得

kkk22

4+i=2-bk=2-21+2-+••-2+2

故,〃=左+1时,命题也成立.

综上可知，当“为奇数时〃=1一2

33

同理，当"为偶数时,命题仍成立.

‘2"2/、

——+-n；勺偶数）

(3)由(2)可知a=\

2n2/、

-----In；勺奇数）

133V

2"2

b3+3

①当n为偶数时,“=f：-2"+2_13

+1---------+1，

%2____22n+1-222n+1+2

33

bbb1

所以广随〃的增大而减小从而当n为偶数时,7"的最大值是2:1.

2+1b.+i仇

r2

②当〃为奇数时，号—二313

—F—

33

b„b131,

所以^—随〃的增大而增大，且^—=r<-<l

b

综上,亡的最大值是1.

因此,若对于任意的neN*,不等式b„<恒成立，只需九>1,

故实数X的取值范围是(1,+8).

【点睛】

本题考查了累加法求数列通项公式的应用，分类讨论奇偶项的通项公式及求和方法，数学归纳法证明数列的应用,数列的

单调性及参数的取值范围，属于难题.

22__

18、(1)—+^=1；(2)存在，瓜+2y—26=0.

43

【解析】

(1)设以AP为直径的圆心为3,切点为N,取A关于V轴的对称点A',连接A'P,计算得到|AP|+|AP|=4,故

轨迹为椭圆，计算得到答案.

(2)设直线的方程为x=)+(2-gr),设石(%,%)，厂(乙,当)，w(%,%)，联立方程得到

%=一必J-2),%=:-2),计算一*=-6,得到答案.

再一2%—2—2

【详解】

(1)设以AP为直径的圆心为3,切点为N,贝！J|O同=2—忸川,|。明+忸川=2,

取4关于3轴的对称点A,连接HP,故|4例+|叫=2(|。同+|则)=4>2,

所以点P的轨迹是以AA为焦点，长轴为4的椭圆，其中a=2,c=l,

22

曲线方程为L+2L=I.

43

(2)设直线的方程为刀="+(2-")，设£1(工,%),厂(X2，%)，M(Xo，%),

直线OE的方程为同理力=上；(%—2),

玉一2再一2x2-2

所以2%=乂+为=力(%-2)+襄(%-2),

即2%=X+%=2%%--(%+%)

天―2玉―2X2—2-6(%+%)+3]

2

|x=fy+(2-我)，3/+4)/+(12―66t?)y+9t-12^3t=0,

3%2+4/-12=0^^

9t2-12石t6G-12/

所以％%=，%+为=

3r+43r+4

2x9r—12后

代入得含=912/ft%一⑵=-后，属。+2%-2石=0,

"3一+4义3『+4+

所以点M都在定直线Gx+2y-26=0上

【点睛】

本题考查了轨迹方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

19、A

【解析】

由正弦定理化简得sinCA-BQsinB,解得A=23<g进而得到C=»―33呜弓），利用正切的倍角公式求得

Cn-4

l>tan->-l+V2,根据三角形的面积公式，求得进而化简

2sinC

Qr

(c+a-b\c+b-a)=------(1-cosC)=8tan—,即可求解.

sinC2

【详解】

由题意，在锐角AABC中，满足〃cos3=Z?(l+cosA),

由正弦定理可得sinAcosB=sinB+sinBcosA,即sinAcosB-sinBcosA=sin5,

jr

可得5皿(4—6)=5也6,所以A—5=5,即A=2B<一,

2

所以3e(0,f),所以4+3=33e(£,寻)，则C=e(f,£),

42442

2ctan一c_

所以tanC=--------^>1,可得l>tan—>—l+&,

l-tan2c2

2

14

又由AABC的面积S=—〃0sinC=2,所以H;二-----,

2sinC

贝！I｛c+a-b\c+b-a)=c1-a2-b2+lab——2abcosC+2ab=2ab(l-cosC)

X1-(1—2sin2一)「

(1-cosC)=8x--------------^-=8tan—G(8A/2-8,8).

sinCc.CC2

2sin—cos—

22

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，以及三角形的面积公式和正切的倍角公式的综合应用，着重考查了推理

与运算能力，属于中档试题.

20、(1)4=2(n—3)⑵7；=(〃—4)2+2+16

【解析】

⑴由数列｛4｝是等差数列，所以原=5%,解得%=0,又由%+3=8=2%,解得d=2,即可求得数列的通项

公式；

(2)由(1)得包=2"-4=5—3)-2向，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n项和.

【详解】

⑴由题意，数列｛4｝是等差数列，所以其=5%,又$5=3%,.“3=0，

由g+4=8=2%，得%=4,所以。5—。3=2d—4,解得d=2,

所以数列的通项公式为4=%+("—3)d=2(〃—3).

(2)由⑴得匹=2"q=("—3>2"+i,

234

Tn=(-2)-2+(-1)-2+0-2++(〃—3)•2"1,

27；=(-2)-23+(-1)-24++(n-4)-2n+1+(n-3)-T+2,

两式相减得27；-7；,=2-22-(23+24++2n+l)+(〃—3)•2,!+2,

8(1-2'T)

=8——---------+(〃—3)•2/2=(n-4)-2n+2+16»

1-2

即7；=5—4)2+2+16.

【点睛】

本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项

公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形

结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.

0.5%,0<x<200

21、(1)y={0.8x-60,200<%<400；(2)a=0.0015,5=0.0020；(3)见解析.

%-140,%>140

【解析】

试题分析：(1)根据题意分段表示出函数解析式；(2)将y=260代入(1)中函数解析式可得％=400,即

P(x4400)=0.80,根据频率分布直方图可分别得到关于。泊的方程，即可得a,。；(3)x取每段中点值作为代表的用

电量,分别算出对应的费用V值，对应得出每组电费的概率，即可得到Y的概率分布列，然后求出y的期望.

试题解析：(D当0WxW200时，y=Q.5x;

当当200<xW400时，y=0.5x200+0.8x(x-200)=0.8x-60；

当当%>400时，y=0.5x200+0.8x200+1.0x(x-400)=x-140,所以V与x之间的函数解析式为

0.5%,0<x<200

y={0.8%-60,200<x<400.

x-140,x>140

(2)由(1)可知，当y=260时，x=400,则P(xW400)=0.80,结合频率分布直方图可知

0.1+2x100/2+0.3=0.8

Aa=0.0015,/?=0.0020

100a+0.05=0.2

（3）由题意可知X可取50,150,250,350,450,550,

当x=50时，y=O.5x5O=25,二P（y=25）=0.1,

当x=150时，y=0.5x150=75,.・.P（y=75）=02,

当％=250时，y=0.5x200+0.8x50=140,AP（y=140）=0.3,

当％=350时，y=0.5x200+0.8x150=220,P（y=220）=0.2,

当x=450时，y=0.5x200+0.8x200+1.0x50=310,AP（y=310）=0.15,

当x=550时，y=0.5x200+0.8x200+1.0x150=410,/.P（y=410）=0.05,

故F的概率分布列为

Y