2024年高考数学一模试题分类汇编：复数（解析版）（广东专用）

专题13复数

复数

题型01复数的概念

1.（2024下•广东•梅州市一模）已知2-i（其中i为虚数单位）是关于%的方程/+川+乡=0的

一个根，则实数P,9分别等于（）

A.2=4,q=5B.p=-4fq=-5

C.p=-4fq=5D.2=4,q=-5

【答案】C

【解析】

【详解】将2-i代入/+px+q=0得（2—i『+P（2—i）+q=0,

3+2p+q=0

所以《“八，解得夕=-4a=5.

4+p=0

故选：C

2.（2024下•广东•梅州市一模）在复数范围内，下列命题是真命题的为（）

A.若zwO,则z-W是纯虚数

B.若=—匕「，则Z是纯虚数

C.若Z；+2；=0,则Z]=0且Z2=0

D.若2]、Z2为虚数，则Z]Z2+Z/2£R

【答案】D

【解析】

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【详解】对于A选项，取z=l,则三=1，所以，z-z=O,此时，z-三不是纯虚数，A错;

对于B选项，取z=0,则z2=-|z「成立，但z不是纯虚数，B错；

对于C选项，取z=i,z2=1,则z；+z；=O,但Z]HO且Z2/0,C错;

对于D选项，若Z]、Z2为虚数，设句=。+4，z2=c+di^a,b,c,deR）,

贝！IZ]=a-bi,z2=c-di,

所以，

z/2+z/2=(a+历)(c-di)+(a-Z?i)(c+di)=(ac+bd)+(be-ad)i+(ac+bd)+(ad-be)i

=2(«c+M)eR,D对.

故选：D.

3.（2024下•广东大湾区•校联考模拟预测）（多选）若z满足z+彳=6,|z|=|2-2i|,则（）

A.z的实部为3B.z的虚部为1

z1—3i

C.——=----D.Z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为

3-i2

【答案】AB

【解析】

【详解】设z=a+6i（a,6eR）,因为z+彳=6,所以2a=6,所以。=3.

|z|=|z-2i|=>y/a2+b2=yja2+（b—2）2,解得=1,所以z=3+i,所以A,B正确；

因为z对应的向量坐标为（3,1）,所以Z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为所以D错误.

3

故选：AB.

4.（2024下•广东•广州天河区一模）若1+i（i为虚数单位）是关于X的实系数一元二次方程

/+6+2=0的一个虚根，则实数左=.

【答案】-2

【解析】

【详解】1+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程/+日+2=0的一个虚根,

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1-i（i为虚数单位）也是关于x的实系数一元二次方程/+丘+2=0的一个虚根,

l+-i）=_后，解得k——2.

故答案为：-2.

题型02复数的四则运算

2_

1.（2024下•广东•茂名市一模）已知复数2=—,其中i为虚数单位，则1=,

1+i

【答案】1+i

【解析】

22(f>i,

【详解】一=币

(1+1)(1T)

z=1+i-

故答案为：1+i

2⑵24下.广东大湾区.校联考模拟预测）已知复数2=笥’则三=（）

A.6+iB.6—iC.1+6iD.1—6i

【答案】A

2

【详解】由7+5i可得"年（7+启5i）（lJ-i）7-7i+5i-5i9=

2

则z=6+i.

故选：A

3.（2024下•广东•百校联考）设复数z=（2+i）'，贝|］彳=（）

A.l-2iB.l+2i

C.-l-2iD.-l+2i

【答案】B

【解析】

【详解】由题意得复数z=（2+i）i3=（2+i）（_i）=l_2i,

故彳=1+2i,

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故选：B

4.（2024下广东广州市二中模拟）已知i为虚数单位，2为复数z的共粗复数，复数z满足i3z=1+i,

则团=（）

A.1B.V2C.2D.V3

5.（2024下•广东•佛山禅城一模）（多选）已知复数Z,W均不为0,则（）

A.|z+i|=|z-i|C.z+w=z—wD-|zw|=|z||w|

B-H-2

【答案】ABD

6.（2024下•广东•省一模）记复数z的共轨复数为亍，若z（l+i）=2-2i,贝力句=()

A.1B.V2C.2D.

【答案】C

【解析】

2-2i_(2_2i)(l-i)-4i2.

【详解】依题意,z=--------(l+i)(l-i)=丁一~」因此I=2i，

1+i

所以R|=2.

故选：C

2im-

7.（2024下•广东•深圳市一模）已知i为虚数单位，若2=17r则z.z=)

A.41B.2C.-2iD.2i

【答案】B

【解析】

2i2i(l-i)_2i(l-i)

【详解】因为z=l+i,所以亍=l-i,

1+i(l+i)-(l-i)2

z・zF=(l+i).(l-i)=2

故选：B.

题型03复数的几何意义

复数Z满足|z—5|=|z_l|=|2+i|.则⑶=(

1.（2024下•广东•番禺）)

D.5

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【答案】c

【解析】

【详解】设2=。+历（a/eR）,由题意得（a—1）?+/=/+s+i）2=（。-5）?+/,解得。=3,

b=-3,所以目=132+（—3）2=3夜

故选：C

2.（2024下•广东•广州市一模）已知复数z满足|z-3+4i|=l,则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】4-z=x+ji,|z-3+4i|=1,.,.（x-3）2+（j+4）2=1,

（兀了）在以（3,-4）为圆心，1为半径的圆上，位于第四象限，选D.

3.（2024下广东河源•一模）若复数z=2+i,且z和z?在复平面内所对应的点分别为尸，Q,。为

坐标原点，贝l]cos/POQ=()

AV5R275亚2V5

Cr.----n\J.----

5555

【答案】D

【详解】因为z=2+i,z2=（2+i）2=3+4i,

所以z和z2在复平面内所对应的点分别为尸（2，1）,0（3,4）,故°尸=（2,1）,。°=（3,4）,

10PHV5-55

故选：D.

4.（2024下•广东肇庆•联考）关于复数z与其共朝复数7,下列结论正确的是（）

A.在复平面内，表示复数z和7的点关于虚轴对称

B.z-z>0

C.z+=必为实数，z-彳必为纯虚数

D.若复数z为实系数一元二次方程办2+加+,=0的一根，则亍也必是该方程的根

【答案】D

【详解】对于选项A,表示复数z和彳的点关于实轴对称，故A错误：

对于选项B和选项C,当z=0时均不成立，故BC错误；

对于选项D,若方程依2+瓜+。=°的AW0可得z为实数，即z=7,符合题意；

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byJ4ac-b2,byJ4ac-b2.

———।------------------]-------------------------------1

若A<0,则方程办2+乐+。=0的两个复数根为2a2a和2a2a,

此时两根互为共软复数，因此D正确.

故选：D

5.(2024下■广东珠海•一模)棣莫弗公式(cosx+i-sinx)"=cos(”x)+i-sin(“x)(其中i为虚数单位)

是由法国数学家棣莫弗(1667-1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数卜0$]+「立1：|在复平

面内所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

(兀..兀丫2兀..2兀173.

cos—+i-sin—=cos--1-1-sin——=---1----1

【详解】(33)3322；

J9

在复平面内所对应的点为iA在第二象限.

故选：B.

6.(2024下•广东・江门一模)(多选)下列说法正确的是()

A.z-z=|zr，zeC

B.i2024=_l

C.若目=1,zwC,则匕―2|的最小值为1

D.若-4+3i是关于x的方程/+px+q=0(