江西省八所中学2024届高三年级下册4月联考数学试卷

江西省八所重点中学2024届高三下学期4月联考数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.抛物线y=2f的焦点坐标为（）

A.(。,1)B.C.[ol]D,[olj

I兀2兀II兀兀

2,已知集合A='x|2E+q<x<2左兀+可，左£Z1集合3=任%兀+1<%<攵兀+1,左£2

则AB=()

i71,71],

A.I2AJI+—,2kn+I>k£ZB.\kTi+—,k7i+—\,kEZ

C.f2^71+—,Iku+—\,k£Z(T71,兀、，

D.IA：7i+—,^7i+—I,kETJ

3.已知S“是正项等比数列｛q｝的前〃项和，且％+%=82,%%=81,则Ss=（）

A.212B.168C.121D.163

4.复数Z在复平面内对应的点为Z。为坐标原点,将向量OZ绕点。逆时针

旋转90。后得到向量OZ1,点Z］对应复数为4，则z；=（）

A1^3.n1.13.

A.-----1-----iB.-1+iC.一二一好iD.-------1-—i

222244

5.函数f（元）N2x-M|-|lnx|有且只有一个零点，则机的取值可以是（）

A.2B.1C.3D.e

6.已知正四棱锥P-ABCD,现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶点

只涂一种颜色，且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（）

A.240B.420C.336D.120

7.已知a,2（sin^+sinV）=^^;则tan（2a+/+:=（）

A.-V3B.-yC.立D.g

33

8.我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体n•黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新

型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组

研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两

相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，

即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小

于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为4,%,则（）

空气夕

—-

固体材料

22

附：椭圆下方=>b>0）上一点优,为）处的切线方程为黄+器=1・

A.4<2B.0{=%

C.D.4和％的大小关系无法确定

二、多选题

9.已知随机变量x、y,且Y=3X+I,X的分布列如下:

7

C.灰X)=3D.ay)、

105

10.已知函数/(%)=2COS(G%+。)。<G<6,GGN*，ec;满足:XZXGR,

“x）-7（三］W0恒成立，且在（0,。上有且仅有2个零点，则（

)

A./（九）周期为兀

B.函数”好在区间上单调递增

JT

C.函数/（X）的一条对称轴为尤=1

D.函数/（X）的对称中心为［而+彳,o］（"eZ）

11.在棱长为2的正方体ABC。-A瓦GR中，点E，歹分别为棱。2,J。的中点，过

点E的平面a与平面BDG平行，点G为线段Bq上的一点，则下列说法正确的是（）

A.AC。

B.若点。为平面a内任意一点，则QC+Q3的最小值为26

C.底面半径为|■且高为G的圆柱可以在该正方体ABC。-A耳GA内任意转动

试卷第2页，共4页

D.直线AG与平面BDQ所成角的正弦值的最大值为逑

3

填空题

12.3一:一1)展开式中f项系数为.

BD1

13.在三角形ABC中，BC=4,角A的平分线AD交8c于点。，若玄=耳，则三角

形A3C面积的最大值为.

r\X+\n-\

14.已知函数存在实数/尤2，，％使得wya)=〃x“)成立，

2+2i=i

若正整数〃的最大值为8,则正实数〃的取值范围是.

四、解答题

15.数列｛见｝满足q=3%/一卓"(〃eN)

0、乙乙)CUbCln

(1)证明：数列卜an。”｝为等差数列，并求数列｛tan%｝的通项公式；

(2)求正整数优，使得sinq•sin%--sina,„

2冗

16.三棱柱ABC-AAG中，AB1AC,AB=AC=2,侧面AACC1为矩形，ZA,AB=—,

三棱锥G3c的体积为半

⑴求侧棱AA的长；

(2)侧棱CG上是否存在点E,使得直线AE与平面ABC所成角的正弦值为£?若存在,

求出线段GE的长；若不存在，请说明理由.

17.在平面直角坐标系中，尸(1,0),直线4：x=-l,动点/在直线4上，过点/作直

线4的垂线，与线段的中垂线交于点P.

⑴求点P的轨迹G的方程;

⑵经过曲线C］上一点P作一条倾斜角为45。的直线4,与曲线G：U-4)2+/=8交于两个

不同的点。，R,求1?。川刊?1的取值范围.

18.一次摸奖活动，选手在连续摸奖时，首次中奖得1分，并规定：若连续中奖，则第

一次中奖得1分，下一次中奖的得分是上一次得分的两倍：若某次未中奖，则该次得0

分,且下一次中奖得1分.已知某同学连续摸奖〃次,总得分为X，每次中奖的概率为:，

且每次摸奖相互独立.

⑴当〃=5时，求X=3的概率；

(2)当〃=3时，求X的概率分布列和数学期望；

⑶当”=30时，判断X的数学期望与10的大小，并说明理由.

19.已知函数/(x)=ln(x+l)-6，/(龙)40恒成立.

⑴求实数a的值；

⑵若关于x的方程/(x)=；(m-3尤)在24］上有两个不相等的实数根，求实数，"的取值

范围；

2p

(3)数列｛%｝满足：a„+i=a„+ln(p-a„),ax=^p+e-2,若数列｛%｝中有无穷个不同

的项，求整数P的值.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.D

【分析】根据给定的抛物线方程，求出抛物线的焦点坐标即得.

【详解】抛物线y=2/可得：%2=^,

抛物线的焦点在y轴上，其坐标为（（），:）.

O

故选：D.

2.A

【分析】根据给定条件把集合B写成用""+夕（左eZ）形式表示的集合，再与集合A求交集

即可.

【详解】依题意，2=卜|2版+竺<2①+^二次£Zj>u卜2kn+/<%<24兀+，左£Z：,

r兀2兀1

A=<j（\2k7i+-<x<2kn+—,kGZ>,

所以Ac5=2far+；<x<2kji+三,左£z｝二^2ht+—,2ht+—,kwZ.

故选：A

3.C

【分析】由条件结合等比数列性质求出％,%，再列方程求出数列的公比4,利用等比数列

求和公式可求

【详解】设等比数列｛q｝的公比为4，

因为数列｛氏｝为正项等比数列，所以4>。，

因为a2a4=a1a5,又a2a4=81,

所以=81,因为4+%=82,

[a,=81[a,=1

所以一或_2厂

也-1-81

[a,=81]q=811

若「，则4J解得%=81,q=3

[%-1=13

答案第1页，共17页

1

q(j5)_81x/

243

所以S5==121,

i—q1--

3

。1=1q=1

若,则,解得％=1,4=3,

%=81a^q4=81

所以S5=31x(1-243)

=121，

1~<71-3

所以，5=121,

故选：C.

4.C

1

【分析】先求出进而利用复数的乘方运算求出结果.

41=一一2+

,设其与实轴正半轴夹角为凡贝Utan。=立，

【详解】由题意得。z=

3

故可设6=5,

6

TT2

设与实轴正半轴夹角为夕，则£兀,

故cos£=_g,sin£=~^~，

\2

(1技，乌+3

故z「"i，2

则Z：=------1--------1

22424

7

(1\2

4

4=」+乌+4」+2

22J42422

\2

173.

z；=--------1--------1"1--_1.

22Jz一_r42-~r

故选：C

5.B

【分析】由题意将原条件转换为机=可。根=(?⑺的根的个数之和为1,其中,(x)=2x+lnx,

g(x)=2x-1nx,(x>0),从而只需画出它们的图象即可通过数形结合求解.

【详解】7(X)=12x-m\-\lnx\=0<^m-2x=]nx^m-2x=-]nx，

答案第2页，共17页

显然/z(x)=2x+lnx单调递增，令g(x)=2x-lnx,(x>0),

贝！Jg<x)=2-当0<x<：时，g<x)<0,g(x)单调递减，当x>g时，g[x)>0,g(x)

单调递增，

所以8(虫产出=1+山2,

注意到/z(x)=g(x)的交点为(1,2),而2>1+山2,

所以在同一平面直角坐标系中作出Mx),g(x)的图象如图所示，

由图可知7"=/?(x),〃z=g(x)的根的个数之和为1,当且仅当〃?<l+ln2,

对比选项可知7"的取值可以是1.

故选：B.

6.B

【分析】分三种情况，用三种颜色，四种颜色，五种颜色，求出每种情况数相加得到答案.

【详解】当只用三种颜色时，A,C同色且氏。同色，

5种颜色选择3种，且有A；=60种选择，

当只用四种颜色时，AC同色或民。同色，

从5种颜色中选择4种，再从A,C和反。中二选一，涂相同颜色，

故有C；C；A：=24。种选择，

当用五种颜色时，每个顶点用1种颜色，故有A；=120种选择，

B

答案第3页，共17页

综上，共有60+240+120=420种选择.

故选：B

7.A

【分析】由题意得2sin£(sin尸+1)=2s16cos尸cosa,进一步

sma

cos=sina=cosacos-sinasin尸=cos(a+6),根据余弦函数单调性得2a+4=],

由此即可得解.

【详解】因为2卜也尸+sin»)=包底回，所以2sin对sin?+l)=2si"cos夕cosa,

'7tanasina

因为sin/?W0,所以sinc+sincrsin尸=cosacos0,

从而cos=sina=cosacosq一sinasin(3=cos(a+4)，

注意到g-a,a+尸e(O,兀)，而V=cosx在(0㈤上单调递减，

TT■rr

从而5—a=a+，，即2a+/=],

所以tan12a+4+弓)=tang=-A/3.

故选：A.

8.A

【分析】运用圆和椭圆的切线方程分别求得tan。1、tan%,结合b＜H可判断两者大小.

【详解】由题意知，若将水滴轴截面看成圆的一部分，圆的半径为R,如图所示,

24

所以tan，=

R—13

22

若将水滴轴截面看成椭圆的一部分，设椭圆方程为斗=1（〃＞人＞0）,如图所示,

ab

答案第4页，共17页

yt

（-2,6-1%

则切点坐标为(-2,6-1),

则椭圆5■+[=1上一点(-2,6-1)的切线方程为考+岭”=1,

abab

2b2

所以椭圆的切线方程的斜率为k=tan%=2〃=,

2a(/?-1)

将切点坐标(-2,6-1)代入切线方程可得3+匕2=1,解得”=26-1,

a-b-a2

a」」

所以2b1

tan%=

"（b—1）b-12b-1

又因为6<R=g,

114

即0>O,

所以tan02=—（2+—―-）>—=tanOx,tan2tanx

所以

故选：A.

9.AC

【分析】由分布列的性质和期望公式求出佻〃可判断ABC；由方差公式可判断D.

1139

【详解】由根+记+y+〃+而=1可得：m+n=-@,

又因为凤丫)=石(3*+1)=3*X)+l=10,解得：E(X)=3,故C正确.

113

所以_E（X）=M+2XF3X—+4n+5x一=3,

v710510

713

则〃?+4w=:②，所以由①②可得：n=^,m=—,故A正确，B错误;

22222

D（X）=（1-3）X]|+（2-3）X^+（3-3）X1+（4-3）X^+（5-3）X]1

=4x—+lx—+lx—+4x—,

101010105

13117

£>（y）=£>（3X+l）=9£>（X）=9x—=—,故D错误.

故选：AC.

10.BCD

答案第5页，共17页

【分析】由/(尤)一个J40可得fM的最大值为吗)，则得。=一三。+2E/eZ,再由/⑴

在(0,鼻上有且仅有2个零点，可得芳再结合的范围可出。，。的值，

从而可求出/(x)的解析式，然后逐个分析判断即可.

【详解】因为VxeR,恒成立，所以广⑺的最大值为了(会，

兀71

月f以-co-\-(p=2kn,%£Z,即cp——~ty+2kn,左£Z,

当X£[o,时，OX+0£]G+夕],

因为了⑶在(04)上有且仅有2个零点，所以?<三0+夕

所以羽〈二g—巴刃+2配42/wZ,gp—<2fai<—,^GZ,得k=l,

233222

JI-

所以0=—1刃+2兀，

因为0<O<6,0£N;OG[。,]]，所以0=5,0=],

TT

所以/(x)=2cos(5x+§),

0L^rrOl^jr勺

对于A,7a)的周期为等欢eZ,若q=%keZ,贝iU=]eZ,所以A错误，

对于B,由2E—7rW5x+&42E,AeZ,<-—,^eZ,

3515515

_

ll,„,.、乂.247t47r24兀7TZT

所以/(九)的递增区间为-^5，—515(%EZ)，

27rJr(TVTTi27rTT

当左=1时，/(x)的递增区间为—,而是—的真子集，

所以函数/(x)在区间上单调递增，所以B正确，

对于C,令5x+%=kit,kQZ,贝!]%=9一R/EZ,所以/(九)的对称轴为％=g—R,%EZ,

7T

当左=2时，/(%)的一条对称轴为x=§,所以C正确，

对于D,由5%+'='+E,左EZ,^X=—+—,^GZ,

32305

所以函数/(x)的对称中心为eZ)，所以D正确，

故选：BCD.

11.ACD

【分析】对A,可证用平面A3G，可得与D，4G；对B,平面a截正方体的截面为

答案第6页，共17页

如图正六边形，点A，C关于平面a对称，QC+Q8最小转化为求QA+Q8即为Af；对C,

只要圆柱的外接球半径小于等于正方体的内切球半径即可满足题意；对D,当AG最小时,

直线4G与平面BDG所成角的正弦值最大，此时点G是8G的中点，得解.

【详解】对于A,如图，又OR，平面ABCR,所以。。1瓦2,又Dp,BR

是平面局内两条相交直线，

所以AG，平面所以4。人AG，同理可证用DLBG，

而AGIC；u平面,所以耳O_L平面A^G，因为AGu平面ABC」

所以4。，AG,故A正确；

对于B,如图，平面a截正方体的截面为正六边形，点A，C关于平面a对称，

所以。。+8=04,+。32”=2立故B错误；

DiFC.

对于C,底面半径为高为百的圆柱的外接球的半径为R=l,又正方体棱长为2,所以

圆柱可以在正方体内任意转动，故C正确；

对于D,由题，点A到平面的距离为定值，所以当AQ最小时，直线型?与平面BDG

所成角的正弦值最大，

此时点G是8G的中点，直线\G与平面BDQ所成角即ZA.GD,

答案第7页，共17页

在ADG中，\G=DG=46,Afi=2及cosZA.GD=6"^一]=

2x^6x^63

所以sin/AGO=]Z.故D正确.

故选：ACD.

【点睛】思路点睛：选项B,确定平面a截正方体的截面为正六边形，由此确定点A，C关

于平面a对称，将球QC+Q8最小转化为求QA+QB；选项C,圆柱可以在正方体内任意转

动，只要圆柱的外接球半径小于等于正方体的内切球半径即可；选项D,直线AG与平面

所成角的正弦值最大，即AG最小时，此时点G是BG的中点，直线AG与平面BOG

所成角即/AGO.

12.-115

【分析】可将卜2-转化为V-：1-1,然后再利用二项式定理展开求解.

【详解】由题意得（J-/-J可化简为［卜一：_1

5-k

且其展开式通项为I(-琰,标{0,123,4,5}

其中对于（尤2一jj”的展开式通项为c鼠（V广〜（一2）’（XT=（-2丫x—,

re{0,1,2,,5-左},

当上=1/=2时，止匕时10—2左一3r=2,则/的系数为-120,

当/=4/=0时,此时10—2J=2,则尤2的系数为5,

所以/项系数为-120+5=-115.

故答案为：-115.

13.3

\AB\1

【分析】先根据正弦定理可得勒=不，再建立平面直角坐标系求解A的轨迹方程，进而可

I21C-zIJ

得,ABC面积的最大值.

答案第8页，共17页

【详解】\AB\\BD\IACI\DC\

sinZADBsinABAD'sinZADCsinZCAP

网_sinNADBAC_sinZADC

力X网-sin/BAD，~DC~smACAD'

因为NADB=180。一/ADC,

所以sinZADB=sin(l80°-ZADC)=sinZADC,

因为角A的平分线AD交BC于点D,

ABAC

所以=所以「~DC

DD

\AB\\BD\1

所以匕*二焉=£，以。为坐标原点建立如图平面直角坐标系,

BD1

因为5C=4,-^=-,所以8(—1,。),C(3,0),

设4(x,y),则+

7(x-3)2+y23

所以Y+3%+y2=0,所以(1+3)22;Q

24

33

故点A(羽y)的轨迹是以(_10)为圆心，|■为半径的圆(除去(-3,0)和(0,0)),

3313

故当A纵坐标最大，即4-万,万)时ABC面积取最大值为S"c=,x4xe=3.

［分析］设80)=2'+2_「\得到-l-q<g(x)-a<l-a,然后分类讨论。的范围，解出

即可.

答案第9页，共17页

QX+1r\

=]=]

【详解】设2，+2T(2F+1,又因为(2)>0,(2)+1>1,所以-!<g(x)<l,

贝lj—1—a<g(%)—a<1—a,当OWaWl时，-1——a<1,

M-l

则0<fix-)<a+l,显然存在任意正整数n使得X/(x,)"(x“)成立;

1=1

当a>1日寸，一1—a<l—Q<0,a-1</(%)va+1,

17(a—1)<a+194

要使得正整数〃的最大值为8,则J二1,解得

[8(a-l)>a+l73

则实数。的取值范围是，9VQ<]4.

94

故答案为：

【点睛】关键点点睛:本题考查了分段函数值域的求法，解题的关键是分类讨论求出函数人幻

的值域，然后根据题意列不等式求解.

3n-2

15.(1)证明见解析,tana」=

⑵加=3333

【分析】(1)推出tan2am=^^=l+tan2q“，从而得到kaY%｝是以1为公差的等差数

cosa般

列，求出通项公式，得到tan4=

1

⑵利用同角三角函数关系结合tan”.L项得到

sint/jsin6i2--sinam=.---,求出答案.

tanam+1V3m+1

【详解】(1)由已知条件可知,由于COSQ〃>0,

,,冗「21sin%+cos2a.’2

故%+1曰°，7，tanan+l=——=----r------^=l+tanan,

I2Jcosancosan

22

则tanan+1-tanan=l,

故数列｛tai?4｝是以1为公差的等差数列，且首项为tan?4=tan?£=

答案第10页，共17页

〃3n-2

故tan2a=—i+L

n33

即tanan=

(2)sinax-sina2••sinam=tanaxcos%tana2cosa2••tanamcosam

tanaxtana2tanam

tana?tana3tanam+x

tan%]

tan-3m+1

pZ=_L得m=3333.

V3m+1100

16.(1)M=2

⑵C]E=2

【分析】（1）证明平面ABC,结合题目条件，先计算出AO的值，然后即可以求得侧

棱A4的长；

（2）建立空间直角坐标系，设未知数2,结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答

案.

【详解】（1）在平面内过A作瓦，垂足为。，

因为侧面AACG为矩形，所以CALAA，

又C4_LAB,AB=A,AB,AA,u平面441耳2,

所以C4L平面四与台，

又C4u平面ABC,所以平面①耳2,平面ABC,

易得ADu面例耳^,平面A41818c平面ABC=AB,

所以AD_L平面ABC,

因为匕Asc=」SABC，AD='X!X2X2AO=M，所以AO=石，

因为NAA8=@，A\AD=~,所以蝴=2；

36

答案第11页，共17页

(2)存在点E满足题意，QE=2,理由如下：

如图，以A为坐标原点，以AB,ACAD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则A(-1,0,回B(2,0,0),C(0,2,0),q(-1,2,B,

设C]E=4cle,4e[0,1],则E(A.-1,2,百-感),

故AE=(/l-l,2,石-&),”=(3,0,-®AC=(L2,-扬

设平面\BC的法向量为根=(x,y,z)

m-AB=03X-A/3Z=0

则即《令z=Vs,贝U%=y=1,

x+2y-坦z-0

m-A1C=0

故平面AXBC的一个法向量m=(1,1,石),

设直线AE与平面\BC所成角为。,

卜£同"I&

贝°sin0=解得4=1，

网•时“2-22+2•乔5

故存在点E满足题意，所以GE=2.

17.(1)/=4x

(2)[4,8)u(8,200)

【分析】(1)利用线段的中垂线的性质得出IPM|=|尸产|,根据抛物线的定义即得方程；

(2)设尸(r2),则直线的方程为y=x+2”产，将直线方程与曲线C?方程联立，由A>0可

得f的取值范围，设Q,R的横坐标分别为4结合4的倾斜角为45°,结合弦长公式可将

|「。・|依|表示为关于f的函数，从而求得其取值范围.

【详解】(1)由图可得尸I,所以点尸的轨迹C是以尸(1,0)为焦点的抛物线，

答案第12页，共17页

故点尸的轨迹C的方程为丁=4x；

⑵设尸(『2),则直线4的方程为y=x+2”/，代入曲线C2的方程得,

(x—4)~+(x+2f—厂)=8.

化简可得：2x2-2(产-2r+4)x+仅2-2^)2+8=o①,

由于6与C?交于两个不同的点，故关于x的方程①的判别式A为正，计算得,

：=(2/+4)2一2((产―2)+8)=(产-2fI-8(产-2/)+16-2(产-2)_16

=一(「一+8(〃-2r)=_-2。(/一2t-8)=-/(/-2)(/+2)(?-4),

因此有fe(-2,0)j(2,4),②

设Q,R的横坐标分别为的，巧，

由①知，X]+羽=厂—2t+4,无]%=/((广—2')+8),

因此，结合4的倾斜角为45。可知，

|尸母|PR|=0(者-2).&(々_产)=2尤]9_2/(&+%)+2/

=(产-2。2+8_2产02_2/+4)+2〃=？-4/+4r+8-2?+4?一8d+2/

=〃-4/+8=(产-27+4,③

由②可知，r-2e(-2,2)-(2,14),故(产一2);[0,4)54,196),

从而由③得：|尸0卜]尸网=12-2『+4€[4,8)58,200).

答案第13页，共17页

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决;

(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数,

再求这个函数的最值或范围.

4

18.(1)—

27

(2)分布列见解析，|35|

(3)E(X)>10,理由见解析

【分析】(1)将X=3的所有可能情况进行分类讨论，即可求得尸(X=3)的表达式.

(2)易知X的可能取值为0,1,2,3,7,求出对应概率可得分布列和期望；

(3)依题意可知，若每次投进都得1分，利用二项分布可知E(J)=10,再结合比赛规则可

得E(X)>10.

【详解】(1)摸奖5次得分为3分，有如下两种情形:

情形一，恰好两次中奖，且两次相邻；

情形二，恰好三次中奖，且任意两次都不相邻.

情形一发生的概率为Cj.

情形二发生概率为,

4

所以P(X=3)=药；

(2)X的可能取值为0,1,2,3,7,其中

答案第14页，共17页

Q112

P(X=O)=->尸(X=1)=C；X]X

27

P—2)&"W，尸(X=3)心(『I书

1

p(X=T)=

27

所以X的概率分布列为

X01237

812241

P

2727272727

oinnJi%

所以E(X)=Ox£+lx—+2x—+3x—+7x—=3

272727272727

(3)灰X)>10.理由如下：

记该同学摸奖30次中奖次数为九则4~83。［］

若每次中奖都得1分，则得分的期望为EC)=30xg=10.

由题中比赛规则可知连续中奖时，得分翻倍，

故实际总得分的期望E(X)必大于每次都得1分的数学期望.

所以E(X)>10.

19.(l)a=l

(2)[41n5-4,81n2-3)

⑶。=1