山东省淄博市沂源县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含答案解析）

山东省淄博市沂源县实验中学2023-2024学年八年级下学期

期中数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.二次根式^/^^有意义，则机的取值为（）

A.m<-2B.mW-2C.m>-2D.加取任意实数

2.与0是同类二次根式的是（）

A.JB.石C."

D.y[6

3.下列各式中正确的是（）

A.J/y=-7B.79=±3

C.（-V2）2=4

D.73-473=-35/3

4.如果唬二是二次根式，那么x应满足的条件是（）

A.xr8B.x<8C.x<8D.x>0且x，8

5.如图，口ABC。的对角线AC与5。相交于点。AB±ACf若AB=4,AC=6,则

6.给出以下方程的解题过程，其中正确的有（）

①解方程（（尤-2）2=16,两边同时开方，得％-2=±4,移项得％=6,X2=-2；②解方

程-2-两边同时除以J得x=l,所以原方程的根为%=%=1；③

解方程（x—2）（x—1）=5,由题得x—2=1,x—1=5,解得％=3,x2=6；④方程

(x-机>=〃的解是玉=〃?+«,x2=m-4n.

A.0个B.2个C.3个D.4个

7.某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产

量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为X,则可列方程为()

A.80(1+x)2=100B.100(1-x)2=80C.80(1+2x)=100

D.80(1+x2)=100

8.ifM275x3A/10=()

A.6V15B.6病C.30&D.30小

9.一元二次方程5/-2x=0的解是()

225

A.玉=0,%2=-1B.%=0,C.玉=0%2=一万

D.石=0,*2=5

10.如图，已知菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6cm、8cm,AE±BC于点E,

则AE的长是()

A.56cmB.2A/5CUIC.—cmD.—cm

11.若=3-b,则6的取值范围是()

A.b<3B.庆3C.b>3D.b>3

12.已知D>。，化简二次根式xj的正确结果为()

A.6B.4~yC.-yfyD.-ypy

二、填空题

13.计算代义布-版结果是.

14.方程x(x—2)=0的解为.

15.若矩形对角线长为12,对角线与一边夹角为30°,则该矩形的周长是

16.观察下列等式：

第1个等式：a\=]+.=\/2-1»

第2个等式：2=④+班=6-0，

试卷第2页，共6页

第3个等式：%==+2=2-6,

第4个等式：%=/6=6-2,

按上述规律，计算a1+a2+a3+an=.

17.如图，点G是边长为4的正方形ABC。的对角线上一动点，点E在边CD上,CE=1,

则DG+GE的最小值为______.

18.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE,将△ABE绕点B顺时

针旋转90。到△CBE，的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,贝|NBEC=_度.

三、解答题

19.计算：

(1)^-15J-+-V48

V34

(3)(2』+百)(2』-百)

(4)^2712-4^x372

20.解方程：

(1)尤2+10尤+25=0

(2)5%2-9X-18=0.

(3)(x-2)(x-3)=12

(4)尤2-4彳+5=0

21.已知关于x的一元二次方程f—4x+机+1=0有两个不相等的实数根,

(1)求m的取值范围;

(2)当〃?=T时，求出此时方程的两个根.

22.观察下列等式：回答问题:

—1,11

①J1+=+F=1+------

VI22211+1

⑴根据上面三个等式的信息，猜想----------

(2)请按照上式反应的规律，试写出用，，表示的等式;

(3)验证你的结果.

23.如图所示，ZADB=ZADC,BD=CD.

⑴求证：AABD乌AACD；

⑵设E是AD延长线上的动点，当点E移动到什么位置时，四边形ACEB为菱形？说明

你的理由.

24.澄城是渭北地区规模最大、品种最全、果质最好的樱桃产区.色泽鲜美、味美形娇

的澄城樱桃，备受消费者青睐.某水果商以每斤1。元的价格从该县批发樱桃，再按每

斤20元价格到市区销售，平均每天可售出100斤，经过调查发现，如果每斤樱桃的售

价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加20斤，为了尽快减少库存，该水果商决

定降价销售.

(1)若将樱桃每斤的价格降低尤元，则每天的销售量是斤(用含x的代数式表示)；

(2)水果商销售樱桃每天盈利1120元，每斤樱桃的售价应降至每斤多少元？(其他成本

忽略不计)

25.如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，连接DE、BE.

试卷第4页，共6页

⑴求证：DE=BE；

(2)当4£=相=2时，求四边形ABED的面积;

(3)如图②，过点E作所_L.DE交42于点R当砥=3尸时，若AB=6+1，求AF的

长.

26.如图，菱形A8CD的对角线AC、BD相交于点0,过点D作。石〃AC且OE=^AC,

连接AE、CE.

(1)求证：四边形0C即为矩形；

(2)若菱形ABCD的边长为2,/BCD=60。,求AE的长.

27.如图，矩形A8CD中，点、E、尸分别在边A3、CD上，AE=CF,所与对角线AC交

于点O,S.BE=BF,NBEF=2/BAC.

(1)求证：OE=OF；

(2)求证：4BOF咨4BCF；

(3)若BC=26，求A3的长.

28.如图，AB//CD,E、尸分别是直线A3、C。上一点，连接E尸，NAEF、Z.CFE

的平分线交于点G,ZBEF、/"E的平分线交于点连接GH交E产于点K.如果过

点、G作MN〃EF,分别交A3、CD于点M、N,过点H作PQ〃石尸，分别交A3、CD

于点尸、Q，得到四边形"NQP.求证：四边形MNQP是菱形.

29.以ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形.他们分别是正方形ABDI,

BCFE,ACHG,试探究：

⑴如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由.

(2)当,ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？

(3)当，ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.c

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题关键.根据题意

得利+220,解不等式即可求解.

【详解】解：二次根式而，有意义，

/.m+2>0,

/.m>—2,

故选：C.

2.B

【分析】根据同类二次根式的定义进行解答.

【详解】解：血的被开方数是2.

A、匹L:是有理数，不是二次根式，故本选项错误；

V422

B、£=今被开方数是2,所以与0是同类二次根式，故本选项正确；

C、4=2,2是有理数，不是二次根式，故本选项错误；

D、布被开方数是6,所以与血不是同类二次根式，故本选项错误；

故选：B.

【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相

同的二次根式称为同类二次根式.

3.D

【分析】A根据二次根式的性质判断；

根据后表示9的算术平方根，求出即可判断B答案；

(-V2)2=2将，即可判断C；

根据二次根式的加减法则：把同类二次根式的系数相加，根式不变，求出即可判断D.

【详解】晅f=7#7,故A错误；

次=3丹3,故B错误；

(-V2)2=2#4,故C错误；

答案第1页，共20页

73-4A/3=-3A/3,故D正确.

故选D.

【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减法等知识点的应用，能熟练地运用法

则进行计算是解此题的关键，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目.

4.C

【详解】根据二次根式的性质，被开方数大于等于。可得:8-xNO,解得:XV8,故选C.

5.C

【分析】通过平行四边形ABCD性质，可计算得A0；再结合ABLAC推导得一ABO为直角

三角形，通过勾股定理计算得8。，再结合平行四边形性质，计算得到答案.

【详解】解：,•FABC。的对角线AC与2。相交于点。，

:.BO=DO,AO=CO,

'：AB±AC,A8=4,AC=6,

：.ZBAO=90°,0A=3

•••BO=y/AB^AO1=^42+32=5，

：.BD=2BO=10,

故选：C.

【点睛】此题考查了平行四边形、勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形和勾

股定理的性质.

6.A

【分析】直接开平方法必须具备两个条件：

(1)方程的左边是一个完全平方式；

(2)右边是非负数，将右边看出一个非负已知数，利用数的开方解答.

【详解】解：①应先将系数T化为1再开方，所以①错；

②在不知道因式是否为。的情况下，将其作为除数来化简方程，容易造成丢根，所以②错;

③方程右边不为0,不能用因式分解法解，所以③错；

④当n为负数时，不能直接开平方，所以④错.

故选：A.

【点睛】本题主要考查解一元二次方程，避免一些常见错误是解题的关键.

7.A

答案第2页，共20页

【分析】利用增长后的量=增长前的量x(l+增长率)，设平均每次增长的百分率为X,根据“从

80吨增加到100吨”,即可得出方程.

【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为X,

根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80(1+x)吨，

2018年蔬菜产量为80(1+x)(1+x)吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨,

即：80(1+x)2=100,

故选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用(增长率问题).解题的关键在于理清题目的含义，

找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程.

8.C

【分析】根据二次根式的混合运算和根式的性质即可解题.

【详解】解：2A/5X3710=6750=30拒,

故选C.

【点睛】本题考查了根式的运算，属于简单题，熟悉根式的性质是解题关键.

9.B

【分析】利用提公因式分进行因式分解，再解方程，即可得到答案.

【详解】解:x(5x-2)=0,

x=0或5x-2=0,

所以占=。或无2=《.

故选：B.

【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程

的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

10.D

【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RTABOC中求出BC,利用菱形面积等于

对角线乘积的一半，也等于BCXAE,可得出AE的长度.

【详解】•••四边形ABCD是菱形，

；.CO=；AC=3,BO=1BD=4,AO±BO,

•*-BC=VCO2+BO2=V32+42=5.

答案第3页，共20页

S菱形ABCD=5BD-AC=-x6x8=24.

又•*S菱形ABCD=BC•AE,

・・・BCAE=24,

即AE=—(cm).

故选D.

点睛：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方

法，及菱形的对角线互相垂直且平分.

11.B

【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据值=时可得3-h20,即可得到6W3.

【详解】解：・・・J(3—0)2=3*

：.3-b＞0,

・•・代3,

故选：B.

12.D

【分析】由取＞。，可知x和丁同号，由W＞。，可得y＜。，xv。，然后根据二次根式的

尤

性质进行化简即可.

【详解】解：xy＞0,

x和y同号，

/.y<0,x<0,

故选：D.

【点睛】本题考查了利用二次根式的性质进行化简.解题的关键在于确定％，＞的正负.

13.-372

【分析】先根据二次根式的乘法则运算，然后化简后合并即可.

【详解】解：^XA/6-772=718-672=3A/2-6A/2=-372,

故答案为：-3^2.

答案第4页，共20页

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次

根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二

次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

14.%=°，x?—2

【分析】根据“两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0”进行求解.

【详解】解:由x(x-2)=0,得

x=0或无―2=0,

解得%=0,x2=2.

故答案为：=0,x2=2.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配

方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.

15.12+1273

【分析】只要证明△AOB是等边三角形，推出OA=OB=AB=6cm,求出AD即可求得周长.

【详解】解：如图：

R____sJc

•..四边形ABC。是矩形，

：.ZBAD=90°,AD=BC,AB=DC=10cm,AC=2AO=2OC,BD=2OB=2OD,AC=BD,

：.OA^OB,

"：ZCAD=ZBDA=3Q°,

/.ZAOB=6Q°,

.•.△AOB是等边三角形，

OA—OB=AB-6cm,

：.AD=BC=6y/3.

：.AC=2OA=2Qcm,

...该矩形的周长是2(AB+A。)=2X(6+673)=12+12右.

答案第5页，共20页

故答案为：12+125/3.

【点睛】本题考查了矩形性质，等边三角形性质和判定，主要考查学生运用定理进行计算和

推理的能力.

16.yjn+l—1/—1+y/n+1

【分析】首先根据题意，可得：%=/:/,然后根据分母有理数化的方法，求出算

式的值是多少即可.

【详解】解：第1个等式：4=^^=拒-1，

第2个等式：％+=y[3—A/2,

第3个等式：/=6+2=2-逐，

第4个等式：%=2+道=非-2,

第〃个等式：=-——==+,

7rn+\n+l

%+/+。3++%

=5/2-1+y/3--\/2++y/n+1—y/n

=s/n+1-1

故答案为：Jn+1-1.

【点睛】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母

有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式.

17.V17

【分析】在线段BC上取一点E,使得EC=EC=1,连接。E交AC于点G、连接GE,由四

边形ABCD是正方形，EC=EC=1,得E\E关于直线AC对称，从而有的长即为。G+GE

的最小值，于是利用勾股定理即可求解.

【详解】在线段8C上取一点使得EC=EC=1,连接DE'交AC于点G、连接GE,

答案第6页，共20页

:四边形ABC。是正方形，EC=EC=1,

:㈤、E关于直线AC对称，

的长即为DG+GE的最小值，

VCD=4,CE'=1,

在RtAOCE'中，DE'=7CD2+CE,2=742+12=®，

故答案为：VF7.

【点睛】本题主要考查了最短距离，勾股定理，轴对称，能根据轴对称作出相应辅助线利用

勾股定理求解是解题的关键.

18.135

【详解】试题分析：如图，连接EE，，

:将△ABE绕点B顺时针旋转90。到ACBE，的位置，AE=1,BE=2,CE=3,

ZEBE,=90°,BE=BEr=2,AE=E,C=1.

：.EE'=2y/2,NBE，E=45。.

VE,E2+E,C2=8+1=9,EC2=9./.E^+E^EC2.

」.△EEC是直角三角形，.,.ZEE,C=90°./BE，C=135。.

19.(1)-V3

⑵40

⑶7

答案第7页，共20页

(4)1276-6

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键;

（1）先根据二次根式的性质化简，再计算乘法，最后计算加减法即可；

（2）先根据二次根式的性质化简，再计算加减法即可；

（3）利用平方差公式计算即可；

（4）先根据二次根式的性质化简，再根据乘法分配律展开计算即可.

【详解】（1）解：A/27-15J-+-^

V34

=3A/3-15?--?4A/3

34

=373-573+73

=一抬;

(2)解:(同一唬)+&

=5拒-20+立

=4A/2;

(3)解：(2如+⑹(26-⑹

=(2^)2-(<

=12-5

=7；

x30

=4A/3X3A/2-72X3^

=126—6

20.(1)西=%=-5

(2)&=——,%=3；

(3)%=6,x2=—1；

答案第8页，共20页

(4)无解

【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键.

(1)利用直接开方法解方程即可；

(2)利用因式分解法解方程即可；

(3)利用因式分解法解方程即可；

(4)利用公式法解方程即可.

【详解】(1)解：%2+10%+25=0,

(X+5)2=0,

\x+5=0,

解得：玉=%=-5

(2)解：5/一9%-18=0,

(5x+6)(x-3)=0

.,.5%+6=0或％—3=0,

解得：玉=一二，%=3；

(3)解：(%—2)(%—3)=12,

f——3x+6—12—0，

%?-5x—6=0,

(x-6)(x+l)=0,

.,.%-6=0或x+l=0,

解得：%=6,x2=-l；

(4)解：X2-4X+5=0

a=l,b=—4fc=5,

.•.A=(T)2-4xix5=-4<o,

方程无解.

21.(1)m<3；(2)xj—0,X2—4.

【分析】(1)利用一元二次方程的根的判别式即可；

答案第9页，共20页

(2)利用因式分解法求解即可.

【详解】(1)由题意得△=(一4)2_4(旭+1)>0

整理得16-4〃7-4>0

解得m<3；

(2)当〃?=-1时，方程变形为一一4元=0

因式分解,得式x-4)=0

即x=0或x—4=0

故玉=0,无2=4.

【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的解法，主要解法包括：直

接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟记各解法是解题关键.

22.(1)1—

20

1

H(〃+1)

⑶见解析

【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质与化简，分式的化简，观察等式发现

一般规律是解题关键.

(1)根据已知等式完成猜想即可;

(2)根据已知等式发现规律即可

(3)先通分，再结合完全平方公式化简验证即可.

【详解】(1)解：根据上面三个等式的信息，猜想、=1=1,；

V425244+120

故答案为：1二；

(2)解：由已知等式可知，J1+J+1

=11-I-I-----I--=11-\—--I-----.

n+l)12nn+1+，

⑶解"1+*+1

«+1)2

f+1)了+(〃+I)2+/

口5+1)了

答案第10页，共20页

+1。？+几2+2〃+]+〃2

V[«(«+1)]2

+1)]2+2n2+2〃+1

![«(«+1)]~+2H(M+1)+1

v[«(w+1)]2

{[〃(〃+l)T

n(n+l)+l

n(n+l)

=1+—~-

7i(n+l),

23.⑴证明见解析

(2)当点E移动到BE=54的位置时，四边形ACEB为菱形，理由见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定，掌握四条边相等的四边形是菱

形是解题关键.

(1)利用“SAS”证明全等即可;

(2)由(1)可知，△ABDJACD,得至ljAB=AC,进而证明BDE会BDE(SAS),得

到3E=CE,即可证明.

【详解】(1)证明：在△ABD和,ACZ)中，

BD=CD

<NADB=ZADC,

AD=AD

ABD沿ACD(SAS)；

(2)解：当点E移动到3E=54的位置时，四边形ACEB为菱形，理由如下：

由(1)可知，四△ACD,

AB-AC,

ZADB=ZADC,

:.NBDE=NCDE,

答案第11页，共20页

在△BDE和CDE中,

BD=CD

，ZBDE=ZCDE,

DE=DE

BDE^.SDE(SAS),

:.BE=CE,

.-.AC=AB=BE=CE,

四边形ACES为菱形.

24.(1)(100+20%)

⑵17

【分析】（1）利用每天的销售量=100+20x降低的价格，即可用含x的代数式表示出每天的

销售量；

（2）根据水果商销售樱桃每天盈利的盈利=每斤的利润x每天的销售量，即可得出关于x的

一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合为了尽快减少库存，即可确定x的值，将其代

入（20-尤）中即可求出每斤樱桃的售价.

【详解】（1）解：：按每斤20元价格到市区销售，平均每天可售出100斤，如果每斤樱桃

的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加20斤，

•••将樱桃每斤的价格降低尤元，则每天的销售量为（100+20X）斤.

故答案为：（100+20x）.

（2）解：依题意得：（20-X-10）（100+20%）=1120,

整理得：炉-5x+6=O,

解得：占=2,尤2=3,

又•••为了尽快减少库存，

.*.x=3,

答案第12页，共20页

.*.20-x=17.

答：每斤樱桃的售价应降至17元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之

间的关系，用含尤的代数式表示出每天的销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方

程.

25.（1）证明见解析;

⑵20;

⑶6-1

【分析】（1）根据正方形的性质，易证-CDE0_CBE（SAS）,即可得出结论；

（2）连接即，交AC于点。，根据正方形的性质，得至】JOD=O3=；3O=夜，再根据四边

形ASED的面积=SABE+SADE，即可得到答案；

（3）过点E作EM_LAB于点根据四边形内角和与等角对等边的性质，证明△3EF是

等边三角形，^FM=BM=x,则再结合正方形的性质，得至ljAM=EM=5/io

进而求出x=l,即可得到"的长.

【详解】（1）证明：四边形ABCD是正方形，

:.CD=BC,ZACD=ZACB=45°,

在cCDE和中，

CD=CB

<ZDCE=NBCE,

CE=CE

...CD®C阻SAS）,

/.DE=BE；

（2）解:如图，连接5。，交AC于点0,

四边形ABC。是正方形，AB=2,

.-.AD=AB=2,Z&W=90°,BDLAC,OD=OB,

BD=\lAD2+AB2=272,

答案第13页，共20页

：.OD=OB=-BD=y[2,

2

ii]]

A四边形ABED的面积=S^+S3=eAE-OB+5AEOD=5x2xg+ex2x&=20

D-------------------.C

(3)解：如图，过点E作现T_LAB于点V,

由(1)可知，△CDE0ZXC8E,

:"CDE=/CBE,

ZADC=ZABC=ZBAD=9Q°,

.\ZADE=ZABE,

DE^EF,

:./DEF=9伊,

ZADE+ZAFE=360°-ZZMF-ZD£F=180°,

ZAFE+NEFB=180。,

:.ZADE=ZEFB=ZABEf

：.EF=BE

BE=BF,

[BEE是等边三角形，

：.ZEBF=60°,FM=BM=-BF,

2

设FM=BM=x,贝！]BE=BF=2x,

EM=y/BE2-BM2=y/3x，

四边形ABC。是正方形，

:.ZBAE=45°,

:.AM=EM=y/3x，

AM+BM=AB,

y/3x+X=^A/3+1)%=y/3+1,

•♦%=1,

答案第14页，共20页

AF=AM-FM=y[3-l

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质,

勾股定理等知识，正确作辅助线是解题关键.

26.⑴见解析

（2）713

【分析】（1）先证四边形OCE。是平行四边形，再由NQOC=90。，即可得出结论；

⑵先证△BCD是等边三角形，得BD=BC=2,再由勾股定理得。。=百，则AC=20c=2布,

然后由矩形的性质得CE=OZ）=1,ZOCE=90°,最后由勾股定理即可得出答案.

【详解】（1）

证明：：四边形ABC。是菱形，

：.AC±BD,AO=OC=gAC,

ZDOC=90°,

'：DE//AC,DE=^AC,

:.DE=OC,DE//OC,

/.四边形OCED是平行四边形，

又•.•/QOC=90°,

平行四边形。。即是矩形；

（2）解：：四边形ABC。是菱形，

：.ACLBD,BC=CD=8,OB=OD,AO^OC^^AC,

答案第15页，共20页

'：ZBCD=6Q0,

：.△BC。是等边三角形，

：.BD=BC=2,

：.OD^OB^1,

℃=yjBC2-OB2=722-l2=A/3，

...AC=2OC=2A/L由（1）得：四边形OCE。为矩形，

，CE=OO=1,ZOCE=90°,

在MAACE中，由勾股定理得：

AE=VAC2+EC2=小（2国+廿=y/13,

故答案为：V13.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角

形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形性质，证明四边形。CE。为矩形是解题

的关键.

27.（1）见解析；（2）见解析；（3）6

【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形，可以用矩形的性质即可求解；

（2）连接。3,知道四边形ABC。是矩形，可以得到/3CF=90。，

NBEF=2ZBAC,NBEF=ABAC+ZEOA,即可求出△BOF学ABCF；

（3）根据勾股定理即可求解.

【详解】（1）证明：•••四边形是矩形，

：.AB//CD,

：.ZCAE=ZACF,ZCFO=ZAEO,

在AAOE和ACO/中，

ZCAE=ZACF

■ZCFO=ZAEO,

AE=CF

.AOEqCOFCA4S）,

OE=OF；

（2）证明：如图，连接OB,

答案第16页，共20页

VOE=OF,BE=BF,

：.BOLEF,且/EBO=/FBO

：.ZBOF=90°.

・・•四边形A3CD是矩形，

:.ZBCF=90°

又ZBEF=2/BAC,ZBEF=ABAC+ZEOA,

：.ZBAC=ZEOA

：.AE=OE.

VAE=CF,OE=OF,

：.OF=CF.

又BF=BF,

：.Rt.BOF^RtBCF(HL).

(3)解：9：BF=BE,OE=OF,

：.BO1EF,

由(1)知，AAOE^ACOF,

：.OA=OC,

・・•四边形ABC。是矩形，

・•・ZABC=90°,

：.BO=-AC=OA,

2

・•・ABAC=NOBA,

又/BEF=2/BAC,

：.ZBEF=2ZOBE,

而H05石中，ZBEO-^-ZOBE=90°f

：.ZBAC=30°,

答案第17页，共20页

,/BC=2A/3,

/.AC=2BC=473,

；•AB=ylAC2-BC2=6.

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，

直角三角形的性质，作辅助线和运用勾股定理是解题的关键.

28.见解析

【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，掌握特殊的四边形的判定和性

质是解题关键.根据平行线的性质和角平分线的定义，证明四边形EGEH是矩形，进而证

明四边形MGKE是菱形，同理可证，四边形EKHP、GNFK、FQHK是菱形,得到"P=M7V,

即可证明结论.

【详解】解:AB//CD,

ZAEF+ZCFE=180°,ZAEF=ZDFE,ZBEF=Z.CFE

ZAEF、/CFE的平分线交于点G,ZBEF、/DFE的平分线交于点X,

：.ZGEF=-ZAEF,ZEFH=-ZDFE,ZEFG=-ZCFE,ZFEH=-ZBEF,

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