广东省深圳市龙岗区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷（含答案及解析）

2022-2023学年九年级数学（上册）学科素养形成练习

期中（第一章〜第四章）

（满分：100分）

第一部分（选择题，共30分）

一、选择题（本题有10小题，每小题3分,共30分）

1.下列方程中是一元二次方程的是（）

2

A.2x+l=0B.x+—=2C.%o2-1=0D.x2H—=-1

xx

2.已知线段a、b有〃+b=9,则〃：〃为（）

a-b2

A.5:1B.7:2C.7:3D.3:7

3.如图，矩形AEFG的顶点E,方分别在菱形ABC。的边AB和对角线5。上，连接'G,。尸若

EG=5,则。尸的长为（）

D.

4.如图，下列条件中，不能判定的是（）

ACAD

A.ZADC=ZACBB.ZB=ZACDC.ZACD=ZBCDD.-----=------

ABAC

5.若3机=w0）,则下列比例式成立的是（）

mnmni

A.—=一B.—=一C.-

3443

6.下列说法正确的是（）

A.对角线互相垂直四边形是菱形

B.由两个全等的三角形拼成的四边形是矩形

C.四个角都是直角的平行四边形是正方形

D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形

7.如图，菱形A8C。中，Z£>=140°,则/I的大小是（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

8.一种药品，原来的售价每件200元，连续两次降价后，现在每件售价162元，若每次降价的百分率相同,

则平均每次降价（）

A.8%B.10%C.15%D.20%

9.若整数。使得关于x的一元二次方程（。+2）/+2分+。—1=0有实数根，且关于x的不等式组

a-x<G

<1/、有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数〃的个数为（）

%+2<-（%+7）

A.3B.4C.5D.6

10.如图，点E、尸分别在正方形A3CD边CD、AD±.,且所垂直于助，若A3=8,BE=10,则

，。斯的周长为（）

A.5B.6C.7D.8

第二部分（非选择题，共70分）

二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）

11.不透明的纸箱里装有2张画有和1张画有的卡片，这些卡片除了图案不同外其他都

相同，从中任意抽取一张，不放回再从中抽取一张，则两次抽到的卡片的图案不同的概率是.

12.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△048放大后得到△OC。，若3（0,1）,

。（0,3）,则△OA8与△℃£>的面积比为

13.已知方程2d—6x+3=0的两个根是为，巧，则占+々=.

14.如图，点A（0,2退），点3（2,0）,点尸为线段A3上一个动点，作轴于点作尸AUx

轴于点N,连接"N,当取最小值时，则四边形a"W面积为.

15.如图，等腰RtZvWC中，?B90?,。为A3中点，E、尸分别是BC、AC上的点（且E不与2、

重合），且EF工CD.若CE=nBE,则条的值是（用含〃的式子表示）

三、解答题（本题有7题，共55分）

16.（1）解方程：2尤2—5x+4=0.

（2）用配方法解关于x的方程：x2+qx-p^0（q2+4p>0）.

17.先化简，再求值.

2

―j+:Y++2"Y+——1，请从一元二次方程炉―x—2=0的两个根中选择一个你喜欢的求值.

1-xx2-2x+lx+2

18.小明与小刚做游戏，在甲、乙两个不透明的口袋中，分别装有完全一样的小球，其中甲口袋中的4个

小球上分别标有数字1,2,3,4,乙口袋中的3个小球分别标有数字2,3,4,小明先从甲袋中随意摸出

一个小球，记下数字为x,再从乙袋中随机摸出一个小球，记下数字为y.

(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；

(2)若x,y都是方程f—5x+6=0的解时，则小明获胜；若x,y都不是方程5%+6=0的解时，

则小刚获胜，它们谁获胜的概率大？请说明理由.

19.如图，在ABC中，NACB=90。，点。是AB的中点，过点。作。E1AC于点E,延长OE到点孔

使得EF=DE,连接凡匕CF.

(1)根据题意，补全图形；

(2)求证：四边形ADCF是菱形；

(3)若AB=8,ABAC=30°,求菱形ADCF的面积.

20.为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备

成本价为6万元，经过市场调研发现，每台售价为8万元时，月销售量为120台；每台售价为9万元时，月

销售量为110台.假定该设备的月销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系.

(1)求月销售量y与销售单价x的函数关系式；

(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得低于10万元，如果该公司想获得240万元的月利润.则该设

备的销售单价应是多少万元？

21.在边长为1的正方形A3CD中，点E从点A沿向点。运动，以BE为边,在座的上方作正方形

BEFG,连接CG.

(1)线段AE与CG是否相等？请说明理由;

(2)若设AE=x,£)H=y,当x取何值时，y最大?

(3)连接BH，当点E运动AD的什么位置时，ABEH^ABAE^

22.在正方形ABC。中，过点B作直线/,点E在直线/上，连接CE,DE,其中CE=BC,过点C作

CFLDE于点F,交直线/于点H

(1)当直线/在如图①的位置时

①请直接写出ZECH与ZHCD之间数量关系.

②请直接写出线段出/,EH,C8之间的数量关系.

(2)当直线/在如图②的位置时，请写出线段88,EH,C8之间的数量关系并证明;

图①图②备用图

2022-2023学年九年级数学（上册）学科素养形成练习

期中（第一章〜第四章）

（满分：100分）

第一部分（选择题，共30分）

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1.下列方程中是一元二次方程的是（）

A.2x+l=0B.x+-=2C.%2.1=0D.

x

221

jr+—=-l

x

【答案】c

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方

程叫做一元二次方程”逐项判断即可.

【详解】A.2x+l=0是一元一次方程，故不符合题意；

B.x+-=2,分母含有未知数，故不符合题意；

C.%2—1=0为一元二次方程，符合题意；

2

D.x92+-=-l,分母含有未知数，故不符合题意；

X

故选C.

【点睛】此题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟知一元二次方程的特点.

2.已知线段a、b有a+沙=）,则。：人为（）

a-b2

A.5:1B.7:2C.7:3D.3:7

【答案】C

【解析】

【分析】把比例式化成乘积式求出ab之间的关系即可.

/.2(a+b)-5(a-b)

解得3a=7/?

，a:b=7:3

故选c.

【点睛】本题考查比例性质，熟练利用比例的性质转换比例式和乘积式是解题的关键.

3.如图，矩形但6的顶点E，尸分别在菱形A3CD的边A3和对角线上，连接

EG,C歹若EG=5,则C/的长为()

A.4B.5C.>/5D.近

【答案】B

【解析】

【分析】连接AF,由题意可知AF=EG=5,由四边形ABC。为菱形，可证得

ADF=CDF(SAS),即可求得CR=AF=5.

【详解】解：连接AR如图所示，

：.AF=EG=5,

..•四边形A8CD为菱形，

：.AD=CD,ZADF=ZCDF,

在ZiAT不和一C"中，

AD=CD

■：<ZADF=ZCDF,

DF=DF

：.ADF=CDF(SAS),

：.CF=AF=5,

故选：B.

【点睛】本题考查了菱形性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形

和矩形的性质是解题的关键.

4.如图，下列条件中，不能判定的是()

A

2

A.ZADC=ZACBB.ZB=ZACDC.ZACD=ZBCD

ACAD

~AB~~AC

【答案】C

【解析】

【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案.

【详解】(A)VZA=ZA,ZADC=ZACB,

：.CDs△ABC,故A能判定母4CDs△ABC；

(B)VZA=ZA,ZB=ZACD,

：.^ACD^AABC,故B能判定CDs△age；

ACAD

(_D)'/-----.....,NA=NA,

ABAC

：.AACD^AABC,故D能判定△ACOS/^ABC；

故选C.

【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础

题型.

5.若3加=4几(%加w。)，则下列比例式成立的是()

C.—=-

n4

3n

【答案】B

【解析】

【分析】利用内项之积等于外项之积进行判断.

【详解】解：A、1,4m=3n,故此选项不符合题意;

vnrj

B、:一=一，.•.3m=4n,故此选项符合题意；

43

C>V—=—,4m—n,故此选项不符合题意;

n4

m4

D>V一=—,mn=12,故此选项不符合题意；

3n

故选：B.

【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键.

6.下列说法正确的是（）

A.对角线互相垂直的四边形是菱形

B.由两个全等的三角形拼成的四边形是矩形

C.四个角都是直角的平行四边形是正方形

D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形

【答案】D

【解析】

【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐一进行判定即可.

【详解】解：A.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误；

B.由两个全等的直角三角形拼成的四边形是矩形，故B错误；

C.四个角都是直角的菱形是正方形，故C错误；

D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定定理，掌握菱形、矩形、正方形的判定定理

是解题的关键.

7.如图，菱形A3。中，Z£>=140°,则/I的大小是（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】B

【解析】

【分析】由菱形的性质得到ZM=OC,ZDAC=Z1,由等腰三角形的性质得到

NQCA=N1,根据三角形的内角和定理求出ND4C,即可得到/I.

【详解】解：•••四边形A8CD是菱形，

：.DA=DC,ZDAC=Z1,

：.ZDAC=NDCA=Z1,

在△ABD中，

：/。=140°,ZD+ZDAC+ZDCA^180°,

：.ZDAC=ZDCA=^(180°-ZD)=gx(180°-140°)=20°,

.../l=20°,

故选：B.

【点睛】本题考查了菱形的性质，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出NZMC

是解决问题的关键.

8.一种药品，原来的售价每件200元，连续两次降价后，现在每件售价162元，若每次降价

的百分率相同，则平均每次降价()

A.8%B.10%C.15%D.20%

【答案】B

【解析】

【分析】根据“原来的售价每件200元，连续两次降价后，现在每件售价162元，若每次降

价的百分率相同，，得到数量关系是：药品原来价格x(l-每次降价的百分率y=现在价格，设

出未知数，列方程解答即可.

【详解】解：设这种衬衫平均每次降价的百分率为了,根据题意列方程得，

200x(1-=162,

解得石=0.1,々=1.9(不合题意，舍去)；

答：这种衬衫平均每次降价的百分率为10%.

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键.

9.若整数。使得关于x的一元二次方程(a+2)Y+2分+。—1=0有实数根，且关于x的

a-x<0

不等式组I1/、有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数，的个数为

%+2<-(^+7)

()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】利用根的判别式确定a的一个取值范围，根据不等式组的解集，确定一个。的取

值范围，综合两个范围确定答案即可.

【详解】：整数a使得关于x的一元二次方程(a+2)V+2分+a—1=0有实数根，

dt+2^0,(2G)2—4(〃+2)(〃—1)20,

a<2且存-2；

a-x<0

V1/、的解集为。〈烂3,且最多有6个整数解，

x+2<-(x+7)

工-30402,。声-2,

。的值为-3,-1,0,1,2共有5个，

故选C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，不等式组的特殊解，熟练掌握根

的判别式，不等式组解法是解题的关键.

10.如图，点E、尸分别在正方形A3CD的边CD、AD上，且所垂直于此，若A3=8,

5E=10,贝hQEF的周长为()

【答案】B

【解析】

【分析】连接正，根据正方形的性质可得CD=AD^BC^AB=8,

ZC=ZD=ZA=90°，根据勾股定理可得CE=6，设AF=x,则

DF=AD-AF=8-x,根据EF2=BF2-BE2=DF2+DE2，歹！1出

82+X2-102=(8-X)2+22,解得无的值，进而可得」)硬的周长.

【详解】解：如图，连接彼，

•..四边形A3CD是正方形，

ACD=AD=BC^AB=S,ZC=ZD=ZA=90°,

,：BE=10,

CE=^BE2-BC2=6-

:.DE=CD—CE=8—6=2,

设=则DF=AD—AF=8—x,

BF2=AB2+AF-=8?+x?,EF2=BF2-BE2=DF2+DE2-

•••82+X2-102=(8-X)2+22,

解得x=—，

2

3

：.DF=8-x=-,

2

35

则J）砂的周长=DE+Db+Eb=2+Q+5=6.

故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理和正方形的性质，根据图形的特点构造直角三角形，利用勾股

定理求解是解题的关键.

第二部分（非选择题，共70分）

二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）

11.不透明的纸箱里装有2张画有和1张画有的卡片，这些卡片除了图

案不同外其他都相同，从中任意抽取一张，不放回再从中抽取一张，则两次抽到的卡片的图

案不同的概率是.

【答案】|

【解析】

【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算

可得.

【详解】解：两张印有图案的卡片用4、2表示，-张印有的卡片用C表

示，根据题意画图如下:

开始

ABC

BCACAB

由树状图知，共有6种等可能结果，其中两次抽到的卡片的图案不同的有4种结果，

42

则两次抽到的卡片的图案不同的概率是一=一.

63

2

故答案为：—.

【点睛】本题考查画树状图法或列表法求概率，利用画树状图法或列表法分析出所有可能结

果数与所求事件可能的结果数是解题的关键.

12.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将放大后得到△OCD若

。(0,3),则△OAB与△℃£)的面积比为.

【答案】1：9

【解析】

【分析】根据信息、，找到。B与。。的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比

等于相似比的平方求得答案.

【详解】解答：解：VB(0,1),D(0,3),

OD=3,

VAOAB以原点。为位似中心放大后得到△OC。，

与AOC。的相似比是08：OD=1：3,

与AOC。的面积的比是1：9.

故答案是：1：9.

【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，解题的关键在于找到相似比就是对

应边的比.

13.已知方程2d-6x+3=0的两个根是为，巧，则西+%2=.

【答案】3

【解析】

【分析】直接利用一元二次方程根与系数的关系求解，即可得到答案.

【详解】根据题意，得：%+%2=

故答案为：3.

【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数关

系的性质，从而完成求解.

14.如图，点4(0,26)，点3(2,0),点尸为线段A3上一个动点，作轴于点

M,作尸轴于点N,连接MN,当取最小值时，则四边形OMPN的面积为

4

【解析】

【分析】首先连接。尸，易得四边形ONPM是矩形，即可得在尺中，当。尸，A5时

OP最短，即最小，然后利用勾股定理与三角形的面积的求解，则四边形OMPN的面

积可求.

【详解】解：如图，连接OP.

由已知可得：APMO=ZMON=ZONP=90°.

...四边形。NPM是矩形.

OP=MN,

在H495中，当OPIAB时。尸最短，即MN最小.

：A(0,2@,3(2,0),即40=2百，50=2,

根据勾股定理可得：AB=^AO2+BO2=J(2A/3)2+22=4.

S.=-OAxOB=-ABxOP=-x2y/3x2=-xOPx4

.RcC2222

/-OP=6

:•MN=6

即当点尸运动到使OP,AB于点尸时，MN最小,最小值为世

在RtPOB中，根据勾股定理可得：

•••BP=<OB?-op?=#+(0了=1

S^OBP=-OPxBP=-OBxPN

22

.•.-x^xl=-x2xPN

22

：.PN^—

2

在RJPON中

/.ON=y/0P2-PN2=,3+：=|

S矩形OMPN=ONXPN=］与=之/

故答案为：空

4

【点睛】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理与三角形面积问题.注意掌握辅助线的

作法，注意数形结合思想的应用.

15.如图，等腰RtZkABC中，?B90?,。为A3中点，£、F分别是3C、AC上的点（且

AF

E不与5、。重合），且EFLCD.若CE=nBE,则〒的值是_____（用含〃的式子表

CF

示）

A

【解析】

【分析】过点。作08,AC于点H，设BE=1，则CE=7Z,用含〃的式子分别表示出

AC.BC、BD、AD,AC.DH、AH等线段；求出tan/DCB的值并用以计算出

EG、GC、CD的长；证明△CHDs/XCGE,利用相似三角形的性质得出C下的长，然

AF

后用AC的长减去C尸的长即得出■的长，从而可得券的值.

CF

【详解】解：如图，过点。作DHLAC于点以

■:CE=nBE,

.•.设5E=1，则CE=〃，

•.•等腰RtAABC中，?B90?,。为A3中点，

AB=BC=w+1,BD=AD=---,AC=+,

,：EF_LCD,IB90?,

1

tanZDCB-DBEG——,

BCGC2

_2n

MG法，GrcC=~i=，cu----------

A/52

•：DHLAC,NA=45°,

n+1

CH=^2（n+1）----『,

2y2

Z,CHD=ZCGF=90°,NDCH=ZFCG,

ACHD^ACGF，

,CFCG

'*CD-CW'

2n

...CF.忑，

石（〃+1）V2（n+1）-^

22V2

解得：cr=2亘，

3

AF=V2（H+l）-^y^«

2n

,AF_V2（H+l）-^_n+：

CF20〃2n

3

故答案为：----.

2n

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数在计算中的应用等知识点，本

题计算难度较大，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

三、解答题（本题有7题，共55分）

16.（1）解方程：2f—5x+4=0.

⑵用配方法解关于x的方程：V+qx-p=0（/+4p20）.

2

【答案】（1）无解；（2）X=-Q±^P+Q

2

【解析】

【分析】（1）利用公式法求解即可.

（2）把左边配成完全平方式，右边化为常数.再利用直接开平方法即可求解.

【详解】解：⑴2炉_5%+4=0，

Va=2fZ?=-5,c=4,

.,.△=（-5）2-4X2X4=-7<0,

.••此方程无解；

(2)x2-\-qx-p=0,

x2+qx=p,

22

•・•x2+qx+q=p+q，

2,

x+-|i=p+j

.q,

•・x+—=±

2

一q±,4p+/

2

【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确运用公式法和配方法是解此题的关键.

17.先化简，再求值.

1V22x1

一+:十+”+——，请从一元二次方程炉—―2=0的两个根中选择一个你喜欢的

1—xx2-2x+lx+2

求值.

1

【答案】-或-1

x(x+2)8

【解析】

【分析】根据分式的运算法则进行化简，再把一元二次方程尤2—x—2=0的两个根入即可

求解.

1x2+2x1

【详解】解:-------~;-----------+--------

1-xx-2x+lx+2

1d)2।1

1-xx(x+2)x+2

l-x1

=------1----

x(x+2)x+2

l-x+x

x(x+2)

1

x(x+2)'

因x2—x—2=0的两根是2,—1,

把x=2代入得-或把x=-1代入得一1.

8

【点睛】本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，注意代入数值时，要注意保证分式

有意义，正确化简分式和解出一元二次方程的根是解决本题的关键.

18.小明与小刚做游戏，在甲、乙两个不透明的口袋中，分别装有完全一样的小球，其中

甲口袋中的4个小球上分别标有数字1,2,3,4,乙口袋中的3个小球分别标有数字2,

3,4,小明先从甲袋中随意摸出一个小球，记下数字为x,再从乙袋中随机摸出一个小

球，记下数字为二

（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；

（2）若x,y都是方程无2一5x+6=0的解时，则小明获胜；若x，y都不是方程

5%+6=0的解时，则小刚获胜，它们谁获胜的概率大？请说明理由.

【答案】（1）答案见解析；

（2）小明获胜的概率大；理由见解析.

【解析】

【分析】（1）列表或画树状图把所有情况表示出来；

（2）首先解出方程解，再根据表格或树状图找出符合的情况，最后比较一下得出概率大

小.

【小问1详解】

解：所有可能出现的结果列表如下：

234

1。，2）。，3）。，4）

2Q2)（2,3）。，4）

3（32）(33（34）

4(42（4,3）（4,4）

由表可知共有12种可能出现结果，且每种结果出现的可能性相同.

【小问2详解】

,/方程V_5x+6=0的两个根分别为2或3,

由表格可知，x,y都是方程的解有（2,3）,（3,2）,（2,2）,（3,3）共4种，都不是方程

的解有（1,4）,（4,4）两种，

._4_1_2_1

P小网胜=—=二，P小刚胜=T，

123126

小明获胜的概率大.

【点睛】本题考查用表格或树状图表示事件发生的情况和解一元二次方程的解.准确且不

重复不遗漏的画出树状图是解题的关键.

19.如图，在一ABC中，/ACB=90。，点。是AB的中点，过点。作DE_ZAC于点E,

延长OE到点凡使得EF=DE,连接AR,CF.

(2)求证：四边形ADCF是菱形；

(3)若AB=8,ABAC=30°,求菱形ADCF的面积.

【答案】(1)见解析(2)见解析

⑶8A/3

【解析】

【分析】(1)根据题意画出图形即可；

(2)首先证明AE=CE,DE=EF,推出四边形ADCF是平行四边形，再根据ACLDF,

推出四边形A0CF是菱形；

(3)求出菱形的对角线的长即可解决问题.

【小问1详解】

解：补全图形如图所示.

【小问2详解】

证明：：D是AB的中点，ZACB=90°,

：.AD=CD=-AB,

2

­：DEIAC,

AE=CE,

,/ED=EF，

...四边形ADCF是平行四边形，

•/AC±DF,

四边形AZJC下是菱形.

【小问3详解】

解：在中，•••AB=8,ZBAC=30°,

BC=—AB=4,

2

AC=VAB2-BC2=4A/3，

由（1）得AD=2AB=4,

2

DE=-AD=2

2

:.DF=2DE=4,

S菱形ADCF=2AC,DF=8A/3.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，直角三角形斜边上

的中线，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，熟知菱形的性质与判定条件是解

题的关键.

20.为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技

设备，每台设备成本价为6万元，经过市场调研发现，每台售价为8万元时，月销售量为120

台；每台售价为9万元时，月销售量为110台.假定该设备的月销售量y（单位：台）和销售

单价x（单位：万元）成一次函数关系.

（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；

（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得低于10万元，如果该公司想获得240万元的

月利润.则该设备的销售单价应是多少万元？

【答案】（1）y=—lOx+20。

（2）18万元/台

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x函数关系式；

（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（龙-6）万元，销售数量为

（一10%+200）台，根据总利润=单台利润x销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解

之取其不小于10的值即可得出结论.

【小问1详解】

解：设年销售量y与销售单价%的函数关系式为y=履+8（左w0）,

将x=8时，y=120；x=9时，y=U0代入、=履+6,得

‘8左+b=120

9k+b=110,

左=—10

解得：＜

b=200'

..•年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=-lOx+200；

【小问2详解】

设此设备的销售单价为x万元/台,

则每台设备的利润为(x-6)万元，销售数量为(-10%+200)台,

根据题意得：(尤—6)(—10x+200)=240.

整理，得：x2—26%+144=0>

解得：西=8,々=18.

•••此设备的销售单价不得低于10万元,

x=18.

答：该设备的销售单价应是18万元/台.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式以

及一元二次方程是解题的关键.

21.在边长为1的正方形A3CD中，点E从点A沿AD向点。运动，以BE为边,在BE

的上方作正方形BfiFG,连接CG.

(1)线段AE与CG是否相等？请说明理由;

(2)若设==y,当x取何值时，y最大?

(3)连接5H，当点E运动AD的什么位置时，ABEH^ABAE'i

【答案】(1)相等，理由见解析

⑵I

(3)点E是A。中点

【解析】

【分析】(1)根据SAS证AABE也ACBG,即可得证A£=CG；

DHDF

(2)先证AABESADEH.,得——=——，即可求出函数解析式y=-f+x,继而求

AEAB

出最值;

AEEH

(3)要使ABEHSABAE,需——二——，，又因为AABEsADEH,所以

ABBE

空=里==，即当=［，即当E点事A。的中点时，NBEH^NBAE.

BEAE2AB2

【小问1详解】

解：AE=CG；理由如下：

在正方形A3c。和正方形BEFG中，

ZABE+ZEBC=90°,ZCBG+NEBC=90°,

ZABE=ZCBG,

又：AB=BC,BE=BG,

：.AABE心CBG(SAS),

：.AE=CG；

【小问2详解】

在正方形ABCD和正方形BEFG中，

,/ZA=ZD=ZFEB^90°,

：.NDEH+ZAEB=90°,ZAEB+ZABE=90°,

；•ZDEH=ZABE,

/.AABE^NDEH.,

.DHDE

••----二----，

AEAB

..•一y=-1---,

X1

y——+x——(x—)2H—,

24

即当x=」时，y有最大值为工；

24

【小问3详解】

当点E是AD中点时，ABEHs^BAE,理由如下：

是AE的中点，

AE=—,

2

DH

又,：AABEs^DEH,

,EHDH1

・・--------二----=一,

BEAE2

又•.*,，

AB2

.AEEH

••一,

ABBE

又：ZDAB=/FEB=90°,

：.ABEH^ABAE.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性

质，以及二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.

22.在正方形42CD中，过点3作直线/,点E在直线/上，连接CE,DE,其中

CE=BC,过点C作CELQE于点F,交直线/于点H.

(1)当直线/在如图①的位置时

①请直接写出ZECH与NHCD之间的数量关系.

②请直接写出线段28,EH,之间的数量关系.

(2)当直线/在如图②的位置时，请写出线段8”，EH,CH之间的数量关系并证明；

(3)已知AB=2,在直线/旋转过程中当NEBC=15。时，请直接写出团的长.

【答案】（1）①NECH=ZHCD；②BH+EH=®CH；（2）BH-EH=OCH；

证明见解析；（3）EH=0或#.

【解析】

【分析】（1）①NES=N〃CD，根据CE=BC,四边形为正方形，可得

BC=CD=CE,根据CF_LQE,得出CF平分/ECZ）即可；

②BH+EH=6CH，过点C作CGL8E于G,根据8C=EC,得出NECG=NBCG=

-ZBCE,根据/ECH=NHCO=LNDCE,可得CG=HG,根据勾股定理在RtAGHC

22

中，CG2+GH2=HC2=2GH2,根据GE=3BE=；（BH—EH）,得出

2HC2={BH+EH^即可；

(2)BH-EH=y/2CH>过点C作。W_LCH交BE于点M,得出

ZMCH=ZBCD=90°,先证AES/ABCM(A5A)得出=CM=CH可

证ZWCH是等腰直角三角形，可得MH={CM?+CH?=拒CH即可；