专题5.6 二次根式（全章直通中考）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题5.6二次根式（全章直通中考）（培优练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2021·上海·统考中考真题）下列实数中，有理数是（

）A． B． C． D．2．（2023·四川巴中·统考中考真题）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．3．（2018·全国·九年级专题练习）使式子在实数范围内有意义的整数x有（）A．5个 B．3个 C．4个 D．2个4．（2023·重庆·统考中考真题）估计的值应在（

）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间5．（2022·内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（

）

A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a6．（2022·重庆·统考中考真题）估计的值应在（

）A．10和11之间B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间7．（2021·内蒙古·统考中考真题）若，则代数式的值为（

）A．7 B．4 C．3 D．8．（2021·广东·统考中考真题）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（

）A．6 B． C．12 D．9．（2021·湖南娄底·统考中考真题）是某三角形三边的长，则等于（

）A． B． C．10 D．410．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（

）A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2017·辽宁盘锦·统考一模）若在实数范围内有意义，则的取值范围是．12．（2023·山东潍坊·统考中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是．（只需写出一种结果）13．（2020上·四川成都·八年级校考阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简．14．（2022·四川达州·统考中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则．15．（2020·甘肃武威·统考中考真题）已知，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应值的总和是．16．（2016上·江西抚州·八年级阶段练习）观察下列各等式：①；②；③…根据以上规律，请写出第5个等式：．17．（2021·四川眉山·统考中考真题）观察下列等式：；；；……根据以上规律，计算．18．（2021·湖北黄冈·统考中考真题）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．20．（8分）（2023·湖南湘西·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．21．（10分）（2023·湖北恩施·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．22．（10分）（2022·江苏泰州·统考中考真题）计算:（1）计算：；（2）按要求填空：小王计算的过程如下：解：

小王计算的第一步是（填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第步出现错误.直接写出正确的计算结果是.23．（10分）（2013·贵州黔西·中考真题）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝，b＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空：＋＝（＋）2；（3）若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值．24．（12分）（2023·湖南张家界·统考中考真题）阅读下面材料：将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．则例如：当，时，根据以上材料解答下列问题：（1）当，时，______，______；（2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当，时，令，，，…，，且，求T的值．参考答案：1．C【分析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可解：A、∵是无理数，故是无理数B、∵是无理数，故是无理数C、为有理数D、∵是无理数，故是无理数故选：C【点拨】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键2．B【分析】根据合并同类项，二次根式的乘法，完全平方公式，化简绝对值的法则，依次判断即可解答．解：不是同类项，无法合并，故A错误；，故B正确；，故C错误；当时，；当时，，故D错误，故选：B．【点拨】本题考查了合并同类项，二次根式的乘法，完全平方公式，化简绝对值，熟知相关计算法则是解题的关键．3．C解：∵式子在实数范围内有意义∴解得：，又∵要取整数值，∴的值为：-2、-1、0、1.即符合条件的的值有4个.故选C.4．A【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得．解：，，，即，，故选：A．【点拨】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．5．B【分析】根据数轴得∶0<a<1，得到a>0，a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可．解：解∶∵根据数轴得∶0<a<1，∴a>0，a-1<0，∴原式=|a|+1+1-a=a+1+1-a=2．故选∶B．【点拨】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握是解题的关键．6．B【分析】先化简，利用，从而判定即可．解：，∵，∴，∴，故选：B．【点拨】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键．7．C【分析】先将代数式变形为，再代入即可求解．解：．故选：C【点拨】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计算．8．A【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．解：∵，∴，∴的整数部分，∴小数部分，∴．故选：．【点拨】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．9．D【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．解：是三角形的三边，，解得：，，故选：D．【点拨】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．10．C【分析】根据反例满足条件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断．解：A、，是无理数，不符合题意；B、，是无理数，不符合题意；C、，是有理数，符合题意；D、，是无理数，不符合题意；故选：C．【点拨】本题考查了无理数的概念以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则和定义是解题的关键．11．且【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解：∵有意义，∴，∴且．故答案为：且．【点拨】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．12．（或或，写出一种结果即可）【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．解：①选择和，则．②选择和，则．③选择和，则．故答案为：（或或，写出一种结果即可）．【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．13．2【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案．解：由数轴可得：，则∴====2．故答案为：2．【点拨】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．14．5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．解：，，，，，…，故答案为：5050【点拨】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键．15．【分析】先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．解：当时，当时，则所求的总和为故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．16．【分析】根据左边根号外的因数与根号内的分子相同，根号内的分母为分子平方与1的差，右边根号内为左边根号外与根号内两数之和，即可找到其中规律，从而写出第n个等式，再将n=6代入即可求出答案．解：猜想第n个为：（n为大于等于2的自然数）；理由如下：∵n≥2，∴添项得：，提取公因式得：分解分子得：；即：；第5个式子，即n=6，代入得：，故填：．【点拨】本题考查二次根式的计算，需要通过观察分析和寻求规律、归纳和论证的抽象思维能力，得出一般性的结论；解答此题的关键是仔细观察、细致分析，局部找规律，整体找关系．17．【分析】根据题意，找到第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；利用这个结论得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化为1﹣，化为﹣，化为﹣，再进行分数的加减运算即可．解：由题意可知，，＝1+1+1+…+1﹣2021＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021＝2020+1﹣﹣2021＝．故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．18．10【分析】先根据求出（为正整数）的值，从而可得的值，再求和即可得．解：，（为正整数），，，，，则，故答案为：10．【点拨】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．19．【分析】先将括号内的部分通分，再将分式分子、分母因式分解并化简，再计算出x的值后，将代入即可求解．解：原式，，，，当时，原式，．【点拨】本题考查了分式的化简求值及实数的混合计算，熟悉通分、约分和分母有理化是解题的关键．20．，【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，最后把的值代入计算即可．解：当时，原式【点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．，【分析】先把括号内的分式进行通分，再将除法变为乘法化简，最后代入x的值计算即可．解：原式当时,原式．【点拨】本题考查了分式的化简求值和二次根式的混合运算，正确化简分式是解题的关键．22．（1）；（2）因式分解；三和五；【分析】（1）先化成最简二次根式，然后根据二次根式的四则运算法则求解即可；（2）按照分式的加减运算法则逐步验算即可.（1）解：原式；（2）解：由题意可知：故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误；最终正确的计算结果为.故答案为：因式分解，第三步和第五步，【点拨】本题考查二次根式的四则运算法则及分式的加减运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则是解题的关键.23．（1），；（2）13，4，2，1（答案不唯一）；（3）7或13．【分析】根据题意进行探索即可.解：（1）∵，∴，∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．故答案为m2＋3n2，2mn．（2）设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4．故答案为13，4，1，2（答案不唯一）．（3）由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．∵4＝2mn，且m、n为正整数，∴m＝2