黄金卷05高考数学模拟卷（新题型地区专用）

【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）黄金卷05（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（

）A．93 B．93.5 C．94 D．94.5【答案】B【解析】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为，所以这组数据的分位数第8个数与第9个数的平均值，即，故选B.2．若，则实数（

）A．6 B． C．3 D．【答案】B【解析】因为，所以，即，所以，即，解得，故选B.3．各项为正的等比数列中，，则的前4项和（

）A．40 B．121 C．27 D．81【答案】A【解析】设等比数列公比为,故选A.4．“函数的图象关于对称”是“，”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当函数的图象关于对称时，有，，得，，易知，所以“函数的图象关于对称”是“，”的必要不充分条件．故选B．5．某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（

）A．48种 B．32种 C．24种 D．16种【答案】B【解析】当老师从左到右排在第二或第四位时，共有种排法，当老师从左到右排在第三位时，共有种排法，于是共有种排法.故选：B.6．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】B【解析】对于A,如上图正方体中，设平面为，平面为，为，满足，，此时，故A错误；对于B，因为，，α、β是不同的平面，则必有，故B正确；对于C，如上图正方体中，设平面为，平面为，为，满足，，此时，故C错误；对于D，如上图正方体中，设平面为，为，为，则满足，，此时，故D错误.故选:B.7．已知函数，若，是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，当时，，所以，即，所以在上单调递减.因为，是锐角的两个内角，所以，则，因为在上单调递减，所以，故，故D正确.同理可得，C错误；而的大小不确定，故与，与的大小关系均不确定，所以与，与的大小关系也均不确定，AB不能判断.故选：D8．已知椭圆：的焦点分别为，，点在上，点在轴上，且满足，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，：的图象，则，，其中，设，，则，，，，因，得，故，得，由得，得即，得由，得，又，，化简得，又椭圆离心率，所以，得.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知，为复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则或【答案】AC【解析】A：根据共轭复数的定义，本选项正确；B：取，，满足，但，故本选项错误；C：设，，，由，得，即，，所以，即，故本选项正确；D：取，，则，，此时且，故D不正确．故选：AC10．如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（

）A．B．C．函数在上单调递减D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为【答案】ACD【解析】令得，或，，由图可知：，，，所以，，所以，所以，故A选项正确，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B错误.当时，，因为在为减函数，故在上单调递减，故C正确；将函数的图象沿轴平移个单位得，（时向右平移，时向左平移），为偶函数得，，所以，，则的最小值为，故D正确.故选：ACD.11．已知定义在上的函数满足，且是奇函数.则（

）A． B．C．是与的等差中项 D．【答案】ACD【解析】因为，所以，两式相减得，所以的周期为4.因为是奇函数，所以，所以，即，令，得.因为，令，得，所以，即.因为，令，得，所以，所以，所以，故A正确.因为，所以，即，所以.因为，，所以B错误.因为，，所以，所以是与的等差中项，故C正确.因为，所以，故D正确.故选：ACD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知集合，，则【答案】【解析】因为，，所以.13．已知多项式，则.【答案】74【解析】对于，其二项展开式的通项为，令，得，故，对于，其二项展开式的通项为，令，得，故，所以.14．在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为．【答案】【解析】如图，取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，，设，内切球半径为r，因为，棱台的高为2r，所以，，同理．因为内切球与平面相切，切点在上，所以①，在等腰梯形中，②，由①②得．在梯形中，③，由②③得，代入得，则棱台的高，所以棱台的体积为．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（本小题满分13分）已知函数(1)当时，求在区间上的最值；(2)若直线是曲线的一条切线，求的值.【解】（1）当时，，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，，又，，.（2）由题意知：，设直线与相切于点，则，消去得：，解得：，则，解得：.16．（本小题满分15分）如图，AB是半球O的直径，，依次是底面上的两个三等分点，P是半球面上一点，且．(1)证明：；(2)若点在底面圆上的射影为中点，求直线与平面所成的角的正弦值．【解】（1）连接，因为依次是底面上的两个三等分点，所以四边形是菱形，设，则为中点，且，又因为，故是等边三角形，连接，则，又因为面，，所以面，因为面，所以，因为依次是底面上的两个三等分点，所以，所以，又因为AB是半球O的直径，P是半球面上一点，所以，因为面，，所以面，又因为面，所以（2）因为点在底面圆上的射影为中点，所以面，因为面，所以，又因为，所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，设平面的法向量，则，令，则，设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为17．（本小题满分15分）“村BA”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风､乡土味､欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生20女生15合计100附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关？(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.【解】（1）依题意，列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生302050女生153550合计4555100零假设：该中学学生喜欢足球与性别无关，的观测值为，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.（2）依题意，的所有可能取值为，，所以的分布列为：0123数学期.18．（本小题满分17分）已知点P（非原点）在抛物线C：上，点P处的切线分别交x，y轴于点Q，R．(1)若，求实数的值．(2)定义：过抛物线上一点，且垂直于在该点处切线的直线称为抛物线的法线．若抛物线C在点P处的法线交抛物线C于另一点S，求面积的最小值．【解】（1）不妨设，，由得，所以点P处的切线方程为．令，得，所以．所以点Q为线段PR的中点．所以．（2）设，由法线定义得，所以，又，即．因为，，所以，．因为，，所以．设，，则．令，得．当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以当时，．故面积的最小值为．19．（本小题满分17分）已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质：①；②对任意，存在，使得，则称为数表．(1)判断是否为数表，并求的值；(2)若数表满足，求中各数之和的最小值；(3)证明：对任意数表，存在，使得．【解】（1）是数表，（2）由题可知.当时，有，所以.当时，有，所以.所以所以或者，或者，或，或，故各数之和，当时，各数之和取得最小