流体力学-03一元流体动力学基础

第三章一元流体动力学基础5/31/2024§3.1

描述流体运动的两种方法拉格朗日法:这种通过描述每一质点的运动达到了解流体运动的方法，称为拉格朗日法，其基本特点是追踪流体质点的运动。a，b，c，t称为拉格朗日变数

研究描述流体运动的方法，确定能够表征流体运动特征的运动要素，根据运动要素研究流体运动的特征。5/31/2024全部速度分量可写为5/31/2024加速度分量可写为5/31/2024欧拉法：这样通过描述物理量在空间的分布来研究流体运动的方法称为欧拉法，基本特点是以固定空间点为对象。

x，y，z，t称为欧拉变量

速度分量：5/31/2024加速度分量5/31/2024

§3.2恒定流和非恒定流非恒定流

在流场中各点流速随时间变化，各点压强，粘性力和惯性力也随着速度的变化而变化。这种流速等物理量的空间分布与时间有关的流动称为非恒定流动。5/31/2024

运动平衡的流动，流场中各点流速不随时间变化，由流速决定的压强，粘性力和惯性力也不随时间变化。这种流动称为恒定流动。我们以后的研究，主要是针对恒定流动。这并不是说非恒定流没有实用意义，例如水击现象，必须用非恒定流进行计算。但工程中大多数流动．流速等参数不随时间而变，或变化甚缓，只需用恒定流计算，就能满足实用要求。恒定流5/31/2024流线

在某一时刻，各点的切线方向与通过该点的流体质点的流速方向重合的空间曲线称为流线。流线是欧拉法对流动的描绘，是为了反映流场中的流速，分析流场中的流动，在流场中绘出反映流动方向的一系列线条。

§3.3流线和迹线5/31/2024迹线

迹线是某一流体质点的运动轨迹线，迹线是拉格朗日对流动的描绘，其表示为同一质点在各个不同时刻所占有的空间位置连成的空间曲线。5/31/2024流线的绘制abc5/31/2024流线的性质：

流线一般不相交流线是光滑曲线或直线流线的形状与固体边界的形状有关断面小处，流速大、流线密断面大处，流速小，流线疏5/31/2024流线的微分方程式

根据流线的定义，流线上任一点的速度方向和曲线在该点的切线方向重合，可以写出它的微分方程式。沿流线的流动方向取微元距离ds，由于流速向量u的方向和距离向量ds的动方向重合。根据矢量代数，前者的三个轴向分量ux，uy，uz必然和后者的三个轴向分量dx、dy、dz成比例，即：在恒定流中，流线和迹线是完全重合的；在非恒定流中，流线和迹线不重合。5/31/2024流管

在流场内，取任意非流线的封闭曲线L。经此曲线上全部点作流线，这些流线组成的管状流面，称为流管。流管以内的流体，称为流束。§3.4一元流动模型用欧拉法描写流动，虽然经过恒定流假设的简化．减少了欧拉变量中的时间变量．但还存在着x、y、z三个变量，是三元流动。下面我们将发展流线的概念，把某些流动简化为一元流动。5/31/2024过流断面

垂直于流束的断面，称为流束的过流断面。元流

当流束的过流断面无限小时，这根流束就称为元流。总流

用以输送流体的管道流动，由于流场具有长形流动的几何形态，整个流动可以看作无数元流相加，这样的流动总体称为总流。总流的过流断面

处处垂直于总流中全部流线的断面，是总流的过流断面。断面上的流速一般是不相等的，中点的流速较大，边沿流速较低。5/31/2024流量、断面平均流速这样，流动问题就简化为断面平均流速如何沿流向变化问题。如果仍以总流某起始断面沿流动方向取坐标s,则断面平均流速是s的函数，即v＝f(s)。流速问题简化为一元问题。5/31/2024§3.5连续性方程在总流中，断面平均流速究竟如何沿流向变化呢，现在我们由质量守恒定律出发，研究流体的质量平衡来解决这个问题。5/31/2024不同断面上密度不相同时反映两断面间流动空间的质量平衡的连续件方程，即可压缩流体的连续性方程：当流体不可压缩时密度为常数，不可压缩流体的连续性方程为：不难证明，沿任一元流，上述各方程也成立。即5/31/2024由于断面1、2是任意选取的，上述关系可以推广至全部流动的各个断面。即而流速之比和断面之比有下列关系：5/31/20245/31/20245/31/20245/31/2024§3.6恒定元流的能量方程

动能定理：运动物体在某一时段内动能的增量等于各外力对物体所作的功之和5/31/2024重力作功为5/31/2024根据动能定理，有5/31/20245/31/2024实际流体的流动中，元流的粘性阻力作负功，使机械能量沿流向不断衰减。以符号表示元流1、2两断面间单位能量的衰减。称为水头损失。则单位能量方程式(3-6-2)将改变为5/31/20245/31/2024能量方程式说明，理想不可压缩流体恒定元流中，各断面总水头相等，单位重量的总能量保持不变。元流能量方程式，确立了一元流动中，动能和势能，流速和压强相互转换的普遍规律。提出了理论流速和压强的计算公式。在水力学和流体力学中，有极其重要的理论分析意义和极其广泛的实际运算作用。5/31/2024沿ab流线写元流能量方程由管的开口端液柱差hv，测定，用下式计算速度5/31/20245/31/20245/31/2024§3.7过流断面的压强分布我们根据流速是否随流向变化，分为均匀流动和不均匀流动。不均匀流动又按流速随流向变化的缓急，分为渐变流动和急变流动。质点流速的大小和方向均不变的流动叫均匀流动。均匀流的流线是相互平行的直线，因而它的过流断面是平面。5/31/2024均匀流、恒定流、渐变流的区分

表征液体运动状态的主要物理量有流速、加速度、动水压强等。这些物理量统称为液体的运动要素。

按运动要素是否随时间变化，可把液流分为运动要素不随时间变化的恒定流和随时间变化的非恒定流。虽然严格的恒定流问题在工程中并不多见，但大多数液体运功可以近似当作恒定流来处理。

根据位于统一流线上各质点的流速矢量是否沿流程变化，可将液体流动分为均匀流和非均匀流两种。若液流中同一流线上各质点的流速矢量沿程不变，这种流动称为均匀流，否则称为非均匀流。均匀流中各流线是彼此平行的直线，各过水断面上的流速分布沿流程不变，过水断面是平面。

均匀流与恒定流、非均匀流与非恒定流是两种不同的概念。在恒定流时，当地加速度等于零，而在均匀流时，则是迁移加速度等于零。这里当地加速度和迁移加速度是在用欧拉法描述液体时将加速度根据复合函数求导法则分为速度与时间的偏导数和速度在x、y、z三个坐标上的偏导数。我们将其中的速度与时间的偏导数称为当地加速度，将同一时刻因地点边变更形成的加速度称为迁移加速度，即速度在坐标上的偏导数之和。

在非均匀流中，流线多为彼此不平行的曲线。按流线图形沿流程变化的缓急程度，又可将非均匀流分为渐变流和急变流两类。渐变流（又称缓变流）是指各流线接近于平行直线的流动。也就是说，渐变流各流线之间的夹角很小，而且流线的曲率半径又很大，否则称为急变流。5/31/2024为了进一步说明，我们任取轴线n-n位于均匀流断面的微小住体为隔离体(图3—13)，分析作用于隔离体上的力在n-n方向的分力。柱体长为l，核断面为dA，铅直方向的倾角为α，两断面的高程为Z1和Z2，压强为p1和p2。5/31/20245/31/20245/31/2024流速沿流向变化显著的流动，是急变流动。急变流动是渐变流动的对立概念，这两者之间没有明显的分界，而是要根据具体情况，看在具体问题中，惯性力是否可以略而不计。流体在弯管中的流动，流线呈显著的弯曲，是典型的流速方向变化的急变流问题。在这种流动的断面上，离心力沿断面作用。和流体静压强的分布相比，沿离心力方向压强增加，例如在图3—17的断面上，沿弯曲半径的方向，测压管水头增加，流速则沿离心力方向减小了。5/31/2024作业：3-8，3-9，3-125/31/2024§3.8恒定总流的能量方程

我们已经提出了元流能量方程式。现在进一步把它推广到总流，以得出在工程实际中对平均流速和压强计算极为重要的总流能量方程式。

在右图的总流中，选取两个渐变流断面1-l和2-2。总流既然可以看作无数元流之和，总流的能量方程就应当是元流能量方程在两断面范围内的积分：5/31/2024势能积分

5/31/2024动能积分

5/31/2024能量损失积分

代入整理后得到恒定总流能量方程这就是实用上极其重要的恒定总流能量方程式，或恒定总流伯努利方程式。5/31/2024应用恒定总流能量方程注意事项：(一)方程的推导是在恒定流前提下进行的。(二)方程的推导又是以不可压缩流体为基础的。(三)方程的推导是将断面选在渐变流段。

(五)方程的推导是在两断面间没有能量输入或输出的情况下提出的。

(四)方程的推导是根据两断面间没有分流或合流的情况下推得的。

(六)由于方程的推导用到了均匀流过流断面上的压强分布规律，因此，断面上的压强p和位置高度Z必须取同一点的值，但该点可以在断面上任取。5/31/2024将上面第一、二个方程两边分别乘以再相加，得总能量守恒的伯努利方程（四）有分流或汇流时实际流体总流伯努利方程如图为沿程有分流或汇流的情况。在分流时，。可分别列出断面1、2及断面1、3之间可伯努利方程5/31/2024对于汇流情况，也可分别列出1、3及2、3的伯努利方程，同理可得总能量守恒的伯努利方程

（五）有机械能输入或输出时总流伯努利方程沿总流两过流断面间装有水泵、风机或水轮机等装置，流体流经水泵或风机时将获得能量，流经水轮机时将失去能量。设流体获得或失去能量头为，则总流伯努利方程为式中前的正、负号，获得能量为正，失去能量为负。5/31/2024§3.9能量方程的应用能量方程在解决流体力学问题上有决定性的作用，它和连续性方程联立，全面地解决一元流动的断面流速和压强的计算。一般来讲，实际工程问题，不外乎三种类型严是求流速，二是求压强，三是求流速和压强。这里，求流速是主要的，求压强必须在求流速的基础上，或在流速已知的基础广进行。其他问题，例如流量问题，水头问题，动量问题，都是和流速、压强相关联的。

5/31/2024应用能量方程求流速、压强的一般步骤是：分析流动，划分断面，选择基面，写出方程。（1）分析流动．要明确流动总体.

（2）划分断面，是在分析流动的基础上进行。（3）选择基面，要选择一个基准水平面作为写方程中Z的依据。（4）写出方程，就是选择适当的方程式，并将个已知数代入。（5）最后解出方程，求出流速和压强。5/31/2024有一从水箱引水的管道，其管径d=20cm,图中H=25m，水头损失为hwAB=，求通过管道的流量。

5/31/20245/31/2024文丘里流量计是一种量测管道中流量的设备。在管道中安装一段逐渐收缩后又逐渐扩散的管段，并在收缩段的前后断面各安装一根测压管。收缩段前后的管径为d1和d2。只需测出两测压管中的水面高差，即可求得通过管道的流量。试导出流量计的流量公式。取1、2两渐变流断面，写理想流体能量方程式5/31/20245/31/2024由于推导过程采用了理想流体的力学模型，求出的流量值较实际为大。为此，乘以μ值来修正。μ值根据实验确定，称为文丘里流量系数。它的值约在0.95-0.98之间。则出现两个流速，和连续性方程式联立5/31/20245/31/2024空化现象

根据伯努力能量方程，当流速增大时，压强减小，当压强达到或小于水温对应的汽化压强时，水将会迅速汽化，一部分液体转化为蒸汽，气泡随水流流入压强教高的区域而破灭，这种现象称为空化。空化现象是我们在设计中必须注意避免的，空化具有很大的危害性。5/31/20245/31/2024作业：3-13，3-165/31/2024§3.10总水头线和测压管水头线测压管水头：总水头线：5/31/2024总水头线和测压管水头线的具体绘制：

1、选择基准面，即确定位压的计算起点；

2、求出起始断面的总水头和测压管水头；

3、分析确定沿程阻力损失和局部阻力损失；

4、列出起始断面与沿线各断面的能量方程；

5、连接各断面的总水头和测压管水头，即为要绘制的总水头线和测压管水头线。5/31/2024例题分析：3-105/31/2024B点局部损失沿程损失入口阻力损失位置水头线基准线总水头线测压管水头5/31/2024有一等直径的虹吸管：（1）试定性会出当通过实际水流时的总水头线和测管水头线；（2）在图上标出可能产生的负压区；（3）在图上标出真空值最大的断面。（1）总水头线和测压管水头线（2）全部都可能为负压区 （3）A－A

断面真空值最大 5/31/2024

1）试定性绘出当实际水流通过图示管道时的总水头线和测压管水头线；

2〕在图上标注可能的负压区；

3〕在图上标注真空值最大的断面。5/31/2024作业：3-195/31/2024§3.11恒定气流能量方程式虽然它是在不可压缩这样的流动模型基础上提出的，但在流速不高(小于68m／s)，压强变化不大的情况下，同样可以应用于气体。当能量方程用于气体流动时，由于水头概念没有像液体流动那样明确具体，我们将方样各项乘以容重γ，转变为压强的因次。5/31/2024对于气体流动，特别是在高差较大，气体容重和空气容重不等的情况下，必须考虑大气压强因高度不同的差异。此时l、2断面绝对压强和相对压强的关系将不同。如图3-31所示。设断面在高程为Z1处，大气压强为pa；在高程为Z2的断面，大气压强将减至pa-γa(Z2—Z1)。如果1断面绝对压强p1’和相对压强p1之间的关系为：则2断面的绝对压强和相对压强的关系为：5/31/20245/31/2024总压：静压，动压和位压之和：全压：静压和动压之和：势压：静压和位压之和：5/31/2024应用恒定气流能量方程式方法和步骤一、选择基准面（零压面）二、分析气流流动，根据所求合理划分过流断面三、根据划分的过流断面，列出恒定气流能量方程式四、求解5/31/2024例题3-105/31/2024例题3-115/31/2024例题3-125/31/2024§3.12总压线和全压线总压：静压，动压和位压之和：全压：静压和动压之和：势压：静压和位压之和：5/31/2024总压线和势压线的具体绘制：4、连接各断面的总压即为总压线

1、选定零压线（与前基准面相同，确定压强计算起点）

3、根据第二断面的总压等于第一断面的总压减去两断面间的压强损失，求第二断面的总压2、求出起始断面的总压，确定沿程阻力损失和局部阻力损失；※注意局部阻力损失和沿程阻力损失在个压强线上的画法5/31/2024例3-14：气体由压强为12mmH2O的静压箱A经过直径为10cm、长为100m的管子流入大气中，高差为40m，沿管子均匀作用的压强损失为pl=9ρv2/2，大气密度ρa=1.2kg/m3，（a）当管内气体为与大气温度相同的空气时；（b）当管内为ρ=0.8kg/m3燃气时，分别求管中流量，作出压力线，标出管中点B的压强AB100m40mC5/31/2024解：（a）管内为空气时，取A、C断面列能量方程AB100m40mC5/31/2024作压力线117.6B总压线势压线pA11.7C注：此时全压线与总压线重合5/31/2024（b）管内为燃气时，取A、C断面列能量方程5/31/2024作压力线274.4B总压线势压线158位压线pAC27.445/31/2024例题3-125/31/2024ab9.8d294c位压线总压线势压线a′b′c′a″b″c″b″′c″′d′205.8264.6气流经过烟囱的各种压强线5/31/2024作业：3-20，3-235/31/2024§3.13恒定流动量方程动量定律：单位时间内物体的动量变化等于作用于该物体上外力的总和，即作用于物体的冲量等于物体的动量增量。对于元流：5/31/2024为简化积分，引进动量修正系数，动量修正系数表达式（见动能修正）为：采用平均流速后，则动量方程简化为：5/31/2024对于不可压缩流体，写为x，y，z方向的投影方程为：层流αo=1.33，紊流αo=1.05-1.02~1对于紊流流动，动量方程为：5/31/2024注意：1.如考虑水头损失，只要在能量方程中考虑；2.动量方程是矢量式，分量式中要考虑符号的正负，即要考虑力和速度的方向和坐标方向一致性；3.运用了牛顿第三定律：作用力与反作用力4.