2024年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学一模试卷

2024年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学一模试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）

1.（3分）下列各数中，是无理数的是（

A.1B.A/2C.0D.」

3

2.（3分）某物体如图所示，其左视图是（)

/主视方向

3.（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心。

的光线相交于点尸，点尸为焦点.若/1=155°,N2=30°,则N3的度数为（）

2

A.-6abB./"abC.-6a5bD.^-a5b

5.（3分）在同一平面直角坐标系中，函数>=丘和y=-丘+4交于点A,则点A的纵坐标

为（）

A.2B.-2C.2D.-2

kk

6.（3分）如图，^ABCD中，AB=3,BC=5,点M、N分别是BC、AD的中点，连接

AM.CN.若四边形AMCN为菱形，则口488的面积为（）

AND

A.7.5B.9.6C.12D.15

7.（3分）如图，在。。中，点C为弦AB中点，连接OC、。8,点。是窟上任意一点,

8.（3分）若抛物线＞=7-2"+/-2°+3（°为常数）与x轴有两个交点，则此抛物线的顶

点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.（3分）写出一个绝对值小于后的负整数是.（写出符合条件的一个

即可）

10.（3分）因式分解：x3-9x=.

11.（3分）如图，在正五边形A8CDE中，连接AC、AD,则/CA。的度数是度.

12.（3分）位于第一象限的点A在直线y=2x上，过点A作轴，交双曲线＞=-二于

x

点、B.若点A与点8关于y轴对称，则点A的坐标为.

13.（3分）如图，线段AB=6,点C在A8上，且AC=4.以C为顶点作等边三角形”0,

连接AP、BQ.当AP+B。最小时，△CPQ的边长最小是.

三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）

14.（5分）计算：-I2024-（K-3）°+2.

15.（5分）解方程:

-X---1---1-1=-2--x---2-

，5x-2<3（x+l）

16.（5分）解不等式组:2x-2、

17.（5分）如图，在△ABC中，ZBAC=120°,AB^AC.请用尺规作图法，在BC边上

求作点。，使.（保留作图痕迹，不写作法）

2

18.（5分）如图，矩形ABC。，点E在边8C上，点/在2C的延长线上，且EP=BC.求

证：AABE%LDCF.

19.（5分）我国古代数学名著《九章算术》中记载了一道数学问题：今有共买羊，人出五,

不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？其大意是：有人合伙买羊，每人

出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱.求合伙人数是多少？

20.（5分）甲、乙两人做游戏，他们在一只不透明的袋子中装了五个小球，分别标有数字:

1,1,2,2,3,这些小球除编号外都相同.

（1）搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，则这个小球的编号是偶数的概率

为：

（2）搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，记录小球的编号后放回、搅匀，乙再从中任意

摸出一个小球.若摸出两个小球编号之和为偶数甲获胜；否则，乙获胜.请你用画树状

图或列表的方法说明谁获胜的概率大.

21.（6分）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水

里的过程中，弹簧测力计的示数尸拉力（N）与石块下降的高度尤（cm）之间的关系如图

所示.

（1）求所在直线的函数表达式；

（2）当石块下降的高度为8cm时，求此刻该石块所受浮力的大小.

（温馨提示：当石块位于水面上方时,F拉力=G重力;当石块入水后,F拉力=G重力-/浮力•）

22.（7分）新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想测量学

校旗杆的高度.方案如下:

课题测量校园旗杆的高度

测量工具测倾器、皮尺

测量图例

测量方法在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端厂处，此刻量出小华的

影长FG；然后，在旗杆落在地面的影子上的点。处，安装

测倾器CD,测出旗杆顶端A的仰角.

测量数据小华的影长FG=2相，小华身高所=L6〃z,顶端A的仰角为

49°,测倾器CD高0.6%，DF=6m,旗台高BP=12w.

说明点B、D、F、G在同一水平直线上，点A、P、B在同一条

直线上，AB.CD、EF均垂直于BG.参考数据：sin49°〜

0.8,cos49°仁0.7,tan49°^1.2.

请你根据上述信息，求旗杆胆的高度.

'、''、、E

p、、、、

||4*C'、、、、、_______

BDFG

23.（7分）劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，

随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间/（单位：，）作为样本，将收集的数据

整理后分为A,B,C,D,E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5,0.4,0.4,0.4,

0.3,绘制成如下不完整的统计图表.

各组劳动时间的频数分布表

组别时间tlh频数

A0VW0.55

B0.5V/W1a

C1C0.520

D1.5<rW215

Et>28

请根据以上信息解答下列问题.

（1）本次调查的样本容量为,频数分布表中的。的值为；

（2）A组数据的众数为h,B组所在扇形的圆心角的大小为

（3）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过1/?的人数.

各组劳动时间的扇形统计图

24.（8分）如图，已知△A8C内接于OO,A8是。O的直径，点E在同上，过E作。。的

切线，交的延长线于点R若NBEF=NCAE.

（1）求证：AE平分/8AC；

(2)若8尸=10,EF=20,求AC的长.

cE

A”；

25.（8分）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息.如图所示，某窑洞口的下部

近似为矩形。ABC,上部近似为一条抛物线.已知。4=3米，A3=2米，窑洞的最高点

M（抛物线的顶点）离地面0A的距离为空米.

8

（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；

（2）若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户OEFG,使得点。、E在矩形0ABe的边

BC上，点、F、G在抛物线上，那么这个正方形窗户。所G的边长为多少米？

26.（10分）（1）如图①，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,点。是边AC

的中点.以点A为圆心，2为半径在△ABC内部画弧，若点尸是上述弧上的动点，点。

是边BC上的动点，求尸。+。。的最小值；

（2）如图②，矩形ABCD是某在建的公园示意图，其中AB=200«米，BC=400米.根

据实际情况，需要在边。C的中点E处开一个东门，同时根据设计要求，要在以点A为

圆心，在公园内以10米为半径的圆弧上选一处点尸开一个西北门，还要在边上选一

处点。，在以。为圆心，在公园内以10米为半径的半圆的三等分点的M、N处开两个南

门.线段尸M、NE是要修的两条道路.为了节约成本，希望PM+NE最小.试求PM+NE

最小值及此时BQ的长.

（图①）（图②）

2024年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）

1.（3分）下列各数中，是无理数的是（

A.1B.我C.0D.」

3

【解答】解：1,0,-1是有理数，

3

正是无理数，

故选：B.

2.（3分）某物体如图所示，其左视图是

/主视方向

【解答】解：从左边看，是一列两个相邻的矩形.

故选：A.

3.（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O

的光线相交于点尸，点方为焦点.若Nl=155。，N2=30°,则N3的度数为（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

【解答】-AB//OF,

：.Z1+ZOFB=1SO°，

VZ1=155°，

：.ZOFB=25°,

*：ZPOF=Z2=30°,

AZ3=ZPOF^-ZOFB=30°+25°=55°.

4.（3分）若★・工〃2=-3〃34则★代表的代数式是（）

2

A.-6abB.C.-6a5bD.-J^-a5b

【解答】解：•••★+[2=一3办，

2

:•★=（-3〃%）・/@2=-菅a5}

故选：D.

5.（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=丘和y=-"+4交于点A,则点A的纵坐标

为（）

A.2B.-2C.2D.-2

kk

【解答】解：:函数y=kx和y=-kx+4交于点A,

•'•y=-y+4,

：.y=2,

故选：A.

6.（3分）如图，在□ABC。中，AB=3,BC=5,点M、N分别是BC、A。的中点，连接

AM.CN.若四边形AMCN为菱形，则口ABC。的面积为（）

A.7.5B.9.6C.12D.15

【解答】解：如图，连接AC,

:四边形AMCN是菱形，

：.AM=CM,

•.•点M是BC的中点，

：.CM=1.BC,

2

：.AM=^BC,

2

.♦.△ABC是直角三角形，且N8AC=90°,

•"-AC=7BC2-AB2=V52-32=4,

/.SAABC=1-/4BMC=AX3X4=6,

22

•/四边形ABCD是平行四边形，

**•S平行四边形ABCO=2SZ\A8C=2X6=12,

故选：C.

AND

/W

BMC

7.（3分）如图，在。。中，点C为弦AB中点，连接。C、。,B,点。是定上任意一点,

若4M>8=124°,则NCQB的大小为（）

A.66°B.56°C.34°D.28°

【解答】解：作息所对的圆周角NAP3,如图，

D

.\ZP+ZADB=180°,

VZADB=124°,

：.ZP=56°,

ZAOB=2ZP=U2°,

为AB的中点，。4=。3,

AOCLAB,OC平分NAOB,

AZCOB=AZAOB=56°,

2

故选：B.

8.（3分）若抛物线y=/-2“x+/-2a+3（a为常数）与x轴有两个交点，则此抛物线的顶

点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：：抛物线y=W-2办+/-2a+3（a为常数）与无轴有两个交点，

A=4层-4（cz2-2a+3）>0.

2

-2Q+3<0.

Vy=x2-lax+cT-2a+3=（x-a）2-2a+3,

，抛物线的顶点坐标是：（a,-2A+3）.

此抛物线的顶点位于第四象限.

故选：D.

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.（3分）写出一个绝对值小于J石的负整数是-1（答案不唯一）.（写出符合条件

的一个即可）

【解答】解：♦•,加<百§</^，

•'.3<V13<4,

-1是绝对值小于J石的负整数，

故答案为：-1（答案不唯一）.

10.（3分）因式分解：/-9x=x（x+3）（x-3）.

【解答】解：尤3-9x,

=x（7-9）,

—x(x+3)(x-3).

11.(3分)如图，在正五边形ABCAE中，连接AC、AD,则/CAQ的度数是36度.

【解答】解：根据正五边形的性质，AABC^AAED,

：.ZCAB=ZDAE=1(180°-108°)=36°,

2

.\ZCA£>=108°-36°-36°=36°.

12.(3分)位于第一象限的点A在直线y=2r上，过点A作AB〃x轴，交双曲线>=-旦于

x

点B.若点A与点8关于y轴对称，则点A的坐标为(2,4).

【解答】解：因为点A为直线y=2无上，因此可设A(a,2a)(a>0),

则点A关于y轴对称的点B(-a,2a),

由点8在双曲线y=■上可得

X

-2a2=-8,

解得。=2,(负数舍去)

AA(2,4),

故答案为：(2,4).

13.(3分)如图，线段AB=6,点C在上，且AC=4.以C为顶点作等边三角形CPQ,

连接AP、BQ.当AP+3。最小时，△CP。的边长最小是乎L_.

【解答】解：以AC为边作等边△AC。，连接如图:

VAACD和△CP。都是等边三角形，

.•./AC£）=NPCQ=60°,AC=CD,CP=CQ,

ZACD+ZDCP^ZPCQ+ZDCP,

：.ZACP=ZDCQ,

:在与△OCQ中，

'AC=CD

，ZACP=ZDCQ

CP=CQ

...XACP悬XDCQ,

：.DQ=AP,

：.AP+BQ=DQ+BQ,

，当。，Q,8三点共线是8。最短，即AP+8。最小,

作。E_LAB交AB于点E,

VAC=4,ZADE=30°,

：.AD=4,AE=EC=2,DE=26,

:.BE=EC+BC=4,

:*BD=A/DE2+BE2=2yH

\•。在8。上运动，

当CQLBD时，△CP。的边长最小，

"：SBCD=^BC'DE=1.BD'CQ,

A22

•—BC・DE=2><W^=

BD_2>/77

故答案为：2V2T.

7

三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）

14.（5分）计算：-12024一（『3）0+2.

【解答】解：原式=-1-1+2=0.

15.（5分）解方程:-----hl=-----

X-12x-2

【解答】解：由题意得最简公分母为2（尤-1）,

...原方程可化为：

2+2x-2=3.

..人•

2

检验：把x=3代入2（x-1）=1WO,且原方程左边=右边.

2

原方程的解为X=S.

2

r5x-2<3（x+l）

16.（5分）解不等式组：<2X-2、-

二一Ax-i

’5x-2<3（x+1）①

解①，得X<$；

2

解②，得xWl.

...原不等式组的解集为无W1.

17.（5分）如图，在△ABC中，ZBAC=120°,AB^AC.请用尺规作图法，在BC边上

求作点。，使（保留作图痕迹，不写作法）

18.（5分）如图，矩形4BCD,点E在边8C上，点厂在2C的延长线上，且EP=BC.求

证：LABE出ADCF.

【解答】证明：：四边形ABC。是矩形，

：.AB=CD,ZABC=ZDCB=90°,

：.ZABE=ZDCF=90°,

•；EF=BC,

：.BC-EC=EF-EC,

：.BE=CF,

在△ABE和△QCF中，

'AB=DC

-ZABE=ZDCF>

BE=CF

/.AABE^^DCF（SAS）.

19.（5分）我国古代数学名著《九章算术》中记载了一道数学问题：今有共买羊，人出五,

不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？其大意是：有人合伙买羊，每人

出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱.求合伙人数是多少？

【解答】解：设合伙买羊的有x人，羊价为y钱，

依题意，得：0YX=45,

ly-7x=3

解得：卜=21.

ly=150

答：合伙买羊的有21人.

20.（5分）甲、乙两人做游戏，他们在一只不透明的袋子中装了五个小球，分别标有数字:

1,1,2,2,3,这些小球除编号外都相同.

（1）搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，则这个小球的编号是偶数的概率为2；

（2）搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，记录小球的编号后放回、搅匀，乙再从中任意

摸出一个小球.若摸出两个小球编号之和为偶数甲获胜；否则，乙获胜.请你用画树状

图或列表的方法说明谁获胜的概率大.

【解答】解：（1）1,1,2,2,3中，是偶数的有：2,2,

甲从中任意摸出一个小球，这个小球的编号是偶数的概率为2.

5

故答案为：2.

5

(2)列表如下:

11223

1(1,1)(1,1)(1,2)(1,2)(1,3)

1(1,1)(1,1)(1,2)(1,2)(1,3)

2(2,1)(2,1)(2,2)(2,2)(2,3)

2(2,1)(2,1)(2,2)(2,2)(2,3)

3(3,1)(3,1)(3,2)(3,2)(3,3)

共有25种等可能的结果，其中摸出两个小球编号之和为偶数的结果有：(1,1),(1,1),

(1,3),(1,1),(1,1),(1,3),(2,2),(2,2),(2,2),(2,2),(3,1),(3,

1),(3,3),共13种，

摸出两个小球编号之和为奇数的结果有：(1,2),(1,2),(1,2),(1,2),(2,1),(2,

1),(2,3),(2,1),(2,1),(2,3),(3,2),(3,2),共12种，

.••甲获胜的概率为工3,乙获胜的概率为卫.

2525

••13

2525

甲获胜的概率大.

21.(6分)在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水

里的过程中，弹簧测力计的示数厂拉力(N)与石块下降的高度尤(cm)之间的关系如图

所示.

(1)求48所在直线的函数表达式；

(2)当石块下降的高度为8c机时，求此刻该石块所受浮力的大小.

(温馨提示：当石块位于水面上方时,F拉力=G重力；当石块入水后,/拉力=G重力-F7浮力•)

【解答】解：（1）设A8所在直线的函数表达式为歹拉力=丘+6,将（6,4）,（10,2.5）

代入得:

[6k+b=4

110k+b=2.5'

解得《

：.AB所在直线的函数表达式为F拉力=-工+空;

84

(2)在尸拉力=-3尤+寸_中，令尤=8得P拉力=-3X8+2^=1^,

84844

V4-卫=2(N),

44

当石块下降的高度为8cm时，该石块所受浮力为旦N.

4

22.（7分）新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想测量学

校旗杆的高度.方案如下:

课题测量校园旗杆的高度

测量工具测倾器、皮尺

测量图例

测量方法在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端F处，此刻量出小华的

影长FG；然后，在旗杆落在地面的影子上的点。处，安装

测倾器CD,测出旗杆顶端A的仰角.

测量数据小华的影长尸G=2%小华身高EF=16w,顶端4的仰角为

49°,测倾器O）高06w,DF=6m,旗台高BP=1.2〃z.

说明点、B、D、F、G在同一水平直线上，点A、P、8在同一条

直线上，AB.CD、斯均垂直于BG.参考数据：sin49°弋

0.8,cos49°^0.7,tan49°^1.2.

请你根据上述信息，求旗杆出的高度.

A

不、、

、、、、

、、、、、

'、、'、'、、E

P、、、、

||4*C'、、、、、_______

BDFG

【解答】解：过点。作垂足为H,

A

不、、

、、、、

、、、、、

'、、'、'、、E

P:、、

I寸_■[…也:茎C、、、、、、_______

BDFG

由题意得：BD=CH,BH=CD=Q6m,

设BD=CH=xm,

DF—6m,

BF=BD+DF=(x+6)m,

在RtZ\ACH中，ZACH=49°,

：.AH=CH'tan49°«1.2x(m),

：.AB=AH+BH=(1.2x+0.6)m,

由题意得：地=空，

BFFG

•・•-1-.--2--x-+--0--.--6-_―1.6,

x+62

解得：x=10.5,

经检验：x=10.5是原方程的根，

.■.AB=1.2x+0.6=13.2(m),

,:BP=1.2m,

：.AP=AB-BP=13.2-1.2=12Gn),

旗杆PA的高度约为12m.

23.(7分)劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，

随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间f(单位：W)作为样本，将收集的数据

整理后分为A,B,C,D,E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5,0.4,0.4,0.4,

0.3,绘制成如下不完整的统计图表.

各组劳动时间的频数分布表

组别时间tlh频数

A0VW0.55

B0.5<^1a

C1C0.520

D1.5VW215

Et>28

请根据以上信息解答下列问题.

(1)本次调查的样本容量为60,频数分布表中的。的值为12；

(2)A组数据的众数为0.4h,8组所在扇形的圆心角的大小为72。

(3)若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过lh的人数.

各组劳动时间的扇形统计图

【解答】解：(1)本次调查的样本容量为15・25%=60.

频数分布表中的a的值为60-5-20-15-8=12.

故答案为：60；12.

(2)由题意可知，A组数据的众数为0.4/?.

B组所在扇形的圆心角的大小为360°X」Z=72°.

60

故答案为：0.4；72°.

(3)1200X20+15+8=860(名).

60

...该校学生劳动时间超过lh的约有860名.

24.(8分)如图，已知aABC内接于OO,是。。的直径，点E在衣上，过E作。。的

切线，交AB的延长线于点R若NBEF=NCAE.

(1)求证：4E■平分4BAC；

(2)若8尸=10,EF=20,求AC的长.

【解答】（1）证明：连接OE,交5C于点G,

YE尸与OO相切于点

：.ZOEF=90°,

：・NBEF+NOEB=90°,

〈AB是。。的直径，

AZAEB=90°,

；・NEAB+/OBE=90°,

OE=OB,

：.ZOEB=ZOBE,

；・/BEF=/EAB,

*：ZBEF=ZCAE,

:・/CAE=/EAB,

・・・AE平分NR4C；

(2)解：TAB是。。的直径,

AZC=90°,

*：OA=OE,

：.ZBAE=ZAEO,

•：/CAE=NEAB,

：.ZCAE=ZAEO,

C.AC//OE,

：.ZC=ZOGB=90°,

CG=BG,

：OA=OB,

•.OG是△ACB的中位线，

\AC=2OG,

：ZF=ZF,NBEF=NBAE,

\/\FEB^/\FAE,

EF--即

AFEF

201-0

AF-

20

.'.AF=40,

：.AB=AF-BF=40-10=30,

OA=02=。£=虱2=15,

2

；NOGB=NOEF=90°,

J.BC//EF,

•0B=0G

*"OFOE"

・15=0G

"15+10IT

解得:0G=9,

；.AC=2OG=18,

；.AC的长为18.

25.（8分）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息.如图所示，某窑洞口的下部

近似为矩形0ABC,上部近似为一条抛物线.已知OA=3米，AB=2米，窑洞的最高点

M（抛物线的顶点）离地面OA的距离为空米.

8

（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；

（2）若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户。EFG,使得点。、E在矩形0ABe的边

BC上，点、F、G在抛物线上，那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米？

【解答】解：（1）由题意得，点加、8的坐标分别为：（旦，空）、（3,2）,

28

设抛物线的表达式为：y=a（尤-3）2+至，

28

将点B的坐标代入上式得：2=。（3-1）2+至，

28

解得：a=-―,

2

则抛物线的表达式为：y=-』（％-旦）2+至；

228

（2）设正方形的边长为2%，

由题意得，点G（—-/«,2+2相），

2

将点G的坐标代入二次函数表达式得：2+2机=-1（1-/77-国）2+空，

2228

解得：机=2（米），

2

故正方形窗户DEFG的边长为1米.

26.（10分）（1）如图①，在RtZXABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,点。是边AC

的中点.以点A为圆心，2为半径在△A8C内部画弧，若点尸是上述弧上的动点，点0

是边8C上的动点，求PQ+。。的最小值；

（2）如图②，矩形ABC。是某在建的公园示意图，其中AB=200«米，BC=400米.根

据实际情况，需要在边。C的中点E处开一个东门，同时根据设计要求，要在以点A为

圆心，在公园内以10米为半径的圆弧上选一处点尸开一个西北门，还要在边BC上选一

处