安徽省池州市2024届高三第一次模拟联合检测数学试题（含答案解析）

安徽省池州市第一中学2024届高三第一次模拟联合检测数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,2,4,5},8={2,3,6},则韦恩图中阴影部分表

示的集合为()

A.{2,5}B.{2,6}C.{3,6}D.{2,3,6}

2.在等差数列{〃“}中，%+/=24,%=15,则%=()

A.4B.5C.6D.8

3.已知向量a=(l,l),b=(2,4),若0与6的夹角为。，则()

AM口M「3回n3加

A.-------D.-------U.----------------------D.-

10101010

4.2024年1月27日国家统计局发布的2023年各月累计利润率与每百元营业收入中的

成本数据如图所示，则()

=每百元营业收入中的成本

一各月累计利润率

A.从每百元营业收入中的成本中，剔除最大与最小2个数据后的中位数与剔除前的

数据的中位数不相同

B.2023年各月累计利润率的60%分位数为5.455%

C.每百元营业收入中的成本与各月累计利润率是同步增大或减少的

D.每百元营业收入中的成本1-4月份的比1-9月份的大

5.已知抛物线。：丁=2°底°＞0）的焦点为尸，过点尸的直线/：x+2y=l交C于A8两

点.过AB作直线4"=-3的垂线，垂足分别为加耳，贝l]|A4,|+忸闻=（）

A.16B.18C.20D.24

6.己知函数/（同=25叫8+。）[。＞0,网＜会的部分图像如图所示，则（）

B.点[豆,0）是/⑺的对称中心

C.仆）在区间C上单调递减

D.当x高时，“X）的值域为（"2]

7.植树节这天，某学校组织5名学生依次给树木浇水，其中甲和乙是好朋友，必须相

邻，丙不在第三位，则不同的浇水顺序的种数为（）

A.30B.36C.40D.42

8.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用

到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连

续函数/（X）,存在一个点%,使得/（5）=%,那么我们称/（无）为“不动点”函数.若

“X）存在”个点%（，=1,2,…，满足〃％）=%,则称/'（X）为"〃型不动点”函数，则下

列函数中为“3型不动点”函数的是（）

A./(x)=l-InxB./(x)=5-lnx-ev

产

462

C.“X”rD.f(x)=2sinx+2cosx

二、多选题

9.下列命题是真命题的是（）

A.若,贝（Jac＞历B.若a>6>0,贝！J/〉匕3

试卷第2页，共6页

C.若lna>lM,贝|工<\D.若。+26=2,则2。+“24

ab~

10.已知正方体ABC。-A4G0的棱长为1,P是侧面ABB圈内的一个动点，三棱锥

尸-8G。的所有顶点均在球。的球面上，则()

A.平面尸ACJ■平面8CQ

B.点尸到平面BGD的距离的最大值为也

2

C.当点尸在线段A片上时，异面直线钎与BG所成的角为T

D.当三棱锥尸-BG。的体积最大时，球。的表面积为2%

H.已知函数〃X)=占+：7,设占,工2，斗是曲线>=/("与直线的三个交点

的横坐标，且西〈尤2<W，贝I()

A.存在实数。，使得尤2-玉>1B.对任意实数。，都有退-玉>3

C.存在实数。，使得X3-%>3D.对任意实数。，都有忍一%>1

三、填空题

2

12.若复数z=2+i,贝！］--=_______.

z-1

13.如图所示的“升”是我国古代测量粮食的一种容器，从形状上可抽象成一个正四棱

台.现有一个上、下底面边长分别为20cm和10cm的“升”，侧棱长为15cm,要做成一

个该“升”的几何体，其侧面所需板材的最小面积为cm2.

14.在ABC中，AB=2AC,A3是一A的角平分线，且ABC的面积为1,当BC最短时,

AD_

~AC~------

四、解答题

15.设函数〃"=/一"+4

⑴当a=l时，求曲线y=/(x)在点(0,〃0))处的切线方程;

(2)当尤20时，若/(x)<a恒成立，求实数。的取值范围.

16.“十四冬”群众运动会于2024年1月13日至14日在呼和浩特市举办，有速度滑冰、

越野滑雪等项目，参加的运动员是来自全国各地的滑冰与滑雪爱好者.运动会期间，运

动员与观众让现场热“雪”沸腾，激发了人们对滑冰等项目的热爱，同时也推动了当地社

会经济的发展.呼和浩特市某媒体为调查本市市民对“运动会”的了解情况，在15~65岁

的市民中进行了一次知识问卷调查(参加者只能参加一次).从中随机抽取100人进行

调查，并按年龄群体分成以下五组：[15,25),[25,35)/35,45),[45,55),[55,65],绘制得到

了如图所示的频率分布直方图，把年龄在区间[15,35)和[35,65]内的人分别称为“青少年

⑴若“青少年群体”中有40人关注“运动会”，根据样本频率分布直方图完成下面的2x2列

联表,并根据小概率值&=0.01的独立性检验，判断关注“运动会”是否与年龄样体有关；

运动会

年龄群体合计

关注不关注

青少年群体40

中老年群体

合计6040100

(2)利用按比例分层抽样的方法，在样本中从关注“运动会”的“青少年群体”与“中老年群

体”中随机抽取6人，再从这6人中随机选取3人进行专访.设这3人中“青少年群体”

的人数为X,求X的分布列与数学期望.

n(ad-bc)2

附：/其中〃=〃+

(Q+〃)(c+d)(Q+c)(Z?+d)，b+c+d.

试卷第4页，共6页

a0.050.010.001

Xa3.8416.63510.828

17.如图①，四边形ABCD是边长为2的正方形，一E4B与是两个全等的直角三

角形，且E4=4,FC与AD交于点G,将Rt^E钻与RtaE4D分别沿A8,AT>翻折，使

E,尸重合于点尸，连接PC,得到四棱锥P-ABCD,如图②，

(1)证明：BD1PC；

⑵若M为棱尸C的中点，求直线BM与平面PCG所成角的正弦值.

22

18.如图，已知双曲线C:二-*=l(a>0,6>0)的离心率为2,点在c上，A,B

ab

为双曲线的左、右顶点，尸为C右支上的动点，直线相和直线x=l交于点N,直线NB

交C的右支于点Q.

⑴求C的方程；

⑵探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由;

(3)设H,邑分别为，ABN和ANPQ的外接圆面积，求的取值范围.

19.定义：若对VkeN*,12,4_+%+142久恒成立，则称数列｛%｝为“上凸数列”.

(1)若为=47=1,判断｛%｝是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说

明理由.

(2)若｛。"｝为"上凸数列”，则当32"+2(%,〃eN*)时,

am+a„<am-\+an+l•

(i)若数列S,为｛%｝的前"项和，证明：S„>|(«1+a„)；

(ii)对于任意正整数序列%,%，W，，冷，居(〃为常数且“22/eN*),若

恒成立，求2的最小值.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.c

【分析】易得阴影部分表示的集合为(gA)cB,再根据补集和交集的定义即可得解.

【详解】由题意得电A={3,6,7},3={2,3,6},

阴影部分表示的集合为&A)8={3,6}.

故选：C.

2.C

【分析】利用等差数列的性质计算即可.

【详解】设等差数列的公差为d,因为氏+%=24=24,&=12,%=15,所以公差

d=3,&=4-2d—6.

故选：C

3.A

【分析】利用平面向量夹角的坐标表示及诱导公式计算即可.

a-bIx2+lx43「］

【详解】由题意得侬*丽=声中=正［0，可，

故选：A

4.D

【分析】利用中位数、百分位数的定义及图象一一判定选项即可.

【详解】对A,将每百元营业收入中的成本数据从小到大排列，第6个数据为中位数,

剔除最大与最小2个数据后的中位数不改变，故A错误；

对B,2023年各月累计利润率共有11个数据，所以11x60%=6.6,

所以60%分位数为5.52%,故B错误；

对C,2023年1-6月份的累计利润率为5.41%,1-7月份的累计利润率为5.39%,

1-8月份的累计利润率为5.52%,但1-6月份的每百元营业收入中的成本为85.23元，

1-7月份的每百元营业收入中的成本为85.22元，

1-8月份的每百元营业收入中的成本为85.17元，所以不是同步，故C错误；

答案第1页，共17页

对D,由图数据可知，显然D正确.

故选：D

5.D

【分析】先通过x+2y=l和,轴的交点为（1,0）,得出“1,0）,即三=1，从而确定抛物线方

程为V=4x,然后根据抛物线的定义即得|用|+忸4|=（|AF|+2）+（忸同+2）=|阴+4,最后

联立，J：；：'得/一i8x+l=0,通过|4同=/，|%-司并结合韦达定理即可得到结果.

【详解】在x+2y=l中，令产0,得x=l,所以—1,0）,即5=1，所以。=2,

所以C的方程为V=4x,则|A4j+忸闻=（|AF|+2）+（忸川+2）=|阴+4.

丁二得41%?—2x+1

设3（孙为），联立BPX2-18X+1=0,

所以玉+%=18,玉工2=1.

2

又M同=J1+J%一x?|1+J•J(X]+31=后-V18-4=20,所以

|A4j+网=20+4=24.

故选：D.

6.A

【分析】根据题意求出函数/（尤）的解析式，利用正弦函数的性质依次判断各个选项.

TT（2兀\37r3

【详解】由图知有一一〒=7=7兀所以周期7=兀.

，乙VJJ।।

__兀7L兀

又因为。〉0,所以0=2,当天=一时，GX+0=—+0=—+2E,左£Z,

1262

所以°=g+2MaeZ.又因为所以夕=方，即〃x）=2sin（2x+T.

对于选项A,当片白时，2x+［用，/信）=-2,所以直线苫=称是小）的对称轴,

故A正确；

对于选项B,当彳=藉时，2x+^=~,所以点［蒋,0）不是的对称中心，故B错误;

对于选项C,当时，+由正弦函数可知，"％）在区间■，学

上不单调递减，故C错误;

答案第2页，共17页

对于选项D,当xj-不彳]时,2x+—ef—-j,f(%)的值域为(1,2],故D错误.

故选：A.

7.C

【分析】分丙在第一或第五位，在第二位或第四位，两种情况，求出浇水顺序，相加得到答

案.

【详解】若丙在第一或第五位，甲乙进行捆绑，内部可以全排列，

甲乙看作一个整体，和剩余的两个学生进行全排列，

故不同的浇水顺序有2A；A；=24种，

若丙在第二位或第四位，甲乙进行捆绑，内部可以全排列,且甲乙只能有两个位置可以选择，

再将剩余的两为同学进行排列，

则不同的浇水顺序有2x2A；A；=16种，

则不同的浇水顺序共有24+16=40种.

故选：C

8.D

【分析】结合“不动点”函数的概念，转化为方程/(x)=x有根或对应函数>=/(x)-%有零

点的问题，依次求解判断各个选项.

【详角单】对于A,令/(x)=l-lnx=Mx>0),EPx+lnx-l=0.

因为y=x+ir«-i满足y'=i+，>。，所以y=X+1I«T在区间(。,+°°)上单调递增，

所以f(x)不可能为“3型不动点”函数，故A错误；

对于B,令尤)=5-lnx—e"=x,即无+lm:+e*-5=0.

易判断y=x+lnx+eX-5在区间(0,+<»)上单调递增，

所以/'(X)不可能为“3型不动点”函数，故B错误；

对于C,由〃制=”:，得尸(同=42焊2,

XX

易知当x<0时，r(x)<0J(x)单调递减，且/(力<0,所以当x<0时，f(x)=?的图

象与直线y=x有且只有一个交点;

答案第3页，共17页

当0<x<l时，f'(x)<OJ(x)单调递减,M/(1)=->1;

当尤>1时，尸(x)>O,〃x)单调递增.令〃力=1,得企粤1=1,解得x=2,此时

42)=2,所以直线y=x与曲线〃司=牛相切于点(2,2).

所以直线y=x与曲线〃x)=£:共有两个交点，所以“X)为“2型不动点”函数，故C错

误；

々/

y=f®/

4

-

e

O

对于D,〃x)=2siru+2cosx=2^sin[x+m，作出/(x)的图象，如图所示.易知其与直

线y=x有且只有三个不同的交点，

即2sinr+2cosx=x有三个不同的解，所以/(x)=2sinx+2cos%为“3型不动点”函数，故D正

确.

【点睛】方法点睛：根据“不动点”函数的定义，转化为方程/(x)=x有解问题，可直接求方

程的根，或者利用零点存在性定理判断，也可构造新函数，把问题转化为研究新函数的零点

问题，有时还可以转化为两函数交点问题.

9.BCD

【分析】对A,举反例说明；对B,作差〃一步因式分解判断;对c,由ina>lnb,得a>b>0,

可判断；对D,利用基本不等式求解判断.

【详解】对于A,当cWO时，ac>秘不成立，故A错误；

答案第4页，共17页

对于B,由a>5>0,得〃3—03=(〃—勾.(4+"+廿)〉。，所以〃3>以故B正确;

对于C,由lna>lnb,得d>6>0,所以。<工<，，故C正确；

ab

对于D,因为。+2/?=2,所以2"+4"22J2"•4'=2422?"=2及"2b=4，当且仅当2"=4"，

即a=1,6=!时，等号成立，

故D正确.

故选：BCD.

10.AC

【分析】连接ACM,证明1平面AAC,则AC_LBD,再证明ACLCQ,根据线面

垂直的判定定理可得AC平面BCQ，再根据面面垂直的判定定理即可判断A；以点A为

坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断B；证明4月//0。，则N2GD即为

所求，解BCD即可判断C；结合B选项可得三棱锥的外接球即为正方体

ABCD-ABiGA的外接球，即可判断D.

【详解】对于A,连接AC,8£>,则BD_LAC,

因为44]_L平面ABCD,BZ)u平面ABC。，所以

又441cAe=A,AA，ACu平面AAC,所以加平面AAC,

又ACu平面AAC,所以

同理可得AC，G。，

又a。门2。=£>,6。,8。匚平面2^。，所以AC,平面BCQ,

因为A(u平面PA。，所以平面PAC,平面BCQ,故A正确；

对于B,如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，

^P(x,0,z)(0<x<l,0<z<l),

所以8(1,0,0),C。,1,0),A(0,0,1),

由A选项可知平面8CQ的一个法向量为AC=(1,1,-1),

答案第5页，共17页

\-l-z\

AC-BP1x1

又第=（x-1,0,z）,所以点夕到平面BCXD的距离为d=।函।=

所以当x=0,z=l时，d”当，故B错误；

对于C,连接CQ,因为A£>〃与G且AO=8G，所以四边形ABC。是平行四边形,

所以ABJ/CQ,

则当点尸在线段A片上时，

异面直线AP与8G所成的角即为异面直线AB,与BC,所成的角，即NBCQ,

因为为等边三角形，所以

即异面直线AP与BG所成的角为三，故C正确；

对于D,当三棱锥尸-BG。的体积最大时，点尸到平面BCQ的距离最大，

由B选项可知当点尸与点A重合时，

三棱锥尸-BCQ为正四面体A-8CQ,且其棱长为血，

其外接球即为正方体ABCD-ABCa的外接球，

所以外接球的半径为孝，所以球。的表面积为S=47txj*]=3兀，故D错误.

故选：AC.

11.ACD

【分析】求出函数导数，讨论函数的单调性后可得函数的图形，结合图象、极限思想可判断

AC的正误，利用作差法可判断BD的正误.

【详解】函数"X）的定义域为（一。-1）。（-1,0）7（1,+力），

答案第6页，共17页

故函数/（x）在（7,—1）5-1,0）。（1,+力）上均单调递减,

故/（X）的图象如图所示，

对于选项AC,由图象有为<-1<电<0<%，

考虑到触/（尤）=+°°，蚣/（尤）=-°°,且函数图象的渐近线为x=-l,

于是存在实数a使得马-网>1，存在实数。使得尤3-3>3,故AC正确;

对于选项BD,/(l+x2)-/(x2)=-------+------

x2+1x2

—1,

X2+2X2，

1八11

因为一所以----->0，—<-1,1+%

x2+2x2

所以〃1+%）一/（工2）=一1一_--1>0,

9+2X?

于是/（l+W;IV/lxOn/lw）,

而“X）在（0,+力）上单调递减，所以1+无2<忍，

即-无2>1，故选项D正确；

/(3+%)-〃％)=H----$

x,+4%

--------1--------------------------3,

%+4%+3玉+1xx

当％=一2时’/+-------3=—F1+1H------3=0

%+3占+1xx2

此时/(3+苔)=/&)=/(国),

答案第7页，共17页

此时3+%=le(0,+oo),

而函数f(x)在(O,+e)上单调递减,

所以三=玉+3,因此选项B错误.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：求出函数导数，讨论函数的单调性后可得函数的图形，是解决本题的

关键.

12.1—z/—z+1

【分析】由复数的除法运算即可求解.

222(l-i)

【详解】才币=1+而『J.

故答案为：l-i.

13.600A/2

【分析】根据棱台的几何性质确定斜高，再根据侧面性质确定面积即可.

如图，由题意知该“升”的各侧面为上底、下底长分别为AB=20cm,A4=10cm,腰长为

⑨=15cm的等腰梯形,

取AB,4a中点为下，召，

所以其侧面的高为EF=/用一.B[4gj=/4一12尸[=10夜(cm).

若将各侧面展开，可拼接成一个一条边长为60cm,另一条边长为15cm的平行四边形,

该平行四边形的高为10底cm，所以所求面积为10A/2x60=60072(cm2).

故答案为：6000.

答案第8页，共17页

14.呼|W

【分析】记AC=a,ZBAD=ZCAD=0,然后计算得到A。=*cos。，再使用余弦定理说

O1

明3c2=；tan6+五标，并通过基本不等式的取等条件得知当BC取到最小值百时,

1—cos0

tan0=-,最后通过四=3―,_3c。_-41即得结果.

3ACa33Ji+tan7

【详解】t己AC=a,/BAD=NCAD=8,贝！1。=iNBACe10,万)，从而tan〃>0.

*2*

因为1=SAABC=一•2〃•〃•sin26=tzsin20,

且1=SAABC=+S博CD=—,2〃•AD•sin。d—a-AD•sin。=—•a•AD-sin。,

2

所以〃sin2e=l,且AD=c.八,

2a2sin234/sinecose

从而AD=---------=—cos^.

3asin03asin63〃sin63

在，ABC中，由余弦定理可得:

……一2a2…(5一”=毛亲产三害

5(cos?®+sin?。)—4(cos?。-sin2^)cos2^+9sin2^911

=—tan6+-------->J9tan0--------=3,

sin2<92sin8cos622tan8Vtan。

911

当且仅当Jtan。=-―-即tan。=-时取等号.

22tan”3

所以当BC取到最小值G时，tand=；,此时cos6=3

M，

4a

Tcos0Q442M.

所以A。

ACa35

2A/10

故答案为:

5

15.(l)y=-2x+l

Q)

e+1

【分析】(i)直接根据导数的几何意义即得切线方程;

夫2

(2)先将不等式变形，将条件转化为—对x>0恒成立，再通过导数研究

e+%—1

答案第9页，共17页

h(x}=——的单调性即知4的取值范围.

/ex+x-l

【详解】(1)当0=1时，/⑺=二:+1,

可得/(X)=21-("x+1)=T+3A2,

exex

所以广(。)=-2,/(0)=1,

所以曲线y=/(x)在点(0,〃。))处的切线方程为卜1=—2(%-0),即y=-2x+l.

2

(2)由条件知即x二+4《*即尤?一ac+aWae，，即

当x=0时，不等式恒成立；

当x>0时，我们有e'+x-l>e°+O-l=O.

所以命题等价于a>——对兀>0恒成立，

e+x—1

/2x(ex+x-l]-x2(ex+l]

令人(尤)=------7'则：〃(无)=7^不

ex+x-l(e'+x-l)

_2xe*+2尤2-2x-x2e"-x?_2xe*+x?—2尤一x,e*-2x(1-ex)+x2(1-ex)

(e*+x-l)(e*+x-l)(e*+xT)2

(x?-2x)(1-e")x(x—2)^1—eJj

(d+x-l)2(e'+x-l)2'

而当尤>0时，l-e*<0,故，

当xe(O,2)时,//(x)>0,故〃(x)在区间(0,2)上单调递增；

当xe(2,+8)时，h\x)<0,故/z(x)在区间(2,+8)上单调递减，

4

所以〃(无)max='(2)=£71.

综上所述，实数。的取值范围为L，+"1.

Le-+1)

16.(1)列联表见解析，有关

(2)分布列见解析，E(X)=2

【分析】(1)根据频率分布直方图完善二联表，即可计算卡方，与临界值比较作答,

(2)根据超几何分布求解概率，即可求解分布列以及期望.

答案第10页，共17页

【详解】（1）由题意可知“青少年群体”共有100x（0.025+0.03）x10=55（人）,

“中老年群体”共有100-55=45（人），

所以2x2列联表如下：

运动会

年龄群体合计

关注不关注

青少年群体401555

中老年群体202545

合计6040100

零假设为关注“运动会”与年龄群体无关联.

2

根据列联表中的数据，经计算得到z=l0°x（40x25-20xl»“8249>6635=

55x45x60x40001

所以根据小概率值£=0。1的独立性检验，我们推断“。不成立，即认为关注“运动会”与“年

龄群体”有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.

（2）样本中“青少年群体”关注“运动会”的有40人，“中老年群体”关注“运动会”的有20人,

按比例分层抽样的方法抽取6人，贝广青少年群体”应抽取4人，“中老年群体”应抽取2人,

则X的所有可能取值为1,2,3,

1ClC2

所以尸（X=1）=3=《P（X=2）=,3P（X=3）=曾i

55

故随机变量X的分布列为

17.（1）证明见解析

⑵逅

答案第11页，共17页

【分析】（1）易证PA_L平面A5CD,从而得出再证明平面PAC即可证明

BD1PC；

（2）可由（1）建立空间直角坐标系4-邙，用向量法求解即可.

【详解】（1）由翻折的不变性可知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，

PA±AD,PA1AB,

因为ABAD=A,AB,ADcip[I]ABCD,

所以PA_L平面ABCD,又BDu平面ABCD,所以F4_LBD,

如图，连接AC,则ACIB。，

又24门47=4,乃4,4。＜=平面如。，所以平面PAC,

又尸Cu平面PAC,所以3D_LPC.

（2）由（1）可知AB,A£）,AP两两垂直，

以A为坐标原点，AB,仞，”所在直线分别为x轴、,轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐

由题图①可A知G名=F胃A=：4=彳2，又BC=2,所以AG=4z，

BCFB633

则A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,G（0,g,0；尸（0,0,4）,

所以GC=（2,|,0）,PC=（2,2,-4）,又M为棱PC的中点，

所以=（-1,1,2）,

f"n[2x+2y-4z=0

设平面PCG的法向量为”=（x,y,z）,贝，即4c2八

n-GC=02x+：y=0

iI3

令y=3,得x=—l,z=l,故〃=（-!,3,1）,

设直线BM与平面PCG所成的角为6,

答案第12页，共17页

则sinO=|cos〃,2M|=¥36A/66

11\n\\BM\V1TXV6-11'

所以直线BM与平面PCG所成角的正弦值为答.

尤2V2

18.（1）---二=1

412

（2）过定点（4,0）,理由见解析

⑶。，；

【分析】（1）根据离心率得到〃=3.2,再代入[q-，2j，得到方程，求出/=4,廿=12,

求出双曲线方程；

（2）设直线尸。的方程为工=，期+〃，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，求出直线

AP：y=V^（x+2）,求出N[L/]，根据三点共线得到方程，结合

（3"2-12）（必+%）

町为求出〃=4,得到答案;

-6n

因=旦=/_

（3）利用正弦定理求出设直线PQ的方程为无=冲+4,联立双曲线方程,

$24\PQ\f

,1,,S,,4[^1

得到两根之和，两根之积，求出。4/＜院表达出归@,得至，寸=T+/砌

【详解】（1）因为离心率e=$=2,所以c=2a,"=c2-4=3",

a

22

双曲线的方程为与-二=1,

a23/

将点I¥，21代入双曲线方程得普-1=1,

I3J3a3a

4

所以0二=4,〃=12,

a

22

所以C的方程为上-匕=1.

412

（2）直线尸。过定点（4,0）,理由如下：设尸（4％）,。（孙力），

答案第13页，共17页

-------I

直线PQ的方程为尤=冲+〃，与C的方程联立《412'

x=my+n,

整理得（3m2—1）y?+6mHy+3n2—12=0,

EH▲c22,c6mn3n2-12

则A=12利+n-4>0,%+%=-藐=藐匚p

直线AP：y=Vl（'+2），所以N］羽）又N,民Q三点共线,

所以演Q=%B，即必=--

x2-2玉+2

即为（%+2）+3%（W-2）=0,

即%（冲1+九+2）+3yl（my2+n—2）=0,

化简得4孙%+（〃+2）%+3（〃_2）M=0,

6mn3n2-12

因为%+%=-3川-1'"%―3疗-1

所以Hl%%=

-6n

代入上式得4.0"2T2）（%+%）

+（〃+2）%+3（〃-2）必=0,

-6n

即一6〃+8）%+（»—2〃-8）%=0，

（〃一2）（九一4）%+（〃一4）（几+2）%-0,

所以“=4.所以PQ过定点（4,0）.

（3）设ABN和△NPQ的外接圆半径分别为&,R2,其中|AB|=4,

由正弦定理可得.吗=2&,.%=2几，

smZANLBsmZPNQ

又sinZANB=sinZPNQ,

及=网叵=员=处=/_

所以

RPQ\

2v2R2PQ\PQ\-

设直线PQ的方程为X=冲+4,

答案第14页，共17页

x=my+4,

与。的方程联立炉

144rL

整理得(3m2-1)/+24my+36=0,

24m36

贝！!%+%=—3疗-1'*%-3m2_1

3m2-1w0,3m2-1^0,

A>0,A>0,

又即4

(my4-4)(my+4)>0,

xxx2>0,12

+4)+(my+4)>0,

x1+x2>0,2