人教版八年级数学第十四章：整式的乘法与因式分解教案

第十四章整式的乘法与因式分解

同底数塞的乘法

教学目标：理解同底数幕的乘法法那么，运用同底数幕的乘法法那么解决一些实际问题.通过“同底

数嘉的乘法法那么”的推导和应用，使学生初步理解特殊到般再到特殊的认知规律。

教学重点：正确理解同底数幕的乘法法那么以及适用范围。

教学难点：正确理解同底数幕的乘法法那么以及适用范围。

教学过程：

一、回忆幕的相关知识：

a”的意义：a"表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方.乘方的结果叫嘉；a叫做底数，n是指

数.

二、导入新知：

1.问题：一种电子计算机每秒可进行IO”次运算，它工作IO3秒可进行多少次运算？

2.学生分析：总次数=运算速度X时间

3.得到结果：1012X104=(10X«BX10)X(1OX1OX1O)=(10xl0x-xl0)=1015.

12个1015个10

4.通过观察可以发现10"、这两个因数是同底数幕的形式，所以我们把像1012X103的运算叫

做同底数幕的乘法.根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算—同底数嘉的乘法.

5.观察式子：1012义103=10匕看底数和指数有什么变化？

三、学生动手：

1.计算以下各式：

⑴25X22(2)a3-a2⑶5"-5"(m,n都是正整数)

2.得到结论：(1)特点：这三个式子都是底数相同的幕相乘.

相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个嘉的指数的和.

3.a"a"表示同底数嘉的乘法.根据嘉的意义可得：

a"1•an=(〃•〃••••tz)•ci)—•••a=a"1

mTan不a(m+n)个a

a-a"=a+"(m,n都是正整数)，即为：同底数鼎相乘，底数不变，指数相加

四、学以致用:

1.计算：

⑴X2：56,3m+l

:•X⑵a•a⑶x,x,

2.计算:⑴2X24X23(2)a"•a"•ap

3.计算:⑴(_a)2Xa6[2)(-a)2Xa1(3))3X—b

22

4.计算:⑴(a+b)2X(a+b)4X[-(a+b)]7

⑵(m-n)3X(m-n)4X(n-m)7

⑶a2XaXa+aXa2Xa2

五、小结：

1.同底数幕的乘法的运算性质，进一步体会了幕的意义.了解了同底数幕乘法的运算性质.同

底数幕的乘法的运算性质是底数不变，指数相加.

2.注意两点：一是必须是同底数塞的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是

底数不变，指数相加，即a"•(m、n是正整数).

六、作业

课本96页练习1,2题

幕的乘方

教学目标：经历探索塞的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会

幕的意义，开展推理能力和有条理的表达能力。了解嘉的乘方与积的乘方

的运算性质，并能解决一些实际问题。

教学重点：会进行塞的乘方的运算，塞的乘方法那么的总结及运用。

教学难点：会进行幕的乘方的运算，幕的乘方法那么的总结及运用。

教学过程：

一、回忆同底数塞的乘法：

am.an=am+nn都是正整数)

二、自主探索，感知新知：

1.6,表示个相乘.

2.(6T表示个相乘.

3.£表示个相乘.

4.(aT表示个相乘.

三、推广形式，得到结论：

1.(a")"=XX…X=XX…X=

即[a)三(其中m、n都是正整数)

2.通过上面的探索活动，发现了什么？

幕的乘方,底数,指数.

四、稳固成果，加强练习：

2

1.计算:⑴〔及)5⑵[(勺⑶[—IT

3

[4)(六)5〔5〕-(a2)7(6〕-(a，〕3

2.判断题，错误的予以改正。

⑴a+a=2a0(〕(2-，()

⑶(-3)27—3]4=(-3)6=-36()

(4)x3+y3=(x+y)3(〕⑸[(m—n)3]4—[(m—n)2]6=0〔〕

五、新旧综合：

在上节课我们讲到，同底数幕相乘在不同底数时有两个特例可以进行运算，上节我们讲了一种

情况：底数互为相反数，这节我们研究第二种情况：底数之间存在塞的关系

1.计算：23X42X83

2.计算：⑴(高7⑵2⑺-⑶[(⑶T

六、提高练习：

3

1.计算：(1)5(叫3(―p2)+2[(―P)勺.(_p5)2

⑵[[一1)丁斗产+02。。2_〔一])199。

2.假设型〕=x8,那么m=

3.假设[于=x%那么m=

4.假设x*x而=2,求X91的值。

5.假设a"=3,求(瞪)4的值。

6.a=2,a=3,求a2m+3n的值.

七、附加练习：

1.E-(x+y)3]42.(an+1)2X(a2n+1)33.(-32)3

342442m+nrn32m-n3m

4.aXaXa+(a)+2(a)5.(x)2X(-x)+xX(-x)

八、小结：

会进行幕的乘方的运算。

九、作业

课本97页练习题

积的乘方

教学目标：经历探索积的乘方的运开展推理能力和有条理的表达能力.学

习积的乘方的运算法那么，提高解决问题的能力.进一步体会嘉的意义.理

解积的乘方运算法那么，能解决一些实际问题.

教学重点：积的乘方运算法那么及其应用；塞的运算法那么的灵活运用.

教学难点：积的乘方运算法那么及其应用；塞的运算法那么的灵活运用.

教学过程：

一、回忆旧知：

1.同底数塞的乘法；2.嘉的乘方。

二、创设情境，引入新课：

1.问题：一个正方体的棱长为ZXIOZm,你能计算出它的体积是多少吗？

2.提问：体积应是V=(2X103)W,结果是幕的乘方形式吗？底数是2和103的乘积，虽然

IO。是幕，但总体来看，它是积的乘方。积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法那么？

有前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥秒.

三、自主探究，引出结论：

1.填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？(l)(ab)2=[ab)•lab)

=(a•a),[b•b)=a('b(>

⑵(ab)3=—=—=a<'b(>(3)(ab]"=—=—=a(>b')(n是正整数)

2.分析过程：[1)(ab)2=(ab),(ab〕=(a•a),(b•b)=aV,

(2)(ab)3=(ab),(ab),(ab)=(a•a•a),(b•b•b)=a3b3；

⑶(ab)n=(ab)>(ab)•一•(")=(«•«•--a)•(jb.b.一*b)=anbn

n个abn个an个b

3.得到结论：积的乘方：(ab)三(n是正整数)

把积的每一个因式分别乘方，再把所得的塞相乘，也就是说积的乘方等于塞的乘积.

4.积的乘方法那么可以进行逆运算.即：

a"-bn=(ab)”[n为正整数)【2】

a•bn=(««a--•«)•(b.b.-*b)---幕的意义

n个an不b

=(a.b).(a-b).…{a.b)---乘法交换律、结合律

n个(a・b)

=(a-b)"——乘方的意义

5.结论：同指数塞相乘，底数相乘，指数不变.

四、稳固成果，加强练习：

1.计算:⑴(2a)3⑵J5b)3〔3〕(X，)a⑷(-2/)4

2.计算：

(1)2(x3)2,x3-(3x3)3+(5x)2,X7(2)(3xy2)2+(-4xy3),(-xy)

(3)(-2x3)3•(lx2)2(4)(-x2y)3+7(x2)2-(-x)2•(-y)3

2

(5)[(m-n)3]p•[(m-n)(m-n)p]5(6)(0.125)7X88

(7)(0.25)8X410⑻2"乂4二(2)"

8

3.10m=5,10"=6,求102m的值.

五、小结：

1.总结积的乘方法那么，理解它的真正含义。

2.塞的三条运算法那么的综合运用。

六、作业

课本98页练习题

整式的乘法(第一课时)

教学目标：探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法

那么，并运用它们进行运算.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动

探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力.

教学重点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法那么.

教学难点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法那么.

教学过程：

一、回忆旧知：

回忆塞的运算性质：

a"-an=a"+n(a")"=amn(ab)n=a-bn(m,n都是正整数)

二、创设情境，引入新课：

L问题：光的速度约为3义IO'千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5X10?秒，你知

道地球与太阳的距离约是多少千米吗？

2.学生分析解决：(3X105)X(5X109=(3X5)X(105X102)=15X107

3.问题的推广：如果将上式中的数字改为字母，即ac5・bc?,如何计算？

ac5,bc2=(a•c5),(b•c2)

=(a•b),(c5,c2)

=abc5+2=abc7

三、自己动手，得到新知：

1.类似地，请你试着计算：⑴2c5*5似(2)(-5a2b3)•(-4b2c)[4]

2.得出结论：单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项

式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式.

四、稳固结论，加强练习：

L计算：

(1)(-5a2b),(-3a)

(2)(2x)3,[-5xy2)

2.小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米?

3.计算：

⑴2/「(-2/)(2)(-3x3)2.%3

(3)(-10xy3)(2xy4z)(4)(-2xy2)(-3x2y3)(--xy)

4

43

(5)3(x-y)2•[----(y-x)3][--(x-y)4]

152

4.判断:

(1)单项式乘以单项式，结果一定是单项式()

(2)两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积()

(3〕两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积(〕

[4)两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现〔〕

5.计算：0.4x2y,(—xy)2-(-2x〕3•xy3

2

6上=2,址=3,求团巧2的值。

7.求证：52•32n+1•2-3"•6"2能被13整除

五、作业

课本99页练习1题

整式的乘法(第二课时)

教学目标：探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法

那么，并运用它们进行运算.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动

探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力.

教学重点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法那么.

教学难点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法那么.

教学过程：

一、回忆旧知：

单项式乘以单项式的运算法那么：把它们的系数、相同字母分别相乘，对

于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式.

二、创设情境，提出问题：

1.问题：三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品，它

们在一个月内的销售量(单位：瓶)，分别是a,b,c。你能用不同方法

计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？

2.得到结果：一种方法是先求三家连锁店的总销售量，再求总收入，

即总收入为：;另一种方法是先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，即总

收入为：»

所以：m(a+b+c)=ma+mb+mc

3.提出问题：根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法吗？

4.总结结论：

单项式与多项式相乘:就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。即:m(a+b+c)=

ma+mb+mc

三、稳固练习：

L计算：

91

⑴2a2,(3a2-5b)[2)(—ab2-lab)•—ab)

32

(3)(-4x?),(3x+l)

2.假设(-5a"b。(2anb')=-10aE,那么m-n的值为

3.计算：(a3b)2(a2b)3

4.计算：(3a2b)?+(-2ab)(-4a3b)

524

5.计算：(--A^)*(jxy2-2xy+-y)

7

6.计算：(-3孙)(5/,)+6%2(5孙2-2y2)

7.a=2,b=3,求3ab(。2人+。/?2一ab)-ab，(2a?+3ab-2a)的值

8.解不等式：2x(x+1)-(3x-2)x+2x~)x~-1

9.假设2/-3x+w与7+7加一2的和中不含x项，求加的值，并说明不管x取何值，它的

值总是正数

四、作业

课本101页练习1,2题

整式的乘法(第三课时)

教学目标：探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法

那么，并运用它们进行运算.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动

探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力.

教学重点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法那么.

教学难点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法那么.

教学过程:

一、回忆旧知：

单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法那么

二、创设情境，感知新知：

1.问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽

m米的长方形绿地增长b米，加宽n米，求扩地以后的面积

是多少？

2.提问：用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同的表示方法之

间有什么关系？

3.得出结果：方法一：这块花园现在长(a+b)米，宽(m+n)米，因而面积为(a+b)(m+n)米

方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：am米②、an米②、bm米二bn

米)故这块绿地的面积为(am+an+bm+bn)米：

(a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一■块绿地的面积，

所以有(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

三、学生动手，推导结论：

1.引导观察：等式的左边(a+b)(m+n)是两个多项式(a+b)与(m+n)相乘,

把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式(a+b)与(m+n)相乘的问题就

转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学

们试着做一做.

2.过程分析：(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)--单X多

=am+an+bm+bn---单X多

3.得到结论：多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把

所得的积相加.

四、稳固练习：

1.计算：(1)(九一2y)(九2+2盯一3y2)(2)(2x+5)(x2-5x+6)

⑶(3x+l)(x+2)(4)(x-8y)(x-y)(5)(x+y)(x2-+y2)

2.先化简，再求值:(a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2,其中a=-8,b=-6.

4

3.化简求值：(x-2)(x+3)+3(x+l)(x-1)-(2x+l)(2x-3),其中x=g.

4.一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一

样大小)，问台面面积是多少？

五、深入研究：

1.计算：①(x+2)(x+3)；②(xT)(x+2)；③(x+2)(x-2)；④(x-5)(x-6)；⑤(x+5)(x+5)；

@(x-5)(x-5)；并观察结果和原式的关系。

(x+2)(x+3)—+1)<22

2.解不等式组:

(x—l)(x+6)〉(x+5)(x+2)

3.求证：对于任意自然数〃，”("+5)-5-3)(“+2)的值都能被6整除

4.计算:(x+2y-l)2

5.X2-2X=2,将下式化简，再求值.

(xT)"(x+3)(x-3)+(x-3)(xT)

六、作业

课本102页练习1,2题

课题：整式的除法(第一课时)

教学目标：同底数幕的除法的运算法那么及其原理和应用，开展有条理的思

考及表达能力。培养探索讨论、归纳总结的方法.

教学重点：准确熟练地运用同底数幕的除法运算法那么进行计算.

教学难点：准确熟练地运用同底数塞的除法运算法那么进行计算.

教学过程：

一、创设情境，感知新知：

问题：一种数码照片的文件大小是2'K,一个存储量为26M(1M=21OK)

的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？

1.分析问题：移动器的存储量单位与文件大小的单位不一致，所以要先统一单位.移动存储器的容

量为26X210=216K.

所以它能存储这种数码照片的数量为2164-28.

2.问题迁移：由同底数幕相乘可得：28X28=216,所以根据除法的意义T6+23=2'

3.感知新知：这就是我们本节需要研究的内容：同底数幕的除法。

二、学生动手，得到公式：

1.计算：⑴()・28=216(2)()•b's

⑶。・10=107(4)U•a=a

2.再计算：⑴2164-28=(〕⑵554-53=(〕

⑶1074-105=(〕⑷a^a=(〕

3.提问：上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？

4.分析：同底数嘉相除，底数没有改变，商的指数应该等于被除数的

指数减去除数的指数.

5.得到公式：同底数塞相除，底数不变，指数相减.

即：a-i-a=a(aH0)

6.提问：指数相，〃之间是否有大小关系？【m,n都是正整数，并且m〉n】

三、稳固练习：

1.计算：⑴x84-x2⑵a=a⑶(ab)34-(ab)2

2.提问：在公式要求m,n都是正整数，并且m〉n,但如果m=n或m<nn呢？

3.实例研究：计算：324-321034-103a"+am(aWO)

4.得到结论：由除法可得：32H-32=11034-10=1a"+a"=l(aWO)

利用a®+a"=a”F的方法计算.

324-32=32-2=3°1034-10=103^10°am+am=a"・a°(aWO〕

这样可以总结得a°=l(aWO〕【2】

于是规定：a°=l(aWO)即：任何不等于0的数的0次嘉都等于1.

5.最终结论:同底数幕相除：a-a5(aNO,m、n都是正整数,

且m2n).

四、加强训练：

1.计算：(―C)'+(―C)3(%+y)”"3+(x+y)2》10+(_工)~十/

2.假设(2。-3»°=1成立，那么满足什么条件？

7

3.假设10'10〉=49,那么IO?”等于？

4

4.假设(2x+y—5)°无意义，且3x+2y=10,求尤,y的值

五、小结：

利用除法的意义及乘、除互逆的运算，揭示了同底数幕的除法的运算规律，并能运用运算法

那么解决简单的计算问题。

六、作业

课本104页练习1题

课题：整式的除法(第二课时)

教学目标：单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法那么及其应用和

它们的运算算理，开展有条理的思考及表达能力，提倡多样化的算法，培

养学生的创新精神与能力.

教学重点：单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法那么及其应用。

教学难点：单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法那么及其应用。

教学过程：

一、创设情境，感知新知：

问题：木星的质量约是1.90X1()24吨.地球的质量约是5.08X102吨.你知道木星的质

量约为地球质量的多少倍吗？

分析：这是除法运算，木星的质量约为地球质量的

(1.90X10%)4-(5.98X10")倍.

2424

,24、(见、1.90xl01.9010

(1.90X10〃)+(5.98X1。/)=-----------------=0.318X103

5.98xlO215.981021

这也是本节课的研究方向：单项式除以单项式

二、学生动手，得到法那么：

1.仿照上述的计算方法，计算以下各式：

[1)8a34-2a(2)5x3y-?3xy(3)12a3b2x3H-3ab2

2.分析特点：〔1〕单项式相除是在同底数嘉的除法根底上进行的。

(2)单项式除以单项式可以分为系数相除；同底数幕相除，只在被除式里含有的字母三局部

运算.

3.得到结论：单项式相除，(1〕系数相除，作为商的系数；(2〕同底数幕相除；(3)对于只在

被除数式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。

三、稳固练习：

1.计算：⑴28x4y24-7x3y(2)-5a5b3c4-15a4b

⑶(2x2y)J,[-7xy2)4-14x4y3⑷5(2a+b)44-(2a+b)2

2.计算：(1)6x7y5z4-16x4y5(2)(-Q.5a3b)5^-(-^a3Z?)2

(3)-tz5/?3^(--«3Z?).(-3«)2(4)5x3y2+(—15孙)

24'

(5)(6x4j3z4-3x2j2)3

3.化简求值：求以下十+卜3,十‘,2+？%,?)]｝的值，其中％=一工y=3.

四、小结：

1.单项式的除法法那么：单项式相除，(1〕系数相除，作为商的系数；(2〕同底数嘉相除；(3)

对于只在被除数式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。

2.应用单项式除法法那么应注意：

①系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号；

②把同底数基相除，所得结果作为商的因式，由于目前只研究整除的情况，所以被除式中某一字母

的指数不小于除式中同一字母的指数；

③被除式单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏；

④要注意运算顺序，有乘方要先做乘方，有括号先算括号里的，同级运算从左到右的顺序进行.

五、作业

课本104页练习2题

课题：整式的除法(第三课时)

教学目标：单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法那么及其应用和

它们的运算算理，开展有条理的思考及表达能力，提倡多样化的算法，培

养学生的创新精神与能力.

教学重点：单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法那么及其应用。

教学难点：单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法那么及其应用。

教学过程：

一、回忆单项式除以单项式法那么：

单项式相除，(1〕系数相除，作为商的系数；(2〕同底数基相除；(3)

对于只在被除数式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。

二、学生动手，探究新课：

1.计算以下各式：(1)(am+bm)4-m；(2)(a2+ab)4-a；

(3)(4x2y+2xy2)4-2xy.

2.提问：①说说你是怎样计算的②还有什么发现吗？

3.分析：以(am+bm)4-m为例：

(am+bm)+m

=(am+bm)x—除法转化成乘法

m

=--------乘法分配律

4.总结法那么：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.

5.本质：把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式。

三、学以致用：

1.计算：(1)(12a3-6a2+3a)4-3a；

(2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)4-(-7x2y)；

(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]4-2x

[4[(-3xy)2%3-2x2(3xy2)3-^-9x4y2

⑸[(x+2y)(x-2y)+4(x-j)26x

2.化简求值：x-2y=2008，求[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]+8x的值

四、小结：

1.单项式的除法法那么

2.应用单项式除法法那么应注意：

①系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号；

②把同底数基相除，所得结果作为商的因式，由于目前只研究整除的情况，所以被除式中某一字母

的指数不小于除式中同一字母的指数；

③被除式单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏；

④要注意运算顺序，有乘方要先做乘方，有括号先算括号里的，同级运算从左到右的顺序进行.

⑤多项式除以单项式法那么：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把

所得的商相加.

五、作业

课本习题14.1第6题

平方差公式

教学目标：经历探索平方差公式的过程.会推导平方差公式，并能运用公

式进行简单的运算，培养学生观察、归纳、概括的能力.

教学重点：平方差公式的推导和应用.理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.

教学难点：平方差公式的推导和应用.理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.

教学过程：

一、学生动手，得到公式：

1.计算以下多项式的积.

(1〕(x+1)(xT〕〔2〕〔m+2〕(m-2)

[3[(2x+l〕(2xT)(4)(x+5y](x-5y)

2.提出问题：

观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？

3.特点：等号的一边：两个数的和与差的积，等号的另一边：是这两个数的平方差。

4.得到结论：

〔a+b〕(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

即(a+b)(a-b)=a2-b2【1】

、学以致用：

1.以下哪些多项式相乘可以用平方差公式?

(1)(2a+31)(2」—3b)(2〕(-2a+3b)(2a-3b)

(3)(-2a+3b)(-2a+3b)(4)(—2a-3b)(2a-3b)

(5)(a+b+c)(a-b+c)(6〕｛a-b-c)(a+b-c)

2.认清公式：在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的集团是a,变号的是b

三、直接运用：

1.计算：(1〕(3x+2)(3x-2)[2)(b+2a〕(2a-b)

(3)(-x+2y)(-x-2y)

2.简便计算：

(1)102X98[3]⑵[y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

3.计算：(1)(—x—2y)(—2y+x)⑵(2x+5)(5—2x)

[3[(0.5—%)(x+0.5)(x"+0.25)(4〕(x+6)2—(x—6)~

[5[100.5X99.5(6)99X101X10001

四、提高训练：

1.证明：两个连续奇数的积加上1一定是一个偶数的平方

2.求证：(m+5尸—(根—7/一定是24的倍数

五、作业

课本习题14.2第1题

课题：1422完全平方公式(第一课时)

教学目标：完全平方公式的推导及其应用.完全平方公式的几何解释.视

学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力.

教学重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用。

教学难点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用。

教学过程:

一、提出问题，学生自学：

1.问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a•a,那么[a+b)2应该写

成什么样的形式呢？[a+b)z的运算结果有什么规律？计算以下各式,

你能发现什么规律？

⑴(p+1)2=(p+1)〔p+1〕=；〔m+2〕2=.

⑵(p-1)2=(p-1](p-1)=；〔m-2)2=.

22

2.得到结果：(1)(p+1)=(p+1)(p+1)=p+2P+l

[m+2)2=〔m+2)(m+2)=m2+4m+4

(2)(p-1)2=(p-1](p-1)=p2-2p+l

(m-2)2=(m-2](m-2=m2-4m+4

3.分析推广：结果中有两个数的平方和，而2P=2・p・l,4m=2-m-2,

恰好是两个数乘积的二倍。〔1〕〔2)之间只差一个符号。

推广：计算(a+b)2=(a-b)2=

二、得到公式，分析公式：

1.结论：(a+b)Ja^+Zab+bZ(a-b)2=a2-2ab+b2

即：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.

2.几何分析：图[1),可以看出

大正方形的边长是a+b,它是

由两个小正方形和两个矩形

组成，所以大正方形的面积明⑴

困⑵

等于这四个图形的面积之和.

三、运用公式直接运用：

1.应用完全平方公式计算：

[1)(4m+n)2(2)(y--)2(3](-a-b)214)(b-a)2

2

2.简便计算：

m102212)992〔3[50.012(4〕49.92

四、附加练习：

1.计算：(1〕(4x-y)2〔2〕(3。7-4ab2c产

⑶(5x-)2=-10xy2+y4

(4)(3a+b)(-3a-b)(5)(x+-)2⑹(%--)2

xx

2.在以下多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？

(1)x2-4x+4(2)1+16/⑶x2-1

⑷X1+xy+y2⑸9x2-3xy+-^-y2

五、小结：

全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是

左边二项式中每一项的平方.而另一项为哪一项左边二项式中两项乘积的2倍.

六、作业

课本习题14.2第2题

课题：14.2.2完全平方公式(第二课时)

教学目标：完全平方公式的推导及其应用.完全平方公式的几何解释.视

学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力.

教学重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用。

教学难点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用。

教学过程:

一、回忆完全平方公式：

1.(a+b)2=a2+2ab+b22.(a-b)2=a2-2ab+b2

二、提出问题，解决问题：

1.在运用公式的时候，有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体，把另外一个多项式看作

另外一个整体。例如：(a+Z?+c)(a-b+c)和(a+b+c)2,这就需要在式子里添加括号。那

么如何加括号呢？它有什么法那么呢？它与去括号有何关系呢？

2.解决问题：在去括号时：ci+Cb+c)—ci+b+c(7—(Z?+c)—ci—b—c

反过来，就得到了添括号法那么:

〔1〕a+b+c—a+(b+c)(2)ci—b—c—ci—(b+c)

3.理解法那么：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号,

括到括号里的各项都改变符号.

也是：遇“加”不变，遇“减”都变.

4.运用法那么：

[1)a+b-c=a+(〕〔2〕a-b+c=a-(〕

⑶a-b-c=a-(〕(4〕a+b+c=a-()

5.判断以下运算是否正确.

⑴2a-b~—=2a-(b-—)(2〕m-3n+2a-b=m+(3n+2a-b]

22

(3)2x_3y+2=_(2x+3y-2)(4)a-2b-4c+5=(a-2b)-(4c+5)

6.总结：添括号法那么是去括号法那么反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后

代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法那么验证所添括号后的代数式是否正确.

三、在公式里运用法那么：

1.计算：[1)(x+2y-3〕〔x-2y+3)[2)[a+b+c)2

22

〔3)(x+3〕-x(4)[x+5)°-(x-2)(x-3)

2.计算：(1)(a-b+2c)2(2)(a+b+c)2-(a-b-c)2

四、两公式的综合运用:

1.如果止+36%+81是一个完全平方公式，那么左的值是多少？

2.如果4/+4x+36是一个完全平方公式，那么k的值是多少？

3.如果/一/=4,那么(了一y)2(X+丁)2的结果是多少？

4.a+b=5ab=1.5,求a?+82和①一人了的值X+J_=3,求好+乂_和(十一」了的值

xx~x

5.a+b=-lab=12,求a?+/-a/?和(。一人了的值

6.证明(2〃+1》—25能被4整除

五、小结：

利用添括号法那么可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算，灵活运用公式进行运算

六、作业

课本111页练习1题

提公因式法

教学目标：因式公解的概念，和整式乘法的关系，公因式的相关概念，用

提公因式法分解因式，学会逆向思维，渗透化归的思想方法.

教学重点：1.因式公；2.找公因式；3.提公因式法分解因式。

教学难点：1.因式公；2.找公因式；3.提公因式法分解因式。

教学过程：

一、提出问题，感知新知：

L问题：把以下多项式写成整式的乘积的形式

[1)x"+x=(2)x=-l=⑶am+bm+cm=_

2.得到结果,分析特点：根据整式乘法和逆向思维原理，

⑴x2+x=x〔x+U(2]x2-l=[x+U(x-1)[3)am+bm+cm=m(a+b+c〕

分析特点：等号的左边：都是多项式等号的右边：几个整式的乘积形式。

二、获得新知：

1.总结概念：像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分

解，也叫把这个多项式分解因式。

2.与整式乘法的关系：是整式乘法的相反方向的变形。

注意：因式分解不是运算，只是恒等变形O

形式：多项式=整式IX整式2・X••X整式n

3.强化训练：以下代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？

(1)X2-3X+1=X(x-3)+1；

(2)(m+n)(a+b)+(m+n)(x+y)=(m+n)(a+b+x+y)；

(3)2m(m-n)=2m2-2mn；(4)4x2-4x+l=(2x-l)2；

(5)3a2+6a=3a(a+2]；(6)%2-4+3x—(x-2)(x+2)+3x

(7)x+1=x(l+—)；(8)18a3bc=3a2b,6ac□

x

4.分解范围：在不同的范围内，分解的结果是不一样的。

如：——4,在有理数范围里是：(/+2)(——2)

在实数范围里是：(X2+2)(X+V2)(X-V2)

三、探究新知：

1.分析例题:(1)x2+x；(2〕am+bm+cm.

[1)中各项都有一个公共的因式x,

(2)中各项都有一个公共因式m,

2.因此，我们把每一项都含有的因式叫做：公因式。

3.认识公因式：

多项式147〃、2+7加〃-28加，3的公因式是什么？[是7"/〃)

4.找出公因式：

⑴4a2/—3仍2+8仍3°；⑵7(2x-3y)2-14(2%-3y)3+21(2%-3y)5；

⑶-：/+2孙-xz；⑷-10x3j2z3-35xy3z2+15x1yz.

四、作业

课本习题14.3第1题

公式法(第一课时)

教学目标：运用平方差公式和完全平方公式分解因式，能说出平方差公式

和完全平方公式的特点，会用提公因式法与公式法分解因式.培养学生的

观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法.并能说出提公因式在这类

因式分解中的作用，能灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分

解的标准。

教学重点：L平方差公式；2活运用方法分解因式。

教学难点：1.平方差公式；2活运用方法分解因式。

教学过程：

一、提出问题，得到新知：

1.观察以下多项式：X2-4W2-25,

问题：(1)它们有什么共同特点吗？(2)能否进行因式分解？你会想到什么公式?

2.总结：(1)它们有两项，且都是两个数的平方差；

(2)会联想到平方差公式。

公式逆向：a2-b2=(a+b\a-b)

如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可

以运用平方差公式分解因式.

二、熟悉，运用公式：

1.填空：

4

⑴4a2=(L⑵-b2=()2(3〕0.16a4=()2

9

⑷1.21a2b吐()2⑸2-X4=()2⑹5-x4y2=()2

49

2.以下多项式能否用平方差公式进行因式分解：

⑴-1.21/+0.0仍②〔2〕4a2+625/

⑶16%5-49/⑷-4x2-36y2

3.因式分解：(1)4X2-9；(2〕(X+p)2-(X-")2;

⑶x4-y4；⑷a3b-ab3.

三、稳固练习：

1.因式分解：(1)x-xy2

520

(3)(2x+3y)2-(3x-2y)2(4)5m2a4-5m2b,

⑸3xy3-3xy(6)a3-4b2-a-2b

(7)ax3-ax2+ax-a

2.简便计算：a)4292—17f；⑵5152X24-4852X24.

四、小结：

1.平方差公式：Q2=3+a(Q_B)

2.适用范围：它们有两项，且都是两个数的平方差。

3.和提取公因式的综合：

(1)如果多项式各项含有公因式，那么第一步是提出这个公因式.

(2)如果多项式各项没有公因式，那么第一步考虑用公式分解因式.

(3)第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，那么需要进一步分解因式.直

到每个多项式因式都不能分解为止.

五、作业

课本习题14.3第2题

公式法(第二课时)

教学目标：运用平方差公式和完全平方公式分解因式，能说出平方差公式

和完全平方公式的特点，会用提公因式法与公式法分解因式.培养学生的

观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法.并能说出提公因式在这类

因式分解中的作用，能灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分

解的标准。

教学重点：1.平方差公式；2.完全平方公式；

教学难点：1.平方差公式；2.完全平方公式；

教学过程：

一、回忆旧知识：

平方差因式分解：Q2=（q+b）（Q_b）

二、提出问题，得到新知：

问题：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，•分析和推测运用完全平方公式分解因

式吗？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？

1.能否把以下各式分解因式？（1〕a2+2ab+b2[2）a2-2ab+b2你会想到什么公式？

2.分析：整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘

法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.即：

3.公式特点：多项式是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或

这两个数的积的2倍的相反数。

三、熟悉运用公式：

1.以下各式是不是完全平方式？

[1)a2-4a+4⑵x2+4x+4y;⑶4a2+2ab+-b2

(4)a2-ab+b2[5)X2-6X-9[6)a2+a+0.25

2.分解因式：

⑴16X2+24X+9⑵-x2+4xy-4y2

3.分解因式：

[1[3ax2+6axy+3ay:⑵[a+b)-12(a+b)+36

四、稳固练习：

因式分解：(1)2/+4尤3+2/(2)ma1-4ma+4/n

(3)9(2a-&)2-6(2a-b)+l(4)16y2+40xy(a-b)+25x2(«-/?)

(5)2axi+8a盯+8«y2(6)a2-\-2ab-\-b~-a—b

五、作业

课本习题14.3第3题

课题：因式分解的复习

教学目标：掌握运用提公因式法、公式法分解因式，培养学生应用因式分解解决问题的能力.经历探索

因式分解方法的