江西省鹰潭市2024届高三第一次模拟考试数学试题（解析版）

鹰潭市2024届高三第一次模拟考试

数学试卷

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共4页.时间120分钟.满分

150分.

第I卷选择题

单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上.

z(l+i)=|l+A/3i|

1.若复数z满足,7।I,贝了=()

A.1-iB.1+iC.2-2iD.2+2i

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的模公式及复数除法法则即可得解.

【详解】因为卜

所以由z(l—i)=|l+6i],得2=二二2(；：)]+i

IIl-i(l-i)(l+i)

故选：B.

2.己知集合4={工|必—5x<6},集合5={x|行a},若贝匹的取值范围为()

A.(6,+oo)B.[6,+co)C.(-oo,-l)D.(-co,l]

【答案】A

【解析】

【分析】解一元二次不等式求出集合A及%A，根据集合的包含关系求出结果.

【详解】因为A={x|X?-5尤K6}={尤|尤2—5尤一6<0}={x|—1K尤«6},

44={%,<一1或%>6},

因为集合5={x|x»a},所以a>6,

故选：A.

3.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔(FlorenceNightingale)设计的，图中每个

扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小.某机构统计了近几年中国知识付费用户数量(单位：亿

人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（）

A.2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少

B.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多

C.2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增

D.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍

【答案】D

【解析】

【分析】利用题中所给的南丁格尔玫瑰图逐一考查所给选项，即可得解.

【详解】对于A,由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A错误；

对于BC,知识付费用户数量的逐年增加量分别为：

2016年，0.96-0.48=0.48；2017年，1.88-0.96=0.92；

2018年，2.95-1.88=1.07；2019年，3.56-2.95=0.61；

2020年，4.15-3.56=0.59；2021年，4.77-4.15=0.62；

2022年，5.27—4.77=0.5；

则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，

知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故BC错误；

对于D,由5.27>10x0.48,

则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D正确.

故选：D.

4.设。、〃是两条不同的直线，a、尸是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若。///?,alia,则M/aB.若。，少，aLa,bL（3,则

C.若。J_〃，a±/3,则a//aD.若。_L〃，alia,则a，，

【答案】B

【解析】

【分析】利用空间直线与平面，平面与平面的位置关系判断ACD,利用空间向量判断线面位置关系，从而

判断B,由此得解.

【详解】对于A,若allb,alia,则有可能故A错误；

对于B,若a，1，b1j3,则直线。力的方向向量。力分别为平面万法向量，

ii.c

又aLb，即。_LZn所以。工尸，故B正确；

对于C,若。，，，a±j3,则有可能autz,故C错误；

对于D,若alia,则有可能。＜=尸，故D错误.

故选：B.

5.某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样

本.其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159,男女人数之比为

5:3,则单位职工体重的方差为（）

A.166B,167C.168D.169

【答案】D

【解析】

【分析】利用分层抽样的平均数和方差公式即可得解.

【详解】依题意，单位职工平均体重为-x=564+13x56=61,

88

则单位职工体重的方差为S2=1+（64-61）1-1--^159+（56-61）J=169.

故选：D.

cosf6^+—|cos23

6.已知Oe［。,2］，tan［e+4）——3tan6,I2）_二（）

友sin［9+：］

133

A.——B.--C.3D.-

255

【答案】D

【解析】

【分析】利用正切的和差公式化简求得tan。=3,再利用三角函数诱导公式与三角恒等变换，结合正余弦

的齐次式法即可得解.

【详解】因为tan［，+巴］=_?tan，，所以则史史=_2tan8,

I4j31—tan。3

又0,],即tan6>0,解得tan6=3,

所以^

cos0+—cors20-sind(cos26*-sin26)

=-sin6(cos6-sin。)

sin0+cos6

-sin0cos61+sin261-tan61+tan20-3+323

sin261+cos20tan20+132+15

故选：D.

22

7.已知椭圆E：x+Jl（a〉》〉0）的左焦点为产，如图，过点尸作倾斜角为60°的直线与椭圆E交

—a7bT

于A,3两点，M为线段A5的中点，若53Ml=|0尸|（。为坐标原点），则椭圆E的离心率为（)

邪B20。•半

亍

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求出加点坐标，再利用点差法求得二，进而可得椭圆离心率.

a

【详解】依题意，椭圆的左焦点为歹（―c,0），怛叫=m。-=+,

过M作MM'Lx轴，垂足为W,由NM&W'=60。,

文，则M9V3、

----c,—c

1010

107

设，则有:=tan600=73,—9%+%—6

''-C,-C，

210210

噂+小++A-两式相减得也「+也「"

1

则有4=-"4M2=-年'/

a(^+x2)(x1-x2)_?c3

5

所以

故选：B.

8.在满足2<毛<上,球=短的实数对(4y)(z.=l,2,3,…中，使得%+%++%T<20%成

立的正整数”的最大值为()

A.22B.23C.30D.31

【答案】C

【解析】

InxIny.i

【分析】由球=力得一匚=-~],构造函数/(x)='n(rxN2),利用导数求得外力的单调性，求

得％的取值范围，结合不等式的知识即可得解.

In%.Iny.

【详解】因2<xz.<x，球'二y;，所以一

设/■(x)=g(x22),贝ir(x)=kl^,

XX

令/<x)>0,则2c无<e,令/'(尤)<0,则%〉e,

所以/(九)在(2,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减,

因为〃2)=/(4)=殍,2<苍<加/(%)=/(%),

所以2<%<e<%<4,

所以X+%++K-i>e(〃—1)，又先<4，20yn<80,

on

要使得％+K++”_1<20%成立，只需e(八一1)<80,即〃<1+—土30.4,

e

所以正整数九的最大值为30.

故选：C.

Inx.Iny.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由域=短变换得—=一上，从而得以构造函数

X-

/(x)=—(x>2),由此得解.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图所示，已知角生，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为A3,

M为线段AB的中点，射线与单位圆交于点C,贝U(

|叫

B.=cos^^

一上一一/a+B.a+(3

点C的坐标为卜。$2，sin2

a+BB-a.a+B.B-a

D.点A/的坐标为|cos------cos------,sin......-sin-------

2222

【答案】ABC

【解析】

【分析】由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断

C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D.

JT

【详解】对于A：因为Q<a<13<-,所以NAO5=〃—。，正确；

对于B：依题意”为线段A5的中点，则则NAOM=U-,

2

又|Q4|=1,所以QM=|OHCOSNAOM=COS2^,正确；

对于C：/为线段AB的中点，射线O河与单位圆交于点C,则C为A3的中点，

所以+,

22

又|OC|=1,所以点C的坐标为（cosWAsing3,正确；

%=g(无A+%B)=g(cosa+cos/7)=g(a+Ba—0、(a+B

对于D：COSI———l+cosl--^―

1ccBoc—BccB.cc—BccBcc—B.ccB.oc—B

=—cos----cos------sin-----sin----+cos----cos----+sin----sin...-

222222222

1a+Ba-Ba+Ba-B

=­•2cos----cos------=cos-----cos-----

22222

sin工+

%I2冒+可驾

1.ctBcc—Bct-\-B.cc—(3.ctBOL—BccB.oc—B

=—sin----cos----+cos----sin----+sin----cos------cos----sin...-

222222222

1..a/3oc—B.ctBa—B

=--2sin----cos----=sin----cos...-

22222

-a+BB-a.a+BP-oc\…

所以点M的坐标为cos"cos",sm"cos",错误.

[2222)

故选：ABC

10.一ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,S为_A5c的面积，且。=2,

ABAC=2A/35,下列选项正确的是（）

AA=i

B.若6=2,则—ABC只有一解

C.若，ABC为锐角三角形，则〃取值范围是(24,4]

D.若。为边上的中点，则AD的最大值为2+6

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A,直接解三角形可判定B,利用角的范围结合

正弦定理可判定C,利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定理、基本不等式可判定D.

【详解】对于A,因为A8.AC=2gs,所以灰?cosA=2Gx1bcsinA,则tanA=3,

23

因为Ae(O,7i),所以A=$,故A正确；

6

jr2冗

对于B,因为〃=2=〃，则3=A=—,C=—,故A5C只有一解，故B正确；

63

对于C,若为锐角三角形，则Cejo,^

71

0<B<

2jrjr

则<,则一＜3〈一，BPsinBG

32

0<7T-巴-2

由正弦定理可知：b=Z&=4sin3e（2j^4）,故C错误;

sinA'，

对于D,若。为边上的中点，则AD=g（AB+AC）,

所以AO?=:（痴+2AB.AC+AC?）=；（b2+c2+&c）

由余弦定理知CT^b2+c2-2bccosA^b~+c2-£bc=4，得/+c?=用be+4，

又人2+=Mbc+4＞2bc，所以6cW--忑=4A+8,

当且仅当人=0=应+痛时取得等号,

2[1]1—I

所以A。=—仅2+°2+屏4=—（4+2屉。＜—4+2^X（46+8）=7+46,

444--

即|AD|wg+4百=2+5故D正确.

故选：ABD.

jr

11.直四棱柱ABC。—A耳G2的所有棱长都为4,点P在四边形及其内部运动,

且满足|刚+归。|=8,则下列选项正确的是（）

A.点尸的轨迹的长度为兀.

B.直线AP与平面瓦所成的角为定值.

C.点P到平面ADXBX的距离的最小值为汉H.

7

D./科•PC1的最小值为-2.

【答案】BC

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，表示|可|+|尸q=8,化简后得点尸的轨迹方程，得轨迹长度判断A；向量

法求线面角判断B,向量法求点到平面距离，结合点P的轨迹得最小值判断C；坐标表示向量数量积，结合

点尸的轨迹最小值判断D.

【详解】直四棱柱ABC。-A4CR的所有棱长都为4,则底面A3CD为菱形，

7T

又ZBAD=-,则ZXABD和△CBD都是等边三角形，

3

设5。与AC相交于点。，由BDLAC,以。为原点，为x轴，为y轴，过。垂直于底面的直

线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则有A(2指,0,0),5(0,2,0)，4-26,0,0),。(0,—2,0),

4(2A/3,0,4),(0,2,4),C,(-273,0,4),(0,-2,4),

点P在四边形及其内部运动，设P(0,y,z),-2<y<2,0<z<4,

由I尸山+|尸。|=8,有J(2@2+y2+z2+卜@2+y2+z2=8，

即y2+z2=4(-2<y<2,0<z<2),

所以点尸的轨迹为yOz平面内，以。为圆心，2为半径的半圆弧，

所以点尸的轨迹的长度为2兀，A选项错误；

平面内的法向量为加=(1,0,0),AP=^-2y/3,y,z),

AP-ir\2J3J

直线AP与平面BDD^所成的角为氏则sin8=——\=

AP||m|J12+/+Z22

冗7T

又由，e0,-,则

_2J3

所以直线AP与平面所成的角为定值，B选项正确；

AB1=(-273,2,4),4^卜2石,—2,4),设平面AD内的一个法向量为〃=(x,y,z),

AB]•〃=_2迅工+2y+4z=0_/

则有《厂，令龙=2,得y=0,z=G，n—I2,0,v3I,

ADX-n--203X-2y+4z=0

lAP-nl1-273X2+A/3Z|1-473+

所以点P到平面AD^的距离d==/2㈣2=----布一，

0<z<2,所以z=2时，d=N+2，=2,

^7

所以点尸到平面A。耳的距离的最小值为2叵，C选项正确；

7

PA=(26-y,4-z),pq=/2百,—y,4—z),

PA・PG=-12+y2+(z—4『，其几何意义为点P(y,z)到点(0,4)距离的平方减12,

由/+z2=4,点p(%z)到点(0,4)距离最小值为4—2=2,

/弭•PG的最小值为2?-12=-8,D选项错误.

故选：BC

【点睛】方法点睛：

空间几何体中的相关问题，要利用好几何体本身的结构特征，点线面的位置关系，图形中的角度和距离

等，建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题，也是常用的方法.

第II卷非选择题

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.。：一：)的展开式中上的系数为______.

%-/x

【答案】-12

【解析】

【分析】由题意得的展开式通项,令厂—4=1，求出厂回代到通项公式中去即可求解.

%y

1辛裕八(2%一丁)61yl届开个,国币斗,

【详解】-~J的展开式通项为

4r4

=。6(2：(-V)=晨26fx-y-,(0<r<6,reN*)，

xyxy\)

由题意令厂一4=1，解得r=5,

所以-的展开式中)的系数为C，26T(_1)5=_6X2=—12.

x2/X6一

故答案为：-12.

13.已知抛物线尤2=16》的焦点为尸，P是。上的动点，过点产作直线丁=左(1—4)+4的垂线，垂足为

Q，则|PQ|+|尸产|的最小值为.

【答案】6

【解析】

【分析】先分析得Q的轨迹，再利用抛物线的定义，结合圆的性质数形结合即可得解.

【详解】如图所示，易知网0,4),直线丁=左"—4)+4过定点。(4,4),

因为世，。。，所以0在以ED为直径的圆上，

不妨设其圆心为E(2,4),显然半径|EQ|=2,

分别过瓦？作准线了=-4的垂线近0,/>6,垂足为M,G,|EM|=8

结合抛物线定义有归。|+归耳=|PQ|+|P6>|PE|-|Ee|+|PG|>\EM\-\E^6,

当且仅当Q、P均在线段EM上时取得等号.

故答案为：6.

14.已知函数〃尤)，g(x)的定义域为R,g'(x)为g(x)的导函数,且/■(x)+g'(x)-8=0,

2023

〃x—2)—g'(6—%)—8=0,若g(x)为偶函数，求.

n=\

【答案】16184

【解析】

【分析】先利用复合函数的导数与g(x)的奇偶性判断g")的奇偶性，进而推得g")与/⑺的周期性，再利

用赋值法求得了(2),/(4),/⑴+/(3)的值，从而得解.

【详解】因为g(x)是偶函数，贝ijg(—x)=g(x),

两边求导得—g'(—x)=g'(x),所以g'㈤是奇函数,故g'(0)=0,

由/(x)+g'(x)—8=0n/(x—2)+g'(x—2)—8=0n/(x—2)=8—g'(x—2),

代入了(九一2)—g'(6—%)—8=0,得8—g'(x—2)—g'(6—x)—8=0,

贝ijg—2)+g'(6—x)=0,所以g'(x+4)+g'(—x)=0,

又g'O)是奇函数，所以g'(x+4)=-g'(-x)=g'(x),

所以g'a)是周期函数，且周期为4,

又/(x)+g'(九)—8=0,可知/a)也是以4为周期的周期函数，

令x=4,得/(4)+g'(4)—8=/(4)+g'(0)—8=0,故*4)=8,

而g<2)=g'(2—4)=g'(—2)=—g'(2)所以g<2)=0,

令x=2,得/(2)+g<2)-8=0,则/⑵=8,

而八l)+g'⑴-8=0,/⑶+g'(3)—8=0,

又gQ)=g'(T)=-g'(l)，则/(1)+又3)=16,

2023

Zf⑺=505[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]+f(X)+/(2)+/(3)

n=l

=505x(8+16+8)+(8+16)=16184,

故答案为：16184.

【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：

(1)若〃x+a)+/(-x+Z?)=c,则函数/(尤)关于中心对称；

(2)若/(x+a)=/(—x+E),则函数/(%)关于x=对称；

(3)若/(x+a)=/(x—a),则函数/(%)的周期为2a；

(4)若/(x+a)=—〃力,则函数〃尤)的周期为2a.

四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

C1

15.设S”为数列｛4｝的前几项和，已知是首项为[、公差为§的等差数列.

(1)求｛4｝的通项公式；

n

(2)令“二(2"，"",7；为数列也｝的前〃项积，证明：Tn<6-'.

Sn

2

【答案】(1)an=n

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用等差数列定义可得"，再利用熊与禽的关系即可得解；

(2)由S”与a“可得以，从而利用累乘法得到7；,进而得证.

【小问1详解】

C1

因为/"是首项为:、公差为一的等差数列,

/+1）J23

11/nI

故~/---r=—।—（n—l）=­I—

乂“（77+l）23、736

即S「9/〃+l）=〃（2〃+?（〃+l）,

byo

当〃上2时，S.「（2〃T）5T）,

6

故sr-"⑵］（Y）n（2n—l）（n—l）

o6~

〃（2/+3〃+1-2〃2+3〃-1）2

—6~n’

3x2

当〃=1时，ax=Sx—........=1,符合上式,

6

故an=".

【小问2详解】

由…2,$/（2〃+1）（〃+1）,

"6

故“也¥6（2n-l）n26（2〃一1）〃

j76x1x16x3x26x5x36（2〃-1）〃6"

A"='2"=3x2'5x37x4（2«+l）（n+l）=（2n+l）（n+l）>

因为（2〃+l）（〃+l）»3x2=6,故7；q=6"T.

16.如图1,已知正三角形ABC边长为6,其中AD=2Z>5，AE=2EC>现沿着DE翻折，将点A翻

折到点A处，使得平面A5C,平面。BC,M为4C中点，如图2.

图1图2

(1)求异面直线AO与石川所成角的余弦值;

(2)求平面43c与平面DEM夹角的余弦值.

【答案】(1)上亚1

88

⑵叵

7

【解析】

【分析】(1)设。为BC的中点，结合图形翻折的性质推出40,平面。3C,从而建立空间直角坐标

系，求得相关线段长与相关点坐标，利用空间角的向量求法即可得解；

(2)分别求出平面4BC与平面DEM的法向量，根据空间角的向量法即可得解.

小问1详解】

取的中点为O,DE的中点为。，连接40,A'O',OO',

因为正三角形ABC中，AD=2DB，AE=2EC

2

所以DE//3C,DE=-BC,则四边形DECB为等腰梯形，

3

i^OO'±DE,OO'±BC；

由翻折性质可得AE=AD，幺'EC=ZA'DB,EC=DB,

则.AECM.AD3，A'C=A'5。是BC的中点，.•.A'OLNC,

平面ABC±平面DBC,平面48。1平面DBC=BC,40u平面A'BC,

.•.AO,平面。BC,又OO'u平面。3C,..AO,OO'

以点。为坐标原点以OCOO',O4所在直线为羽％z轴，建立空间直角坐标系，

则一ADE为正三角形，边长为4,则AO'LDE,

..AO'=2收OC=OB=3,OO'=6

在，400,中，由勾股定理得0A=4(26丫一(布丫=3，

二4(0,0,3),0卜2,6,0)闾2,忘0)03,0,0),“&,()]

则AfD=^—2,A/3,—3^,EM=f——A/3,—j,

ADEM13A/22

:.cos(ArD,EM)=

88

异面直线所成角的取值范围为0,3

••・异面直线AD与EM所成角的余弦值为上亚1.

88

【小问2详解】

由⑴得可―2,后0）,E（2,73,0）,MQ,0,|

.■.DE=（4,O,O）,DM=K-V3,|1

易得平面43c的一个法向量为加=（0,1,0）,

设平面DEM的法向量为5=（羽y,z）,

4x=0

DE•〃二0

则〈即《令2=2,则〃=仪,百,2）,

DM•〃二0后y+|z=Q

6二后

/.|cos(m,n)|=m〃

m|-|n

平面A'BC与平面DEM夹角的余弦值为卫-/TT.

7

17.2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.

魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行

改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红

色、黑色、白色小球的个数分别为2,3,4.乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,小明用左右手

分别从甲、乙两袋中取球.

(1)若左右手各取一球，求两只手中所取球颜色不同的概率；

(2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球(左

右手完成各取两球为两次取球)的成功取法次数的随机变量X,求X的分布列.

【答案】(1)1

(2)分布列见解析

【解析】

【分析】(1)根据给定条件，利用古典概型及对立事件的概率公式即可得解；

(2)求出X的可能取值，再求出各个值对应的概率，求出分布列即可得解.

【小问1详解】

记事件A为“两手所取的球不同色”，事件A是两手所取球颜色相同，

则p(l)=2X3+3X3+4X3=工，所以P(A)=x_P(I)=2.

9x933

【小问2详解】

依题意，X的可能取值为01,2,

5

左手所取的两球颜色相同的概率为c；+c；+C

18

右手所取的两球颜色相同的概率为c+c+c

-cj4

p（X=0）=（l-^）（l-1）=13313

一x—

18424

p（x=i）=Ax（1_l）+（1_A）xl=2_

18418418

p（X=2）=—x-=—

18472

所以X的分布列为:

X012

1375

p

2418五

18.已知在平面直角坐标系中，4：y=2x,Z2：y=-2x,平面内有一动点P,过P作。P〃/2交

乙于。，EP〃/1交4于E,平行四边形ODPE面积恒为1.

（1）求点尸的轨迹方程并说明它是什么图形；

（2）记P轨迹为曲线c,当P在y轴右侧且不在X轴上时，在y轴右侧的c上一点。满足

尤轴平分NPGQ,且PQ不与X轴垂直或PG是C的一条切线，求P。与乙，4围成的三角形的面积最小

值.

22

【答案】（1）炉―匕=1或匕—丁=1,图形为两组双曲线

44

32

⑵——

9

【解析】

联立直线的方程可得点石［，+；为，与+~］，进而根据点到直线的距离公式，结合三角形

【分析】（1）

面积公式即可化简得轨迹方程，

2

（2）根据。满足x轴平分NPGQ,确定尸在C：炉一21=1上，即可联立直线直线与双曲线方程，利

4

用相切可得直线方程为尸。：x=g，利用斜率之和可得直线尸。恒过定点即可设直线方程为

x=my+^^<m<^,联立直线间的方程可得坐标，即可由面积公式求解.

【小问1详解】

设点P（/，%）

则直线PZ）的方程为y-y0=-2（x-x0）,

%0,1

联立卜一%=—"A%）,解得<x=万/°

,即点E“0+1V%+丫

万+“。丁X。

A

yC十+八r（）

直线OP的方程为yox-xoy=0,

点E到直线0P的距离为d="Q+Z：］4年|

且QH=J%：+y；，

X

因此，SODPE=2SOPE=\OP\-d=^~^°^=V则4-x；=i或嫣一¥

,2,2

因此P：I2-^=1或炉=1,图形为两组双曲线.

【小问2详解】

由题，X轴平分NPG。，若尸在上—必=1上，则由于G在渐近线y=2左下方,GP无法与双曲线相切

4

且在y轴右侧最多一个交点，

故由对称性，PQ与左轴垂直，故舍去,

X|X）J

设。（石，乂），则PG与QG斜率和为o,33—

^~4X0~4

若PQ斜率不存在时，由题，则PG与C相切，设PG：y^k\x--

£=1联立得（4一左2）%2+|左2%一^左2—4=0,

与C：x2

由相切，令判别式为0,即：左,+4（4—左42+4]=0,解得左2=巧,

3k2

此时X=2i,所以PQ：x=-

°一2(左2_4)33

一为-Q3

P。斜率存在时，由33,得为为+%%=4(%+%)，则

V4x。-4

2、(,2、

41-五¥-41-九才4

IaI,3(…-才)=*「%)'

%%+玉)%3(%+%)

%=X

整理得4—4,故PQ恒过定点且其斜率的绝对值大于渐近线的斜率,

'-3%一

设PQ：x=mj+14l,与4交于M,与4交于N,

3

4

xm

N=yN+-

2X

yN=-N

QQ

联立解得'“二:rk，y=--―

3—omNom+3

则=当且仅当加=0,即P。斜率不存在时取等，

2333-12m339

故面积的最小值为J32

9

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何

特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可

首先建立目标函数，再求这个函数的最值.

19.设A是由机X几个实数组成的相行”列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该

行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.

（1）数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实

数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）：

123-7

-2101

表1

（2）数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均

为非负整数，求擎契。的所有可能值：

a1—ci-a1

2-a1-a2a—2a2

表2

（3）对由机X几个实数组成的施行〃列的任意一个数表A,能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每

行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由.

【答案】（1）答案见解析；

（2）。=0或。=—1

（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4