新高考新题型高三19题新定义题型（学生版）-2024年高考数学二轮复习

新高考新题型高三19题新定义题型精选

L题型解密■

[题目|1]在九义n(n>2)个实数组成的n行n列的数表中，Q句表示第i行第/列的数，记r~%+Q62H---卜时

(l<i<n),5=QI,+Q22T---FQ%(1Wn).若与e{—1,0,1}(1,且丁Wi。,…，金两两不

等,则称此表为“八阶H表"，记Hn={ri,r2,••Wi,。2,.

(1)请写出一个“2阶H表”；

(2)对任意一个“n阶H表"，若整数X6[―n,n],且40式，求证：久为偶数；

(3)求证:不存在“5阶H表”.

题目可已知整数山，九>3,集合Xu{(如为2,…,力九)IXiE{0,l},i=l,2,…,?i},对于Xn中的任意两个元素4

n

=@,电,…,。九)，B=(仇也,…也)，定义A与B之间的距离为d(A,B)=汇|七一印.若4,4,…,4neX九且

i=l

dCALyyudC/k>yh-uWAmT.Am)，则称是4,4,一、4«是"1中的一个等距序列.

(1)若4=(1,0,0,0),^2=(1,1,0,0),4=(0,1,1,0),4=(0,1,1,1),判断4,42,4,4是否是X4中的一布等距

序列？

⑵设4B,C是X3中的等距序列,求证：d(A,C)为偶数;

(3)设4,A2,…,41是中的等距序歹!],且4=(1,1,1,1),Am—(0,0,---,0),d(4,4)—5.求？n的最小

6个16个o

值.

•••

^■1］设A为非空集合，定义AxA={（C,g）陵,沙eA}（其中3y）表示有序对），称AxA的任意非空子

集R为A上的一个关系.例如A={0,1,2}时，AxA与{（0,0）,（2,1）}都是A上的关系.设五为非空集合

A上的关系.给出如下定义:①（自反性）若对任意，C4有（①㈤CR,则称R在A上是自反的;②（对称

性）若对任意Q,u）e凡有（“㈤CA,则称「在A上是对称的;③（传递性）若对任意（x,y）,（n，z）eR,有

Q,z）C五,则称五在A上是传递的.如果人上关系R同时满足上述3条性质，则称R为人上的等价关系.

任给集合S1,$2,…,Sa，定义S1US2U…U'为{，■eS1,或，e$2,或•…，或，CSm}.

（1）若人={0,1,2},问：人上关系有多少个？A上等价关系有多少个？（不必说明理由）

（2）若集合A有n个元素（n>l）,A的非空子集儿,儿,…,4”。<m<n）两两交集为空集，且力=4U儿

U…U4”,求证：R=（AxA）U（A2XA2）U…U（4„xAm）为人上的等价关系.

（3）若集合A有n个元素（九>1）,问:对A上的任意等价关系凡是否存在A的非空子集4,4,…,

（14小〈九），其中任意两个交集为空集，且A=4U4U--U4n，使得A=（4x4）U（A2XA2）U---U

（4»x4»）?请判断并说明理由.

■□已知集合A={ctiQ,…,a”}sCR,i=1,2,…，九并且九>2.定义T（A）=£1%—a/（例如g

|a厂&』=履一的|+血一£11|+|&3-（12］）.

⑴若集合4={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},M={1,2,3,4,5},集合A的子集N满足：N于M,且T（M）=T（N）,

求出一个符合条件的N；

（2）对于任意给定的常数。以及给定的集合A={5,a2,…,斯},求证:存在集合_8={仇也，…,勾},使得T

（B）=T（A），且。=仇+与+…；

（3）若集合A={^,02,满足：at<ai+1,i=1,2,•••,2m-l,m>2,a尸a,a2m=6,其中实数a,b为给定

的常数，求T（⑷的取值范围.

题目区在信息论中，嫡的加。口/）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息牖信源燧平均

自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件样本或特征.（燧最好理解为不确定性的量度而不

是确定性的量度，因为越随机的信源的焙越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，

比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（”商）定义为概率分

布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量,这个随机变量

的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即燧）.嫡的单位通常为比特，但也用Sh、nat.

用比计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷

一次硬币提供了ISh的信息,而掷m次就为小位.更一般地，你需要用log2n位来表示一个可以取n个值

的变量.在1948年,克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的燧，引入到信息论，因此它又被称为香农滴.而正是

信息燧的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设

想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量£所有取值为1,2,…,71,定义£的信息燧H（£）=—W>log2舄，

i=l

（与H=1,i=

（1）若n=2,试探索f的信息燧关于R的解析式,并求其最大值；

（2）若月=2=&，忌+产2忌依=2,3,…，"），求此时的信息嫡.

2

题目包中国是纸的故乡，折纸也是起源于中国.后来数学家将几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研

究几何学，很好的把折纸艺术与数学相结合.将一张纸片折叠一次，纸片上会留下一条折痕,如果在纸片上

按照一定的规律折出很多折痕后,纸上能显现出一条漂亮曲线的轮廓.如图，一张圆形纸片的圆心为点

A是圆外的一个定点，P是圆。上任意一点，把纸片折叠使得点A与P重合,然后展平纸片，折痕与直线

DP相交于点Q,当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹.

⑴证明：点Q的轨迹是双曲线；

（2）设定点A坐标为（2,0）,纸片圆的边界方程为Q+2y+峭=产.若点“⑵3）位于⑴中所描述的双曲线

上，过点M的直线I交该双曲线的渐近线于E,F两点，且点E,F位于y轴右侧，O为坐标原点,求岫OF

面积的最小值.

题目⑦“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含

丰富的数学内容，例如:用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)

步骤1：设圆心是在圆内异于圆心处取一点,标记为F；

步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点F；

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；

步骤4：不断重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的图形是一个椭圆.

现取半径为42的圆形纸片，定点尸到圆心E的距离为2n，按上述方法折纸.以向量屈的方向为立轴正

方向，线段EF中点为原点建立平面直角坐标系.

(1)求折痕围成的椭圆「的标准方程；

⑵已知点M是圆s2+y2=10上任意一点，过点M做椭圆r的两条切线，切点分别是求面积

的最大值，并确定此时点河的坐标.

注:椭圆：耳+g=l(a>6>0)上任意一点P(x0,y0-)处的切线方程是：号+等=1.

a2b1a2b2

题目包帕德近似是法国数学家亨利・帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数小,

九，函数/⑸在①=0处的［碎汨阶帕德近似定义为：RQ)="出上士Q,且满足：/(O)=7?(o),f

n

l+bi/H---|-6nT

(0)=4(0)，/(0)=4'(())•••,严+叫0)=用")(0).已知/㈤=inQ+1)在，=0处的［1,1］阶帕德近似

为码>注:产㈤=♦(诩'/'3)=［尸(诩"⑷3)=(初"⑸3)=［/⑷⑹'，…

⑴求实数a,6的值；

(2)求证：(x+b)f(—)>1；

(3)求不等式(1+?y〈eV(1+!y+'的解集，其中e=2.71828

题目回利用拉格朗日(法国数学家，1736-1813)插值公式，可以把二次函数FQ)表示成F(0=

d(c—6)(2一c)eQ—a)Q—c)f(x—a)(2一b)的形式

(a—b)(a—c)(b—a)(b—c)(c—a)(c—b)/工

⑴若a=Lb=2,c=3,d=4,eV/,把F{x}的二次项系数表示成关于/的函数G(f)，并求G⑺的值域

(此处视e为给定的常数，答案用e表示)；

/、什-、十d(b2—c2)+e(c2—a2)+/(a2—b2)

⑵右aVbVc,d>0,e<0,/>0,求证：a+b<---------------------------<b+c.

d\b—c)+e(c—a)+f(a—b)

题目也在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点)

A(n)：A，4,4,…，4与BS)：及，B.2,B3,…，3,其中九>3,若同时满足:①两点列的起点和终点分别

相同;②线段44+1J_BB+i，其中i=1,2,3,…，九―1,则称4(n)与B(n)互为正交点列.

⑴求43)：4(0⑵，4(3,0),4(5,2)的正交点列B⑶;

⑵判断力⑷：4(0,0)，4(3,1),4(6,0),4(9,1)是否存在正交点列项4)?并说明理由；

(3)V">5,九GN,是否都存在无正交点列的有序整点列4(九)？并证明你的结论.

［题目|11］已知无穷数列｛an｝的各项均为正数，当九<4时，％&与；当n>4时，an=max｛ai+an-i,a2

n4

+Q九_2,Q3+Q九—3,…,Q^T+QJ,其中max｛g,x2i63,…,g｝表示g,62,g,…,g这s个数中最大的数.

(1)若数列｛QJ的前4项为1,4,3,8,写出的值;

(2)是否存在。，外例产qN,使Qioo=PiQi+p2a2+P3Q3+P4Q4,且P1+2P2+3例+404=100?请说明理由；

fcG

(3)设bn="QL4Q九,证明：b4k+i>b4(fc+i)+pN(i=1,2,3,4).

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［题目［②对于数列Aai,a2,a3@eN*,i=1,2,3),定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：瓦也网,其中“=

|a「a"(i=1,2),且b3^\a3-ai\.这种“T变换”记作6=T(A),继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：

C1,c2,C3,依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束.

(1)写出数列426,4经过5次“T变换”后得到的数列；

⑵若5,a2,a3不全相等,判断数列Aaisg经过不断的"变换”是否会结束，并说明理由；

(3)设数列A400,2,403经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求看的最小值.

题目,已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是2°,接下来的两项是2°,2、再

接下来的三项是2。，21,22,依此类推.设该数列的前几项和为S”，

规定:若三馆CN*,使得Sm=2P(peN),则称m为该数列的“佳基数”.

(1)将该数列的“佳基数”从小到大排列，直接写出前3个“佳塞数”；

(2)试判断50是否为“佳幕数”，并说明理由；

(3)(i)求满足70的最小的“佳基数”

(弦)证明:该数列的“佳幕数”有无数个.

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题目@《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下,落下的水又逆流而上，荒

唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者,似乎他没发现什么不对劲.止匕时，他既

是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体,左塔上方是著名的“三立方体合体”由

三个正方体构成,右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）

图1图2

埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形AnBnCnDn,n=

1,2,3的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为g,将极点3Qi，分别与

正方形4显。2。2的顶点连线,取其中点记为%，&，巾=123,4,如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由

12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于

理解，图4我们构造了其中两个四棱锥Ai—PiEiRE2与A-P^F,

（1）求异面直线丹儿与QB成角余弦值；

（2）求平面打儿区与平面AXE2P2的夹角正弦值；

（3）求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）.

题目向五一小长假到来,多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客,小明去

成都某熊猫基地游玩时,发现了一个趣味游戏，游戏规则为:在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走

路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一

步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置,则视为胜利.

（1）若小明设定机器人一共行走4步,记机器人的最终位置与初始位置的距离为X步，求X的分布列和期

望；

（2）记”（ieN*）为设定机器人一共行走2i步时游戏胜利的概率，求自，并判断当i为何值时,游戏胜利的概

率最大；

（3）该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后,恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小

明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥,哥哥告

诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑:将几个。和n个1排成一排，若对任意的1WkW2rl，在前k

个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有吗-G二种，其中，6-01的结果被称

为卡特兰数,若记Pt为设定机器人行走2i步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明:对（2）中的p”有舄

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题目西离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数，集合X={1,2,…,p-1},若u,”ex,meNe

为切除以p的余数，小何为鹏除以2的余数；设&ex,1,al弋…,a'®两两不同，若废您=

b(nG{0,1,…,p—2}),则称?1是以a为底b的离散对数,记为n=log(p)a&.

(1)若°=ll,a=2,求Qi念；

(2)对mi,m2€{0,1,…,p—2},记皿㊉?ri2为皿+馆2除以0—1的余数(当皿+人能被「一1整除时，皿㊉

m2=0).证明：log(p)a(bg)c)=log(p)ab㊉log。)/,其中b,cGX；

kk

(3)已知n—log(p)ab.对力eX,kG{1,2,…,p—2},令%=a'®,y2=x^)b0.证明：%=统③式”⑶伪.

a12。13…QE)(bnb12b13…瓦九、

a

21。22。23…2n瓯匕22匕23…b2rl

题目17已知数表人(九,九)=a3i«32a-33…a3n,B(n,n)=如如履…b3n,C(n,n)

1Q?ii。九2a?i3…ann)Ibnibn2bn2…bnri)

'Cuc12C13•・5、

C21C22C23••c2n

C31C32C33,•C3rl，其中aij9bij9EN*,i,j&n)分别表示A(n,n),B(n,n),C(n,n)中第i行第，

ICnl

Cn2Cn3••Cnn>

列的数.若Ci—应也+Q四如H----Fa加%，则称C(n,n)是A(n,n),B(n,n)的生成数表.

⑴若数表42,2)=(81,B(2,2)=:20，且。⑵2)是A(2,2),B(2,2)的生成数表，求。(2,2)；

4315MJ

(2)对VneN*,九>3,

r41-142-l43-l-4n-l)如612v…3

6

2122232n1

O21O22w…b2n

2x+222+223+22"+2