江西省南昌市安义中学2024届高考数学一模试卷含解析

江西省南昌市安义中学2024届高考数学一模试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数/(x)=sin(a)x+0(o>O,O<0<%)的图象如图所示，为了得到g(x)=cosox的图象，可将九)的图象

A.向右平移B个单位B.向右平移三个单位

612

C.向左平移二个单位D.向左平移9个单位

126

2.已知函数/(x)=妲(xeR),若关于x的方程/(尤)-机+1=。恰好有3个不相等的实数根，则实数机的取值范

围为()

A.(丝」)D.(1,"+1)

C.(1,—+1)

e2e

3.如图，在正方体ABC。—44cA中，已知E、F、G分别是线段AG上的点，且4石=石尸=RG=GQ.则下

列直线与平面平行的是()

B

A.CEB.CFC.CGD.CCX

4.已知函数/（x）=孚土.下列命题：①函数/（x）的图象关于原点对称；②函数Ax）是周期函数；③当x=g时，

X+12

函数”X）取最大值；④函数/（X）的图象与函数＞=』的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（）

X

A.①④B.②③C.①③④D.①②④

5.一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出

去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为

（）

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

6.已知抛物线。：/=4内（.〉0）的焦点为口，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点,与V轴的正半轴交于

点S,与准线/交于点T,且|E4|=2|AS|,则:^=（）

I八I

27

A.-B.2C.-D.3

52

7.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、

艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“■一”表示一个阳爻，“■»■”表示一个阴爻）.若从含有两个及以上阳

爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）

22

C.D.

4

8.将一块边长为acm的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成

一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为72j5cm3,则。

的值为（）

(1)⑵

A.6B.8C.10D.12

9.已知函数/(%)=忙2］+«—2)e%—%(Z>0),若函数/(%)在XER上有唯一零点，贝"的值为()

A.1B.工或0C.1或0D.2或0

2

10.已知实数%。满足卜+丁-1«0,则z=x+2y的最大值为()

y^-1,

3

A.2B.-C.1D.0

2

11.若函数/(x)=xlnx—ox?有两个极值点，则实数。的取值范围是()

A.陷B.gjC.(1,2)D.(2,e)

12.在各项均为正数的等比数列｛%｝中，若%4=3,贝!|log3%+log34++log3«10=()

A.l+log35B.6C.4D.5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

STTSTT71

13.四边形ABC。中，ZA=——，NB=NC=——，ND=—,BC=2,则AC的最小值是.

6123

2

14.已知点歹为双曲线E：%=1@〉0)的右焦点，M,N两点在双曲线上，且M,N关于原点对称，若

7171

MFLNF,设ZMNF=0,且，e—,则该双曲线E的焦距的取值范围是_______.

126

15.若一组样本数据7,9,X,8,10的平均数为9,则该组样本数据的方差为.

16.若函数〃x)=ax+lnx(aeR)的图象与直线y=3x—l相切，则。=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设函数/(x)=7九e*-X?+3,其中WIGR.

(I)当/Xx)为偶函数时，求函数/?(%)=4(%)的极值;

(II)若函数/Xx)在区间［-2,4］上有两个零点，求心的取值范围.

18.(12分)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图(如

图所示)，规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败.

频率

晋级成功晋级失败合计

男16

女50

合计

(1)求图中。的值；

(2)根据已知条件完成下面2x2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？

(3)将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X,求X

的分布列与数学期望E(X).

2

,2n(ad—be),八

(参考公式：k=(a+,)(c+d)(q+c)S+d)，其中〃=a+b+c+d)

0.400.250.150.100.050.025

氏00.7801.3232.0722.7063.8415.024

19.(12分)已知曲线G：夕+=和。2：=(。为参数).以原点。为极点，x轴的正半轴

I6J2[y=V2sin^

为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.

(1)求曲线G的直角坐标方程和Q的方程化为极坐标方程；

(2)设a与％,y轴交于〃，N两点,且线段MN的中点为尸.若射线o尸与q,G交于P，。两点，求P，Q

两点间的距离.

20.(12分)如图，已知在三棱台ABC—AgG中，AC=2AB=2,BC=6A5I1BBy­

(1)求证：AB±CCX.

(2)过A5的平面ABDE分别交用C，AC于点。，E,且分割三棱台ABC-A31G所得两部分几何体的体积比

为VAAE-BBQ=%BC-BDG=4:3,几何体ABC-EDC］为棱柱，求4耳的长.

提示：台体的体积公式V=g(S'+JMM+S)/z(S',S分别为棱台的上、下底面面积，//为棱台的高).

21.(12分)在四棱椎尸—A3CD中，四边形ABC。为菱形，PA=5,PB=J石，A3=6,POLAD,O,E

分别为AD,AB中点.440=60。.

(1)求证：AC±PE；

(2)求平面POE与平面P9所成锐二面角的余弦值.

22.(10分)如图所示，在四棱锥尸-ABCD中，出工平面/^^底面”切满足人。〃叱,AP=AB=BC=-AD=2,

2

ZABC=90°,E为AO的中点，AC与5E的交点为O.

(1)设〃是线段3E上的动点，证明：三棱锥H-PCD的体积是定值;

(2)求四棱锥尸-ABCD的体积；

(3)求直线与平面尸3。所成角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

根据正弦型函数的图象得到/(x)=sin2x+1,结合图像变换知识得到答案.

【详解】

.,T7C7CTC

由图象知：—=-------=—=>T=7i,・・。二2・

212122

71

又x=一时函数值最大，

12

所以2x+夕=万+2k兀=>+2kji.又(p£(0,7T),

71

・・0=y,从而/(x)=sin(2x+y1,g(力=cos2x=sin(2%+^—sin2xH----H—

32123

只需将〃龙)的图象向左平移个单位即可得到g(X)的图象，

故选C.

【点睛】

已知函数y=Asin(<ur+0)+5(A>O,o>O)的图象求解析式

(1)IAl=>ax—mm,3=ymax+ymm.Q)由函数的周期7求0,T=2纥

1122m

(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求(P,一般用最高点或最低点求.

2、D

【解析】

讨论尤>0,x=Q,x<0三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.

【详解】

故竟，函数在W上单调递增，在；，+，|上单调递减，且”£|=答

当%>0时,

当％=0时，/(0)=0;

当x<0时，/(%)=互，/'(x)=一与芸<0,函数单调递减;

ex2dxe

如图所示画出函数图像，则0<加—1</［工］=叵，故机e(L叵+1).

\2J2e2e

故选：D.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.

3、B

【解析】

连接AC,使AC交6D于点。，连接4。、CF,可证四边形AOCE为平行四边形，可得AO〃CR，利用线面平

行的判定定理即可得解.

【详解】

如图，连接AC,使AC交8。于点。，连接4。、CF,则。为AC的中点,

在正方体ABCD-A4GA中，A4〃CG且A4]=CG，则四边形为平行四边形,

.1.A^C^UAC且4G=AC,

。、厂分别为ac、AG的中点，二4/〃oc且AR=oc，

所以，四边形为平行四边形，则CF〃4。，

CF.平面A#。，A。u平面48。，因此，c尸〃平面45。.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题.

4、A

【解析】

根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为R,最值点即为极值点，由/

知③错误；令g（x）=/（%）—-，在％>0和x<0两种情况下知g（x）均无零点，知④正确.

【详解】

由题意得：/（九）定义域为E,

sin（一X）：sinx

八）（-x）2+lx2+l=一/（x）,，/（可为奇函数，图象关于原点对称，①正确;

；y=sinx为周期函数，y=x2+1不是周期函数，，/（九）不是周期函数，②错误；

/、（X2+l）cosx-2xsinx（仃、（仃、

"1）2,1口不是最值，

③错误;

1

1.1sinx—x—

令Ag（x）=/（x）.L岑—

-XX+1XX+1

当x>0时，sinx<x9—>0,/.g（x）<0,此时/（x）与y」无交点;

XX

当x<0时，sinx>x9—<0,.\g（x）>0,此时/（x）与y」无交点;

X%

综上所述：/（X）与y=g无交点，④正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的

求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求.

5、D

【解析】

由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.

【详解】

4x+7y<50,

设购买甲、乙两种商品的件数应分别x,y利润为z元，由题意*z=x+L8y,

.x,yeN,

画出可行域如图所示，

【点睛】

本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断％,y是否是整数，是否是非负数，并准确的画出

可行域，本题是一道基础题.

6、B

【解析】

过点A作准线的垂线，垂足为与y轴交于点N,由|E4|=2|AS|和抛物线的定义可求得利用抛物线的性

112,,

质向+何=/可构造方程求得忸目，进而求得结果.

【详解】

过点A作准线的垂线，垂足为AM与V轴交于点N,

由抛物线解析式知：E（p,O）,准线方程为％=-

I砌=2阕，♦・.鬻=；，♦•・网|=；|叫=已喇=］，

419

由抛物线定义知：M司.•/As|=eM司=§p,；.|s耳=2°,

.•.网|=|S同=2p.

1121311,,

由抛物线性质］7石+五石=丁=一得：1+而后=一，解得：忸司=4〃，

\AF\\BF\2pp4p\BF\p11

.同一行.

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.

7、B

【解析】

基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率.

【详解】

解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，

取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的

基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个，

31

所以，所求的概率尸=二=一.

62

故选：B.

【点睛】

本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题.

8、D

【解析】

推导出PM+7W=a,且PM=PN,MN^—a，PM=2,设MN中点为。，则尸0,平面ABC。，由此能表

22

示出该容器的体积，从而求出参数的值.

【详解】

解：如图(4),APACV为该四棱锥的正视图，由图(3)可知，PM+PN=a,且PM=PN=巴,由APMN为等

2

腰直角三角形可知，

MN^—a,设MN中点为。，则尸0,平面A3CD,二PO=LMN=«2a,

224

解得a=12.

故选：D

【点睛】

本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.

9、C

【解析】

求出函数的导函数，当，>0时，只需/(—ln/)=o,即ln/二+l=0,令g⑺=ln/二+l,利用导数求其单调区间,

tt

即可求出参数f的值，当/=0时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断；

【详解】

解：•.•/(幻=得'+«—2)e'—x(Z>0),

f'(x)=2te2x+(7—2)e*—1=3—1)(2e，+1),.•.当/>0时，由f\x)=0得无=—Inf,

则/(x)在—In。上单调递减，在(-In/,y)上单调递增，

所以/(—In/)是极小值，.•.只需/(-In/)=0,

即3-；+1=。•令g⑺5-；+1,则g'(E+A。，.•.函数g⑴在(。收)上单

调递增.•••g(l)=O,.・"=1

当/=0时，f(x)^-2ex-x,函数/'(X)在R上单调递减，•••/⑴=—2e—1<0,/(-2)=2-2e-2>0,函数/Xx)

在R上有且只有一个零点，的值是1或0.

故选：C

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.

10、B

【解析】

作出可行域，平移目标直线即可求解.

【详解】

解：作出可行域：

由z=x+c2y得m，V=——1x+—1z

22

由图形知，丁=-工工+^2经过点时，其截距最大,

此2时最大

22

<y=x得,5,cf-,-1

x+y-l=O1〔22)

V=2

1

X———

当；2时，123

故选：B

【点睛】

考查线性规划，是基础题.

11,A

【解析】

试题分析：由题意得了'(x)=lnx+l—2以=0有两个不相等的实数根，所以尸(力=工-2。=0必有解，则。＞0,

且尸山〉0,...0＜aQ

考点：利用导数研究函数极值点

【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略

(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为。的点的左、右两侧的导数符号.

(2)已知函数求极值.求f，(x)—-＞求方程F(x)=0的根一-＞列表检验f，(x)在F(x)=0的根的附近两侧的符

号一一＞下结论.

(3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(xo,yo)处取得极值，则f，(xo)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号

相反.

12、D

【解析】

由对数运算法则和等比数列的性质计算.

【详解】

由题意logs。1+log3&2++log3aw=\og^axa2«10)

5

=log3(o5o6)=5log3(o5a6)=5log33=5.

故选：D.

【点睛】

本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则.掌握等比数列的性质是解题关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

&A/6+A/2

■1LJ、--------

2

【解析】

2sin—7i

在中利用正弦定理得出.八，进而可知，当时，人。取最小值，进而计算出结果.

AABC12AC=--------2=u

sinZCAB

【详解】

.5".(7C7l\.7C7C71.71n+行

sin——=sin——I——=sin—cos——Feos—sin—=----------,

12^46J46464

如图，在AABC中，由正弦定理可得W=.阮,

sinZBsmZCAB

[)

.5£

9述+后

即AC=U，故当NC45=工时，AC取到最小值为

-------2-2

sinZCAB

故答案为：丁

【点睛】

本题考查解三角形，同时也考查了常见的三角函数值，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.

14、[272,273+2]

【解析】

设双曲线的左焦点为广，连接MF；NF',由于所以四边形尸NE0为矩形，故|入加|=怛尸|=2°,由双

曲线定义INB|—|N尸|=|NP|—|FW|=2a可得,—管网外］，再求丁=&cos］，+的值域即可.

【详解】

如图，

设双曲线的左焦点为广，连接“‘，入/尸，由于所以四边形尸MM为矩形,

故|M7V|=.]=2c.

在RtAA/FM中|FN|=2ccosO.\FM|=2csin0,

由双曲线的定义可得

2=2a=\NF\-\NF|=|NF\-\FM\=2ccos6—2csin6=2y/2ccos(3+^]

1

Ceos]

卧畸牛呜Ml

二冬〈怯0sH〈日

.-.A/2<c<73+1,2点<2C<26+2.

故答案为：[272,273+2]

【点睛】

本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.

15、1

【解析】

7+9+X+8+10

根据题意，由平均数公式可得=9,解得x的值，进而由方差公式计算，可得答案.

5

【详解】

根据题意，数据7,9,x,8,10的平均数为9,

.7+9+x+8+10

则---------------=9,解得:x=ll,

则其方差S2=1[(7-9)2+(9-9)2+(11-9)2+(8-9)2+(10-9)2]=2.

故答案为：1.

【点睛】

本题考平均数、方差的计算，考查运算求解能力，求解时注意求出工的值，属于基础题.

16、2

【解析】

f'(x0)=<2+—=3

设切点4(%,%)由已知可得飞，即可解得所求.

/(x0)=axQ+lnx0=3XQ-1

【详解】

设4(%,为)，因为/'(x)=a+L所以a+—=3,即时=3/一1,又为%=3%-1.所以In%=0,

即%=1,a=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力，难度较易.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)极小值加-1)=一2,极大值/z(l)=2；(II)-2e<m<g或，〃=?

ee

【解析】

(I)根据偶函数定义列方程，解得加=0.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即得极值，(II)

2o

先分离变量，转化研究函数g(x)=±U，九q-2,4］,利用导数研究g(x)单调性与图象，最后根据图象确定满足

e

条件的机的取值范围.

【详解】

(I)由函数"X)是偶函数，得〃T)=〃X),

即nze^-(-x)2+3=mer-x2+3对于任意实数x都成立，

所以机=0.

此时/z(x)=(%)=-%3+3%,贝!!//(x)=-3x2+3.

由〃(九)=0,解得％=±1.

当x变化时，〃'(力与人(力的变化情况如下表所示：

X(-8,一1)-1(-M)1(L+8)

-0+0-

h{x)极小值7极大值

所以人⑺在1),。,内)上单调递减，在(-M)上单调递增.

所以h(x)有极小值/z(-l)=-2,h(x)有极大值/i(l)=2.

2_Q

(II)由/(力=冰'—f+3=0,得根=±二.所以“〃力在区间［—2,4］上有两个零点”等价于“直线y="与曲

e%

2「

线g(x)=土y-一3，2,41］有且只有两个公共点”.

e

对函数g(x)求导，得g，(x)=7+2x+3

由解得石=一

g'(x)=O,1,x2=3.

当x变化时，g'(力与g(x)的变化情况如下表所示:

X(-2,-1)-1(T3)3(3,4)

g'(x)-0+0-

g(x)极小值7极大值

所以g(x)在(―2,-1),(3,4)上单调递减，在(-1,3)上单调递增.

又因为g(—2)=e2,g(-L)=-2e,g(3)=g<g(-2),g(4)=：>g(—1),

ee

所以当-2e(加(号或m=g时，直线y=m与曲线g(x)==l,2,4］有且只有两个公共点.

eee

即当-2e<m<q或加=?时，函数/(九)在区间［-2,4］上有两个零点.

ee

【点睛】

利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

⑴利用零点存在的判定定理构建不等式求解.

⑵分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

18、(1)a=0.005；(2)列联表见解析，有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，E(X)=3

【解析】

(1)由频率和为1,列出方程求。的值；

(2)由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，

填写2x2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；

(3)由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，

知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.

【详解】

解：(1)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,

可知(2a+0.020+0.030+0.040)x10=1,

解得a=0.005；

（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25,

所以晋级成功的人数为100x0.25=25（人）,

填表如下：

晋级成功晋级失败合计

男163450

女94150

合计2575100

假设“晋级成功”与性别无关,

根据上表数据代入公式可得y=*黑需染'NG〉2。72,

所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；

（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为1-0.25=0.75,

将频率视为概率，

则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75,

所以X可视为服从二项分布，即X〜514,2

p(X=Q=C(q)(左=0,1,2,3,4),

故”=。）=0图°8=*,

“工川J假

P-2Y图I步装

"=3）同上）=喘

”"J(/2

所以X的分布列为:

X01234

1125410881

P(X=k)

256256256256256

3112541nsQ1

数学期望为后(乂)=4*'=3.或(E(X)=—x0+—xl+—x2+—x3+^x4=3).

4256256256256256

【点睛】

本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题.若离散型随机变量

XB(n,p),则矶乂)=码£)(力=吵(1-同.

19、(1)x+也y=6夕2=——^-―；(2)1.

l+2sin"0

【解析】

(1)利用正弦的和角公式，结合极坐标化为直角坐标的公式，即可求得曲线G的直角坐标方程；先写出曲线。2的普

通方程，再利用公式化简为极坐标即可；

(2)先求出的直角坐标，据此求得中点P的直角坐标，将其转化为极坐标，联立曲线G，02的极坐标方程，即

可求得RQ两点的极坐标，则距离可解.

【详解】

(1)G：夕sin(e+7)=方可整理为夕cos6+®sine=百，

利用公式可得其直角坐标方程为：x+^y=y/3,

22

x=v6COS(prv

c2：”的普通方程为L+上=1,

>=12sin062

6

利用公式可得其极坐标方程为夕92=

l+2sin-0

(2)由(1)可得G的直角坐标方程为％+君〉=百，

故容易得M(百,0),N(0,l),

'P1等'Bl，二OP的极坐标方程为夕=W，

把9=看代入夕sin[+5|=”得q=1,小>

把6=工代入夕2=—L-

得。2=2,

6l+2sin26>

***IPQ1=|夕2—夕11=1，

即P,。两点间的距离为L

【点睛】

本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的转化，涉及参数方程转化为普通方程，以及在极坐标系中求两点之间的距

离，属综合基础题.

20、(1)证明见解析；(2)2

【解析】

(1)在AABC中，利用勾股定理，证得又由题设条件，得到43,34,利用线面垂直的判定定理，证

得AB，平面BCC图1,进而得到AB±CQ；

(2)设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为〃，根据棱台的体积公式，列出方程求得得到

2

AB1

5,即可求解.

【详解】

(1)由题意，在AABC中，AC=2AB=2,5c=6,

所以462+5。2=人。2,可得

因为4与_134，可得A3,3男.

又由3CBB]=B,BC,BBXU平面BCCXBX，所以AB，平面BCCXB},

因为。。1匚平面5。。|耳，所以

(2)因为匕L^E-BBQ：C-EDCX=4:3,可得匕3C-AB1G:^ABC-EDQ=7:3,

令SAABC=S',S,8]G=S,

设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为人,

V-(s'+y/s'-s+s]-h

则VABC-AB©=3\)I，整理得6S'——S=O,

S'-h3

匕BC-Eg

AB]_

即6----J------1=0,解得J一二—即雨

S\SvS22

又由A3=l,所以4耳=2.

【点睛】

本题主要考查了直线与平面垂直的判定与应用，以及几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定

定理与性质定理，以及熟练应用几何体的体积公式进行求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

21、(1)证明见解析；(2)应匣.

91

【解析】

(1)证明4。_10£得到4。，平面20石，得到证明.

(2)以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,平面POE的一个法向量为〃2=(百,-1,0),平

面PBD的一个法向量为〃=(-4百,4,3百),计算夹角得到答案.

【详解】

(1)因为四边形ABC。是菱形，且4W=60。，所以AABZ)是等边三角形，

又因为。是AO的中点，所以5OLA。，又因为A3=6,AO=3,所以3。=36，

又PO=4,PB=匹,BO~+PO2=PB2,所以POLO3,

又PO_LAT),ADc->OB=O,所以尸01.平面ABC。，所以POJ_AC,

又因为ABC。是菱形，OEIIBD,所以ACJ_OE,又POOE=O,

所以AC，平面POE,所以AC，PE.

(2)由题意结合菱形的性质易知OPOP1OB,OArOB,

以点。为坐标原点，建立如图