浙江省杭州市2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（12月份）（含答案）

2023-2024学年浙江省杭州市江南实验学校九年级（上）月考数学试卷（12

月份）

一、选择题

1.（3分）已知3a=2b（而#0）,则下列比例式成立的是（）

A——3^ab「a=3nb3

2b32b2a2

2.（3分）一枚质地均匀的骰子六面分别标有1到6的一个自然数，任意投掷一次，向上一面的数字是偶数的

概率为（）

A.AB.Ac.AD.A

6234

3.（3分）将抛物线y=/向上平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（）

A.y=(x-4)2+lB.y=(x+1)2+4

C.y=(x+4)2-1D.y=(x-1)2-4

4.(3分)在△ABC中，NC=90。,sinA=-()

5

A.3B.Ac.3D.A

5543

5.（3分）已知一个扇形的圆心角为150°,半径是6,则这个扇形的面积是（）

A.15nB.IOTCC.5TID.2.5n

6.（3分）如图，ZkABC内接于OO,NC=45°,则。0的半径为（）

A.1B.2V2C.2D.V2

7.（3分）如图，在△ABC中，点。、E、方分别是边A3、AC.8C上的点，EF//AB,且AZ）：DB=1：2（

A.5：8B.3：8C.3：5D.2：3

8.(3分)A(-2,yi)、B(1,”)、C(2,*)是抛物线y=-2(x+1)?+左上三点，-，y2f*的大小关系

1

为（

A.yi>y3>y2B.y3>yi>y2C.yi>y2>y3D.y3>y2>yi

9.（3分）如图，在矩形ABC。中，AB<BC,尸分别在CO,边上，GC分别与BEBE交于尸鲤■=_1,

BC5

CE=CQ,则空=（）

CQ

A.2B.HC.AD.

48910

10.（3分）设二次函数y=〃（x+m）（x+m-k）（“VO,m,左是实数），贝!J（）

A.当无=4时，函数y的最大值为-Q

B.当％=2时，函数y的最大值为-2〃

C.当女=4时，函数y的最大值为-2〃

D.当k=2时，函数y的最大值为-〃

二、填空题

11.（3分）cos60°=.

12.（3分）某批青棵种子在相同条件下发芽试验结果如下表：

每次试验粒501003004006001000

数

发芽频数4796284380571948

估计这批青裸发芽的概率是.（结果保留到0.01）

13.（3分）若抛物线y=7-6x+c的顶点在x轴，贝1Jc=.

14.（3分）已知线段A8=4,点尸是线段A3的黄金分割点（AP〉8P）,则线段5尸的长为

15.（3分）如图，在扇形AOB中，ZAOB=60°0A=2«，C是窟的中点，交于点。，则阴影部分的面

积为

2

B

16.（3分）如图，以。为圆心，4为半径作圆，直径CZ5LAB于点X,点E为。。上一动点，则弦AB的长

度为;当点E在。。的运动过程中，线段F0的长度的最小值

为__________________.

三、解答题

17.有3张卡片，正面分别写着2,3,4,它们的背面都相同，先从中任意摸出一张，作为十位数字，再任意

摸出一张作为个位数字，组成一个两位数.

（1）请用树状图或列表法表示所有可能的结果.

（2）求组成的两位数为偶数的概率.

18.如图，无人机在塔树上方。处悬停，测得塔顶A的俯角为37°,树高CD为12米，无人机竖直高度PQ

为60米，且尸点到塔底B的距离比到树底C的距离多8米，求塔高的值.（参考数据：sin37。^0.60,

cos37°七0.80,tan37°仁0.75）

CPB

3

19.如图，AB为O。的直径，弦CZ）_LA2于点E,BC.

(1)求证：ZCAB=ZBCD；

(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.

20.如图，有一种复印纸，整张称为4纸，对折一分为二裁开成为42纸，一分为二成为小纸…，它们都是

相似的矩形.

（1）求31的值.

AB

（2）若Ai纸的周长为286厘米，求人2纸的周长.

21.拱桥具有稳固美观的特点，被广泛应用到桥梁建筑中.如图是某拱桥的截面图，目前水面宽度48的长为

6m.

（1）若将拱桥的截面近似看作半径为6%的圆弧，求弧的长.

（2）若将拱桥的截面近似看作二次函数图象，以水面所在直线为x轴，A为坐标原点，求出二次函数

的解析式，并求出水上涨1根后的水面宽度.

yk

A

4

22.如图，在△ABC中，AB^AC,作DE_LAC于E,尸是AB中点

（1）求证：AD2=AB'AE；

（2）若AB=4,AE=3,求石厂的值.

23.二次函数y=-7+&v+c的图象经过（3-2）,G+2,-2）两点.

（1）当r=l时，求该二次函数表达式.

（2）判断该函数与X轴有几个交点，并说明理由.

（3）若-5WyW-1时，有“zWxWw,求的最值.

24.锐角△ABC内接于O。，若。。上有一点。，连接AD交BC于点R且前=而.

（1）如图1,回答下列问题:

①求证：

②若点M在线段AF上（不与点A,点尸重合），点N在线段MF上（不与点〃，点E重合），ZACM=Z

BCN1=DN'DM.

(2)如图2,AB=AF=^AC

4

图1图2

参考答案与试题解析

一、选择题

5

1.（3分）已知3〃=2。（次?W0）,则下列比例式成立的是（）

A—3Rab3,——3nb3

2b32b2a2

【解答】解：：3a=26,

.•.包=9或2=2或上=3或且=3,所以。选项符合题意，A、B.

53aba2b3

故选：D.

2.（3分）一枚质地均匀的骰子六面分别标有1到6的一个自然数，任意投掷一次，向上一面的数字是偶数的

概率为（）

A.AB.Ac.AD.A

6234

【解答】解：一枚质地均匀的骰子六面分别标有1到6的一个自然数，任意投掷一次共有7种等可能结果,

所以向上一面的数字是偶数的概率为旦=旦，

62

故选:B.

3.（3分）将抛物线＞=/向上平移1个单位长度,再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为

A.尸（x-4）2+1B.y=（尤+1）2+4

C.y=（.r+4）2-1D.尸（x-1）2-4

【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0,平移后抛物线顶点坐标为（4,

又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：y=（x-3）2+1.

故选：A.

4.（3分）在△ABC中，NC=90°，sinA=2（）

5

A.旦B.AC.旦D.A

5543

【解答】解：由sinA=W＞知，如果设a=5x,

5

结合a2+b2=c3得Z?=4x；

/.tanA=A=_2£=jl.

b7x4

故选：C.

5.（3分）已知一个扇形的圆心角为150。，半径是6,则这个扇形的面积是（）

A.15nB.10nC.5nD.2.5TC

【解答】解：・.•扇形的圆心角为150。，半径是6,

3形=15H-

360

6

故选：A.

6.（3分）如图，△A8C内接于。0,NC=45°,则。。的半径为（）

A.1B.242C.2D.V2

【解答】解：连接AO,并延长交。。于点。，

VZC=45°,/.ZD=45°,

为。。的直径，：.ZABD=90°,

/.ZDAB=ZD=45",

\"AB=2,：.BD=2,

•'-AD=7AB2+BD2=724+22=5&，

/.QO的半径AO=£D=«.

7.（3分）如图，在△ABC中，点。、E、尸分别是边48、AC.BC上的点，EF//AB,且AO：DB=\：2（）

A.5：8B.3：8C.3：5D.2：3

【解答】M：'：DE//BC,

：./\ADE^/\ABC,

•AD=AE

"ABAC，

..AD=1

*DB~2

7

•••AE一_AD_2,

ACAB3

'.,EF//AB,

.,.△EFCS^ABC,

•••CF一_CE_2,

CBCA5

故选：D.

8.(3分)A(-2,yi)、B(1,经)、C(2,")是抛物线y=-2(x+1)?+左上三点，口，”，y3的大小关系

为()

A.yi>y3>y2B.y3>yi>y2C.yi>y2>ysD.y3>y2>yi

【解答】解：•••抛物线y=-2(x+1)2+左的开口向下，对称轴为直线x=-1,

而A(-2,y5)离直线尤=-1的距离最远，C(2,*)点离直线尤==-1最近，

故选：C.

9.(3分)如图，在矩形ABC。中，AB<BC,尸分别在CD,边上,GC分别与BF,BE交于尸旭=2,

BC5

CE=CQ,则皿=()

CQ

AFD

®

BC

A.旦B.工C.凶E.a

48910

【解答】解：连接尸。，

®AFD

BC

・・•四边形ABC。是矩形，

：.AB//CD,NBA尸=90°,

・•・AB—=—4f

BC5

・••设A3=3〃，BC=5a,

8

4BCE与ABFE关于直线BE对称，

：.BF=BC=5a,CQ=FQ,

•••AF=7BF2-AB2=«(5a)4-(4a，=6a,

.\DF=AD-AF=5a-3a=2a,

VCQ=CE,

：.CQ=FQ=FE=CE,

・・・四边形CQFE是菱形,

C.FQ//CE,

：.AB//FQ//CE,

•・•GQ-_-AF_3,a_3

CQDF2a2

・••设CQ=2Z,GQ=6k,

VCQ=CE,

；・NCQE=NCEQ,

*：AB//CD,

：.NABQ=NCEQ,

•：/CQE=/GQB,

：.ZGBQ=ZGQB,

；・BG=QG,

9：AB//FQ,

：.ZABF=ZBFQ,ZBGQ=NECQ,

•••△GBPs△。尸尸，

・GP=BG=GQ=2

**PQFQCQ-2，

:.GP=3GQ=法,

57

9k

•.•GP-_5_9,

CQ7k10

故选：D.

10.(3分)设二次函数y="(x+m)(x+m-k)(a<0,m,女是实数)，则()

A.当％=4时，函数y的最大值为

B.当％=2时，函数y的最大值为-2〃

9

C.当％=4时，函数y的最大值为-2〃

D.当女=2时，函数y的最大值为

【解答】解：由题意，令y=0,

(x+m)(x+m-k)=0,

.*.X2—-m,X2=-m+k.

・••二次函数(x+m)(x+m-k)与％轴的交点坐标是(-m,0),3).

...二次函数的对称轴是：直线x=F-m+k=-2m+k

26

Va<0,

有最大值.

当尤=用生时，y最大，

3

即y=a(-2m+k+M(-4m+k

22

-K)

23

=£

4

当左=3时，函数y的最大值为y=-4a；

当k=2时，函数y的最大值为y=-a.

综上，。选项正确.

故选：D.

二、填空题

11.(3分)cos60°=—.

—2—

【解答】解：cos60°=—.

2

故答案为：1.

2

12.(3分)某批青棵种子在相同条件下发芽试验结果如下表：

每次试验粒501003004006001000

数

发芽频数4796284380571948

估计这批青棵发芽的概率是0.95.(结果保留到0.01)

【解答】解：分别计算各次的发芽率,

10

里=0.94,

50

-^L=0.96,

100

空纭2.95,

300

笆”0.95,

400

且1-0.95,

600

948c7.95,

1000

估计这批青棵发芽的概率是0.95.

故答案为：0.95.

13.(3分)若抛物线y=7-6尤+c的顶点在x轴，则c=9.

【解答】解：根据题意，顶点在x轴上，

即位咨=解得。=9.

4X5口

14.(3分)已知线段AB=4,点尸是线段A8的黄金分割点(AP>BP),则线段2尸的长为6-2遥.

【解答】解：：点尸是线段A8的黄金分割点(AP>BP),AB=4,

：.AP=_6,

-3AB=V5-3^

22

：.BP=AB-AP=4-(277-2)=6-575，

故答案为：6-3A/5-

15.(3分)如图，在扇形AOB中，ZAOB=60°0A=2«，C是窟的中点，交OB于点D,则阴影部分的面

积为.

—22―

【解答】解：如图，连接oc.

VBC=AC-

ZBOC=ZAOC=1ZAOB=30°,

2

11

9：CD//0A,

：.ZDCO=ZAOC=30°,

:・/DOC=/DCO,

：.DO=DC,

VZ)T±OC,

；.0T=CT=n

・・・DT=OT・tan300=«X返=1,

7

・'・S阴=S扇形OBC-S/\CDO

2

^30nx(2V7)_i^X3

3603

=兀«

——,-----«

23_

故答案为：三江.

;

23

B

0A

16.(3分)如图，以。为圆心，4为半径作圆，直径COLAB于点”，点E为。。上一动点，则弦的长

度为」当点E在O。的运动过程中,线段F0的长度的最小值为2^-2.

D

【解答】解：连接04,AC,连接尸K,

•・•直径CDLA5于点H,

：.AB=2AHf

,・Q=4,0H=3,

12

22

AH=7OA-OH=7近，

:.AB=2AH=lM；

：sin/AOH=jjl=2迎=返,

AO48

ZAOH=60°,

,?OC^OA,

：.ZACO=ZCAO,

VZACO+ZCAO^ZAOH^6Q°,

ZACO=30°,

；NOKC=90°,

.•.OK=』OC=&,

22

VZACH=3Q°,ZAHC=90°,

.•.AC=2A8=8V§,

OK±AC,

；.K是AC中点，

VZAFC=90°,

.•.雁=工1。=2«,

7

'.'OF^FK-OK=8正-2,

二。产的最小值是8我-2.

故答案为：3«,274-2.

三、解答题

17.有3张卡片，正面分别写着2,3,4,它们的背面都相同，先从中任意摸出一张，作为十位数字，再任意

摸出一张作为个位数字，组成一个两位数.

（1）请用树状图或列表法表示所有可能的结果.

13

(2)求组成的两位数为偶数的概率.

【解答】解：⑴

(2)由(1)知是偶数的有24,32,42,

组成的两位数为偶数的概率为：4=2.

53

18.如图，无人机在塔树上方。处悬停，测得塔顶A的俯角为37°,树高C£＞为12米，无人机竖直高度PQ

为60米，且P点到塔底8的距离比到树底C的距离多8米，求塔高A8的值.(参考数据：sin37°-0.60,

cos37°心0.80,tan37°仁0.75)

CPB

【解答】解：如图：延长CD交G8于点E,延长交G8于点R

CPB

由题意得：CELGH,BFLGH,EQ=CP,

:。=12米，

14

；.DE=CE-C£>=48(米)，

在RtZkOEQ中，ZEQD=60°,

：.EQ=——=4L=16我，

tan60°v3

■:PB-PC=5,

：.QF-QE=S,

；3=QE+8=(16我+8)米，

在RtZkQ以中，ZFQA=31°,

：.AF^QF-tan31°^0.75(1678+8)米，

：.AB=BF-AF=60-0.15(1672+8)=(54-12五,

塔高AB的值为(54-1272)米.

19.如图，A8为。0的直径，弦CDJ_A8于点E,BC.

(1)求证：ZCAB=ZBCD；

(2)若A8=4,BC=2,求CD的长.

【解答】(1)证明：•.•直径AB，弦CD

：.NA=ZBCD；

(2)连接OC,

,直径AB,弦CD,

：.CE=ED.

:直径A8=4,

：.CO=OB=2,

•：BC=5,

...△OCB是等边三角形，

：.ZCOE=60°,

：.ZOCE=3Q°,

15

：.OE=1OC=5,

2

在RtZXCOE中,

CE=^22-52=M,

G9=7CE=2日.

20.如图，有一种复印纸，整张称为4纸，对折一分为二裁开成为泡纸，一分为二成为A3纸…，它们都是

相似的矩形.

(1)求地的值.

AB

(2)若4纸的周长为286厘米，求4纸的周长.

【解答】解：(1)「Al纸的长为A。，宽为AB,A2纸的长为A8,宽为皎,

4

•••4、上纸的长与宽对应比成比例，得铛■增，

ABAD

.•.胆=加；

AB

(2)'.•Ai纸的周长为286厘米,坦3；

AB

二泡纸的周长=286+a=143遍.

21.拱桥具有稳固美观的特点，被广泛应用到桥梁建筑中.如图是某拱桥的截面图，目前水面宽度48的长为

6m.

(1)若将拱桥的截面近似看作半径为6根的圆弧，求弧A3的长.

16

(2)若将拱桥的截面近似看作二次函数图象，以水面所在直线为无轴，A为坐标原点，求出二次函数

的解析式，并求出水上涨1机后的水面宽度.

【解答】解：(1)设圆的圆心为R,

•••圆的半径和长度相等，

则△042为等边三角形，

则窟=60。_X2nr=A,

3604

即弧AB的长为2m〃；

(2)由题意得，抛物线的顶点坐标为：(3,

设抛物线的表达式为：y=a(x-/1)3+k,

即y=a(尤-3)2+2.25,

解得：a=-0.25,

则抛物线的表达式为：-0.25(x-5)2+2.25,

如图，设EF=3,1),

即点尸的坐标代入抛物线表达式得：1=-5.25(x-3)2+5.25,

解得：x=3±V5>

则此时的水面宽为3+遍-(3-弧近(m),

即水上涨1m后的水面宽度为6炳m.

22.如图，在△ABC中，AB=AC,作DE_LAC于E,尸是AB中点

(1)求证：AD2^AB'AE；

(2)若AB=4,AE=3,求EF的值.

A

AK

BDC

17

【解答】(1)证明：于。，DE±AC^E,

：.ZADC=ZAED=90°,

,//DAE=ADAC,

.".^DAE^^CAD,

•AD=AE；

"CAAD，

:.AD2=AC-AE,

"：AC=AB,

:.AD2=AB-AE.

(2)解：如图，连接。尸，

由⑴得：AD2=AB-AE,AB=AC=4,

：.AD1=AB・AE=5X3=12,

:.AD=2炳(负值已舍)，

'：AB=AC,AD±BC,

:.BD=CD,

是AB的中点，

是△ABC的中位线，

.•.Z?P=_1AC=4,

2

：.ZFDE+ZAED=1SO°,

•：DELAC,

：.ZAEZ)=90°,

；.NFDE=90°,

在RtZ\AC£)中，CD=7AC2-AD2=V52-(2V2)21

在RtZkCDE中，CE=AC-AE=1,

32

；•EF=7DF5+DE2=V2+(V3)=小■

18

23.二次函数y=-x2+fcc+c的图象经过G,-2),G+2,-2)两点.

(1)当f=l时，求该二次函数表达式.

(2)判断该函数与x轴有几个交点，并说明理由.

(3)若-5WyW-1时，有机W尤Ww,求〃-机的最值.

【解答】解：(1)当f=l时，两点坐标分别为(1,(3,将这两点坐标分别代入二次函数y=-x2+6x+c中

得出：，-2=-8+b+c,解得6=%则二次函数表达式为y=-f+7x-5；

I-2=_9+2b+c

(2)该函数与x轴没有交点，理由如下：

r2

将两点坐标(3-2),-4)分别代入y=-/+笈+°,得出J—+tb+C="7,c=-(P+3/+2),