专题05 难点探究专题：全等三角形中的动态问题（解析版）

专题05难点探究专题：全等三角形中的动态问题考点一利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）考点二利用全等三角形中的动点求线段长问题考点三利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题考点四利用全等三角形中的动点综合问题典型例题典型例题考点一利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）例题：（2021·山东临沂·八年级期中）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当________个秒时，与全等．【答案】2或6或8【解析】【分析】分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC=BE，AB=BE进行计算即可．【详解】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，

AC=6，BE=6，AE=12-6=6，点E的运动时间为(秒)．②当E在BN上，AC=BE时，AC=6，BE=6，AE=12+6=18．点E的运动时间为(秒)．③当E在BN上，AB=BE时，AE=12+12=24.点E的运动时间为(秒)④当E在线段AB上，AB=BE时，这时E在A点未动，因此时间为秒不符合题意．故答案为：2或6或8．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1．（2021·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形中，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为_______时，和全等．【答案】2或11【解析】【分析】分两种情况讨论，根据题意得出BF=2t=4和AF=26-2t=4即可求得答案．【详解】解：∵为直角三角形，且AB=DC，∴当≌时，有BF=2t=CE=4，解得：t=2；当≌时，有AF=CE=4，此时=4，解得：，故答案为：2或11．【点睛】本题考查全等三角形的判定，注意到为直角三角形，且AB=DC，故只有BF=2t=4和AF=26-2t=4两种情况．2．（2019·江苏·镇江实验学校八年级阶段练习）已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=8cm，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．动点P以每秒2cm的速度从点B出发沿线段BC方向运动，动点Q同时以每秒8cm的速度从B点出发沿正方形的边BA-AD-DC-CB方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．连接PA，当t的值为___________________秒时，PAB和QAD全等．【答案】0.8秒或．【解析】【分析】分点Q在AB，AD，DC，BC边上这几种情况进行讨论，根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而列出方程求得t的值．【详解】解：①当点Q在边AB上时，如图1，∵AB＝AD，∠ABP＝∠DAQ＝90°，要使PAB和QAD全等，只能是PAB≌QDA，∴BP＝AQ，∵AQ＝8－8t，BP＝2t，∴8－8t＝2t，∴t＝0.8，②当点Q在边AD时，不能构成QAD，③当点Q在边CD上时，如图2，同①的方法得，要使PAB和QAD全等，只能是PAB≌QAD，∴BP＝DQ，∴2t＝8t－16，∴t＝，④当点Q在边BC时，QAD不是直角三角形，而PAB是直角三角形，所以，不能全等；即：当PAB和QAD全等时，t的值为0.8或，故答案为：0.8或．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题．考点二利用全等三角形中的动点求线段长问题例题：（2019·江苏·宜兴市周铁中学八年级阶段练习）已知：如图，∠B=90°AB∥DF，AB=3cm，BD=8cm，点C是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC⊥CE，若AC=CE,则DE的长为______.【答案】5【解析】【分析】根据全等得出对应边相等，即可得出答案.【详解】解：∵∠B=90°，AB∥DF，∴∠D=∠B=90°，∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，∴∠ECD+∠CED=90°，∠ACB+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠CED；∴在△ABC和△CDE中∴△ABC≌△CDE（AAS），∴AB=CD=3cm，∴DE=BC=8cm-3cm=5cm故答案为5.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．【变式训练】1．（2020·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习）如图，△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且满足DE=DH，F为AE的中点，G为直线AC上一动点，满足DG＝DF，若AE=4cm，则AG=_____cm．【答案】2或6.【解析】【详解】∵DE⊥AB，DH⊥AC，∴∠AED=∠AHE=90°.在△ADE和△ADH中，∵AD=AD,DE=DH,∴△ADE≌△ADH(HL),∴AH=AE=4cm.∵F为AE的中点，∴AF=EF=2cm.在△FDE和△GDH中，∵DF=DG,DE=DH,∴△FDE≌△GDH(HL),∴GH=EF=2cm.当点G在线段AH上时，AG=AH-GH=4-2=2cm;当点G在线段HC上时，AG=AH+GH=4+2=6cm;故AG的长为2或6.2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，AO⊥OM，OA=7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度____________．【答案】【解析】【分析】根据题意过点E作EN⊥BM，垂足为点N，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE并分析即可得出答案．【详解】解：如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，∴∠BAO=∠NBE，∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，∴AB=BE，BF=BO；在△ABO与△BEN中，，∴△ABO≌△BEN（AAS），∴BO=NE，BN=AO；∵BO=BF，∴BF=NE，在△BPF与△NPE中，，∴△BPF≌△NPE（AAS），∴BP=NP=BN，BN=AO，∴BP=AO=×7=．故答案为：．【点睛】本题考查三角形内角和定理以及全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形并灵活运用有关定理进行分析．考点三利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题例题：（2021·重庆八中八年级开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为________．【答案】【解析】【分析】在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE=EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．【详解】解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，又AE=AE，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴FE=EF′，∵S△ABC=AB•CH=AC•BC，∴CH=，∵EF+CE=EF′+EC，∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，明确当C、E、F′共线，且点F′与点H重合时，CE+EF的值最小．【变式训练】1．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在线段两侧作和，使，，为边上一点，满足，为直线上的动点，连接、．已知，，的周长为3.6，则的最小值为______．【答案】2.8【解析】【分析】在BC上取CD′=BD，连接AD′，证明△ACD′≌△ABD，得到AD′=AD，∠CAD′=∠BAD，从而证明△AED′≌△AED，得到D′E=DE，∠AED′=∠AED，过A作AF⊥BC，AF与BC交于点F，从而推断出BP+DP=BP+D′P最小值为P点与E点重合时，BP与D′P共线，BP+D′P=BD′，利用勾股定理求出BD′的长度即可．【详解】解：在BC上取CD′=BD，连接AD′，∵AC=AB，∴∠C=∠ABC，∵∠ABC=∠ABD，∴∠C=∠ABD，又CD′=BD，AC=AB，∴△ACD′≌△ABD（SAS），∴AD′=AD，∠CAD′=∠BAD，∴∠DAD′=∠BAC，∵2∠EAD=∠BAC=∠DAD′，∴∠D′AE=∠DAE，又AD′=AD，AE=AE，∴△AED′≌△AED（SAS），∴D′E=DE，∠AED′=∠AED，∴D′在直线BD上，过A作AF⊥BC，AF与BC交于点F，∵CD′=BD，D′E=DE，∴CD′+D′E+EB=BC=BD+DE+BE=3.6，∵P为AE上的动点，故BP+DP=BP+D′P最小值为P点与E点重合时，BP与D′P共线，BP+D′P=BD′，∵△ABC中，AB=AC=3，BC=3.6，AF⊥BC，AD′=AD=2.6，∴F为BC中点，即CF=BF=BC=×3.6=1.8，∴AF=，∴D′F=，∴BD′=BF+D′F=1.8+1=2.8，∴BP+DP的最小值为2.8，故答案为：2.8．【点睛】本题考查了最短路径问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键正确作出辅助线，利用全等三角形的性质得到相等线段．2．（2019·湖北·武汉大学附属外语学校八年级阶段练习）△ABC是边长为2的等边三角形，点P为直线BC上的动点，把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE，O为AB边上一动点，则OE的最小值为____．【答案】．【解析】【分析】根据题意连接EC，作CH⊥AB于H，首先证明CE∥AB，再求出平行线之间的距离即可解决问题．【详解】解：如图，连接EC，作CH⊥AB于H．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，∵∠PAE=∠BAC=60°，∴∠PAB=∠EAC，∵PA=EQ，BA=CA，∴△PAB≌△EAC(SAS)，∴∠ABP=∠ACE，∵∠ABP=180°﹣60°=120°，∴∠ACE=120°，∴∠BCE=120°﹣60°=60°，∴∠ABC=∠BCE，∴CE∥AB，∴点E的运动轨迹是直线CE(CE∥AB)，∵CB=CA=AB=2，CH⊥AB，∴BH=AH=1，∴CH，根据垂线段最短，可知OE的最小值=CH．故答案为：．【点睛】本题考查旋转变换和等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质和垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．考点四利用全等三角形中的动点综合问题例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在中，．点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），，连接．(1)如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的数量关系；(2)如图2，当点D在边的延长线上时，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由；(3)如图3，若点D在边的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，若，直接写出的长度．【答案】(1)CE+CD=BC，证明见解析(2)CE=BC+CD，证明见解析(3)CE=4【解析】【分析】（1）根据条件AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE+CD=BC；（2）根据已知条件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再根据BD=BC+CD，即可得到CE=BC+CD；（3）根据条件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，即可解决问题．(1)解：如图1，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BC=BD+CD=CE+CD，(2)线段BC，CD与CE之间存在的数量关系为BC=CE-CD．理由：如图2中，由（1）同理可得，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∴在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BD=BC+CD，即CE=BC+CD．(3)如图3，由（1）同理可得，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，即∠BAD=∠EAC，同理，△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∵CD=10，BC=6，∴DB=DC-BC=4，∴CE=4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．【变式训练】1．（2021·河南商丘·八年级期中）如图1，中，，，点、别在边、上，且//．(1)求证：；(2)围绕点旋转，使其一边落在线段上（如图2所示），连接、并延长相交于点．试求的度数．【答案】(1)证明见解析部分．(2)50°．【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及等腰三角形的性质证明∠ADE＝∠AED，推出AD＝AE即可解决问题．（2）证明△BAD≌△CAE（SAS），推出∠ABD＝∠ACE，可得∠BAD＝∠CMD＝50°．(1)证明：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝EC．(2)解：如图2中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ADB＝∠CDM，∴∠BMC＝∠BAD＝50°．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P．(1)观察猜想：1.AE与BD的数量关系为______；2.∠APD的度数为______；(2)数学思考：如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．【答案】(1)①AE＝BD；②60°(2)上述结论成立．∠APD＝60°，证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件只要证明△DCB≌△ACE，即可证明出AE于BD的数量关系，以及∠APD的角度；（2）根据△ACD，△BCE均为等边三角形，可知＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，进而可知∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，从而可证△DCB≌△ACE（SAS），则DB＝AE，∠CDB＝∠CAE，根据∠DCA＝∠DPA＝60°可证∠APD＝60°．(1)解：∵△ACD和△CBE都是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB，∴∠DCB=∠ACE，∴△DCB≌△ACE，∴AE=BD，∠BDC=∠CAE，又∵∠DOP=∠COA，∴∠APD=∠ACD=60°，故答案是：AE=BD，60°；(2)上述结论成立，∵△ACD，△BCE均为等边三角形，∴DC＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，∴∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS），∴DB＝AE，∠CDB＝∠CAE，如图，设BD与AC交于点O，易知∠DOC＝∠AOP（对顶角相等），∴∠CDB＋∠DCA＝∠CAE＋∠DPA，∴∠DCA＝∠DPA＝60°，即∠APD＝60°．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．课后训练课后训练一、选择题1．（2020·广西百色·八年级期末）如图，在长方形中，，，延长到点，使．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点运动．设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（

）A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．【详解】解：因为，若，，根据证得，由题意得：，所以，因为，若，，根据证得，由题意得：，解得．所以，当的值为1或7秒时．和全等．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定方法有：，，，，．2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，点B到AC的距离为2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（

）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】C【分析】在AC上截取AE=AN，连接BE，由AD平分∠CAB，可得∠EAM=∠NAM，然后根据SAS可证△AEM≌△ANM，可得MN=ME,然后根据BM+MN=BM+ME≥BE，可得当BE⊥AC，即BE是点B到AC的距离时，BM+MN的值最小，从而求得答案.【详解】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，∵AD平分∠CAB，∴∠EAM=∠NAM，在△AEM和△ANM中，∵∴△AEM≌△ANM(SAS)，∴MN=ME，∴BM+MN=BM+ME≥BE，当BE⊥AC，即BE是点B到AC的距离时,BM+MN的值最小，∵点B到AC的距离为2，∴BM+MN的最小值是2.故选：C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、点到直线的距离，通过构造全等三角形把MN转化成ME是解题的关键.二、填空题3．（2022·江苏南通·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC于点D，点E、F分别是线段AB、AD上的动点，且BE＝AF，则BF+CE的最小值为_____．【答案】【分析】过点作，使，连接，，可证明，则当、、三点共线时，的值最小，最小值为，求出即可求解．【详解】解：过点作，使，连接，，，，，，，，，当、、三点共线时，的值最小，，，，在中，，故答案为：．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，通过构造三角形全等，将所求的问题转化为将军饮马求最短距离是解题的关键．4．（2021·江苏盐城·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，点O是AB边的中点，点P是射线AC上的一个动点，BQ∥CA交PO的延长线于点Q，OM⊥PQ交BC边于点M．当CP＝1时，BM的长为_____．【答案】2.5或1【分析】如图，设BM=x，首先证明BQ=AP，分两种情形，利用勾股定理，构建方程求解即可．【详解】解：如图，设BM＝x，在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵QB∥AP，∴∠A＝∠OBQ，∵O是AB的中点，∴OA＝OB，在△OAP和△OBQ中，，∴△OAP≌△OBQ（ASA），∴PA＝BQ＝6﹣1＝5，OQ＝OP，∵OM⊥PQ，∴MQ＝MP，∴52+x2＝12+（8﹣x）2，解得x＝2.5．当点P在AC的延长线上时，同法可得72+x2＝12+（8﹣x）2，解得x＝1，综上所述，满足条件的BM的值为2.5或1．故答案为：2.5或1．【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．5．（2022·江苏·八年级单元测试）如图,在中,．点在直线上,动点从点出发沿的路径向终点运动;动点从点出发沿路径向终点运动．点和点分别以每秒和2cm的运动速度同时开始运动,其中一点到达终点时另一点也停止运动,分别过点和作直线于直线于．当点运动时间为___________秒时,与全等．【答案】2或6##6或2【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】解：如图1所示：与全等，，，解得∶；如图2所示：点与点重合，与全等，，解得∶；故答案为∶或．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．三、解答题6．（2022·江西吉安·七年级期末）如图，在长方形ABCD中，，动点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动：同时动点Q从点C出发，沿CD方向以2cm/s的速度向点D匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时．解答下列问题：(1)当点C在线段PQ的垂直平分线上时，求t的值；(2)是否存在某一时刻t，使?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由：【答案】(1)2(2)存在某一时刻t，使，t=1．【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，列出方程可求解；（2）证出，由全等三角形的性质可得，列出方程可求t的值．（1）解：由题意得，，∴，若点C在线段PQ的垂直平分线上，∴，即，∴；（2）解：存在某一时刻t，使．∵，，∴，∴，∴．又∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，一元一次方程的应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．7．（2021·江苏南通·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC上的动点，连接AD，点C关于直线AD的对称点为点E，射线BE与射线AD交于点F．（1）在图中，依题意补全图形，并求证：∠ABF=∠AEB；（2）记∠DAC＝α（α＜45°），求∠AFB的大小；（3）若AB=BD，猜想BE和AD的数量关系，并证明．【答案】（1）补全图见解析，证明见解析；（2）∠AFB＝45°；（3）AD＝BE，证明见解析【分析】（1）根据垂直平分线的性质求解即可；（2）根据三角形内角和定理计算即可；（3）连接DE，CE，AE，根据题意求得∠CAF＝22．5°，再证明△BED≌△ADC（ASA），即可得解；【详解】解：（1）补完图并小结如图所示；连接CE，AE，由题意可知，∵点C关于直线AD的对称点为点E，AF垂直平分CE，∴AC＝AE，∵AB＝AC，∴AB＝AE，∴∠ABF＝∠AEB；（2）如图，由题意可知，∠EAF＝∠CAD＝α，∴∠BAE＝90°﹣2α，在△ABE中，∠BAE+∠ABF+∠AEB＝180°，∴∠ABF＝∠AEB＝45°+α，∵∠AEB＝∠EAF+∠AFB，∠EAF＝α，∴∠AFB＝45°；（3）结论：AD＝BE；证明：如备用图，连接DE，CE，AE，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝45°，在△ABD中，AB＝BD，∠BAD＝∠BDA＝67．5°，∴∠CAF＝22．5°，由（2）可知，∠ABE＝∠ABC+∠CBF＝45°+α，∠ABC＝45°，∴∠CBF＝α＝22．5°，∴∠CAF=∠CBF，∵点C关于直线AD的对称点为点E，∴ED＝DC，∴∠EDF＝∠FDC＝∠BDA＝67．5°，∴∠BDE＝45°，∴∠BDE＝∠ACB，可证△BED≌△ADC（ASA），∴AD＝BE；【点睛】本题主要考查了几何综合变换，结合全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理证明是解题的关键．8．（2021·广西·柳州二十五中八年级期中）如图（1），AB=4cm，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为（s）．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当=1时，△ACP△BPQ是否全等？PC与PQ是否垂直？请分别说明理由；(2)如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB于A，BD⊥AB于B”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为cm/s，是否存在实数，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)△ACP≌△BPQ，线段PC与线段PQ垂直，理由见解析(2)存在或，使得△ACP与△BPQ全等【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由∠A=∠B，△ACP和△BPQ全等，则分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．（1）解：当t=1时，AP=BQ=1cm，∵AB=4cm，∴BP=AB-AP=3cm，又AC=3cm，∴BP=AC又∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）存在，理由：由题意，得AC=3cm，AP=tcm，BP=(4-t)cm，BQ=xtcm.①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，则，解得；②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，则，解得：；综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．【解答】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．9．（2021·江苏·南京钟英中学八年级期中）如图，在C中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动．(1)点P在上运动的过程中，当______时，与的面积相等；（直接写出答案）(2)点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求的度数；(3)若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段、的长度之和，即的值最小，则此时______．（直接写出答案）【答案】(1)当时，与的面积相等(2)45°或90°或67.5°或37.5°(3)5【分析】（1）根据题意可知当CP=6时，证△PCD≌△BCD（SAS），即可得出结论；（2）根据题意由（1）得：∠PCD=45°，分两种情况：①点P在AC上，若PC=PD，则∠PDC=∠PCD=45°，则∠CPD=90°；若DP=DC时，∠CPD=∠PCD=45°，若CP=CD，则∠CPD=∠CDP=67.5°；②点P在AD上时，存在DP=DC，则∠CPD=∠PCD，求出∠CDP=105°，由三角形内角和定理得∠CPD=37.5°即可；（3）由题意可知当M在CD上，且MP⊥AC时，MP最小，作MP'⊥BC于P'，则MP'∥AC，证△PCM≌△P'CM（AAS），得MP=MP'，CP=CP'，当点E、M、P'三点共线时，MP+ME的值最小，则EP'∥AC，由平行线的性质得∠BEP'=∠A=30°，由直角三角形的性质得BE=AB=6，BP'=BE=3，求出CP