河南省郑州市郑州经济技术开发区第四中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

河南省郑州市郑州经济技术开发区第四中学2023-2024学年八年级（下）期中数学试卷一.选择题（共10小题）1．（3分）下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．笛卡尔心形线 B．阿基米德螺旋线 C．科克曲线 D．赵爽弦图2．（3分）已知x＜y，则下列不等式成立的是（）A．x﹣2＞y﹣2 B．2x＞2y C．﹣2x+3＞﹣2y+3 D．﹣2x＜﹣2y3．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x2+2x+4＝（x+1）2+34．（3分）已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．1.5cm B．2cm C．2.5cm D．3cm6．（3分）今年2月，某种口罩单价，上涨3元，同样花费120元买这种口罩，涨价前可以比涨价后多买2个，设涨价后每个口罩x元，可列出的正确的方程是（）A．＝2 B．＝2 C．＝3 D．＝37．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（）A．10 B．12 C．9 D．68．（3分）如果不等式组无解，那么m的取值范围是（）A．m＞8 B．m≥8 C．m＜8 D．m≤89．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（）A．12 B．6 C． D．10．（3分）等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是（）①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝；④△BDE周长最小值是9A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二.填空题（共5小题）11．（3分）如果分式的值为0，那么x的值为．12．（3分）如图，∠C＝90°，将直角△ABC沿着射线BC方向平移5cm，得△A'B'C'，若BC＝3cm，AC＝4cm，则阴影部分的周长为．13．（3分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线都经过点A（3，1），当时，x的取值范围是．14．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠DCE的度数是°．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，AB的垂直平分线MN交AB于E，交AC于点D，将线段DC绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°），点C的对应点为点F，连接BF，BD．当△BDF为直角三角形时，BF的长为．三.解答题（共7小题）16．（6分）先化简，再求值：，其中a＝．17．（7分）在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在“格点”处．（1）在给定方格纸中，点B与点B'对应，请画出平移后的△A'B'C'；（2）线段AA'与线段CC'的关系是；（3）求平移过程中，线段BC扫过的面积．18．（7分）某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：实践探究活动记录表活动内容测量湖边A、B两处的距离成员ㅤㅤ组长：××ㅤㅤ组员：××××××××××××工具测角仪，皮尺等测量示意图说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C，可测量C处到A、B两处的距离，通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数．测量数据角的度数∠A＝30°∠B＝45°∠C＝105°边的长度BC＝40.0米AC＝56.4米数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，．（从记录表中再选一个条件填入横线）求：线段AB的长（为减小结果的误差，若有需要，取1.41，取1.73，取2.45进行计算，最后结果保留整数．）19．（8分）仔细阅读下面例题：例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为px+n，得x2+5x+m＝（x+2）（px+n），对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是x2+5x+m＝（x+2）（x+n）．则x2+5x+m＝x2+（n+2）x+2n，∴n+2＝5，m＝2n，解得n＝3，m＝6，∴另一个因式为x+3，m的值为6．依照以上方法解答下面问题：（1）若二次三项式x2﹣7x+12可分解为（x﹣3）（x+a），则a＝；（2）若二次三项式2x2+bx﹣6可分解为（2x+3）（x﹣2），则b＝；（3）已知代数式2x3+x2+kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．20．（8分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？（2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？21．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与PD的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝3，BC＝4，PA＝1，求线段DE的长．22．（10分）综合与实践﹣﹣探究特殊三角形中的相关问题问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角α＝时，△AMC是等腰三角形；（2）深入探究：敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；（3）再探究：在旋转过程中，当旋转角α＝30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积；（4）拓展延伸：在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．参考答案与试题解析一.选择题（共10小题）1．（3分）下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．笛卡尔心形线 B．阿基米德螺旋线 C．科克曲线 D．赵爽弦图【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．2．（3分）已知x＜y，则下列不等式成立的是（）A．x﹣2＞y﹣2 B．2x＞2y C．﹣2x+3＞﹣2y+3 D．﹣2x＜﹣2y【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时减去2，不等式仍成立，即x﹣2＜y﹣2，原变形错误，故本选项不符合题意；B、在不等式x＜y的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2x＜2y，原变形错误，故本选不项符合题意；C、在不等式x＜y的两边同时乘以﹣2，不等式的符号方向改变，即﹣2x＞﹣2y，在不等式﹣2x＞﹣2y的两边同时加上3，不等式仍成立，即﹣2x+3＞﹣2y+3，原变形正确，故本选项符合题意；D、在不等式x＜y的两边同时乘以﹣2，不等式的符号方向改变，即﹣2x＞﹣2y，原变形错误，故本选项不符合题意；故选：C．3．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x2+2x+4＝（x+1）2+3【解答】解：A．从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；D．从左至右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：C．4．（3分）已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，3﹣m＜0且m﹣1＞0，解得m＞3，m＞1，故选：A．5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．1.5cm B．2cm C．2.5cm D．3cm【解答】解：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝3cm，∴AB＝＝2cm＝AC，∵AB的垂直平分线EM，∴BE＝AB＝cm同理CF＝cm，∴BM＝＝2cm，同理CN＝2cm，∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm，故选：B．6．（3分）今年2月，某种口罩单价，上涨3元，同样花费120元买这种口罩，涨价前可以比涨价后多买2个，设涨价后每个口罩x元，可列出的正确的方程是（）A．＝2 B．＝2 C．＝3 D．＝3【解答】解：设涨价后每个口罩x元，可列出方程为：＝2．故选：B．7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（）A．10 B．12 C．9 D．6【解答】解：过D作DF⊥AB于F，∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD＝3，∴DF＝CD＝3，∵点E为AB的中点，AB＝12，∴BE＝6，∴△DBE的面积＝BE•DF＝×6×3＝9，故选：C．8．（3分）如果不等式组无解，那么m的取值范围是（）A．m＞8 B．m≥8 C．m＜8 D．m≤8【解答】解：因为不等式组无解，即x＜8与x＞m无公共解集，利用数轴可知m≥8．故选：B．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（）A．12 B．6 C． D．【解答】解：连接B'B，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴AC＝A'C，AB＝A'B'，∠A＝∠CA'B'＝60°，∴△AA'C是等边三角形，∴∠AA'C＝60°，∴∠B'A'B＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴∠ACA'＝∠BCB'＝60°，BC＝B'C，∠CB'A'＝∠CBA＝90°﹣60°＝30°，∴△BCB'是等边三角形，∴∠CB'B＝60°，∵∠CB'A'＝30°，∴∠A'B'B＝30°，∴∠B'BA'＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，∴AB＝12，∴A'B＝AB﹣AA'＝AB﹣AC＝6，∴B'B＝6，故选：D．10．（3分）等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是（）①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝；④△BDE周长最小值是9A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：连接OB、OC，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵点O是等边△ABC的内心和外心，∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（ASA），∴BD＝CE，OD＝OE，①正确；∴S△BOD＝S△COE，∴四边形ODBE的面积＝S△OBC＝S△ABC＝××62＝3，③错误；作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，∴DE＝OE，∴S△ODE＝•OE•OE＝OE2，即S△ODE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，∴S△ODE≠S△BDE；②错误；∵BD＝CE，∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝6+DE＝6+OE，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，∴△BDE周长的最小值＝6+3＝9，④正确．故选：B．二.填空题（共5小题）11．（3分）如果分式的值为0，那么x的值为2．【解答】解：由题意得：x2﹣4＝0，且x+2≠0，解得：x＝2，故答案为：2．12．（3分）如图，∠C＝90°，将直角△ABC沿着射线BC方向平移5cm，得△A'B'C'，若BC＝3cm，AC＝4cm，则阴影部分的周长为16cm．【解答】解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝5（cm），∵AA′＝BB′＝5cm，∴CB′＝BB′﹣BC＝5﹣3＝2（cm），∴阴影部分的周长＝AC+CB′+A′B′+AA′＝4+2+5+5＝16（cm）．故答案为：16cm．13．（3分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线都经过点A（3，1），当时，x的取值范围是0≤x＜3．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），由图象可知，当kx+b＞x≥0时，x的取值范围是0≤x＜3，故答案为：0≤x＜3．14．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠DCE的度数是50°．【解答】解：设∠O＝x°，∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠CDO＝x°，∴∠DEC＝∠DCE＝∠O+∠CDO＝2x°，∴∠BDE＝∠O+∠DEC＝x°+2x°＝3x°＝75°，∴x°＝25°，∴∠DCE＝2x°＝50°，故答案为：50．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，AB的垂直平分线MN交AB于E，交AC于点D，将线段DC绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°），点C的对应点为点F，连接BF，BD．当△BDF为直角三角形时，BF的长为2或．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴，∵AB的垂直平分线MN交AB于E，交AC于点D，∴MN⊥AB，EA＝EB＝AB＝2，DB＝DA，在Rt△AMD中，MN⊥AB，∠A＝30°，∴DE＝＝，，∴，，∵DF由线段DC绕点D顺时针旋转得到，∴，在Rt△BDF中，，，当BF为直角边时，，当BF为斜边时，，故答案为：2或．三.解答题（共7小题）16．（6分）先化简，再求值：，其中a＝．【解答】解：原式＝1﹣÷＝1﹣•＝1﹣＝＝﹣，当a＝﹣1时，原式＝﹣＝﹣．17．（7分）在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在“格点”处．（1）在给定方格纸中，点B与点B'对应，请画出平移后的△A'B'C'；（2）线段AA'与线段CC'的关系是平行且相等；（3）求平移过程中，线段BC扫过的面积．【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；（2）由平移可知：线段AA'与线段CC'的关系是平行且相等；（3）由图可知：线段BC扫过的部分为平行四边形BCC′B′，∴面积为5×3＝15．18．（7分）某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：实践探究活动记录表活动内容测量湖边A、B两处的距离成员ㅤㅤ组长：××ㅤㅤ组员：××××××××××××工具测角仪，皮尺等测量示意图说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C，可测量C处到A、B两处的距离，通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数．测量数据角的度数∠A＝30°∠B＝45°∠C＝105°边的长度BC＝40.0米AC＝56.4米数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝40.0米（答案不唯一）．（从记录表中再选一个条件填入横线）求：线段AB的长（为减小结果的误差，若有需要，取1.41，取1.73，取2.45进行计算，最后结果保留整数．）【解答】解：若选择的条件是：BC＝40.0米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△BCD中，∠B＝45°，BC＝40米，∴BD＝BC•cos45°＝40×＝20（米），CD＝BC•sin45°＝40×＝20（米），在Rt△ADC中，∠A＝30°，∴AD＝CD＝20（米），∴AB＝AD+BD＝20+20≈77（米），∴线段AB的长约为77米；若选择的条件是：AC＝56.4米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝56.4米，∴CD＝AC＝28.2（米），AD＝CD＝28.2（米），在Rt△BCD中，∠B＝45°，∴BD＝＝28.2（米），∴AB＝AD+BD＝28.2+28.2≈77（米），∴线段AB的长约为77米．19．（8分）仔细阅读下面例题：例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为px+n，得x2+5x+m＝（x+2）（px+n），对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是x2+5x+m＝（x+2）（x+n）．则x2+5x+m＝x2+（n+2）x+2n，∴n+2＝5，m＝2n，解得n＝3，m＝6，∴另一个因式为x+3，m的值为6．依照以上方法解答下面问题：（1）若二次三项式x2﹣7x+12可分解为（x﹣3）（x+a），则a＝﹣4；（2）若二次三项式2x2+bx﹣6可分解为（2x+3）（x﹣2），则b＝﹣1；（3）已知代数式2x3+x2+kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．【解答】解：（1）∵（x﹣3）（x+a）＝x2﹣3x+ax﹣3a＝x2+（a﹣3）x﹣3a＝x2﹣7x+12．∴a﹣3＝﹣7，﹣3a＝12，解得：a＝﹣4．（2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2+3x﹣4x﹣6＝2x2﹣x﹣6＝2x2+bx﹣6．∴b＝﹣1．（3）设另一个因式为（ax2+bx+c），得2x3+x2+kx﹣3＝（2x﹣1）（ax2+bx+c）．对比左右两边三次项系数可得：a＝1．于是2x3+x2+kx﹣3＝（2x﹣1）（x2+bx+c）．则2x3+x2+kx﹣3＝2x3﹣x2+2bx2﹣bx+2cx﹣c＝2x3+（2b﹣1）x2+（2c﹣b）x﹣c．∴﹣c＝﹣3，2b﹣1＝1，2c﹣b＝k．解得：c＝3，b＝1，k＝5．故另一个因式为x2+x+3，k的值为5．20．（8分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？（2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）x＝0.8x（元），根据题意得：＝﹣4，解得x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，且符合实际意义，0.8x＝16（元），答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；（2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个，则w＝（35﹣20）a+（25﹣16）（100﹣a）＝6a+900，∴w与a的函数关系式为w＝6a+900；②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，∴a≤（100﹣a），解得a≤，∵w＝6a+900，6＞0，a是正整数，∴当a＝33时，w最大，最大值为1098，答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元．21．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与PD的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝3，BC＝4，PA＝1，求线段DE的长．【解答】解：（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝PA，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝4﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴22+（4﹣x）2＝12+x2，解得：x＝，则DE＝．22．（10分）综合与实践﹣﹣探究特殊三角形中的相关问题问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°