专题04 动点相切与最值（解析版）

专题04动点相切与最值典例分析典例分析：典例1如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，12OB长为半径做⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线绕点典例1A．35°或70° B．40°或100° C．40°或90° D．50°或110°试题分析：设旋转后与⊙O相切于点D，连接OD，则可求得∠DBO＝30°，再利用角的和差可求得∠ABD的度数．答案详解：解：如图，设旋转后与⊙O相切于点D，连接OD，∵OD=12∴∠OBD＝30°，∴当点D在射线BC上方时，∠ABD＝∠ABC﹣∠OBD＝70°﹣30°＝40°，当点D在射线BC下方时，∠ABD＝∠ABC+∠OBD＝70°+30°＝100°，所以选：B．典例2如图，已知线段OP交⊙O于点B，且OB＝PB＝4，点A是⊙O上的一个动点，那么点B到直线AP距离的最大值为2典例2试题分析：如图，过点B作BH⊥AP于H，过点O作OT⊥AP于T．利用三角形中位线定理证明BH=12OT，求出答案详解：解：如图，过点B作BH⊥AP于H，过点O作OT⊥AP于T．∵∠BHP＝∠OTB＝90°，∴BH∥OT，∵BP＝OB，∴TH＝HP，∴BH=12当PA与⊙O相切时，OT＝4，此时BH的值最大，最大值为2，所以答案是：2．实战训练实战训练一．动点与相切1．如图，半圆O的直径DE＝10cm，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝10cm，半圆O以1cm/s的速度从右到左运动，在运动过程中，D、E点始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t＝0（s）时，半圆O在△ABC的右侧，OC＝6cm，那么，当t为1或6或11或26s时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．试题分析：分四种情形分别求解即可解决问题．答案详解：解：如图，∵OC＝6，DE＝10，∴OD＝OE＝5，CD＝1，EC＝11，∴t＝1或11s时，⊙O与直线AC相切；当⊙O′与AB相切时，设切点为M，连接O′M，在Rt△BMO′中，BO′＝2MO′＝10，∴OO′＝6，当⊙O″与AB相切时，设切点为N，连接O′N，同法可得BO″＝10，OO″＝26，∴当t＝6或26s时，⊙O与AB相切．所以答案是1或6或11或262．如图，在矩形ABCD中，AB＝43cm，AD＝12cm，动点P以每秒1cm的速度从点C沿折线C﹣D﹣A匀速运动，到点A运动停止．以P为圆心作半径为3cm的⊙P，当⊙P与对角线BD相切时，点P的运动时间为43-2或63s试题分析：由矩形的性质和直角三角形的性质得出∠ADB＝30°，∠BDC＝60°，分两种情况①当⊙P与对角线BD相切，点P在CD上时；②当⊙P与对角线BD相切，点P在AD上时；由直角三角形的性质即可得出答案．答案详解：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠A＝90°，CD＝AB＝43，∴BD=AB2+AD∴∠ADB＝30°，∠BDC＝60°，①当⊙P与对角线BD相切，点P在CD上时，如图1所示：设QD为E，连接PE，则PE⊥BD，∴∠DPE＝30°，∴DE=33PE＝∴PD＝2DE＝2，∴CP＝43-2∵动点P以每秒1cm的速度从点C沿折线C﹣D﹣A匀速运动，∴点P的运动时间为43-2②当⊙P与对角线BD相切，点P在AD上时，如图2所示：设QD为F，连接PF，则PF⊥BD，∵∠ADB＝30°，∴PD＝2PF＝23，∴CD+PD＝63，∵动点P以每秒1cm的速度从点C沿折线C﹣D﹣A匀速运动，∴点P的运动时间为63秒；综上所述，⊙P与对角线BD相切时，点P的运动时间为43-2（秒）或63所以答案是：43-2或633．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝1或3或5秒时，⊙P与坐标轴相切．试题分析：设⊙P与坐标轴的切点为D，根据已知条件得到A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），求得AB＝22，AC＝22，OB＝OC＝2，推出△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，①当⊙P与x轴相切时，②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，③当点P只与y轴相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论．答案详解：解：设⊙P与坐标轴的切点为D，∵直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（4，m），∴x＝0时，y＝﹣2，y＝0时，x＝2，x＝4时，y＝2，∴A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），∴AB＝22，AC＝42，OB＝OC＝2，∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，①当⊙P与x轴相切时，∵点D是切点，⊙P的半径是1，∴PD⊥x轴，PD＝1，∴△BDP是等腰直角三角形，∴BD＝PD＝1，PB=2∴AP＝AB﹣PB=2∵点P的速度为每秒2个单位长度，∴t＝1；②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，∵PB=2∴AP＝AB+PB＝32，∵点P的速度为每秒2个单位长度，∴t＝3；③当点P只与y轴相切时，∵PC=2∴AP＝AC+PC＝52，∵点P的速度为每秒2个单位长度，∴t＝5．综上所述，则当t＝1或3或5秒时，⊙P与坐标轴相切，所以答案是：1或3或5．4．如图，在平面直角坐标系中，A（0，23），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为43+6试题分析：作AH⊥BD于H，延长DB交y轴于E，如图，利用切线的性质得AH＝OB＝t，再利用等边三角形的性质得∠DBC＝60°，则∠OBE＝60°，所以OE=3OB=3t，AE＝2AH＝2t，从而得到23+3t＝2t答案详解：解：作AH⊥BD于H，延长DB交y轴于E，如图，∵⊙A与△BCD的边BD所在直线相切，∴AH＝OB＝t，∵△BCD为等边三角形，∴∠DBC＝60°，∴∠OBE＝60°，∴∠OEB＝30°，在Rt△OBE中，OE=3OB=3在Rt△AHE中，AE＝2AH＝2t，∵A（0，23），∴OA＝23，∴23+3t＝2∴t＝43+6所以答案是：43+65．如图，正方形ABCD的边长为8．M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为（）A．3 B．43 C．3或43 D．不确定试题分析：分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；答案详解：解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，∴x2＝42+（8﹣x）2，∴x＝5，∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝4，PM＝8，在Rt△PBM中，PB=82-综上所述，BP的长为3或43．所以选：C．二．圆中最值与相切6．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一过点C的动圆O与斜边AB相切于动点P，连接CP．随着切点P的位置不同，则圆O的半径最小值为（）A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．1.2试题分析：如图，作CP⊥AB于点P，当C、O、P在同一条直线上时半径最小，利用圆的切线性质得出⊙O的半径r的最小值，进而得出答案．答案详解：解：如图，作CP⊥AB于点P，当C、O、P在同一条直线上时半径最小，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=AC∵S△ABC=12AB•CP=12即5CP＝3×4，解得：CP=12即半径最小值为：1.2，所以选：D．7．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．3试题分析：取OP的中点N，连接MN，OQ，如图可判断MN为△POQ的中位线，则MN=12OQ＝1，则点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为答案详解：解：设OP与⊙O交于点N，连接MN，OQ，如图，∵OP＝4，ON＝2，∴N是OP的中点，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=12OQ=12∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．所以选：B．8．如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．若PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，则PT＝3．试题分析：根据圆的切线性质可得出△OPT为直角三角形，再利用勾股定理求得PT长度．答案详解：解：∵PT是⊙O的切线，T为切点，∴OT⊥PT，在Rt△OPT中，OT＝1，OP＝2，∴PT=OP故：PT=39．如图，在平面直角坐标系中，已知C（6，8），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为32．试题分析：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，根据勾股定理和题意求得OP＝16，则AB的最大长度为32．答案详解：解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，∵C（6，8），∴OC=62∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为6，∴OP＝OA＝OB＝16，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴AB长度的最大值为32，所以答案是32．10．如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC的最大值是（）A．2 B．12+3 C．2+1试题分析：延长AB到点D，使BD＝BC，则AB+BC＝AD，当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，则AE⊥AD，根据∠CDB＝45°，可得OC＝CE＝1，根据勾股定理可得OE的长，进而可得结论．答案详解：解：如图，延长AB到点D，使BD＝BC，则AB+BC＝AD，当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，则AE⊥AD，∵CB⊥l，∴∠DBC＝90°，∵BD＝BC，∴∠CDB＝45°，∵⊙O与直线l相切于点A，∴OA⊥l，∴∠OAD＝90°，∴∠AED＝45°，连接OC，则OC⊥DE，在Rt△OCE中，OC＝CE＝1，根据勾股定理，得OE=O∴AD＝AE＝AO+OE＝1+2则AB+BC的最大值是2+1所以选：C．11．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为3，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为3．试题分析：连接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如图，根据等边三角形的性质得到AB＝CB＝4，∠BCH=12∠ACB=12×60°＝30°，根据直角三角形的性质得到BH=12AB＝2，CH=32BC=32×4＝23，由切线的性质得到答案详解：解：连接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如图，∵等边三角形ABC的边长为4，∴AB＝CB＝4，∠BCH=12∠ACB=1∴BH=12AB＝2，CH=32BC=3∵PQ为⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，在Rt△CPQ中，PQ=C∵点P是AB边上一动点，∴当点P运动到H点时，CP最小，即CP的最小值为23，∴PQ的最小值为12-3所以答案是：3．12．如图①，半径为2的圆O外有一点P，且OP＝6，点A是⊙O上一点，则线段PA长的最大值为8，最小值为4；问题解决（2）如图②，在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，求线段PB的距离的最小值；（3）如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F为边AC上的动点，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，求线段PB的距离的最小值．试题分析：（1）根据三角形三边关系可得；（2）由PF＝CF＝2得，点P在以F为圆心，半径为2的圆上运动，由（1）结论可得；（3）设CF＝x，对应PB的最小值