2023-2024学年泸州市高中高一数学（下）期中考试卷附答案解析

2023-2024学年泸州市高中高一数学（下）期中考试卷（考试时间120分钟，试卷满分150分）2024.5第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）1．（

）A． B． C． D．2．为了得到的图象，只要将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度3．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则角C的大小为（

）A．45° B．105°或15° C．15° D．135°或45°4．在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C．1 D．55．如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（

）A． B．C． D．6．已知，，且，的夹角为，则（

）A．1 B． C．2 D．7．在中，若，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形8．已知向量，，满足，，，，则的最小值等于（

）A． B． C．4 D．二、多项选择题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案）9．下面关于空间几何体叙述正确的有（

）A．圆柱的所有母线长都相等 B．底面是正方形的棱锥是正四棱锥C．一个棱台最少有5个面 D．用一平面去截圆台，截面一定是圆面10．下列说法不正确的有（

）A．或B．C．已知，为非零向量，且，则与方向相同D．若，则与的夹角是钝角11．已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（

）A．是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递减C．是图象的一个对称中心 D．在区间的值域为12．已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，则下列说法正确的有（

）A．B．若D为边的中点，且，则的面积的最大值为C．若是锐角三角形，则的取值范围是D．若角B的平分线与边相交于点E，且的面积，则的最大值为第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分.）13．水平放置的的直观图如图所示，已知，，则边上的中线的实际长度为．14．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为（用坐标表示）．15．如图，在中，，是边上一点，，，，则.16．设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为.四、解答题：（本大题共6小题，共70分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量，．(1)若，求；(2)若，，求与的夹角的余弦值．18．已知函数．x(1)用五点作图法作出在一个周期上的图象（完成表格后描点连线）；(2)若且，求的值．19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求角C的大小；(2)若，的面积为，求的周长．20．已知向量，，．(1)求函数的解析式及在区间的单调递增区间；(2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．21．某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于：“观光湖”内两处景点A，C之间的距离，如图，B处为码头入口，D处为码头，BD为通往码头的栈道，且，在B处测得，在D处测得．（A，B，C，D均处于同一测量的水平面内）(1)求A，C两处景点之间的距离；(2)栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线是否垂直？请说明理由．22．在中，内角的对边分别为，且.(1)求.(2)若，点是边上的两个动点，当时，求面积的取值范围.(3)若点是直线上的两个动点，记.若恒成立，求的值.1．B【分析】由诱导公式和两角差的余弦公式求解即可.【详解】.故选：B.2．A【分析】将变形为，由“左加右减，上加下减”的平移规则即可判断.【详解】由可知，将函数的图象向左平移个单位长度即得的图象.故选：A.3．D【分析】由正弦定理求得，再根据角的范围求出角.【详解】由正弦定理，，可得，因，则,(或因)，故角为135°或45°.故选：D.4．D【分析】根据三角函数的定义及两角差的正切公式即可求解.【详解】因为角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，所以，所以.故选：D.5．D【分析】根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解.【详解】对A：由题意知，E、F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确；对B：由图可知，，，所以，故B正确；对C：，故C正确；对D：，故D错误.故选：D.6．D【分析】根据向量的减法运算可得，平方后结合数量积的运算，即可求得答案.【详解】由题意得，所以，故，故选：D7．D【分析】利用余弦定理将化简为，从而可求解.【详解】由，得，由余弦定理得，化简得，当时，即，则为直角三角形；当时，得，则为等腰三角形；综上：为等腰或直角三角形，故D正确.故选：D.8．C【分析】建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示，向量的坐标满足方程，结合向量的数量积公式求得结果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，依题意令，，，，因为，所以，即，，则，则，则的最小值为4.故选：C.

9．AC【分析】根据多面体和旋转体的定义和特征即可一一判断.【详解】对于A，根据圆柱的定义可知，母线均与圆柱的轴平行，则其长度都相等，故A正确；对于B，只有底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心时，才是正四棱锥，故B错误；对于C，根据棱台的定义知，底面边数至少为3，故棱台的表面至少有两个底面和三个侧面，即五个平面，故C正确；对于D，若用一个与圆台底面不平行的平面截圆台，则截面将不是圆面，故D错误.故选：AC.10．ABD【分析】借助向量的数量积定义与性质可得A、B、D；借助向量共线性质可得C.【详解】对A：由可得，故A错误；对B：向量为矢量，故向量的数量积不满足结合律，故B错误；对C：由，为非零向量，且，则与方向相同，故C正确；对D：当、反向时，有，此时与的夹角不是钝角，故D错误.故选：ABD.11．ACD【分析】先由题意求得，将看成整体角，通过代入计算检验可判断A,C两项；通过给定区间求得的范围，结合函数图象性质可推理判断B,D两项.【详解】由题意，，则，故函数解析式为：.对于A，因时，，而，故是图象的一条对称轴，即A正确；对于B，设，当时，，而在上递增，在上递减，故B错误；对于C，当时，，而，故是图象的一个对称中心，即C正确；对于D，设，当时，，而在上递减，在上递增，又，，则，故在区间的值域为，即D正确.故选：ACD.12．ACD【分析】对A：借助同角三角函数基本关系与两角和的余弦公式计算即可得；对B：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对C：借助正弦定理可将其化为与角有关的函数，结合角度范围即可得解；对D：借助等面积法及基本不等式计算即可得.【详解】对A：由，即有，即，即，又，故，故A正确；对B：由为边的中点，则，故，即，故，当且仅当时，等号成立，，故B错误；对C：，又是锐角三角形，则，故，则，故，故C正确；对D：由题意得，即，整理得，即，且，故，当且仅当时，等号成立，故D正确．故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查三角形中的最值与范围问题，主要思考方向有两个，一个是借助余弦定理得到边之间的关系，从而通过基本不等式求解，一个是借助正弦定理将边化为角，通过三角形中角的关系将多个变量角化为单变量，借助函数性质得到范围或最值.13．【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出实际为一个直角边长分别为、的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【详解】根据斜二测画法的原则,由直观图知，原平面图形为直角三角形，且，,所以，所以，故边上中线长为.故答案为：2.5.14．【分析】利用向量的数量积定义,可得向量在向量方向上的投影向量为，代入坐标计算即得.【详解】因向量在向量方向上的投影向量为，由，可得，，故向量在向量方向上的投影向量为.故答案为：.15．【分析】首先利用余弦定理得到，从而得到，再利用正弦定理即可得到答案.【详解】在中，由余弦定理可得：，，则.在中，由正弦定理可得，则.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，属于简单题.16．##0.5【分析】作出正弦型三角函数的图象，利用其对称性和周期性求出点横坐标，再代入计算即可.【详解】作出函数，的大致图象，如图，令，，解得，，

则函数的图象与直线连续的三个公共点，，，（可以同时往左或往右移动正整数倍周期长度）即，关于直线，对称，，由于，故，而，关于直线，对称，故点横坐标为，将点横坐标代入，得．故答案为：.17．(1)(2)【分析】（1）利用向量垂直求得的值，代入向量坐标，利用向量模长公式计算即得；（2）利用向量共线求得的值，代入向量坐标，利用向量夹角公式计算即得.【详解】（1）由题意，因为，则，得，则，所以；（2）由已知，又，，所以，得，则，，故．18．(1)答案见解析(2)【分析】（1）把看成整体角，对其依次赋值，计算出对应的自变量和函数值，完成表格，并根据表格中点的坐标依次描点，连线成图.（2）由化简得，利用角的范围确定的值，只需考虑拆角，利用两角和差的余弦公式计算即得.【详解】（1）表格如下图：00200（2）由可得，，因，则，故，于是，．19．(1)(2)12【分析】（1）借助正弦定理边化角后结合三角形内角和与两角和的正弦公式计算即可得；（2）借助余弦定理与面积公式计算即可得.【详解】（1）由正弦定理得：，∵，∴，∴，又，∴，∴，∵，∴．（2）∵，∴，由余弦定理得：，∴，解得：，∴的周长为．20．(1)；增区间为和(2)【分析】（1）由向量的数量积的坐标公式，利用三角恒等变换得出函数解析式，求得函数的递增区间，结合给定范围即可求得；（2）取，由得，结合的图象，由题意得到，解之即得.【详解】（1），由，，得，，即函数的单调递增区间为．∵，当时，，当时，所以在区间上的单调递增区间为和.（2）当时，取，作出函数的图象.因函数在区间上有且只有两个零点，即函数在上有且仅有两个零点，由图，需使，解得，即的取值范围为．21．(1)(2)不垂直，理由见解析【分析】（1）根据已知条件利用正弦余弦定理求解即可；（2）在和中利用正弦余弦定理求解，然后计算是否为零即可.【详解】（1）由已知在中，，，，所以，则为等腰三角形，则，在中，，，，则，由正弦定理，即，解得，在中，，，由余弦定理，即A，C两处景点之间的距离为；（2）在中，，在中，因为，所以，由正弦定理，即，得，所以，即栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线不垂直.22．(1)(2)(3)【分析】（1）根据正弦定理与同角的关系求得，利用余弦定理和正弦定理计算即可求解；（2）设，根据正弦定理可得、，进而的面积，结合正弦函数的性质即可求解；（3）利用三角恒等变换化简计算可得，则是定值，即，解之即