高中数学学考复习冲A专题2三角函数与解三角形的综合应用含答案

冲A专题二三角函数与解三角形的综合应用1.如图,从半径为定值的圆形纸片O上,以O为圆心截取一个扇形AOB卷成圆锥,若要使所得圆锥体积最大,那么截取扇形的圆心角大小为()A.26π3 C.2π D.π2.(2023浙江台州)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AC上的点,AC=2AB,CD=1,AE=3EC,∠ADB=∠EDC=α,则cosα=()A.32 B.33 C.23 3.(2023浙江浙南名校联盟)有一直角转弯的走廊(两侧与顶部都封闭),已知走廊的宽度与高度都是3米,现有不能弯折的硬管需要通过走廊,设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l米.为了方便搬运,规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为m=0.9l米,则m的值是()A.8110 B.27210 C.27254.在△ABC中,AB=2,AC=4,AD平分∠BAC交BC于点D,且AD=43,则BC=(A.27 B.23 C.743 D.5.(多选)如图,在△ABC中,D,E为BC边上异于端点的两点,BD=a,EC=c,且△ADE是边长为b的正三角形,则下列不等式一定成立的是()A.a2B.a2C.a2D.b26.(多选)(2023浙江学考)在锐角三角形ABC中,有()A.sinA+sinB>sinCB.sin2A+sin2B>sin2CC.cosA+cosB>sinCD.cos2A+cos2B>sin2C7.(2023浙江学考)已知△ABC的三个角A,B,C所对的边为a,b,c,若∠BAC=π3,D为边BC上一点,且AD=2,BD∶DC=4c∶b,则4b+18.已知x,y∈R,且x2-2xy+2y2=1,则x+2y的最大值为,x2+y2的取值范围是.

9.(2023浙江绍兴)如图,在平面四边形ABCD中,点B与点D分别在直线AC的两侧,BC=CD=2.(1)已知AB=2,且AC=AD,①当cos∠CAD=23时,求△ABC②若∠ABC=2∠ADC>π2,求∠ABC(2)已知AD=2AB,且∠BAD=π4,求AC的最大值10.(2023浙江温州知临中学)某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园,如图所示,在直径为20m的半圆O空地上,设置扇形区域OMB作为大人休息区,规划两个三角形区域做成小喷泉区(△OAB区域)和沙坑滑梯区(△ABC区域),其中A为直径MN延长线上一点,且OA=20m,B为半圆周上一动点,以AB为边作等边三角形ABC.(1)若等边三角形ABC的边长为a,∠AMB=θ,试写出a关于θ的函数关系式.(2)问当∠AMB为多少时,儿童游玩区OACB的面积最大?这个最大面积为多少?11.(2023浙江温州新力量联盟)已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边,且2bcosA-π6=3c.(1)求角B的大小;(2)若b=6,求△ABC面积的最大值;(3)若b2=ac,且△ABC的外接圆半径为2,圆心为O,P为☉O上的一动点,试求PA·PB12.(2023浙江浙南名校联盟)在△ABC中,已知B=π2,AC=2,BD为边AC上的高.设y=BD+DC,记y关于A的函数为y=f(A)(1)求y=f(A)的表达式及f(A)的取值范围;(2)若不等式mf(A)+m≥f2(A)恒成立,求实数m的取值范围.

冲A专题二三角函数与解三角形的综合应用1.A解析设扇形AOB的半径为R,扇形的圆心角为θ(0<θ<2π),则扇形的弧长为θR,设圆锥的底面半径为r,高为h,则2πr=θR,则r=θR2π,则h=R2-r2=R2-(θR2π)

2=R1-θ24π2,所以该圆锥的体积为V=13πr2h=13π×θR2π2×R1-θ2.D解析由点D是BC的中点,AC=2AB,CD=1,AE=3EC,设CE=x,则BD=1,AE=3x,AB=2x,在△ABC中,可得2xsinC=4xsinB,即sinB=2sinC,在△ABD中,可得2xsinα=ADsinB,在△CED中,可得xsinα=DEsinC,上面两式相除可得2=ADDE·sinCsinB=12·ADDE,即AD=4DE.在△ABD中,4x2=1+AD2-2ADcosα=1+16DE2-8DEcosα,在△CDE中,x2=1+DE2-2DEcosα,即有4+4DE2=1+16DE2,解得DE=12,AD=2,则x2=1+14-2×12cosα=54-cosα.在△ADE中,9x2=AD2+DE2-2AD·DE·cos(π-2α)=4+14+2×2×12cos2α=174+2cos2α=4cos2α+94,可得3.A解析如图所示,先求出硬管不倾斜,水平方向通过的最大长度AB,设∠BAQ=θ0<θ<π2,则∠ABQ=π2-θ,过点A作AC垂直内侧墙壁于点C,过点B作BD垂直内侧墙壁于点D,则AC=BD=3,∠CPA=∠BAQ=θ,∠DPB=∠ABQ=π2-θ在直角三角形ACP中,sin∠CPA=sinθ=ACAP所以AP=ACsin同理BP=BDsin(所以AB=AP+BP=3sinθ+3cosθ0<因为AB=3sinθ+3cosθ≥3×21sinθcosθ=62sin2θ≥62当且仅当sinθ=cos所以AB≥62.因为走廊的宽度与高度都是3米,所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为l=AB2所以m=0.9l=0.9×9=8110.故选A4.A解析如图所示,在△ABC中,AB=2,AC=4,AD平分∠BAC交BC于点D,且AD=43,设∠BAD=∠CAD=θ,可得S△ABD=12×2×43sinθ,S△ACD=12×4×43sinθ,且S△ABC=12×2×4sin2θ,因为S△ABD+S△ACD=S△ABC,可得sinθ=sin2θ,即sinθ=2sinθcosθ,因为θ∈0,π2,所以sinθ>0,可得cosθ=12,所以θ=π3,BC2=22+42-2×2×4cos2π3=5.BC解析由题知∠ADB=∠AEC=120°,AB=a2+b2-2abcos120°=a2+ab+b2,同理AC=b2+bc+c2,根据三角形三边关系AB+AC>BC可知,B选项正确;由AB-AC<BC⇔a2+ab+b2-b2+bc+c26.ABC解析对于A,根据正弦定理,因为a+b>c可得sinA+sinB>sinC,故A正确;对于B,因为cosC=a2+b2-c22ab>0可得a2+b2>c2,由正弦定理可得sin2A+sin2B>sin2C,故B正确;对于C,因为0<A<π2,0<B<π2,所以0<sinA<1,0<sinB<1,所以cosA+cosB>cosAsinB+cosBsinA=sin(A+B)=sinC,故C正确;对于D,当A=B=C=π3时,cos2A+cos2B=17.212解析设∠BAD=θ0<θ<π3,则∠CAD=π3-θ∵AD=2,BD∶DC=4c∶b,∴S△即12化简得2cosθ=3sinθ,即tanθ=23故sinθ=277,sinπ3-θ=14sinθ=又S△ABC=S△ABD+S△ACD,∴12bcsinπ3=12×2csinθ+12×2bsin即4b8.1032-52,32+52解析由题意可知(x-y)2+y2=1,令x-y=cosθ,y=sinθ,即x=cosθ+sinθ,y∴x+2y的最大值为10;x2+y2=1+sin2θ+12(1-cos2θ)=32+52sin(2θ-α),其中tan∴x2+y2的取值范围是32-59.解(1)①设AC=2x(0<x<2),23=cos∠CAD=4x2+4x2-∵cosB=22+22-68S△ABC=12×2×2×15②设∠ADC=α>π4,取AC,CD的中点分别为M,N,连接BM,AN,BM⊥AC,AN⊥CD,AD=1cosα,AC=2AM=4sin因为AC=AD,所以1cosα=4sin即sin2α=12,解得2α=5π6,即∠(2)作CO⊥BD于O(图略),由余弦定理得AB=BD,∠ABD=π2,设∠CBO=θ,则BO=2cosθ,AB=BD=4cosθ在△ABC中,利用余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=16cos2θ+4-2×4cosθ×2×cosπ2+θ=82sin2θ+π4+12≤12+82,则AC的最大值是22+2.10.解(1)∵∠AMB=θ,∴∠AOB=2θ.在△AOB中,AB=a,OA=20,OB=10,∠AOB=2θ,由余弦定理可得a2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB=500-400cos2θ,所以a=105-4cos2θ,其中θ∈0,π(2)S△AOB=12×10×20sin2θ=100sin2θ,S△ABC=34AB2=253(5-4cos2所以S四边形OACB=S△AOB+S△ABC=100sin2θ+253(5-4cos2θ)=100sin2θ-1003cos2θ+1253=200sin2θ-π3+1253.因为0<θ<π2,则-π3<2θ-当2θ-π3=π2,即θ=5π12时,四边形OACB的面积取最大值(20011.解(1)由2bcosA-π6=3c及正弦定理可得2sinB·cosA-π6=3sinC,又A+B+C=π,∴2sinBcosAcosπ6+sinAsinπ6=3sin[π-(A+B)],整理可得3cosAsinB+sinAsinB=3sin(A+B),可得3cosAsinB+sinAsinB=3sinAcosB+3cosAsinB,可得sinAsinB=3sinAcosB,∵sinA≠0,∴tanB=3.∵B∈(0,π),∴B=π3(2)若b=6,根据余弦定理得a2+c2-2ac·cosπ3=化简a2+c2-ac=6,又a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,∴ac≤6,当且仅当a=c时,ac有最大值6.∵△ABC的面积S=12ac·sinB=34ac≤34×6∴当且仅当a=c时,△ABC面积有最大值,最大值为33(3)由正弦定理bsinB=2R,则b=23,则ac=b2由a2+c2=b2+ac,可得a2+c2=24,则a=c=23,则三角形ABC为等边三角形,取AB中点M,如图所示,则PA·PB=(PM+MA)·(PM+MB)=PM2+由OP=2,OM=1,则PM∈[1,3],则PA·PB∈[-12.解(1)由已知可得AB=2cosA,BC=2sinA,∵BD⊥AC,∴BD=AB·sinA=2cosAsinA,DC=BC·sin∠CBD=BC·sinA=2sin2A,∴f(A)=BD+DC=2cosAsinA+2sin2A=sin2A+1-cos2A=2sin2A-π4+1.∵0<A<π2,∴-π4<2A-∴sin2A-π4∈-22,1,∴0<f(A)≤2+1,即f(A)的取值范围为(0,2+1].(2)由(1)知f(A)+1>0,∴m≥f2记u=