2022北京海淀区高一下学期期末数学试题和答案

2022北京海淀高一（下）期末数学一、选择题共10小题，每小题440分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知正四棱锥的底面边长为23，则它的体积为()A．2B．4C．6D．122．向量a=，b2)，则=|a−b=()A．4B．C．4D．133．将函数f(x)=sin2x的图象向右平移个单位长度后得到函数f(x)=sin(2x−3)的图象，则的最小值是()A．B．C．D．D．63364．cos=()126−26+23+22−6A．B．C．44445．已知直线m和平面，，则下列四个命题中正确的是()A．若⊥，m，则m⊥C．若//，m/，则m//B．若m/，m//，则//D．若//，m⊥，则m⊥6．函数ysin=2x的最小正周期与其图象的对称中心分别是(1)A．,(k+,)(kZ)B．,(k+,0)(kZ)424k1kC．,(+,)(kZ)D．,(+,0)(kZ)242247．已知向量a，b是两个单位向量，则“a，b为锐角”是“|a−b2”的()A．充分不必要条件C．充分必要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8．已知函数f(x)=2sinx在区间[−,]上的最小值为2，则的取值范围是()3499A．(−,−]B．(−,−]22C．(，−2]，+)D．(−,2]5−19．底与腰（或腰与底）之比为黄金分割比()的等腰三角形称为黄金三角形，其中顶角为的黄金三角形被2认为是最美的三角形．据此可得216的值是()4+51+53+51−25A．B．−C．−D．848410．在ABC中，aA=bB，则的形状是()A．等腰直角三角形B．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形二、填空题共5小题，每小题420分。．已知圆柱的底面半径为12，则其侧面积为．12．向量a=(2,−，b=(2,t)，ata−b)，则实数t=．13．在正方形ABCD中，E是的中点，则(BE+CE)BC=．14．函数f(x)=3sinx−cos(x−)，x[−,]的值域是22．315．如图，在棱长为1的正方体ABCD−ABCD中，E是棱上的一个动点，给出下列四个结论：11111①三棱锥11的体积为定值；−②存在点E，使得1D⊥平面BED；1③对每一个点E，在棱上总存在一点P，使得AP//平面1；6④M是线段BC上的一个动点，过点A的截面垂直于，则截面的面积的最小值为．112其中所有正确结论的序号是．三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。169分）如图，在四棱锥P−ABCD中，BC//平面，ADBC，E，F，H，G分别是棱，，，的中点，（Ⅰ）求证：//AD；（Ⅱ）判断直线与直线的位置关系，并说明理由．33141710中，bcosA+a=2c，c=8，sinA=．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）求的面积．18分）如图，在直棱柱ABCD−ABCD中，底面ABCD是菱形，=2，=，=a，E，F11111分别是棱，1的中点．（Ⅰ）求证：C；⊥（Ⅱ）求证：EF//平面1；（Ⅲ）是否存在正数a，使得平面1BC平面⊥A1？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．19分）若点(x，y)在函数f(x)的图象上，且满足yf(y)，则称x0是f(x)的点．函数f(x)的所有0000点构成的集合称为f(x)的集．（Ⅰ）判断是否是函数f(x)=x的点，并说明理由；3（Ⅱ）若函数f(x)sin(x=+0)的集为，求R的最大值；（Ⅲ）若定义域为R的连续函数f(x)的集D满足D，求证：{x|f(x)=．选做题：（本题满分0分。所得分数可计人总分，但整份试卷得分不超过10020．正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如电信号，都可以分解为许多频率不同、幅度不等的正+Vt)表示正弦弦型信号的叠加．正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述：Vt)Asin(2ft=)，其中信号的瞬时大小电压V（单位：V)是关于时间t（单位：s)的函数，而A0表示正弦信号的幅度，是正弦信号f1的频率，相应的T=为正弦信号的周期，为正弦信号的初相．由于正弦信号是一种最简单的信号，所以在电路f系统设计中，科学家和工程师们经常以正弦信号作为信号源（输入信号）去研究整个电路的工作机理．如图是一种典型的加法器电路图，图中的三角形图标是一个运算放大器，电路中有四个电阻，电阻值分别为R，R，R，R1234（单位：1(t)和Vt)2是两个输入信号，Vt)0表示的是输出信号，根据加法器的工作原理，Vt)与V(t)和Vt0124RVt)+RVt)2112的关系为：ot)=+)3．R+21例如当R1=234===，输入信号1t)=sint2t)=cost，时，输出信号：11sint+1costVt)=+)=sint+cost．o1+11（Ⅰ）若R2341，输入信号====Vt)=sintVt)=cost，，则Vt)的最大值为0；112（Ⅱ）已知2=3=24=1，，，输入信号Vt)=sin(t+1)，Vt)=cos(t+2)．若Vt)=At+o)（其633中A0)则R=1；3（Ⅲ）已知31，=4=02R，，且Vt)=sintVt)=2t，．若Vt)的最大值为，则满足条件01122的一组电阻值R，R分别是．12参考答案一、选择题共10小题，每小题440分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1P−ABCD中，=2，=3，利用体积公式求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P−ABCD中，2，==3，131所以P−ABCD故选：B．=SABCD=223=4．3【点评】本题考查正四棱锥的体积的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查数形结合思想等，是中档题．2a−b的坐标，再由模的坐标运算求解即可．【解答】解：因为向量a=，b=2)，所以a2−4)，所以|ab|4．−故选：C．【点评】本题主要考查向量的坐标运算，及模的运算，考查运算求解能力，属于基础题．3【解答】解：将将函数f(x)sin2x的图象向右平移个单位长度后，=得到函数y=sin2(x−)=sin(2x−)=sin(2x−)，3所以=−+2k，kZ，即=−2k+kZ，，36当k0时，取得最小值为=．6故选：A．【点评】本题主要考查三角函数图象的变换，诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．412326−2【解答】解：故选：A．=−)=−cos(+)=−(−)=．12123422224【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的诱导公式，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5【解答】解：对于A选项，若⊥，m，则m可能与平行，故错误；A对于B选项，若m/，m//，则，可能平行或者相交，则C错误；对于C选项，若//，m/，则m可能与平行或者在平面内，故B错误；对于D选项，由面面平行以及线面垂直的性质可知，D正确；故选：D．【点评】本题主要考査了直线与平面，平面与平面的位置关系，属于基础题．6性整体代换即可求解．1−cos2x【解答】解：因为y=sin2x=，2所以函数的最小正周期为T==，2k令2x=k+，kZ，解得x=+,kZ，224k1所以函数的对称中心为(+，)，kZ，242故选：C．【点评】本题考查了三角函数的周期性和对称性，考查了余弦函数的性质，属于基础题．7【解答】解：向量a，b是两个单位向量，由a，b为锐角可得cosa|a，，反过来，由|a−b2两边平方可得a2ab−+b2，2−2cosa,b2，a,b0，a,b[0,)，a，b不一定为锐角，2故“a，b为锐角是的充分不必要条件，“|a−b2””故选：A．【点评】本题考查充分与必要条件的概念，平面向量数量积的定义与性质，属基础题．8x的范围求出x的范围，根据函数f(x)在区间[−,]上的最小值为2，可得到−，343232即，然后对分大于00两种情况讨论最值可确定答案．0时，−【解答】解：当，3432由题意知−，即，32当0时，x−，43，即，由题意知42综上知，的取值范围是(−,2]故选：D．．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性和最值问题．考查三角函数基础知识的掌握程度，三角函数是高考的一个重要考点一定要强化复习．9cos72的值，然后利用二倍角公式，诱导公式求解即可．【解答】解：由题意可知：把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底和腰之比为黄金分割比5−10.618，该三角形被认为是最美的三角形．215−12如图，则可得：B=5−1=，4可得cos72=，cos72=2cos236−145−1即2cos236−1=，425+65+1所以236==()2，4245+1所以cos36=，45+1所以cos216=+36)=−cos36=−故选：B．．4【点评】本题考查二倍角公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．10sin2A=sin2B，进一步利用三角函数的关系式的变换求出结果．【解答】解：利用正弦定理：aAbB转换为=sinAA=sinBB，整理得sin2Asin2B，=故2A=2B或2A+2B=；所以AB或=A+B=；2故三角形为等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题420分。【解答】解：圆柱的底面半径为12，则其侧面积为S=12=．故答案为：4．【点评】本题考查圆柱的结构特征、圆柱的侧面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．a⊥ta−b)12ta−b=(2tt)，然后根据−−可得出t的值．【解答】解：tat−t)，a，23ata−b)=2(2t−2)+t=0，解得t=．2故答案为：．3【点评】本题考查了向量坐标的减法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．13【解答】解：如图(CE)(CE)(EC)(CE)(CE)CE，+=++=+−=−因为|||CE|，所以(+CE)=0=；故答案为：．【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，属于基础题．14．【分析】直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．1331【解答】解：f(x)=3sinx−cos(x−)=3sinx−x−sinx=sinx−x=sin(x−)；322226由于x[−,]，22,]，所以x−[−6333故f(x)[−]．23故答案为：[−]．2【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．215．【分析】对于①，由//，得AA//平面BBD，从而点E到平面BBD的距离为h=，再由11111112122S=BD=，由此能求出三棱锥B−的体积为定值；对于②，当E为棱的中点时，取BD1D111111121的中点为F，连接，推导出EF⊥1D，由正方体性质得BD⊥BDEBD⊥不成立，从而不存在点，使得1平面11BED，故；对于③，当E与点A重合时，无论点P在何位置，直线与平面BED相交；对于④，推导出11C⊥DM，由余弦定理、截面面积能求出结果．【解答】解：对于①，如图，在棱长为1的正方体ABCD−ABCD中，1111//，平面BBD，平面BBD，AA//平面BBD，111111111112点E是棱AA1上的一个动点，点E到平面1D的距离为h=，12122S=BD=，1D1112111三棱锥B−的体积V=Sh=，故①正确；1124对于②，当E为棱的中点时，取BD的中点为F，连接，如图，11则EF//AC，又，⊥⊥，BD，1⊥1BBD11B⊥1D，平面，又平面，11由正方体性质得B是矩形，不是正方体，11⊥BDEF不成立，又，11不存在点E，使得BD⊥平面BED，故②错误；11对于③，当E与点A重合时，无论点P在何位置，直线与平面1相交，故③错误；对于④，根据题意，作图如下，正方体ABCD−ABCD中，AC⊥平面，AC⊥DM，1111111设Gx，则=AG=1+x12，CG=−x)2+1，1+x2+x2−2x+2−3x2−x则△AGC中，AGC==，1121+x2x2−2x+21+x2x−2x+22x2−x2x2−2x+2sin=1−()2=，1+x2x2−2x+21+x22x−2x+221134则该截面面积S=2AGCGsinAGC=2x−2x+2=2(x−)2+，112216，，当x=时，Smin=，故④正确．22故答案为：①④．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16(I)利用线面平行的性质定理进行证明即可，(II)证明//FH，且，即可证明直线与直线的位置关系．【解答】证明：(I)因为BC//平面，平面证明：(II)直线与直线相交．理由如下：连接，，，，如图所示，ABCD，平面ABCDPAD=AD平面，所以//AD．1因为E，G分别是，的中点，所以是的中位线，所以//AD，且，=2因为F，H分别是，的中点，所以是的中位线，1所以//，且FH=BC，2因为//AD，所以//FH，因为ADBC，所以，所以四边形EFHG是梯形，所以直线与直线相交．【点评】本题考查线面平行，考查学生的推理能力，属于中档题．17Ⅰ）利用正弦定理，两角和的正弦，即可解出；（Ⅱ）由正弦定理以及三角形面积公式，即可解出．Ⅰ）由正弦定理可得，2sinBAsinA2sinC，+=C=，2sinBA+sinA=2sin(A+B)=2sinAB+2AsinB，1B=，，2)B=；3331412（Ⅱ）sinA=，B=，30AcosA=，，61314437sinC=sin(A+B)=sinAB+AsinB=，c14332R==，sinC14333a=2RsinA==3，314113SABC=acsinB=38=63．222【点评】本题考查了解三角形，正余弦定理，面积公式，学生的数学运算能力，属于基础题．18(I)根据线面垂直的判定定理及性质定理证明；(II)根据线面平行的判定定理证明；(III)假设存在正数a，使得平面ABC⊥平面A，根据面面垂直的判定定理得⊥，在直角三角形BOD11中，由BO2+2=2，得a=0a与已知为正数矛盾，进而得证．【解答】(I)证明：如图，连接，因为底面ABCD是菱形，所以，直棱柱⊥ABCD−ABCD中，AA1⊥平面ABCD，11111111所以AA1⊥，且AA，所以平面⊥A，11所以C；⊥(II)证明：取AD的中点M，连接、，则为三角形A的中位线，11111所以//AD且=AD，又因为AD//BC且AD=BC，111111111111221又BE//BC且=BC，所以//BE且，=11112所以四边形为平行四边形，A平面1所以//，EF平面，，所以EF//平面A；11解：(III)不存在正数a，使得平面ABC⊥平面A，证明如下：11因为⊥平面AB，所以⊥AB，11在直角△A中，AB=a2+4,CB=2，所以C=a+8，211假设存在正数a，使得平面ABC⊥平面A，如图，11过B作⊥AC且与AC交于O点，连接，平面ABC平面A=，11111BC2a2+42a+42所以⊥平面A，所以⊥，在直角△A中，==，同理=，11a2+82a+8因为底面ABCD是菱形，2，==，所以=2，2a2+4+82a2+4+8在直角三角形BOD中，BO+22=2，得()2+()2=4，a2a2化简得a0与已知为正数矛盾，所以不存在正数，使得平面=aaABC⊥1平面A．1【点评】本题考查线面垂直，考查学生的分析能力，属于中档题．19(I)直接求出y=3，再判断出f(y)0，即可得到yf(y)0，即可得到结论；0000(II)先说明，若，则T2，由题设得到T，推出矛盾，再说明的值可以等于，令=0，利用三角函数的值域加以证明即可；(III)由题设知，必存在xR，使得f(x)f(y)0，结合零点存在定理说明函数f(x)必存在零点，即可证明．000【解答】解：(I)不是函数f(x)=x的点，3理由如下：设0=，则y0=tan=3,f(y0)=tan3，33因为3，所以f(0)=tan30，所以0f(y0)0，2所以不是函数f(x)=x的点；3(II)先证明，若，则函数f(x)的最小正周期T=2，因为函数f(x)sin(x=+0)的集为R，所以对xR，x是f(x)的零点，00令0f(0)，则=yf(y)00，因为函数f(x)=x+0)的值域为[−1，，所以当y[0，时，必有f(y)，00即f(x)sin(x=+)x[0对于，恒成立，T所以，即f(x)的最小正周期T，与T2矛盾；2再证明的值可以等于，令f(x)sinx，对xR，=0当y=f(x)[0，时，f(y)[0，，yf(y)；00000当y=f(x)[−1，0]时，f(y)[1，0]，yf(y)，00000所以x0是f(x)的点，即函数f(x)=x+0)的集为R，综上所述，的最大值是；(III)因为函数f(x)的集D满足DR，所以存在0R，使得y=f(x)yf(y)0且，即f(x)f(y)0，000000因为若0y0，则因为函数f(x)的图象是连续不断的，不妨设xy，由零点存在定理知，必存在x(0，0=f(x)f(y)=(f(y2，所以xy，00000y)f(1)=0使得，001所以f(x)存在零点，即{x|f(x)=．【点评】本题考查三角函数的图像与性质，考查学生的运算能力，属于难