1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 浙教版九年级数学上册课件

22.1.2二次函数y=ax²的图象和性质(1)年级：九年级学科：数学（人教版）主讲人：车二次函数y=ax2的图象和性质学校：北京师范大学

实验二龙路中学

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）

最简单的二次函数y＝ax2y＝x2二次函数y＝x2的性质解析式图象x范围：全体实数y范围：非负数……平面直角坐标系

描点法画y=x2的图象描点法画图步骤：1.列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；2.描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；3.连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑的曲线顺次连接起来）.………0﹣1﹣2﹣3…9944110123xy1.列表y＝x2xyO-4-3-2-112341086421y＝x2用平滑曲线,自左向右顺次连接，向两端无限延伸.2.描点3.连线3579111.列表xyO-4-3-2-112341086421y＝x2用平滑曲线,自左向右顺次连接,向两端无限延伸.2.描点3.连线3579111.列表观察函数y＝x2的图象，总结性质

（1）是一条曲线，类似抛物在空中经过的路线，叫做抛物线；

（2）x取值关于原点对称时，y值相同——抛物线y＝x2关于y轴对称；抛物线y＝x2与对称轴x=0的交点（0,0）叫抛物线y＝x2的顶点，它是抛物线y＝x2的最低点；

（3）在对称轴的左侧，抛物线y＝x2从左到右下降；x<0时，y随x增大而减小；x1<x2<0时,y1>y2;在对称轴右侧，抛物线y＝x2从左到右上升;x>0时，y随x增大而增大；0<x1<x2时,y1<y2.观察函数y＝x2的图象，总结性质y＝x2文字语言图形/符号语言x取值范围y取值范围图象开口对称轴顶点最值y＝x2的图象和性质y＝x2文字语言图形/符号语言x取值范围全体实数y取值范围非负数y≥0图象抛物线开口向上对称轴y轴x=0顶点原点（0，0）最值最小值（最低点）x=0时，ymin=0y＝x2的图象和性质y＝x2文字语言图形/符号语言增减性y＝x2的图象和性质y＝x2文字语言图形/符号语言增减性在对称轴左侧，抛物线从左到右下降；x<0时，y随x增大而减小当x1<x2<0时,y1>y2在对称轴右侧，抛物线从左到右上升；x>0时，y随x增大而增大当0<x1<x2时,y1<y2y＝x2的图象和性质例题与练习

函数y=x2的图象上有三点(－3,a)(－1,b)(2,c)，比较a，b，c的大小关系解法1代数法：将－3，－1，2分别代入函数解析式，求出a=9，b=1，c=4进而比出大小解法2根据函数的对称性和增减性：函数的图象过(2,c)也即过(－2,c)，因－3<－2<－1<0,故a>c>b解法3图象法xyO-4-3-2-112341086421357911解法3图象法：画出函数y=x2的图象，找到横坐标分别为－3，－1，2的三个点，比较其纵坐标大小（位置高低）y＝x2abc巩固落实

函数y=x2的图象上有三点(－3,a)(－1,b)(2,c)，比较a，b，c的大小关系解法1代数法：将－3，－1，2分别代入函数解析式，求出a=9，b=1，c=4进而比出大小解法2根据函数的对称性和增减性：函数的图象过(2,c)也即过(－2,c)，因－3<－2<－1<0,故a>c>b解法3图象法：画出函数y=x2的图象，找到横坐标分别为－3，－1，2的三个点，比较其纵坐标大小（位置高低）1.抛物线y＝x2不具有的性质是（）.A.开口向上

B.与x轴不相交C.对称轴是y轴

D.最低点是坐标原点2.已知抛物线y＝x2，当﹣2<x<1时，求y的取值范围.练习二、的图象和性质

请在同一直角坐标系中画出二次函数，的图象，并回答下列问题：1.函数

，的图象与函数的图象相比，有什么共同点和不同点？2.当时，二次函数的图象有什么特点？第一步：列表.x…………在同一直角坐标系中画二次函数，的图象.x…………22864Oyx4第二步：描点.x…01234……82028…22864Oyx4x…012……82028…22864Oyx4第三步：连线.22864Oyx4共同点：开口方向向上.

对称轴为y轴.

顶点为原点(0,0)，它是抛物线的最低点.

1.函数

，的图象与函数的图象相比，有什么共同点和不同点？1.函数

，的图象与函数的图象相比，有什么共同点和不同点？从二次函数，和的图象可以看出：当时，y有最小值0.

当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.22864Oyx41.函数

，的图象与函数的图象相比，有什么共同点和不同点？不同点：二次函数的二次项系数不一样，开口大小不一样.当时，抛物线的开口大小会随着a的变大如何变化？22864Oyx4Oyx点

在抛物线上，a越大，点纵坐标越大，在x轴上方到x轴的距离越大，抛物线开口就越小.当时，抛物线的开口变大会随着a的大小如何变化？2.当时，二次函数的图象有什么特点？开口方向向上对称轴y轴（直线）顶点坐标(0,0)是最低点开口大小a越大，开口越小22864Oyx4最值当时，y有最小值0增减性当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大22864Oyx4三、课堂例题例

1抛物线

的开口向_____，对称轴是______，

顶点坐标是________，当______时，y随x的增大而减小.

上y轴三、课堂例题例

2二次函数；；：将它们的图象开口按从小到大的顺序排列为：_______.①②③①③②抛物线开口从小到大分别为.

解析：由二次函数解析式可知，点在抛物线上，点在抛物线上，点在抛物线上.

①③②例

3已知抛物线过，和，则、和的大小关系是__________.

解

点A，B，C在抛物线上，，，三、课堂例题DCyxO例

3已知抛物线过，和，则、和的大小关系是__________.

三、课堂例题当时，y随x的增大而减小，解

C关于y轴的对称点为，例

3已知抛物线过，和，则、和的大小关系是__________.

图象上的点到对称轴（y轴）的距离越远，纵坐标越大.三、课堂例题yxOACB四、课堂小结二次函数

的图象和性质：

的图象的示意图：开口方向向上对称轴y轴（直线）顶点坐标(0,0)（也是最低点）最值当时，y有最小值0yxO四、小结增减性当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大开口大小a越大，开口越小yxO二次函数

的图象和性质：

的图象的示意图：五、思考已知二次函数图象经过点和.（1）求a与m的值；（2）写出二次函数图象的顶点坐标及对称轴；（3）当时，求函数y的最大值和最小值.2.当时，二次函数的图象有什么特点？2.当时，二次函数的图象有什么特点？开口方向向下对称轴y轴（直线）顶点坐标(0,0)是最高点开口大小a越小，开口越小2.当时，二次函数的图象有什么特点？最值当时，y有最大值0增减性当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小三、二次函数的图象和性质函数（抛物线）示意图开口方向向上向下yxOOxy函数（抛物线）对称轴顶点坐标最值y轴（直线）

最低点

最高点当

时，

y有最小值0当

时，

y有最大值0三、二次函数的图象和性质函数（抛物线）增减性开口大小当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小

越大，开口越小三、二次函数的图象和性质四、课堂例题例1

抛物线

的开口向_____，对称轴是______，

顶点坐标是________，当______时，y随x的增大而减小.下y轴例2

二次函数的图象不经过第一、二象限，则a=_____.四、课堂例题，均不为0，

两个二次函数分别为和.解是二次函数，由一元二次方程，解得，.

对于二次函数和，已知它们的图象的示意图分别为：yxOOxy例2

二次函数的图象不经过第一、二象限，则a=_____.四、课堂例题抛物线经过第三、四象限，不经过第一、二象限.Oxy例2

二次函数的图象不经过第一、二象限，则a=_____.四、课堂例题抛物线经过第一、二象限，不经过第三、四象限.yxO例2

二次函数的图象不经过第一、二象限，则a=_____.四、课堂例题例2

二次函数的图象不经过第一、二象限，则a=_____.

四、课堂例题二次函数不经过第一、二象限，五、课后思考

1.抛物线有最小值，则k=__________.

2.当时，求二次函数的最大值和最小值.

复习回顾二次函数的图象和性质a>0a<0图象开口方向对称轴顶点增减性开口大小xyxy向上向下y

轴y

轴(0,0)(0,0)最低点最高点越大，开口越小y

随x

的增大而减小y

随x

的增大而增大y

随x

的增大而减小y

随x

的增大而增大x列表探究二次函数的图象和性质1.

在同一个直角坐标系中画出，，的图象.描点连线xyxy探究二次函数的图象和性质1.

在同一个直角坐标系中画出，，的图象.抛物线抛物线向上平移1个单位长度抛物线向下平移1个单位长度2.抛物线与如何由抛物线得到？xy抛物线探究二次函数的图象和性质3.抛物线，，有什么关系？开口方向和大小相同对称轴相同顶点纵坐标不同xy探究二次函数的图象和性质开口方向对称轴顶点图象从左至右的变化趋势向上y轴(0,0)(0,1)xy4.抛物线

，

，的图象特征.在对称轴左侧，下降趋势在对称轴右侧，上升趋势探究二次函数的图象和性质在同一直角坐标系中画出，和的图象，并说明，如何由的图象得到.例题分析xx在同一坐标系中画出，和的图象，并说明，如何由的图象得到.例题分析xyxy在同一坐标系中画出，和的图象，并说明，如何由的图象得到.的图象向下平移3个单位长度得到的图象.的图象向上平移3个单位长度得到的图象；例题分析5.抛物线的图象特征.a>0a<0图象开口方向对称轴顶点图象从左至右的变化趋势xyxy向上向下y

轴y

轴(0,k)(0,k)最低点最高点下降趋势上升趋势下降趋势上升趋势探究二次函数的图象和性质在对称轴左侧在对称轴右侧6.二次函数的性质a>0a<0图象特征函数性质(0,k)最低点探究二次函数的图象和性质(0,k)最高点y的最小值是ky的最大值是k最值顶点6.二次函数的性质探究二次函数的图象和性质a>0a<0y随x的增大而减小增减性y随x的增大而增大y随x的增大而增大y随x的增大而减小a>0a<0图象从左至右的变化趋势下降上升下降上升在对称轴左侧在对称轴右侧当k

>0时向上平移k

个单位长度7.抛物线可以如何由抛物线得到？顶点顶点当k

<0时向下平移

个单位长度探究二次函数的图象和性质抛物线的开口

，对称轴是

，图象存在最

点，坐标是

，当x

时，y随x的增大而增大，当x

时，y随x的增大而减小.向下y轴高巩固练习xy把抛物线