2024年高考材料：几何综合压轴题

高考复习材料

几何综合压轴题

特殊三角形性质及判定

特殊四边形性质及判定化VaB想

整体思想

分类思想

勾股定理方程思想

全等和相似

三角函数

1.【问题情境工

数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1，已知矩形纸片

ABCD（AD>AB）,其中宽/5=8.

(1)【动手实践1

如图1,威威同学将矩形纸片ABCD折叠，点A落在8C边上的点M处,折痕为8N,连接"N,

然后将纸片展平，得到四边形则折痕8N的长度为

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(2)【探究发现】：

如图2,胜胜同学将图1中的四边形48〃乂剪下，取4N边中点E,将V/8E沿BE折叠得

至Uv/BE，延长84交ACV于点尸.点0为边的中点，点尸是边ACV上一动点，将△州0P

沿尸。折叠，当点M的对应点AT落在线段8尸上时，求此时tan/尸加的值；

⑶【反思提升】：

明明同学改变图2中。点的位置，即点。为3W边上一动点，点尸仍是边MN上一动点，按

照(2)中方式折叠△M0尸，使点AT落在线段8尸上，明明同学不断改变点。的位置，发现

在某一位置NQPW与(2)中的/尸。“相等，请直接写出此时8。的长度.

【答案】(1)8亚(2)4(3)/

【分析】(1)通过折叠的性质可证明是等腰直角三角，利用勾股定理即可求出2N；

(2)先证明=.再证明△£才尸乡△ENF,接着证明尸，即有

进而求出NF,MF,则在RtABFM中，有tanZFBM=—=-=BPtanZPQM

AENFBM84

得解；

(3)过AT作KS〃儿W交2”于点S,过P点作PK〃BM交KS于点K点,根据(2)的

结果得到tan/Q尸庇;3，即可得当OM'=3=,先证明四边形K/%岱是矩形，再证

4PM4

丛M'KPs丛QSM',即有理^型二丝二,，设S0二冽，SM'=n,则有K"二%，

KM'KPPM'473

4〃I------

KP=—'利用勾股定理可表示出“。，--M'Q=^n2+m2=MQ，根据KP=SM=S0+QM,

4〃/------2424/------25

有——=m+-\ln2+m2,可得〃=——m,BPSM'=n=—m,：.M'Q=MQ=yln2+m2=—m,

3777

24

在结合tanNFSW=1■可得=进而有=―三一=：,解得：加=(,则20得

42s4BS8-必机48

7

解.

(1)

根据矩形的性质有乙4=乙48/=90。，

根据折叠的性质有乙4=zaW,AB=BM,AN=MN,

：4=UBM=90°=乙BMN,即四边形48MV是矩形，

:.AB=MN,BM=AN,

■：AB=BM,AN=MN,

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・•.矩形4M介是正方形，

•,.MN=BM=AB,

^AB=8,

••.MN=BM=8,

・•.△BMN是等腰直角三角形，

■■BN=y]MN2+BM2=A/82+82=8A/2MN=872，

故答案为：8A/2;

(2)

连接ER如图，

图2

在(1)中已得矩形/8MN是正方形，

-'-AN=MN=BM=AB=8,ZA=Z.N=90°=Z.M，

•也为ZN中点，。为期中点，

-，-AE=EN=4=BQ=QM,

・•・根据翻折的性质有=MQ=M'Q,ZA=ZBA'E=90°,AAEB=ZA'EB,

ZMQP=ZM'QP,

：.AE=4'E=EN=4,MQ=M'Q=BQ=4,NEA'F=NBA'E=90°

ZBM'Q=ZM'BQ,

■：ABM'Q+AM'BQ=AM'QM=AMQP=ZM'QP,

...ZM'BQ=ZPQM.

•••ZEA'F=ZBA'E=90°,A'E=EN,FE=EF,

:AEAF冬AENF,

:.NA'EF=ANEF,

又,：NAEB=ZA'EB,ZAEB+ZA'EB+ZA'EF+NNEF=180°,

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••・/AEB+/NEF=90°,

•；/AEB+/ABE=90°,

ZNEF=/ABE,

・•・结合ZA=ZN=90°有LABEs丛NEF,

ABNE

••五一诉‘

,•弘5=8,AE=EN=4,

84口口

・•・一=—,即NF=2,

4NF

:・MF二MN-NF=8-2=6,

FM63

••・在Rt/^BFM中，tan/FBM=-----=—=—,

W84

•・•ZMBrQ=ZPQM,

3

tanZ.PQM-tanZ.FBM=—；

(3)

过AT作KS〃肱V交以/于点S,过P点作尸K〃3交KS于点K点，如图,

3

在(2)中求得tanzPQM=w，

•:(QPM与(2)中的乙相等，

••・可知tanzQPM=tsnz.PQM=,

在及△尸。M中，喘=3,

・•・根据翻折的性质有察=；ZPM'Q=ZM=90°,

PM4

•••NKM'P+4QM'S=90°,

♦:KS〃MN,PK//BM,PMLBM,

・・・KS1KP,KS工BM,KPVMN,

；/K=90°=乙KSQ,且四边形K/加岱是矩形，

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^SMrQ+^MrQS=90°,

:/KPM'"SM'Q,

.♦.AM'KPs丛QSM',

SQ_SMr_QMr_3

,,KM，一石―PM「1’

设SQ=m,SM'二n,

47774〃

则有K"=(KP=y,

.•.在RtAQSM'中，M'Q=yjM'S2+SQ2=+m2，

.•.可。=，川+加2=WQ,

,・,四边形K7%岱是矩形,

.,.KP=SM=SQ+QM,

4〃/--------2424

・•・——=m+yjn2+m2,可得〃=—m,BPSMf=n=——m,

377

_____)c

：.M'Q=MQ=\n2+m2=—m,

」..，3

••,在(2)中已求得tanzJ7BA/=一，

4

SMr_3

~W~49

25032

-BS=BM-SQ-QM=8-m--m=8---m,

24

SMr~m37

=-，解得:m=—

~BS~~o32

8-----m8

7

2525739

：.BQ=BM-QM=8——m=8——x-=—.

*上7788

【我思故我在】本题主要考查了翻折的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定

与性质、勾股定理、平行的判断与性质、解直角三角形、正方形的判定与性质等知识，构造

合理的辅助线证得是解答本题的关键.

2.综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以〃矩形的折叠〃为主题开展数学活动.

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⑴操作判断

操作一：对折矩形纸片/BCD,使/。与3C重合，得到折痕ER把纸片展平；

操作二：在4D上选一点尸，沿AP折叠，使点N落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接

PM,BM.

根据以上操作，当点M在历上时，写出图1中一个30。的角：.

(2)迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片48co按照(1)中的方式操作，并延长尸“交CD于点。，连接8。.

①如图2,当点“在斯上时，乙MBQ=。，4CBQ=°；

②改变点P在/。上的位置(点P不与点/,。重合)，如图3,判断与NC80的数

量关系，并说明理由.

⑶拓展应用

在(2)的探究中，己知正方形纸片/BCD的边长为8cm,当尸0=1cm时，直接写出4P的

长.

L答案］(1)NBME或ZABP或NPBM或4MBe

(2)①15,15；@ZMBQ=ZCBQ,理由见解析

40、24

(3)AP=—cm或一cm

【分析】(1)根据折叠的性质，得BE=；BM,结合矩形的性质得乙劭==30。，进而可得

NABP=NPBM=ZMBC=30°；

(2)根据折叠的性质，可证RtAB0M=RtA50c(HL),即可求解；

(3)由(2)可得0M=0C,分两种情况：当点。在点尸的下方时，当点0在点尸的上

方时，设4P=P〃=x，分别表示出PD,DQ,PQ,由勾股定理即可求解.

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(1)

解：AE=BE=3AB,AB=BM

：.BE=-BM

2

BE1

ZBEM=90°,sinzBME=——=—

BM2

:・NBME=30。

：.ZMBE=60°

■:/ABP=/PBM

：./ABP=ZPBM=ZMBC=30°

(2)

・・・四边形/BCD是正方形

：.AB=BC,44二UBC=乙C二90。

由折叠性质得：AB=BM,^PMB=Z.BMQ=/.A=90°

；・BM=BC

①•：BM=BC,BQ=BQ

・•・RtABQM=RtA50c(HL)

：.ZMBQ=ZCBQ

QE)MBC=30°

：.ZMBQ=ZCBQ=15°

@9：BM=BC,BQ=BQ

：.RtABQM=RtM0C(HL)

：.ZMBQ=ZCBQ

(3)

当点0在点尸的下方时，如图，

图3

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''FQ=1cm,DF=FC=4cm,AB=8cm

：.QC=CD-DF-FQ=S-4-\=3(cm),DQ=DF+FQ=4+1^5(cm)

由(2)可知，QM=QC

设4P=PM=x,PD=8-x,

：.PD2+DQ2=PQ2,

即(8-X『+52=(X+3)2

解得：x=-4^0

540

AP=——cm；

11

当点。在点尸的上方时，如图,

APD

Q

«C

"：FQ=1cm,DF=FC=4cm,AB=8cm

QC=5cm,DQ=3cm,

由(2)可知，W=QC

1§：AP=PM=x,PD=S-x,

：.PD2+DQ2=PQ2,

即(8-才+32=(x+5y

24

解得：x=—

24

AP=—cm.

13

【我思故我在】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握

相关知识并灵活应用是解题的关键.

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3.将正方形4BCD的边48绕点A逆时针旋转至4夕，记旋转角为连接88',过点。

作DE垂直于直线33',垂足为点E,连接。

RR，

⑴如图1,当夕=60。时，AZ）E8'的形状为，连接2。，可求出"的值

（2）当0°<a<360°且aw90°时,

①⑴中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立,

请说明理由；

②当以点区E,C,。为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出隼的值.

-BE

【答案】（1）等腰直角三角形，V2;（2）①结论不变，理由见解析；②3或1.

【分析】（1）根据题意，证明V/B夕是等边三角形，得4483=60,计算出乙08£=45°,

DDr

根据。可得AZ）E5'为等腰直角三角形；证明△BOB':△"）/,可得7诟的值；

CE

（2）①连接BD,通过正方形性质及旋转，表示出NEB'D=/AB'D-/AB'B=45°,结合

DR，

DEIBB',可得AZJEB'为等腰直角三角形；证明:△EDC,可得的值；

CE

②分为以CD为边和CD为对角线两种情况进行讨论即可.

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【详解】（1）由题知/B/8'=60。，NBAD=9Q。,AB=AD=AB'

.-.ZB'AD=30°,且V458'为等边三角形

AAB'B=60",ZAB'D=1（180°-30°）=75°

ZDB'E=180°-60°-75°=45°

■■■DEIBB'

:.NDEB'=9Q。

:"B'DE=45°

为等腰直角三角形

连接BD,如图所示

ZBDC=ZB'DE=45°

NBDC-ZB'DC=ZB'DE-ZB'DC即ZBDB'=ZCDE

..CDDE

:•△BDB':ACDE

BB'BD2r-

.・.------==—==72

CECDV2

故答案为：等腰直角二角形，V2

（2）①两个结论仍然成立

连接BD,如图所示：

BC

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VAB=AB',/BAB'=a

.-.ZABB'=90°

2

•••ZB'AD=a-90°,AD=AB'

ZAB'D^135°--

2

•••AEB'D=NAB'D-NAB'B=45°

■■■DEIBB'

NEDB'=NEB'D=45°

••.△DEB，是等腰直角三角形

・•.&&

DE

•••四边形/BCD为正方形

—=V2,ZBDC=45°

CD

BDDB'

"CD-DE

■:AEDB'=ZBDC

NB'DB=NEDC

:AEDC

M①m

CECD

结论不变，依然成立

②若以点况瓦C,。为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论

第一种：以CD为边时，则CD//8E,此时点夕在线段BA的延长线上，

如图所示：

此时点E与点A重合,

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•••BE-B'E,得——=1；

DE

②当以CD为对角线时，如图所示:

此时点F为CD中点，

■.■DELBB'

：.CB'1BB'

■■ZBCD=90°

：./\BCF:/\CB'F:ABBt

BCCB'BB'c

CFB'FCB'

.-.BB'=4B'F

.•.BE=6B'F,B'E=2B'F

BE°

-----=3

B'E

综上：黑RF的值为3或1.

4.如图（1）,已知点G在正方形/BCD的对角线/C上，GELBC,垂足为点E,

GFLCD,垂足为点尸.

⑴证明与推断:

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①求证：四边形CEG尸是正方形：

②推断：黑的值为_____________;

一BE

⑵探究与证明：

将正方形CEG尸绕点C顺时针方向旋转口角（0<a<45°）,如图（2）所示，试探究线段NG

与3E之间的数量关系，并说明理由；

⑶拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中，当B,E,尸三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG

交4D于点巴

①求证：^AHG^/XCHA.

②若/G=8,GH=26，贝=.

【答案】（1）①见解析；②6

⑵AG=^BE，理由见解析

⑶①见解析；②4丽

【分析】（1）①由GE12C、GF,CD结合/BCD=90。可得四边形CEG尸是矩形，再由

/£CG=45。即可得证；②由正方形性质知NCEG=48=90。，NECG=45。，据此可得

=V2,GEPAB,利用平行线分线段成比例定理可得；

（2）连接CG,只需证△/CG-ASCE即可得；

（3）①根据题意可求出N5EC=135。.再根据△yiCGszXBCE,即得出乙4GC=N8£C=：L35。，

从而可求出41G//=NC48=45。.即证明A4//GSZ\C7£4；②由—得

AGGH4H,AGGH82V2

―，设BC=CD=AD=a,则NC=&a，由下==7得：=从而可

~AC~~AHCrzACAHyflaAH

求出4H=ga,D心,CH=",再由==||得：=太,解出。即可.

【详解】（1）①•・•四边形48Go是正方形,

."CZ)=90°,Z5G4=45°,

••,GEIBC、GF1CD,

・•・乙CEG=乙CFG=5CF=9G°,

・•・四边形CEGF是矩形，乙CGE=乙ECG=45°,

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:,EG=EC,

.•・四边形CEG尸是正方形；

②由①知四边形CEGk是正方形,

.•ZCEG=N5=9O。，NECG=45。，

—=V2,GE?AB,

CE

.•・任=”=行，

BECE

故答案为拒；

(2)如图，连接CG,

由旋转性质知乙CG=a,

亚CB_母

在RtACEG和RtACBA中，—

CG

空=(=应,

CECB

：2CGFBCE,

二线段AG与BE之间的数量关系为AG=41BE；

(3)①ZCE尸=45。，点2、E、尸三点共线,

・•・乙BEC=135°.

•••△ACGMBCE,

・••—GC=4B£C=135°,

：.UGH=CCAH=45°.

“CHA=UHG,

：・AAHG〜ACHA；

②・；AAHG〜ACHA,

AG_GHAH

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设BC=CD=AD=a,则/C=缶,

,AGGH,082A/2

则由K=得：~r~

ACAH42a~AH

1

AtTHT=—a,

2

1

：.DH=AD-AH=-a,

2

•-CH=y/CD2+DH2=

-1a

qAGAH382

••・由——=——得:VT

ACCH——a

2

解得：a=4而,即BC~4厢,

故答案为：4V10.

【我思故我在】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识，综合性

较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定

与性质是解题的关键.

5.如图1,在A42C中，乙4c3=90。，AC=BC=3,点。是直线N3上一动点(点。不与

点4,2重合)，以CD为边作正方形CDEF,连接/E,AF.

图1图2备用图

(1)观察猜想

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当点。在线段45上时，线段2。与/尸的数量关系是,NC4E的度数是.

（2）探究证明

当点。不在线段上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形

进行证明；如果不成立，请说明理由.

⑶解决问题

当AD=0时，请直接写出线段/E的长.

【答案】⑴90°

⑵当点。不在线段上时，（1）中的两个结论仍然成立，证明见解析

⑶线段/E的长为1

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质与正方形的性质，得出ASC0MA4CF,得到

BD=AF；过E作EHVAD,根据A5CD三A4CF得到N8/G=90。，确定四边

形4GE77是矩形，通过在皿E和AAfF中角度关系得出/瓦汨■=/£网?,进而得到

ADEH二AFEG（AAS）,确定四边形/GE〃是正方形，根据正方形对角线性质得出

ZCAE=90°；

（2）根据等腰直角三角形的性质与正方形的性质，得出ABCDMA4CF,得到8。=/万；

过E作EG,反4,EHLAD,根据ASCD三A4C尸得到/反4，=90。，确定四边形NGE”是

矩形，再根据正方形内角为直角可以得出NG£F=N〃ED,进而得至UAGE尸=A77DE（44S）,

确定四边形/GE"是正方形，根据正方形对角线性质得出/C/E=90。；

（3）在等腰直角小台。中，利用勾股定理得到斜边长为3拒〉收，可知。在边协上，根

据（1）中求解过程即可利用全等性质及勾股定理求出线段长.

（1）

解：；四边形CDE尸是正方形，

:.CD=CF,ZDCF=90°,

,•,在中，^ACB=90°,

：./BCD+NDCA=90°,ZACF+ZDCA=90°,

/BCD=ZACF,

在ASCD和A4CF中，

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AC=BC

</BCD=ZACF,

DC=CF

NBCD=\ACF(SAS),

BD=AF；

过E作£G_LE4,EHYAD,如图所示:

图1

由ABCD三A4W得ZCAF=ZB=45°,

•・•在AA5C中，^ACB=9Q°,AC=BC=3,

/./B4c=45。,

/FAB=90°,

ZBAG=90°,

.•・四边形是矩形，

令EF与AB交于I,在AZYE和A47F中，ADIE=AA1F,ZDEI=ZFAB=90°,

ZEDH=NEFG,

在AZ)£H和AFEG中，

ZDHE=ZG=90°

<NEDH=ZEFG,

DE=EF

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:.\DEH=\FEG（AAS'）,

EG=EH,

四边形/GE"是正方形，

VAE是正方形AGEH的对角线，

NEAB=45°,

ZCAE=ZCAB+NEAB=90°；

故答案为：BD=AF；/C/E=90。；

（2）

解：当点。不在线段48上时，（1）中的两个结论仍然成立.

证明如下：

:四边形COE尸是正方形，

:.CD=CF,ZDCF=90°,

••,在A4BC中，乙4cB=90。，

NBCD=NDCA+9。。,ZACF=ZDCA+90°,

NBCD=ZACF,

在A5c。和A4C尸中，

AC=BC

­/BCD=NACF,

DC=CF

\BCD=AACF（SAS）,

BD=AF■,

过E作EG_LE4,EHLAD,如图所示：

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图2

由NBCD三AACF得ZCAF=ZB=45°,

•・•在ZU5C中，。。5=90°,AC=BC=3,

/BAC=45。,

/./FAB=90°,

/FAH=90。,

四边形是矩形，

・・•ZDEF=ZGEH=90°9

ZGEF+ZDEG=90°f/HED+/DEG=90。,

ZGEF=ZHED,

在AGE厂和A//0E中，

ZEGF=ZH=90°

<ZGEF=ZHED,

DE=EF

AGEF二gDE(AAS),

EG=EH,

四边形是正方形，

vAE是正方形AGEH的对角线，

.\ZEAG=45°f

/./CAE=ZCAF+/EAG=90°；

故答案为：BD=AF；ZCAE=90°；

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（3）

解：在A42C中，0cB=90。，4。=8。=3,点。是直线N2上一动点（点。不与点力,B

重合），

AB=y]AC2+BC2=372，

---BD=4i,

,根据3也〉正可知点。在线段42上，

由（1）知BD=AF=，FG=DH,AG—GE=EH=HA,

过C作C7LA4于J,如图所示：

-AC-BC3x3

由等面积法可得67=产

-AB3近2

-AB

在用ACZV中，ACJD=90°,CJ=—,DJ=-AB-BD=—-42=—,

2222

•••正方形边长CD=yjCJ2+DJ2=

在RtMFG中,NG=90。，设4G=G£=£〃=/£4=x,贝IJ厂G=V^+x，EG=x,EF=M,

根据勾股定理可得（后+X）2+x2=（VTf,解得尤=*或一乎（舍弃），

在正方形4GE〃中，/E是其对角线，贝==

2

【我思故我在】本题考查几何综合，涉及到全等三角形的判定与性质、正方形的性质与判定、

等腰直角三角形的性质、勾股定理求线段长等知识点，综合性强、难度较大，根据题意构造

出恰当的辅助线是解决问题的关键.

6.已知，在△ABC中，AB=AC,点。为边AC上一动点，NBDE=〃且DB=DE,连接BE,EC,

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问题发现：（1）如图L若〃=60。，N8CE与〃怎样的数量关系？k的值为多少？直接写出

答案.

类比探究：Q）如图2,若黑=：,点。在4c的延长线上，N8CE与〃有怎样的数量关系？

nC2

k的值为多少？请说明理由.

拓展应用：（3）如图3,在RtAABC中，ZB4C=9O°,AB=AC=W,。为AC上一点，以3。为

边，在如图所示位置作正方形BDEF,点。为正方形BDEF的对称中心，且。4=2也，请直

接写出OE的长.

1«1

3

【答案】(1)NA=/BCE,笈=1；(2)ZBCE=ZA,k(3)DE=24.

【分析】问题发现：（1）证明DNBO@DCBE（S/S）,可得出=AD=CE,

类比探究：（2）证明ZUBCSADBE,得出"=g£,证明AXBQSACBE,得出

BDBE

ADAB3//73

—-=--=-.贝|/8CE=/4，k=-

ECBC22

(~)AAR1

拓展应用：(3)证明得出==贝求出40=10—4=6,

1JC£>Cyj2

则8。可求出.

【详解】解：问题发现：（1）NBCE=NA=60°；k=l.

-：AB=AC,NBDE=NA=60°,DB=DE,

KABC和NBDE都是等边三角形,

ZABC=ZDBE=60°,AB=BC,BD=BE,

ZABD=NCBE,

AABD=ACBE(SAS),

:.NA=NBCE,AD^CE,

任”1.

CE

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3

类比探究：（2）ABCE=AA,k=~.

理由如下：由于=AB=AC,BD=DE,

/ABC=ZDBE,

\DABCsDDBE,

.AB_BC

一~DB~~BE'

.ABBC

,・访一耘’

又Q^ABC+ECBD=EDBE+DCBD,

即/ABD=ZCBE,

/.\ABD^\CBE（对应边成比例，夹角相等），

.AD_AB_3

…~EC~5C-2,

3

/.ZBCE=ZA,k=~.

拓展应用：（3）DE=2V34.

连接50、0D,

・・•点0为正方形BDEF的对称中心，

・•.V5O。是等腰直角三角形，

又•••RtZkABC中,ABAC=9Q\AB=AC=10f

.•.VZBC是等腰直角三角形，

岫ODs\BAC

——=—,EiOBA+DABD=^ABD+ODBC,

BABC

.BO_BA

•茄-5CNOBA=/DBC,

/.DBOA^DBDC,

.OA_AB_1

一~DC~左一

高考复习材料

QOA=2V2,

.2A/2_1

,,京:6

DC=4,

\AD=10-4=6,

\BD=ylAB2+AD2=V102+62=2A/34.

【我思故我在】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相

似三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判

定方法与相似三角形的判定方法是解题的关键.

7.在四边形N8CD中，点E为42边上一点，点尸为对角线5。上的一点，且跖

（1）若四边形/BCD为正方形；

①如图1,请直接写出/E与。尸的数量关系；

②将AEB尸绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接NE、DF,猜想NE与。尸的数量

关系并说明理由；

（2）如图3,若四边形/BCD为矩形，BC=mAB,其它条件都不变，将尸绕点B逆

时针旋转e（0°<c<90°）得到连接4E",DF',请在图3中画出草图，并求出4E"

与DF'的数量关系.

【答案】（1）@DF=V2AE；@DF=V2AE,理由见详解；（2）DF'=^l+m2AE'■

【分析】（1）①利用正方形的性质得4ABD为等腰直角三角形，则BF=^AB,再证明4BEF

为等腰直角三角形得到BD=V^BE,所以BD-BF=0AB一血BE,从而得到DF=V^AE；

②利用旋转的性质得NABE=NDBF,加上喋=岑=&,则根据相似三角形的判定可得到

BEAB

LLI、IDFBFT

△ABE'^'ADBF,所以---二...-V2[；

AEBE

（2）先画出图形得到图3,利用勾股定理得到BD=7fTUAB,再证明△BEF“ZiBAD得到

高考复习材料

笺=空，贝［空="='1+22,接着利用旋转的性质得NABE，=NDBF,BE，=BE,BF=BF,

BABDBEBA

RFDT~\I-------

所以"77=3=J1+加2，然后根据相似三角形的判定方法得到AABE，〜△DBF，，再利用相似

BEBA

的性质可得与=咨="我了.

AEBA

【详解】解：(1)①•••四边形ABCD为正方形，

••.△ABD为等腰直角三角形，

.，•BD=^/2AB,

•­•EF1AB,

•••ABEF为等腰直角三角形,

BF=V2BE,

;.BD-BF=AB-y/2BE,

即DF=0AE；

故答案为：DF=V^AE；

(2)DF=V2AE.理由如下：

vAEBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置,

.,.ZABE=ZDBF,

BF血,

BE

处=犯=后

BEAB

.-.△ABE-ADBF,

:.空=里=也

AEBE

即DF=V^AE；

(2)如图3,

高考复习材料

图3

•••四边形ABCD为矩形,

.，.AD=BC=mAB,

•••BD=J4B?+AD?=Jl+m2AB,

vEFlAB,

.-.EFIIAD,

/.△BEF-ABAD,

BE_BF

BA~BD

BFBDr2

——=<l+m

BEBA

・••△EBF绕点B逆时针旋转a(0°<a<90°)得到△£侪,,

••ZABE'NDBF',BE=BE,BF=BF,

BF2

+m

BE'

••.△ABE,-ADBF,,

DF'

IFBA

即DF'=yll+m2AE'-

【我思故我在】本题考查了相似形的综合题：熟练掌握旋转的性质、矩形和正方形的性质;

灵活应用相似三角形的判定和性质，会利用相似比表示线段之间的关系.

8.(1)问题发现

如图1,在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=40",连接AC,BD交于点

M.填空：

①的值为_______；

BD

②NAMB的度数为.

(2)类比探究

如图2,在ZiOAB和△OCD中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,连接AC交BD的延长

高考复习材料

AC1

线于点M.请判断土的值及NAMB的度数，并说明理由;

BD

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，将aOCD绕点。在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,

OB=V7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.

【答案】⑴①1;②40。；(2)百，90°；(3)AC的长为3百或2VL

【分析】(1)①证明△COAmaDOB(SAS),得AC=BD,比值为1；

②由△COA三△DOB,得NCAO=NDBO,根据三角形的内角和定理得：ZAMB=180°-

(ZDBO+ZOAB+ZABD)=180°-140°=40°；

(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOCsZXBOD,则亲=要=若，由全等三角形

BDOD

的性质得ZAMB的度数；

(3)正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4,同理可得:

4ci-

AAOC^ABOD,贝I|NAMB=90。，一=V3,可得AC的长.

BD

【详解】(1)问题发现：

/.ZCOA=ZDOB,

高考复习材料

vOC=OD,OA=OB,

.-.△COA=ADOB(SAS),

•••AC二BD,

AC1

BD

(2)vAC0A=AD0B,

.,.Z.CAO=Z.DBO,

vZAOB=40°,

.-.ZOAB+ZABO=140°,

在△AMB中,ZAMB=180°-(ZCAO+ZOAB+ZABD)=180°-(ZDBO+ZOAB+ZABD)=180°-140°=40°,

(2)类比探究:

AT

如图2,——=J3,ZAMB=9O°,理由是：

BD

Rt^COD中，ZDCO=30°,ZDOC=90°,

同理得：^-=tan30°=—,

OA3

OP_OB

'~OC~~OA，

vZAOB=ZCOD=90°,

.,.ZAOC=ZBOD,

.-.AAOC-ABOD,

ACOCr-

——=——=J3,ZCAO=ZDBO,

BDOD

在aAMB中，ZAMB=180°-(ZMAB+ZABM)=180°-(ZOAB+ZABM+ZDBO)=90°；

(3)拓展延伸：

同理得：AAOC-ABOD,

高考复习材料

AC/T

/.ZAMB=9O°,—=。3,

BD

设BD=x,则ACMX,

RtaCOD中，ZOCD=30°,OD=1,

•••CD=2,BC=x-2,

Rt^AOB中，ZOAB=30°,OB=V7,

.'.AB=2OB=2V7，

在RtZiAMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

(GX)2+(X-2)2=(2V7)2,

x2-x-6=0,

(x-3)(x+2)=0,

Xi=3,X2=-2,

AC=3y/3;

在Rtz^AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

(6x)2+(x+2)2=(2J7)2.

x2+x-6=0,

(x+3)(x-2)=0,

Xi=_3,x2=2,

•*•AC=25/3;•

综上所述，AC的长为3月或2G.

高考复习材料

【我思故我在】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何

变换问题，解题的关键是能得出：△AOCsaBOD,根据相似三角形的性质，并运用类比的思

想解决问题，本题是一道比较好的题目.

9.解答题

⑴如图1,V48C和V/DE都是等边三角形，连接AD、CE,求证，BD=CE；

［类比探究］

(2)如图2,VZ3C和VNOE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°,连接CE.求

BD....

近的值.

［拓展提升］

Ar4E

(3)如图3,VZ3C和V4Z)£都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°,—=—=2.连接

ABAD

BD、CE,延长CE交AD于点尸，连接在\若/4FC恰好等于90。，请直接写出此时

AF,BF,(方之间的数量关系.

高考复习材料

【答案】⑴见解析

理

⑶CF=2BF+&F

【分析】(1)证明△84D也△C4E,从而得出结论；

(2)证明V84DSVCE,从而得出结果；

(3)过点2作W,垂足为点H,令48和CF相交于点0.通过证明AOBH^ABCH

以及AAOFSMOH,根据对应边成比例，即可将/忆BF,C尸三条线段表示出来，即可得

出结论.

【详解】(1)解：•••V48C和VADE都是等边三角形，

AB=AC,AD=AE,ZDAE=ABAC=60°,

；.NDAE-NBAE=NBAC-/BAE,即：/DAB=NE4C,

在VB4D和VC/E中，

'AB=AC

<ZDAB=ZEAC,

AD=AE

；.ABAD(SAS),

BD=CE.

(2)解：:V48c和V/DE都是等腰直角三角形，

/DAE=ZBAC=45°,ZADE=ZABC=90°,

AABCs/^ADE,

ADAEr,ADAB

—=—,贝lj—=—,

ABACAEAC

ZDAE-ZBAE=ABAC-ABAE,即：NDAB=NEAC,

在VA4。和VC/E中，

高考复习材料

ZDAB=ZEAC,—=—,

AEAC

\IBAD^\ICAE,

BD_AB

"~CE~7cf

令AB=x,根据勾股定理可得：AC=6x，

BDAB_x_V2

••苍一就一忘一于

过点8作5"，C尸，垂足为点"，令和CF相交于点。

AC4E

-ZABC=ZADE=90°—=——=2,

fABAD

,-.ZACB=ZAED=30°fABAC=ZDAE=60°,

：.\ACB^NAED,贝=

/.ADAE-ZBAE=ABAC-ZBAE,即：ZDAB=ZEAC,

ACAEc

v==2,

ABAD

：.\IBAD^\ICAE,

・•.AACE=AABD,

在△在和2Moe中，

AACE=ZABD,ZFOB=ZAOC,

ZOFB=ZOAC=60°,

设FH=x,OH=y,则5尸=2x,5H=瓜，

•：BHLCF,OBIBC,

:,NOBHs曲CH,

2

OHBHyV3xr3x

BHCH瓜CHy

高考复习材料

.-.CF=CH+FH=x+—=3x'+xy

y

•・•ZAFO=ZBHO=90°,ZAOF=/BOH,

■.^AOF^ABOH,

空=",即