2024届浙江省温州七校高三年级下册联合考试数学试题含解析

2024届浙江省温州七校高三下学期联合考试数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设龙、Az是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①”、八z均为直线；②心y是直线，z是平面；③z是

直线，x、y是平面；④尤、y、z均为平面.其中使“XJ_2且y，2=>%〃'”为真命题的是（）

A.③④B.①③C.②③D.①②

2.在AABC中，"sinA>sin5"是"tanA>tan6"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知a=log3、/5,Z?=ln3,c=2-0"»则的大小关系为（）

A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a

4.已知正方体ABC。—A耳GA的棱长为2,点尸在线段c片上，且4P=2尸C,平面。经过点ARG，则正方

体旦G01被平面a截得的截面面积为（）

1-7

5.已知复数2=（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）

2-1

丫2

6.若双曲线C：工—产=1的一条渐近线方程为3%+2y=。，则根=（）

m

7.函数_y=sin[x—引411|A1图像可能是()

8.以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数

尺2的值判断拟合效果，解越小，模型的拟合效果越好；③若数据不々，尤3,…，x”的方差为1，则

2凡+1,2々+1,2七+1,・，2七,+1的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据（玉,%）,（%,%），•，（%，％）），其线

性回归方程y^bx+a,贝！1"（%先）满足线性回归方程y=bx+a”是“/=石+'+%。,%=X+彳；%,,

的充要条件；其中真命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

9.设等比数列｛4｝的前项和为S“，若8%019+。2016=0,则称的值为（）

,3179

A.—B.—C.—D.一

2288

10.已知正方体A3CD-A4G。的体积为£,点以，N分别在棱8月，CG上，满足AM+MN+NR最小，则四

面体的体积为（）

A.—VB.-VC.-VD.-V

12869

11.已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示:

根据该折线图可知，下列说法错误的是（）

A.该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高

B.该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低

C.该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益

D.该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元

12.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车

登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外

村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：

甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；

乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；

丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；

事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）

A.甲走桃花峪登山线路B.乙走红门盘道徒步线路

C.丙走桃花峪登山线路D.甲走天烛峰登山线路

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在ABC中，已知AB=3,AC=2,ZBAC=120°,。为边的中点.若CELAD,垂足为E,

则E3-EC的值为一.

14.（x2+2）|^2x--j的展开式中所有项的系数和为,常数项为.

15.已知sina-cosa=0,则cos（2c+$=.

2

16.在平面直角坐标系中，双曲r线/=1的右准线与渐近线的交点在抛物线/二？。%上，则实数口的值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数

（1）讨论--的单调性；

（2）当-•时，_，求-的取值范围.

二◎一”一□““

18.（12分）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，

讨论学习.甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，现要从这9人的

两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.

（1）设事件A为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A发生的

概率；

（2）用X表示抽取的4人中乙组女生的人数，求随机变量X的分布列和期望

19.（12分）记S“为数列｛4｝的前〃项和，2S”—4=击（九6M）.

⑴求4+4+1；

（2）令优=an+2-an,证明数列也“｝是等比数列，并求其前n项和Tn.

122

20.（12分）已知离心率为一的椭圆二+4=13＞匕＞。）经过点。1,彳.

2a2b212；

⑴求椭圆M的方程；

⑵荐椭圆"的右焦点为口，过点口的直线AC与椭圆〃分别交于A,8,若直线ZM、DC、的斜率成等差数

列，请问ADC下的面积鼠爪尸是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

21.（12分）已知椭圆C:f+y2=i的右焦点为/，直线/：%=2被称作为椭圆C的一条准线，点P在椭圆C上（异于

椭圆左、右顶点），过点P作直线机：丁=丘+。与椭圆C相切，且与直线/相交于点Q.

(1)求证：PFLQF.

(2)若点P在x轴的上方，当△PQ尸的面积最小时，求直线加的斜率人

附：多项式因式分解公式：t6-3?-5r2-1=(?+1)(Z4-4?2-1)

37r1

22.(10分)已知在平面四边形ABC。中，//45。=—,45,4。,45=1945。的面积为一.

42

(1)求AC的长；

(2)已知。。=姮，ZADC为锐角，求3叱幺。C.

2

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

①举反例，如直线“、y、z位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的

两平面平行判断.④举例，如小八z位于正方体的三个共点侧面时.

【详解】

①当直线队y、z位于正方体的三条共点棱时，不正确；

②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确；

③因为垂直于同一直线的两平面平行，正确；

④如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时，不正确.

故选:C.

【点睛】

此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.

2、D

【解析】

7T27r

通过列举法可求解，如两角分别为二,丁时

【详解】

)JTTT

当人=—时，sinA>sin5,但tanAvtan5,故充分条件推不出；

36

TT27r

当A=一,3=——时，tanA>tan5,但sinA<sin3,故必要条件推不出；

63

所以“sinA>sin5"是"tanA>tan3”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

【点睛】

本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题

3^A

【解析】

根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小.

【详解】

因为logs0<log36=g，

所以a<L

2

因为3>e,

所以b=ln3>lne=l,

因为0>-0.99>—1,y=2工为增函数，

所以工<c=2«99<i

2

所以

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.

4、B

【解析】

先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.

【详解】

如图所示：

H

A,P，G确定一个平面a，

因为平面AA^DD^//平面BB℃i,

所以AQ//PG，同理AP//QG，

所以四边形APGQ是平行四边形.

即正方体被平面截的截面.

因为B]P=2PC,

所以G§i=2PC,

即PC=P6=1

所以AP=P£=小,AC[=2出

由余弦定理得：COSNAPG:”二G二

1p

所以sinNAPCy半

所以S四边形APQC,=2x|APxPC1xsinZAPQ=276

故选：B

【点睛】

本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于

中档题.

5、A

【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得出答案.

【详解】

51-i(1-0(2+031.

解：Z=----=-----------=-----1

2-z(2-z)(2+z)55

3_j_

Z在复平面内对应的点的坐标是5，-5

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

6、A

【解析】

根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得加的值.

【详解】

1(〃2〉0),3x+2y=0可化为y=_gx,则9"="!，解得"，=：•

由题意知双曲线的渐近线方程为y=土下x

sjm

故选：A

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.

7、D

【解析】

先判断函数的奇偶性可排除选项4G当x-0+时，可分析函数值为正，即可判断选项.

【详解】

y=sinIx-•ln|A|=-cosxln|A|,

-cos(-x)ln|-x|=-cosxln|x|,

即函数为偶函数,

故排除选项A,C,

当正数x越来越小，趋近于0时，—cosx<0,ln|x|<0,

所以函数,=sinX—?-ln|A|>0,故排除选项

故选：D

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.

8,C

【解析】

①根据线性相关性与r的关系进行判断，

②根据相关指数F的值的性质进行判断，

③根据方差关系进行判断，

④根据点（不，为）满足回归直线方程，但点（％，%）不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，

可进行判断.

【详解】

①若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确；

②用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，发越大,模型的拟合效果越好，故②错误；

③若统计数据%,乙，马，•，%的方差为1,则2%+1,2々+1,2七+1,-2%+1的方差为22=4,故③正确；

④因为点（％,%）满足回归直线方程，但点（%，%）不一定就是这一组数据的中心点，即,

%="彳；"。不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当%0=,%=»+彳；%。

时，点（九0，％）必满足线性回归方程y^bx+a-,因此“（1，%）满足线性回归方程夕=%+6”是

“飞户+”+司）,%=%+彳；”必要不充分条件.故④错误;所以正确的命题有①③.

故选：C.

【点睛】

本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程,

注意理解每一个量的定义，属于基础题.

9、C

【解析】

求得等比数列｛4｝的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得乎的值.

【详解】

设等比数列｛4｝的公比为彘,.•8。2019+。2016=°，"、咏一:，，4=W，

“2016"2

因此，f=W=1+"3=F

故选：c.

【点睛】

本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.

10、D

【解析】

由题意画出图形,将所在的面延它们的交线展开到与AM所在的面共面,可得当BB「CiN=：QC时

,y

++最小，设正方体AG的棱长为3a,得。3=为，进一步求出四面体AMND］的体积即可.

【详解】

解：如图，

•••点M,N分别在棱331,CG上，要A/+MN+N2最小，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面

共面，AM,MV,八@三线共线时，+政V+ND|最小，

设正方体AG的棱长为九,贝（J27a3=丫,

取BG=；8C,连接NG,则AGNQ共面,

在AANR中，设N到AD1的距离为％,

AR=J(3Q『+(3Q『=3y/2a,

D[N=yj(3a)2+a2=

AN=J(3缶。+(2〃)2=应a.

10/+22/—18/7

cos/D[NA=

2•-^22<7

sinZD12VA=^^

2755

.•.S=~D.N-AN-smZD.NA=]-AD.-h=^^-a2

ZAZJ|2VA2、12।I2

设M到平面AGNDI的距离为h.,

-AGNMGN

11

32

_1Ww_6^_3_V

■-VAMND'-3

故选D.

【点睛】

本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题.

11、D

【解析】

用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.

【详解】

用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：

月份123456789101112

收益203020103030604030305030

所以7月收益最高，A选项说法正确；4月收益最低，B选项说法正确；1-6月总收益140万元，7-12月总收益240

万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后6个月收益比前6个月收益增长240-140=100万

元，所以D选项说法错误.故选D.

【点睛】

本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.

12、D

【解析】

甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线，由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的，再分情况讨论即可.

【详解】

若甲走的红门盘道徒步线路，则乙，丙描述中的甲的去向均错误，又三人的陈述都只对一半，则乙丙的另外两句话“丙走红

门盘道徒步线路”，“乙走红门盘道徒步线路”正确，与“三人走的线路均不同”矛盾.

故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确，故丙的“乙走红门盘道徒步线路,，错误，“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中

“甲走桃花峪登山线路”错误，“丙走红门盘道徒步线路”正确.

综上所述,甲走天烛峰登山线路，乙走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路

故选：D

【点睛】

本题主要考查了判断与推理的问题，重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论，属于基础题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

27

13、——

7

【解析】

EB-EC=(EA+AB}EC=AB-EC=(AD+DB}EC=CD-EC=-EC?,

由余弦定理，得5C=j9+4—2x3x2xcosl20=M，

4+19—9

得cosC=,s=正

4M4

所以"=¥，所以EB-EC=—二

币7

点睛：本题考查平面向量的综合应用.本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系，得到

EBEC=—EC?，所以本题转化为求CE长度，利用余弦定理和面积公式求解即可•

14、3-260

【解析】

⑴令x=l求得所有项的系数和；⑵先求出（2x-展开式中的常数项与含土的系数，再求（炉+2）（2%-工］展

开式中的常数项.

【详解】

将尤=1代入（炉+2）（2工—工），得所有项的系数和为3.

因为的展开式中含土的项为（2x）21―口=粤,（2x—口的展开式中含常数项C：（2x）［—B=—160,所以

（V+2）—工］的展开式中的常数项为60—320=-260.

故答案为：3；-260

【点睛】

本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于基础题.

15、-1

【解析】

首先利用sina-cosa=0,将其两边同时平方，利用同角三角函数关系式以及倍角公式得到1-sin2a=0,从而求

7T

得sin2<z=l,利用诱导公式求得cos（2a+5）=—sin2a=—1,得到结果.

【详解】

因为sina-cosa=0,所以l-sin2e=0,即sin2tz=1,

7T

所以cos（2（z+—）=—sin2tz=-1,

2

故答案是一1.

【点睛】

该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，倍角公式，诱导公式，属于简单

题目.

1

16、-

4

【解析】

求出双曲线土-y2=i的右准线与渐近线的交点坐标，并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数。的方程.

3-

【详解】

双曲线工—y2=i的半焦距为2,则双曲线工—>2=1的右准线方程为X=3,渐近线方程为>=土且X，所以，该

3-3-23

(3

双曲线右准线与渐近线的交点为-,±

=2px|,解得p=；.

由题意得±

故答案为：1

【点睛】

本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析；(2)一,二

【解析】

(1)f(x)=(x+1)ex-ax-a=(x+1)(ex-a).对a分类讨论,即可得出单调性.

(2)由xe'-ax-a+lNO,可得a(x+1)<xex+l,当x=-l时，0£+1恒成立.当x>-l时，a.一令g(x),

_♦-UU-

利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.

【详解】

解法一：(1)二:二二二二.二二二一二二一二二(二：一二)(匚

①当-一「时，

-二

0f-«—n-1

一r-)-0+

二(二)极小值/

所以--在_._;•上单调递减，在_•_单调递增.

UJ1I»4lI11I

②当口>0时,口’(口)=@的根为口=*口或口=

若一即加

n(­x»-7)-1

+0-0+

/极大值X极小值/

所以口（匚）在-._/），-上单调递增，在LL9上单调递减.

若工二=T即一/

n=5

口,。1）之0在--+工上恒成立，所以二：二在_.一句上单调递增，无减区间.

nH*M3).:」二(h二一2)-1%(-J.+X”)

01(0)+0-0+

/极大值极小值7

所以一，一在Ij上单调递增，在1T上单调递减.

UJII•»*4U—iIJ.11AI1l

综上：

当二三，。时，二二在:_/_/）上单调递减，在_二_上单调递增；

当.时，--在一.①-，「_;+,，上单调递增，在..-_;）上单调递减;

C/rj1一JI..TAJ1皿1・”

IFvUV"

自时，二二在一工上单调递增，无减区间；

口=—\J\/

当时，在了：，，-•丁上单调递增，在士-上单调递减.

（2）因为一二二一口口一口+JN”所以二（匚+/）£：：匚'

当--_;时，恒成立.

------

当->_j时，口口：.」

一—）n工Qbs

us-o4r

令一二，

设,.-|）=-_;.一.1・'

因为二（二）=二二（二+9（二+：）>0在:］€（-/.+«）上恒成立，

即二（匚）=二［（二；+二+/）-/在：］W（—3+X）上单调递增•

又因为二:；_；,所以一匕在（_10上单调递减，在一上单调递增,

则一［――-•—•,所以—

综上，二的取值范围为_/1.

解法二：（1）同解法一；

⑵令一

二（匚）x2（0）+?二，一।二+上=二二--二二一二+」

所以二（二）=二二十二二二-二=二1、二，+/）-Z*

当-时，--，则--在_上单调递增，

」wu-3JNw"—J

所以，满足题意.

—二（-0=—->0

当入Z<时，

令一_一一二+—二_一,

因为---一，——1-）二，即--二一二+rjfj。一口在1L上单调递增,

又因为:=:，=,口立.，

所以-，--二2—二-二「在■［上有唯k的解，记为，

n(T,3%

加-0+

二(二)极小值/

■"v-/Oil,

一—n——z--rx*1

.n.一，满足题意.

=-二”[(口♦勺;+狂八一二〜+/”

当-：-时，--_—i+',不满足题意.

综上，-的取值范围为一,：

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能

力，属于难题.

24

18,(I)-；(H)分布列见解析，；.

73

【解析】

|.(II)先由题得X可能取值为0,1,2,3,再求X

(I)直接利用古典概型概率公式求P(A)=G^^=£

C9126

的分布列和期望.

【详解】

C'-C^-C；_362

(I)P(A)=

—个~~1267

(II)X可能取值为0』,2,3,

p(x=o)=衰喧

C9Izo42

P(X=1)=会喧哮

C9IZo21

。"=2)=*噫/

C9IZo14

X的分布列为

X0123

51051

P

42211421

EX=0x—+lx—+2x—+3x—=—

422114213

【点睛】

本题主要考查古典概型的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分

析推理能力.

g；(2)证明见详解，7L=1-^r

19、(1)an+an+l

【解析】

(1)根据可得2s向―!，然后作差，可得结果.

(2)根据(1)的结论，用〃+1取代”，得到新的式子，然后作差，可得结果，最后根据等比数列的前”项和公式,

可得结果.

【详解】

⑴由2s-。“=白①，则2S“+「a向=3②

②-①可得：2a,+1—an+l+an=/一击=~~

所以+a,+i=_:

⑵由⑴可知：4+4+i=—g③

则a.+i+4什2=一子不④

④一③可得:az_4击

则“=击，且"+1=六

1

则w，2+-2”+2厂1

令九=1,

b„1~2

2"+i

所以数列｛〃｝是首项为:，公比为g的等比数列

【点睛】

本题主要考查递推公式以及S”,4之间的关系的应用，考验观察能力以及分析能力，属中档题.

V2V29

20、(1)—+匕=1；(2)是，一

434

【解析】

⑴根据e=£=』及°?=廿+°?可得4尸=3/，再将点。[L代入椭圆的方程与4尸=3a2联立解出/,/,即可

a2I2；

求出椭圆的方程；

(2)可设AC所在直线的方程为＞=笈。-1),A(苞,%),B(x2,y2),左将直线AC的方程与椭圆的方

程联立，用根与系数的关系求出百+%2，再%2，然后将直线D4、DB、DC的斜率勺、女2、%分别用%，%2/表示，

利用匕+左2=2左3可求出f=4,从而可确定点。恒在一条直线％=4上，结合图形即可求出的面积鼠》〃.

【详解】

1c11

⑴因为椭圆的离心率为不，所以e=—=；；，即。=一。，

2a22

又〃=廿+。2,所以4〃=3a2,①

因为点在椭圆上，所以，+系=1，②

/=42

由①②解得2，所以椭圆C的方程为土+匕=1・

[b2=343

⑴可知c=l,/(LO),可设AC所在直线的方程为丫=依%-1),

y=左(x-l)

由1公y2，得(3+4比2)必一8女2%+4(左2—3)=0,

—+—=1

I43

设B（x2,y2）,C（t,k（t-1））,则尤i+々=°8），x,x2=^-——,

122

3+4k~3+4k

设直线D4、DB、。。的斜率分别为左i、&、%,

因为AB,尸三点共线，所以］^=1^=卜,即」7=上］=左，

Xj—19—1

33

3（11）=2左-3—%1+%2~2—=21,

所以k+k=乙I______%।%

/v|।八/2---------------1-----------

——2玉/一（再+犬2）+1

%一]X21X]—1X2121%]—1%2_],

3

&=---------

3t-1

因为直线94、DC、的斜率成等差数列，所以42=2%,

即（2左一1）«-1）=2左（/一1）一3,化简得/=4,即点C恒在一条直线％=4上,

3

又因为直线叱方程为x=l,且|。/|=7，

2

139

所以工女F是定值SgcF=5义］><3=7.

【点睛】

本题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题，属于中档题.

21、（1）证明见解析（2）_

【解析】

（1）由<万十，=1得（2左2+1卜2+4依+25-2=0令A=o可得r=242+1，进而得到尸,竺J,同理

y=kx+t

。（2,2左+力，利用数量积坐标计算bP尸。即可；

（2）5.六"—三，分kN。,k<0两种情况讨论即可.

【详解】

（1）证明：点尸的坐标为（1,0）.

[2

X2_1

+y

联立方程~2=,消去V后整理为（2公+1）尤2+4