2024年高考第一次模拟考试-数学（天津卷2）（全解全析）

2024年高考数学第一次模拟考试

数学(天津卷02)•全解全析

第I卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号，

2,本卷共9小题，每小题5分，共45分

参考公式：

•如果事件N、6互斥，那么P(/uB)=P(/)+P(B).

•如果事件N、6相互独立，那么尸(Z8)=尸(⑷尸(8).

•球的体积公式V=；万左，其中火表示球的半径.

•圆锥的体积公式其中S表示圆锥的底面面积，〃表示圆锥的高。

选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合/={x|2f-5x+2<0},S={x|0<x<l},则/口8=()

A.(°，]C.(1,2)D.(2,+oo)

【答案】B

【解析】-：2X2-5X+2<0,.-.1<X<2,故/才5=(利

故选：B

2.已知条件p」41,条件q：f-2尤20,则p是q的()

X

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】由题意?：,41=^~~"一或l<0,q:x2-2x>0^>x>2^x<0,

xx[xw0

若x=0,则条件中%2—2x20成立，但条件不成立，

若x=l,则条件P441成立，但条件q:x?-2x20不成立，

x

因此。是q的既不充分也不必要条件.

故选：D.

3.已知函数/(x)的部分图象如图所示，则的解析式可能为()

A./(%)=(3*+)sin2xB./(x)=+3-x)cos2x

C./(JC)=(3X-3-%)COS2XD./(x)=(3'-3nsin2x

【答案】C

【解析】因为/(无)的图象关于原点对称，所以/(x)为奇函数，

而y=3,+3T为偶函数，y=3工-3一”为奇函数，y=sin2x为奇函数，y=cos2x为偶函数,

/'(x)应该为一个奇函数与一个偶函数的积，排除B与D.

又因为了用=0，/3=炉+3-，卜心不满足/图=0,排除A,

故选：C

4.(log43+log83)(log32+log92)=()

54

A.-B.-C.15D.12

45

【答案】A

(log43+log83)(log32+log92)

=f|log23+^-log23Ylog32+1吗2

5

=|log23|log32

【解析】6

一级匣x酸

41g21g3

=4'

故选：A

5.已知数列｛凡｝满足凡+1=J—，a,=-l,贝1][0（）=（）

I.%

A.-1B.yC.2D.1

【答案】A

【解析】由题意，数列｛%｝满足。0+1=7^—，4=-1,可得出=1，%=2,&=T必=巳…,

]一七22

所以数列｛g｝构成以3项为周期的周期数列，则为。。=«3x33+1=«1=-1.

故选：A.

6.PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一,划分等级为：PM2.5日均值在35席/0?以下，空

气质量为一级；PM2.5日均值在35〜75）ig/m3,空气质量为二级；PM2.5日均值超过75Ng/n?为超标.如图

是某地8月1日至10日PM2.5的日均值（单位：pig/m3）变化的折线图，下列关于PM2.5日均值说法正确

B.前4天的日均值的极差小于后4天的日均值的极差

C.前4天的日均值的方差大于后4天的日均值的方差

D.这10天的日均值的中位数为45

【答案】B

【解析】解：对于A,将10天中的PM2.5日均值按从小到大排列为30,32,34,40,41,45,48,60,

78,80,根据百分位数的定义可得，这10天中PM2.5日均值的70百分位数是竺普=54,故选A错误；

对于B,前4天的日均值的极差为41-30=11,后4天的日均值的极差为78-45=33,故选项B正确；

对于C,由折线图和方差的定义可知，前4天的日均值波动性小，所以前4天的日均值的方差小于后4天日

均值的方差，故选项C错误；

对于D,这10天中PM2.5日均值的中位数为上詈=43,故选项D错误.

2

故选：B.

7.半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，

棱长为力的正方体截去八个一样的四面体，则下列说法错误的是（）

A.该几何体外接球的表面积为4兀

B.该几何体外接球的体积为4三7r

C.该几何体的体积与原正方体的体积比为5:6

D.该几何体的表面积与原正方体的表面积之比为（2+V3）:6

【答案】D

【解析】由题意得该几何体外接球的球心为原正方体的中心，

4

故外接球半径为1,外接球的表面积为4兀，体积为§兀，故A,B正确；

对于C,该几何体的体积f正方体一阳面体=（也）18x；x；x⑶X。*

正方体体积为2后，故该几何体的体积与原正方体的体积比为5:6；

对于D,该几何体有6个面为正方形，其余的面为边长为1的正三角形，S表=6xl+8x曰=6+26,

S正=6x（VI『=i2,

所以该几何体的表面积与原正方体的表面积之比为（6+2班）:12=（3+C）:6,故D错误.

故选：D.

8.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线=1m>0/>0）的左、右焦点分别为％F,,过耳的直线

与双曲线C的右支相交于点尸，过点。，&作ON，尸片,尸.，尸片，垂足分别为N,M,且M为线段尸N的中

点，|ON|=a,则双曲线C的离心率为（）

A°RV5+1„A/3+1nVo

222

【答案】D

【解析】因为片，巴为双曲线C的左、右焦点，

所以归用=2c,

因为ON_LPF},F2M1PF1

所以ON//F2M,又。为线段耳巴的中点，

所以N为线段的中点，且|ON|=g|M周，

又W为线段尸N的中点，

所以由时=1刈/|=.卜:冏1，

在RMO^N中，|ON|=a,周=6,

所以山N|=J|西2To甘=b，

所以归国=3b,pWP|=6,

因为点P在双曲线的右支上，

所以归片|-|尸阊=2°,

i^\PF2\=3b-2a,

在RtAA外尸中，\MF2\=2a,\MP\=b,\PF2\=3b-2a,

由勾股定理可得：（2a）2+〃=（36-2“f,

所以8b2=12。6,即26=3°,

所以4/=9.2,y.b2=c2-a2,

故4c2=13/,

Cy/13

所以e

a2

有5个不同的零点，则正实数。的取值范围为()

【解析】由题，当尤＞0时，/(x)=x+lnx,显然单调递增，且了5lnl0<0,/(2)=2+ta2>0,所

有此时/(x)有且只有一个零点,

71

所有当一万4x40时，/(x)=sinCOXH---有4个零点，令/(x)=0,即+?=左万，左cZ,解得

4

71,

-----1-kn

X=--------------,kGZ'

co

由题可得＜x«0区间内的4个零点分别是k=0,-1-2-3,所以-)即在左=-3与左=-4之间,

4>-71

CD1317

即《,解得片0＜了

71.

-------47r

4

<-71

CD

故选：A

第II卷

注意事项

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2.本卷共11小题，共105分.

二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给

3分，全部答对的给5分。

10.已知复数z满足叶包=2i（其中i为虚数单位），则同=.

Z

【答案】叵

2

【解析】由华卫=方,1+3i(l+3i)x(—i)3—i31.

得2=

Z2i-2ix(-i)23'

【答案】60

rr

【解析］展开式的通项为-=C6-i--x^,

取6-|厂=0,解得厂=4,常数项为或-21.（-1）4=60.

故答案为：60.

12.已知圆心为（凡0）的圆C与直线/：y=相切于点则圆C的方程为.

【答案】（X-4『+/=4

【解析】解：因为圆心为（。,0）的圆C与直线/：y=相切于点N（3,6）,

所以巫=-百，解得。=4,

3-Q

所以圆心为（4,0）,半径为r=J（4-3）?+（6）=2,

所以圆C的方程为（尤-4『+必=4,

故答案为：（X-4『+J?=4

13.已知。>1,b>l,则2%"+16崛"的最小值是

【答案】8

【解析】因为。＞1，b＞l,所以log6a＞0,log，＞0,

1h坨6

ioSb=~-

aIga

因为＜,nlog,bxlog/=l,

log/,a=~r~T

lg6

b

所以,2脸+\6log»0>2glogj=2亚。g-b《log;,a>242"：

当log“b=2时取

故答案为：8.

14.某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过5个红绿灯路口.如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红

灯的不同的分布情形共有种；如果他在每个路口遇见红灯的概率均为g，用J表示他遇到红灯的次数,

则E（/=.（用数字作答）

【答案】101

【解析】解：经过5个红绿灯路口，恰好遇见2次红灯的分布情形有C；=10种；

因为随机变量8（5,；）,所以E（J）=5xg=；

故答案为：10；g

7T

15.如图，在平行四边形MCO中，ZBAD=-,AB=2,AD=1,若M,N分别是边4D,CD上的点,

且满足多二2一

其中）e[05,则祈.方祈的取值范围是

【答案】[-3,-1]

【解析】

jr

作DH1AB;:ABAD=—,AD=\.

AH=-,DH

22

4(0,0),8(2,0),C

^=^=A,:.AM=(l-A)AD,DN=(l-A)DC,

:.AN=AD+Dl5^AD+(l-A)DC+(l-2)(2,0)=

同理可得:

(iry(oin、

BM=AM-AB=(I-A")Ab-AB=(1-A)-(2,0)=--------A,--——A

222222

故丽•两的取值范围是[T-l].

三、解答题，本大题共5小题，共75分,解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤。

16.在M8C中,。,6,c分别是角42,C的对边,且3cosAcosC(tanAtanC-l)=1.

57r

(I)求sin(2B—二)的值；

6

(H)若a+c=孚，6=6,求AA8C的面积.

sirUsinC八

【解析】(I)由3cos4cosC(taib4tanC—l)=l得:3cosAcosC---------------1=1

cosZcosC)

3(siiL4sinC-cos/cosC)=1

cos(Z+C)=-~cosB——

又0<B<7i

._2A/2

..sin5D—------

3

/.sin2B=2sin5cosB=4\cos2B=1-2sin?B=-口

99

⑻(7)17-476

=sin25cos----cos2Bsin——二---------------—I------I,-------------------

6692)\9)218

1QC-24c-b21

(II)由余弦定理得：cos5=-—匕二^(+)

lac3lac3

V73^/3.rz_45

又cic—---,b=\3>ac—

232

15A/2

=—acsinB=

232

17.如图，在长方体中，/。=/4=1,AB=2,点E1在棱上移动.

⑴求证：AE_L4。；

(2)当点E为棱的中点时，求点E到平面ACD,的距离；

77

(3)当4E为何值时，平面与平面所成的角为二？

4

【解析】(1)解：。为坐标原点，直线。4。。,。2分别为'//轴，建立空间直角坐标系,

设AE=x,0<x<2

则4(1,0,1)Q(O,0,1),E(l,x,0),41,0,0,q0,2,0

因为西•用=(1,0,1).(1,x,-1)=0,所以西_L/g

所以

(2)解：因为£为48的中点，则£0,1,0),

从而屏=(1,1,-1),AC=(-1,2,0),疝=(-1,0,1),

„.AQ-0

n一•A二D二=0,

{X

—a+2b—0a=2b

即,_n，得,从而为=(2,1,2),

—u+c—0a=c

所以点E到平面ACO,的距离为

,河£臼2+1-2£

h=1-；—；―L=--------:

3

TT

(3)解：由(1)AE=x,0<x<2时，平面与平面ZECD所成角为一.

4

则£(1户,0),2(0,0,1),C(0,2,0),

CE=(l,x-2,0),西=(0,-2,1),

设平面REC的法向量m=(a,b,c),

m-CE=a+(x-2)fe=0

，取6=1,得加=(2-x,1,2),

mCDl=-2b+c=0

平面4£CZ)的法向量2=(0,0,1),

兀2_V2

cos—=2

4\m\'\p\7(2-X)+5-2

由0<x<2,解得x=2-G或x=2+6(舍去).

,/E=2-G时，平面平。与平面所成角为正

22

18.设椭圆1T+方=1(°>6>0)的左、右焦点分别为耳，弓点P(。⑼满足附|=内用.

(1)求椭圆的离心率e；

(2)设直线与椭圆相交于A,8两点，若直线尸工与圆(x+l『+(y-6)=16相交于M,N两点，且

\MN\=^\AB\,求椭圆的方程.

O

【解析】(1)设耳(fO),&(c,0)(c>0),

因为|尸耳|=|大工所以加.—)2+/=2°,

整理得2(9)2+£-1=0,得£=-1(舍)，或£=_1,

aaaa2

所以e=g；

(2)由(1)知a=2c,b-y/3c>可得椭圆方程为3x,+4/=12c?,

直线尸区的方程为广百(x-c),

3x2+4y2=12c2

A,2两点的坐标满足方程组为，

y=y/3(x-c)

8

消去y并整理，得5/—8cx=0,解得：再=0,%—C

5

8

玉二0

得方程组的解和，

%=一&3G,

乂二可0

不妨设：N([C，¥^),5(0,-V3C),

所以|48|=J(|C)2+(?C+&)2=*,于是|MV|=:/8|=2c,

圆心(-1,6)到直线尸鸟的距离为d=

22

\MN\23

因为小+=4,所以产

2

整理得：7c2+12C-52=0,得c=-y(舍)，或c=2,

所以椭圆方程为：—+^=L

1612

19.已知。和::均为给定的大于1的自然数，设集合财=料.II黑…啰遮，集合

A—mxsX]-x：q---己=1.二」

(1)当q=二；；=，时，用列举法表示集合A；

(2)设了.[w且s=q.%q....*qq*4,r=b：+-…b^q*"1.其中.电离疟源.请;=』£；••一・明证明：若

a.v贝L<r.

【解析】⑴本题实质是具体理解新定义，当《=2,"=3时，"={0,1},

A={x\x=xl+2x2+4X3,X;eM,i-1,2,3},再分别对(项,修，马)取

(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1),得到A={0,1,2,3,4,5,6,7}(2)证明大小不等式,

般利用作差法.s—=Q-幻+(出-M+…+(%一%)产+(%-bn,根据新定义:

ai-bt<q-1,an-/>„<-1,(z=1,2,•••,«-1),所以

l

s-/V(g-l)+(q-l)g+…+(4-1)/L2_/，T=-q"-=-1<0,即s<f.

i-q

20.设函数/(x)=xsinx(xwR).

⑴证明/(x+2左兀)-/(x)=2Esinx,其中左为整数；

⑵设X。为f(x)的一个极值点，证明［/(尤。)丁=#y;

1+%

7T

⑶设/(X)在(0,+8)内的全部极值点按从小到大的顺序排列明,…