广东省广州市2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试卷

广州市广东实验中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试卷

选择题（每题3分，共30分）

1.在四个数万一,0,-1中，是无理数的为（）

7

A.万B.-C.0D.-1

7

2.将一个长方体沿四条棱切割掉一个三棱柱后，得到如图所示的几何体，则该几何体的俯视图是（)

主视方向

3.若使二次根式^/^在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x..2B.x>2C.x<2D.%,2

4.下列计算正确的是（)

A..+筋=B.(-1)°=0D.2a5-a3=2〃

x—2<1

5.将不等式组3x-5的解集表示在数轴上,

A.-2-101234

B.-2-101234

J——I——I——A——

D.-2-101234

6.设点Aa,%）和3（%,%）是反比例函数y=&图象上的两个点，当士＜龙2＜。时，*＜%，则一次

x

函数y=-2x+上的图象经过（）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

7.如图，在平面直角坐标系中，点A（3,0）,点8（0,4）,连结他，将线段至绕点A顺时针旋转90。得到

线段AC,连接OC,则线段OC的长度为（）

A.5B.V41C.取D.A/58

8.“5.12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏.为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效

率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车.设原计划每天修x米，所列方程正确的是（）

、120,1200120120,

A.——+4=——B.——=--------4

x2x2xx

c1201204n120)120

xx+\Xx+1

9.如图，AB是半圆的直径，NABC的平分线分别交弦AC和半圆于E和。，若BE=2DE,AB=4,

C.y/6

10.如图，点A、3为直线y=x上的两点，过A、3两点分别作y轴的平行线交双曲线y=L（x＞0）于

X

点C、D两点.若比＞=2AC,则40c2-。加的值为（）

A.5B.6C.7D.8

填空题（每题3分，共18分）

11.最近正值气温骤降感冒高发期，感冒病毒极易传染，同学们注意防寒保暖，其中有一种感冒病毒直

径约为0.00000036毫米，将数据0.00000036用科学记数法表示为.

12.已知点A（x-％）,8（%,%）在抛物线y=d-3上，且西<%<0,则％%（填“〈”或

>"或“=

13.某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解九年级200名学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的

20名学生的读书册数进行调查，结果如表：根据统计表中的数据估计九年级四月份读书册数不少于3本的

人数约有一人.

册数/册12345

人数/人25742

14.小丽设计了一种测量树高的方法：她将一根细线的一端固定在半圆形量角器的圆心3处，在细线的

另一端C处系一个小重物，制成了一个简单的测角仪（如图1）;将此测角仪放在眼前，使视线沿着仪器的

直径刚好到达树的最高点（如图2,图3）；小丽眼睛（即点A）离地1.5米，现测得Z4BC=58。，小丽与

树的水平距离是5米，则树高是米.（结果保留一位小数，参考数据：sin58°«0.85,

cos58°q0.53，tan58O®1.60）

15.如图，RtAABC中，Zfi4C=90°,AD1.BC,垂足为。，点E,F分别是AB,AC边上的动点,

DE^DF,若3c=25,CD=16,那么DE1与OF的比值是.

16.如图，在平面直角坐标系中，线段他的两个端点的坐标分别为（-1,2）、（1,1）.抛物线

>=62+法+。（。w0）与x轴交于c、。两点，点C在点。左侧，当顶点在线段上移动时，点C横坐

标的最小值为-2.在抛物线移动过程中，的最小值是

三.解答题（共72分）

17.（4分）解方程：3x（x-D=2（x-l）.

18.（4分）某海边公园一“帆船造型”景点的设计如图所示，其中点3,E,C,b在同一条直线

上.若ABUDE,AB=DE,BE=CF,那么AC与DF平行吗？为什么？

19.（6分）先化简，再求值：———Jr其中x=0+l.

x+1x-6%+92x—6

20.（6分）如图，从半径为9a〃的圆形纸片剪去!圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝

3

处不重叠），那么这个圆锥的高为多少？

21.（8分）2022年虎年新春，中国女足3:2逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军；2022年国庆，中

国女篮高歌猛进，时隔28年再夺世界杯亚军，一扫男足、男篮颓势，展现了中国体育的风采!为了培养青

少年人才储备，某初中开展了“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类

活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活

动中的一种）.根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：

（1）本次被调查的学生有一名；补全条形统计图；

（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是一；

（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图

法分析甲和乙同学同时被选中的概率.

22.（10分）如图，正比例函数、=履（发片0）与反比例函数〉='（加片0）的图象交于A、3两点，A的横

X

坐标为-4,B的纵坐标为-6.

（1）求反比例函数的表达式.

（2）观察图象，直接写出不等式质＜生的解集.

X

（3）将直线向上平移”个单位，交双曲线于C、£＞两点，交坐标轴于点E、F,连接OD、BD,若

的面积为20,求直线CD的表达式.

23.（10分）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的

平面垂直于桌面.在灯光照射下，在地面上形成的影子为CD（不计折射），AB//CD.

（1）在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明8的长度不变.

（2）桌面上一点尸恰在点。的正下方，且OP=36C〃2,PA=18cm,AB=18cm,桌面的高度为

60an.在点。与AB所确定的平面内，将至绕点A旋转，使得CD的长度最大.

①画出此时所在位置的示意图；

②CD的长度的最大值为cm.

0

24.(12分)已知抛物线y=以2.

(1)若此抛物线与直线y=x只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点(3,0).

①求此抛物线的解析式；

②以y轴上的点尸(0,〃)为中心，作该抛物线关于点P对称的抛物线y',若这两条抛物线有公共点，求“

的取值范围；

(2)若a>0,将此抛物线向上平移c个单位(c>0),当x=c时，y=0；当0<x<c时，y>0.试比较

ac与1的大小，并说明理由.

25.(12分)如图，在四边形ABCD中，AB=BC,ZB=ZD=90°,在AC上方取点E,使得NDCE

=ZZMC+45。，>AC=41CE.

(1)证明：B,C,E三点共线.

(2)取。E中点F,连接CF.

①探究线段A£>，CD,CF之间的数量关系，并给出证明.

②延长AD,CF相交于点若AB=20,则四边形45cM面积的最大值为.

备用图

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.在四个数万」,0,-1中，是无理数的为（）

7

A.万B.-C.0D.-1

7

【解答】解：A.乃是无理数，故本选项符合题意；

B.工是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；

7

C.0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；

D.-1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意.

故选：A.

2.将一个长方体沿四条棱切割掉一个三棱柱后，得到如图所示的几何体，则该几何体的俯视图是（）

主视方向

【解答】解：这个几何体的俯视图为,

故选：B.

3.若使二次根式下在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x..2B.x>2C.x<2D.x,,2

【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，

x-2..0j

解得x..2.

故选：A.

4.下列计算正确的是（）

【解答】解：A、故此选项不符合题意；

B、（-1）°=1,故此选项不符合题意；

C、（-;尸=4,故此选项不符合题意；

D、2a5-a3=2as,故此选项符合题意；

故选：D.

x—2<1

5.将不等式组3X-5的解集表示在数轴上，正确的是（）

----..1—3

12

-I---1---1---1---1-------

A.-2-101234

_J_________I____I_____I______6__

B.-2-101234

-1-----1----1——i----1----------

C.-2-101234

-J---------1---1-----1——J）-----

D.-2-101234

【解答】解：解不等式x—2vl,得：x<3,

解不等式主二3,得：

2

则不等式组的解集为-L,%<3,

故选：B.

k，一,___

6.设点A（x-％）和B®，%）是反比例函数y=—图象上的两个点，当玉<为<0时，*<必，则一次

尤

函数、=-2尤+左的图象经过（）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

k

【解答】解：点AQ,%）和3（%2，%）是反比例函数y=—图象上的两个点，当石<X2<0时，

%V%，

.•.玉<9<0时，y随X的增大而增大，

.,.左vO,

.•.一次函数y=-2x+4的图象经过的象限是：第二、三、四象限.

故选：D.

7.如图，在平面直角坐标系中，点43,0),点8(0,4),连结他，将线段至绕点A顺时针旋转90。得到

线段AC,连接OC,则线段OC的长度为()

A.5B.V41C.衣D.A/58

【解答】解：过点C作x轴的垂线，垂足为“，

ZBAC=90°,

:.ZBAO+ZCAM=90°,

又'ZBOA=ZCMA=90°,

:.ZBAO+Z.OBA=9QP,

:.ZCAM=ZOBA.

在AAO3和ACMA中，

ZBOA=ZCMA

<ZCAM=ZOBA,

AB=AC

\AOB=ACMA(AAS),

:.CM=OA,AM=BO.

又，A(3,0),8(0,4),

：.CM=OA=3,AM=BO=4,

所以点C坐标为(7,3),

贝lJOA/=7,CM=3.

在RtACOM中，

OC=A/32+72=A/58.

故选：D.

M2

8.“5.12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏.为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效

率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车.设原计划每天修x米，所列方程正确的是（）

旦旦4

lxx

旦型.4

XX+1

【解答】解：原来所用的时间为：—,实际所用的时间为：—.

x2x

故所列方程为：—=--4.

2xx

故选：B.

9.如图，M是半圆的直径，NABC的平分线分别交弦AC和半圆于E和若BE=2DE,AB=4,

则AE长为（）

4百

B.A/2+I

A.2C.46,亍

【解答】解：如图，连接8交AC于点产，

是半圆的直径,

ZC=90°,

平分NABC,

ZABD=NCBD,

AD=CD,

:.OD^AC,

:.AF=CF,

AO=BO,

:.OF=-BC,

2

ZDFE=ZC=90°,ZDEF=ZBEC,

:.NDEFs2EC,

.DFDEEF

BC~BE~CE~29

F=DF=1,EF=-EC,

:O2

:.BC=2,AE=-AC,

3

/.AC=ylAB2-BC2=A/42-22=2A/3,

一*2,4G

..AE=—x2,3=-----•

33

故选：D.

10.如图，点A、3为直线y=x上的两点，过A、3两点分别作y轴的平行线交双曲线y=L(x>0)于

X

点C、。两点.若瓦>=2AC,贝U4OC2—a>2的值为()

A.5B.6C.7D.8

【解答】解：延长AC交x轴于E,延长班)交无轴于尸.

设A、3的横坐标分别是a,b,

,点A、3为直线y=x上的两点，

二A的坐标是(a,a),5的坐标是S,6).贝1|4£=。e=。，BF=OF=b.

C、。两点在交双曲线y=L(x>0)上，则CE=1,DF=~.

xab

:.BD=BF-DF=b--,AC=a--.

ba

又、BD=2AC

:.b—=2(a—),

ba

两边平方得：62+二一2=4(片+±_2),即62+3=4(6+±)-6.

baba

在直角AOCE中，OC2=OE2+CE2=“2+，.，同理。。'k+二，

a2b2

4OC2-OD2=4(a2+-^)-(b2+-^)=6.

二.填空题(共6小题)

12.最近正值气温骤降感冒高发期，感冒病毒极易传染，同学们注意防寒保暖，其中有一种感冒病毒直

径约为0.00000036毫米，将数据0.00000036用科学记数法表示为_3.6xl(r_.

【解答】解：将数据0.00000036用科学记数法表示为3.6x10-7,

故答案为：3.6xlO-7.

13.已知点A(x-yt),B(X2,%)在抛物线y=Y-3上，且西<多<0,贝!]%_>_%(填“〈”或

“>”或“=”)

【解答】解：由题知，

抛物线y=f-3的开口向上，且以y轴为对称轴，

所以在对称轴左侧抛物线上的点，y随x的增大而减小.

因为<x2<0,

所以M>%.

故答案为：>.

14.某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级200名学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的

20名学生的读书册数进行调查，结果如表：根据统计表中的数据估计八年级四月份读书册数不少于3本的

人数约有130人.

册数/册12345

人数/人25742

7+4+?

【解答】解：200x/+4+J130(人),

20

即估计八年级四月份读书册数不少于3本的人数约有130人.

故答案为：130.

14.小丽设计了一种测量树高的方法：她将一根细线的一端固定在半圆形量角器的圆心3处，在细线的

另一端。处系一个小重物，制成了一个简单的测角仪（如图1）;将此测角仪放在眼前，使视线沿着仪器的

直径刚好到达树的最高点（如图2,图3）；小丽眼睛（即点A）离地1.5米，现测得N4BC=58。，小丽与

树的水平距离是5米，则树高是米.（结果保留一位小数，参考数据：sin58°«0.85,

cos58°«0.53,tan58°»1.60）

【解答】解：如图所示，EF表示水平地面，E表示小丽所占的位置，表示大树,

过点A作AG_L〃F于G,则四边形A£FG是矩形，

：.GF=AE=1.5m,AG=EF=5m,

在RtAAGH中，NAWG=58。，NAG〃=90。，

HG=———x—=3.125m,

tanZAHG1.60

:.HF=HG+GF=4.625«4.6m,

树［Wj是4.6m.

15.如图，RtAABC中，ZBAC=90°,AD±BC,垂足为。，点、E,F分别是AC边上的动点,

DE±DF,若BC=25,CD=16,那么DE1与OF的比值是

A

【解答】解：RtAABC中，Z£L4C=90°,

AD±BC,

,\ZADC=ZADB=90°,

:.ZBAD=90°-ZDAC=ZCf

/.AABD^ACAD,

.ADBD

~CD~7LD'

AD?=BDCD,

BC=25,CD=16,

.\BD=BC-CD=9,

AD2=BDCD=9x16,

.\AD=12,

ZEDF=ZADC=90°f

ZEDF-ZADF=ZADC-ZADF,

.\ZADE=ZCDFf

ZBAD+ZDAC=90°,ZC+ZZMC=90°,

:.ZBAD=ZCf

:./\AED^ACFD,

,DEAD123

..--==—=—=U./J.

DFCD164

15.如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为(-1,2)、(1,1).抛物线

>+bx+c(a20)与无轴交于C、。两点，点C在点。左侧，当顶点在线段至上移动时,点C横坐

标的最小值为-2.在抛物线移动过程中，a-6+c的最小值是_-7_.

【解答】解：点C横坐标最小时，顶点在A点,

则函数的表达式为：y=a(x+l>+2,

此时点C(-2,0),

将点C的坐标代入上式并解得：a=-2,

当顶点在3处时，。-6+c值最小，

则抛物线的表达式为：y=-2(x-1)2+1,

当x=-1时，=a-b+c=-1,

故答案为：-7.

三.解答题(共9小题)

17.解方程：3尤(尤-l)=2(x-1).

【解答】解：移项得：3x(x—l)—2(x—l)=0,

(无一1)(3元一2)=0,

x—1=0,3x—2=0,

18.某海边公园一“帆船造型”景点的设计如图所示，其中点5,E,C,尸在同一条直线上.若

AB//DE,AB=DE,BE=CF,那么AC与DF平行吗？为什么？

AD

BE

【解答】解：AC//DF,理由如下:

BE=CF,

/.BC=EF.

ABI/DE,

:.ZB=ZDEF.

在AABC和ADEF中,

AB=DE,

ZB=/DEF,

BC=EF,

:.\ABC=\DEF{SAS),

,\ZACB=ZF,

:.AC//DF.

13—％x2-1

19.先化简，再求值:________________!---------其中x=V2+l.

x+1x2-6x+92x-6

1___(%-3)2(%-3)

【解答】解:

x+i-(x-3)2(x+l)(x-l)

112(%—3)

----1-----•----------

x+1x—3(x+l)(x—1)

12

----1-----------

x+1(x+1)(%—1)

%-1+2

(x+l)(x-l)

1

=----,

x-1

1_1_V2

当工=&+1时,原式=

A/2+1-1-A/2-2

20.如图，从半径为9cm的圆形纸片剪去!圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重

3

叠)，那么这个圆锥的高为多少？

【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为厂

240x万x9

根据题意得2JIY=

180

解得r=6,

所以这个圆锥的高=5/92-6=3至(cm).

21.2022年虎年新春，中国女足3:2逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军；2022年国庆，中国女篮高

歌猛进，时隔28年再夺世界杯亚军，一扫男足、男篮颓势，展现了中国体育的风采!为了培养青少年人才

储备，某初中开展了“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为

了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生(每名学生必选且只能选择这五项活动中的一

种).根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：

(1)本次被调查的学生有100名;补全条形统计图；

(2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是一；

(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图

法分析甲和乙同学同时被选中的概率.

【解答】解：(1)本次被调查的学生人数为30+30%=100(名).

选择“足球”的人数为35%xlOO=35(名).

补全条形统计图如下:

(2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为二-乂360。=18。.

100

故答案为：18°.

(3)画树状图如下:

开始

甲乙丙丁

/K/N小小

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种,

71

・•・甲和乙同学同时被选中的概率为'=▲.

126

22.如图，正比例函数y=履次*0)与反比例函数、=生(〃?*0)的图象交于A、3两点，A的横坐标为

X

-4,3的纵坐标为-6.

(1)求反比例函数的表达式.

(2)观察图象，直接写出不等式履〈生的解集.

X

(3)将直线向上平移〃个单位，交双曲线于C、。两点，交坐标轴于点E、F,连接OD、BD,若

AOBD的面积为20,求直线CD的表达式.

【解答】解：(1)•正比例函数、=履(发片0)与反比例函数>的图象交于A、3两点，

X

:.A>5关于原点对称，

A的横坐标为T,6的纵坐标为-6,

・•.A(T6),5(4,-6),

点4T6)在反比例函数y=‘QwwO)的图象上，

X

/m

6=—,

-4

/.m=—24,

反比例函数的表达式为y=-—；

X

(2)观察函数图象，可知：当Y<x<0或x>4时，正比例函数y=的图象在反比例函数>='(〃?¥())

X

的图象下方，

/.不等式kx<~的解集为TvxvO或%>4；

x

(3)方法一：连接跖，作轴于点G,

A(T,6)在直线y=kx_E,

.\6=^k,解得左二一巳，

2

直线AB的表达式为y=--x,

CD//AB,

•0-SkOBD=SAOBE=2°，

B(4-6),

:.BG=4，

S.nRF=-OEBG=20,

:.OE=10,

.石(0,10),

3

/.直线8为丁=——x+10.

2

方法二：

连接防，作即/_Lx轴于"，

3

A(-4,6)在直线y="上，：.k=--,

直线AB的表达式为y=——x，

2

CD//AB9SbOBD=SbOBF=20,

5(4,-6),?.-OF6=20,

2

“20L’20八、

二.OF——,「.F(—,0),

33

设直线CD的表达式为y=~X+b,

代入厂点的坐标得，——x----\-b=0,解得6=10,

23

3

?.直线8为丁=——x+10.

2

廿fy

23.如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直

于桌面.在灯光照射下，回在地面上形成的影子为8（不计折射），AB//CD.

（1）在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明8的长度不变.

（2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP=36on,PA=18cm,AB=18cm,桌面的高度为

60cm.在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大.

①画出此时AB所在位置的示意图；

②CD的长度的最大值为80cm.

【解答】解：（1）设平移到砂，EF在地面上形成的影子为

AB//CD,

:.^OAB~AOCD,

△OEF~AOMN,

AOEB〜AOMD,

ABOBEF_OEOB_OE

CD~OD"MN~OM"OD~OM"

.EFAB

MN~CD"

EF=AB,

:.MN=CD,

沿着演方向平移时，CD长度不变.

(2)①以A为圆心，AB长为半径画圆，

当。。