2024年齐齐哈尔市高三数学4月第二次模拟考试卷及答案解析

2024年齐齐哈尔市高三数学4月第二次模拟考试卷

(全卷满分150分，考试时间120分钟)2024.04

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位

置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均

无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体

工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

5.本卷主要考查内容：高考范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知U为整数集，A={xeZ,2>4},则()

A.{0,1}B.{-1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

2.若zi=z+i,则z-z=()

A-—2B.1C.2D.4

3.样本数据16,20,21,24,22,14,18,28的75%分位数为()

A.16B.17C.23D.24

4.在一ABC中，2sinA=3sinB,AB=2AC,则cosC=()

1

A・—2B.--c.-D.——

244

5.Cg是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20

个正六边形组成.如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1,

A,民C为正多边形的顶点，则()

A.1B.2C.3D.4

6.早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲

学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若

2a+2b=l，则(4"+川/+1)的最小值为()

25「9-25

A.——B.—c.-D.——

416416

7.已知函数/(x)=e2'+(x-2a)e"+/(：〃£11)的最小值为8(〃),则g(〃)的最小值为()

A.-eB.--c.0D.1

e

数列｛%｝满足4+1=[(-l)"+2cosy

a

8.n，若〃1=1,则%024=()

A.3505B_^505C.3506D.-3506

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.如果正确选项为2个，则选对一个得3分，全部

选对得6分；如果正确选项有3个，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分.有选错的

得0分.

9.已知函数/(x)=sin]x-3+cos[x-g[,贝I]()

A.7[-事)为偶函数

B.曲线y=/(x)的对称中心为+左eZ

C.在区间gg)上单调递减

D.“X)在区间上有一条对称轴

10.已知0为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点在直线Z:x+y-l=0上，且/交C于4,8两点，

。为C上异于A8的一点，贝U()

A.p=2B.OAOB=4

C.|AB|=8D.有且仅有3个点。，使得△ABD的面积为40

11.已知函数函x)的定义域为R,设g(x)为"X)的导函数，f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(l-y),/⑴*0,

/(2)=0,则()

A./(I)=2B,g(l)=0

C.g(x)是奇函数D./(x+l)+/(x+2023)=0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知0为坐标原点，A(1,O),B为圆服：(*-2)2+丁=1上一点且在第一象限，卜1,则直线的

方程为.

13.某工厂为学校运动会定制奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，已知奖杯的底座是由金属片围成的空心

圆台，圆台上下底面半径分别为1,2,将一个表面积为配的水晶球放置于圆台底座上，即得该奖杯，已

知空心圆台(厚度不计)围成的体积为7兀，则该奖杯的高(即水晶球最高点到圆台下底面的距离)为.

22

14.设A为双曲线-2=1(。>0,6>0)的一个实轴顶点，8,C为:T的渐近线上的两点，满足

ab

BC=4AC，|AC|=a,则『的渐近线方程是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.己知不透明的袋子中装有6个大小质地完全相同的小球，其中2个白球，4个黑球，从中无放回地

随机取球，每次取一个.

(1)求前两次取出的球颜色不同的概率；

(2)当白球被全部取出时，停止取球，记取球次数为随机变量X,求X的分布列以及数学期望.

16.如图，在四棱锥P-A5CD中，CD_L平面ADP,ABCD,CD=2AB=4,是等边三角形,

E为DP的中点.

(1)证明：AE_L平面尸DC；

(2)若PA=6,求平面P3C与平面ABE夹角的余弦值.

17.设数列｛4｝的前"项和为5”,33=2a.+l.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵在数列｛%｝的《和%"项之间插入上个数，使得这人+2个数成等差数列，其中k=l,2,•・•7,将所有插

入的数组成新数列｛2｝,设4为数列伊“｝的前”项和，求金.

18.已知函数/(x)=alnx+--,QGR.

x

⑴当〃=2时，求曲线y=〃x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)当％20时，证明：exln(x+1)+e-x-cosx>0.

22

19.已知椭圆cj+2=1(。>6>0)的左顶点为A,过A且斜率为M%>0)的直线交y轴于点M,交C

ab

的另一点为尸.

(1)若左=g,M4=2PM,求C的离心率；

(2)点。在C上，若尸且tanZPQA=8,求左的取值范围.

1.D

【分析】运用集合补集运算及解一元二次不等式即可.

【详解】因为eA=｛尤eZ|x2<4｝=｛-2-1,0,1,2).

故选：D.

2.A

【分析】借助复数的运算法则及共轨复数的概念计算即可得.

【详解】i昌i(i+品l)=1三-i，_1-i1+i_1

z=H=z-z=-----

22-2

故选：A.

3.C

【分析】先将数据排序后结合百分位数公式计算即可.

【详解】由小到大排列为14,16,18,20,21,22,24,28,一共有8个数据,

8x0.75=6,所以75%分位数为；x(22+24)=23.

故选：C.

4.D

【分析】结合正弦定理可得23c=3AC,再结合余弦定理可得cosC.

由正弦定理可得，2BC=3AC,

又AB=2AC,所以AC:BC:AB=2:3:4,

不妨设AC=2k,BC=3k,AB=4k,

所以由余弦定理得cosC=4/+9/-16廿=_1

2x2kx3k4

故选：D.

5.B

【分析】运用数量积定义计算即可.

【详解】如图所示，

连接54,BC,由对称性可知，BA=BC,

取AC的中点耳，则ACLBH,AH=-AC,

2

又因为正六边形的边长为1,所以AC=2,

所以AB•AC=.|AB|COSABAC=|AC|-|AH|=2,

故选：B.

6.D

【分析】令帆=2",n=2b,结合基本不等式可得0＜租〃《；，化简(4"+1)(4,+1)可得

(40+1)(4〃+l)=(m»)2-2〃切+2,转化为求关于%的二次函数在区间(0,；］上的最小值即可.

【详解】不妨设根=2",n=2b,则相＞0,H＞0,

所以小+/22,rm，当且仅当机="时取等号,

gpO<mn<-,当且仅当7〃=”时取等号，

4

所以(4"+1)(4"+1)=(疗+1)(〃2+1)=(mn)2+m2+n2+1=+(m+n)2-2mn+1

=(mn)2—linn+2=^mn—l)2+1,(0<mn

i?5

所以当加〃=—时，(mn)9-2冽〃+2取得最小值一，

故选：D.

7.B

【分析】由二次函数的性质可知〃%)之％*令P(x)=%e)运用导数可求得P(x)的最小值，进而可得

结果.

xx

【详解】因为/(%)=匕2*+(%-2〃卜"+〃2=k"一〃)2+xe>xe,

令尸(x)=xex,则P(%)=ex(x+1)，

当X£(F,—1)时，尸'(力<0,尸(%)单调递减，

当工£(-1,+8)时，P'(X)>O,尸(%)单调递增，

e

f(x)>xex>-—,

e

故选：B.

8.A

【分析】利用累乘法巴=-3,则得到规律次=—3,则求出〃2必=35°6,根据咏=3即可求出%。24.

44k-3”2024

【详解】—=(-1)'+2cos^=-l,—=(-l)2+2cos7t=-l,

—=(-1)3+2cos—=-1-=(-l)4+2COS2TI=3

a.V72'%一

所以^^5^^2^^3^^4^^53

^^2^^3^^4

同理可得，—=-3,•••.9=-3,

a5a4k-3

因为2025=1+4x506,所以等=(-34=35°6,则的025=3皿,

因为咏=Qi).+COS1012H=3,所以电3=3505,

%024

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到&注=-3,则得到的必=3皿，最后根据&些=3即可得到答

女-3“2024

案.

9.BD

【分析】根据题意利用三角恒等变换整理得了（x）=2sin卜,结合正弦函数的性质逐项分析判断.

【详解】由题意可得:

对于选项A：因为7(x-g)=2sin(x-7c)=-2siiu:,所以/■1-g)为奇函数,

故A错误;

JT7T

对于选项B:令％=解得X=E+1,%£Z,

所以曲线y=〃x）的对称中心为keZ,故B选项正确;

对于选项C：因为/15）=2sin£=lj[m[=2sin5=2,

即即〃无）在修事）内不是单调递减，故C错误；

对于选项D：因为则工-弓«0,兀），

且y=sinx在（0㈤内有且仅有一条对称轴x=],

所以/（尤）在区间）上有且仅有一条对称轴，故D选项正确;

故选：BD.

10.ACD

【分析】直接将焦点坐标代入直线方程即可得到。=2,从而判断A；将表示成参数形式，利用韦达

定理即可判断B；利用48两点之间的距离和直线A8的倾斜角的关系即可判断C；将△ABZ）的面积条

件转化为点。到直线AB的距离条件，即可判断D.

因为抛物线C：/=2川（p>0）的焦点在直线/:x+y-l=O上，故代入得5+0-1=0,所以

P=2,A选项正确;

设Ae,yJW%］，将抛物线Cf』》与直线/：x+y-l=O联立，得丁=4。—y）,即

/+4y-4=0.

所以由韦达定理得%+%=-4,%%=-4,04.08=且五+%%=更一4=一3,B选项错误;

1616

由直线A3的斜率为-1,知其倾斜角为3邛兀，

4

2

故|A2|=Jx_y2|+1回一tang）=而-城+|乂-城=一丹|，

所以|4同=42\yl-y2\=-4%%=£J16+4x4=8,C选项正确；

设。的坐标为（4广,町，。到直线A3的距离为乙，则△ABD的面积5=白4同1=4L

从而△ABD的面积为40当且仅当乙=JL

另一方面，直线的方程是x+y-i=o,由点到直线的距离公式，

|4f+4r-l||4^2+4r-l|

知D到直线AB的距离L=

7i2+i2忑

所以L=0当且仅当|4产+4f-1|=2,即（4产+书一1）2一4=0.

而我们有

（4r+41）2-4

=（4产+十一3乂4产+书+1）

=（2+1）[⑵+1『-4]

=（2r+l）2（2r-l）（2f+3）

故满足条件的f恰有三个：-三不--

222

所以有且仅有3个点£）,使得△相£＞的面积为4拒，D选项正确.

故选：ACD.

11.ABD

【分析】赋值计算判断A；赋值并利用复合函数的求导法则求导探讨性质判断CD；探讨函数的周期计

算判断D.

【详解】函数/(x),对任意x,yeR,/(x+y)+f(x-y)=f(x)f(l-y),

对于A,令x=l,y=O,得/•⑴+/⑴而/⑴片0,则f(D=2,A正确；

对于B,令x=l,yeR,/(I+j)+/(I-y)=f(1)/(1-y)=2/(1-y),

则/(l+y)"(l-y),两边求导得，r(i+y)=-/,d-y),即g(l+y)+g(l—y)=o,

因此g(x)关于(LO)对称，g⑴=0,B正确；

对于c,由/d+y)"(i-y),得〃o)=/(2)=o,

令y=l,</(x+1)+/(x-1)=/(x)/(0)=0,两边求导得了'(x+l)+f'(X-1)=0,

即g(无一l)+g(元+1)=0,因此g(x-l)=g(l—尤)，函数g(x)是偶函数，C错误；

对于D,由/(x+l)+/(x-l)=0,得/(x+3)+f(x+l)=0,贝|/(尤+3)=/(尤一1),

因此函数的周期为4,/(元+1)+/(*+2023)=/。+1)+/(尤—1)=0,D正确.

故选：ABD

【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.

12.y=^-x

-3

【分析】数形结合求得直线的倾斜角，进而即可求得直线方程.

易知点A在圆M上，由=1可知，=

所以/区4M=60。，又因为|Q4|=|AB|,所以NBQ4=30。，

则直线。3斜率k=tan30。=走，故直线OB的方程为y=3x.

3-3

故答案为：y=^-x.

-3

13.4+0##收+4

【分析】由球的表面积、圆台体积公式可求得水晶球的半径及圆台的高，再求出水晶球球心到圆台上底

面的距离，进而可求得结果.

【详解】如图所示,

设水晶球的半径为小则471T2=8兀，解得厂=,

?

设圆台的高为〃，则7%=，无-12+兀.22+71.炉3),解得力=3,

又因为水晶球球心到圆台上底面的距离|。4|=J(V2)2-12=1,

所以该奖杯的高为访+r+1=4+及.

故答案为：4+V2.

14.y=±5/2%

【分析】由角平分线定理，结合余弦定理，求得OCO8,再求-4OC的正切值，进而即可求得渐近线

方程.

【详解】根据题意，作图如下:

依题意，以为NCOB的角平分线，且|CB|=4|CH|=4|C4|=4a,

11OBAB..

设|OC|=m，由角平分线定理可得：.=7F=3,贝I」。到=所；

AC2+CO2-OA|2m2m

在,CMC中,由余弦定理cosNOCA=

2ACCO2am2a

在△O3C中，由余弦定理可得，|O8『=Qc「+|gC『—2|℃|.忸（7,0$/0。4,

BP9/712=m2+16a2—2xmx4ax—,解得生=26.

2aa3

故cosNCOA=cosNOCA=,tanZCOA=A/2»

2a3

所以:T的渐近线方程是y=土&.

故答案为：y=±A/2X.

【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程，常见有三种方法:

①直接求出6,从而得解;

②只需要根据一个条件得到关于a，"，c的齐次式，转化为的齐次式，从而得解;

③求得其中一个渐近线的倾斜角（或斜率），从而得解.

15.（1）—

15

14

（2）分布列见解析；期望为？

【分析】（1）将所求事件表示成两个互斥事件的和事件，然后分别求概率再相加即可；

（2）对不同的X的取值，分类讨论所有可能的取出顺序即可求出X的分布列，最后用数学期望的定义

求出期望即可.

【详解】（1）设事件A为“前两次取出的球颜色不同”.

设事件B为“第一次取出了黑球，第二次取出了白球“，则P（g）=\xt=A，

事件C为“第一次取出了白球，第二次取出了黑球“，则尸（c）=：x]=],

因为事件B与C不能同时发生，故它们互斥.

Q

所以尸（A）=P（3+C）=P（3）+尸（C）=石,

Q

所以前两次取出的球颜色不同的概率为百；

（2）依题意，X的取值为2,3,4,5,6,

71

若第二次取出了全部白球，则只有两种取法（取决于2个白球取出的先后顺序），故尸（X=2）=忌=5,

若第三次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有2种可能，取出的

那个黑球有4种可能，

若第四次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有3种可能，取出的

另外2个黑球有C：=6种组合，它们又有2种排列方式，

2x3x6x21

故尸（X=4）=

6x5x4x35

若第五次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有4种可能，取出的

另外3个黑球有C：=4种组合，它们又有3!=6种排列方式,

2X4X4X64

故P（X=5）=

6x5x4x3x215

若第六次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有5种可能，取出的

另外4个黑球只有1种组合，它们有4!=24种排列方式,

2x5x1x241

故P（X=6）=

6x5x4x3x2xl3

所以X的分布列为

X23456

12141

P

15155153

1714114

所以数学期望双X）=2x话+3x百+4x《+5x运+6x§=§.

16.（1）证明见解析

⑵亚

13

【分析】（1）先证明CD_LAE,AE±PD,然后利用线面垂直的判定定理证明AE垂直于平面PDC；

（2）通过建立空间直角坐标系，由空间向量法即可求出两平面夹角的余弦值.

【详解】（1）由于AWP是等边三角形，E为。尸的中点.

故AE是等边ZW）尸的中线，所以AE_LPD,

又因为C£»_L平面AD尸，AE在平面AD尸内，所以CD_LAE,

由于CD和尸£）在平面PDC内，且交于点O,CDLAE,AE±PD,所以AE_L平面PDC；

（2）取PC的中点下，连接则由E是尸。的中点，知E尸是三角形尸CD的中位线，故所平行

于CZX

因为CD_L平面ADP,平行于8,

所以E尸垂直于平面ADP,即及1,所,政三线两两垂直.

以E为坐标原点，EP,EA,所的方向分别为％%z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系E-孙z,

贝！I由CD=4，AB=2,EF=—CD=2,EP=ED=—PD=—PA=3,

222

EA=Jp4-EP?=J36-9=34，知尸(3,0,0),8(0,34,2),C(-3,0,4),

所以尸2=卜3,3石,2),PC=(-6,0,4).

设平面P3C的法向量为祖=(x,y,z),则

m-PB=0f-

<,即一3x+3j3y+2z=-6x+4z=0,

mPC=0

令x=2,则y=0,z=3,故加=(2,0,3).

显然平面钻石的一个法向量为〃=(1,0,0).

,.m，n22y/13

而cosm,n=।-rj—p=—f==———，

\m\\n\V13xl13

故平面PBC与平面ABE夹角的余弦值为巫.

13

17.(1)«„=(-2)--'

⑵&=355.5

【分析】(1)运用%=J°、。求解即可.

(2)依题意可知，插入数列｛，｝后，｛〃“｝与｛〃,｝所构成的数列为生,4，a2,b2,b3,ait",b5,b6,

为L,结合等差数列前"项和公式及错位相减法求和即可求得结果.

【详解】(1)当”=1时，3sl=2q+l,所以q=1,

当2时，3%=3s“-3Sn_[=2”，-2a“_],gpan=-2an_x,

所以%=(-2)i,

当〃=1时，符合4=(-2)"',

所以1=(—2广；

(2)依题意，4=&爱，

,7/+22

a

b2+b3=？x"%~2=——〜

「3%+3a4

...a.+a.4j4

b4+b5+b6=2x5-a3-a4=2,

777ir.8%+8%

Z?29+Z?30+---+Z736=---xlO-6Z8-tz9=-------.

二二p.q+3出+5a3-i—13tz+15/+8为

所以‘36'17'

即2罩=(-2)°+3(―2)1+5(-2)2+…+13(-2)6+15(-2)7+8(-2)8,①

则也=(—2)+3(—2)2+5(—2)3+...+13(—2)7+15(—2)8+8(-2)9,②

由①—②可得,

78898

6盘=(-2)°+2(-2)'+---+2(-2)+8(-2)-15(-2)-8(-2)=l+2x2^：]+9x2=2133)

所以0=355.5.

18.(l)x-y-l=O

(2)证明见解析

【分析】(1)求导可得斜率，结合点斜式方程求解即可.

(2)求g'(x),运用Inx+^Nl放缩可得g'(x)2e"-eT+sinx,设〃卜)=d-1+sinx,求导可得"⑺,

结合基本不等式可得“⑺20,从而可得g(x)单调性，进而可证得结果.

【详解】(1)解：当a=2时，〃x)=21nx+—,则/⑴=21nl+—=0,

又/'(》)=彳一：=壬4，所以/'⑴="匚=1,即左=/«)=1,

所以在点。,0)处的切线方程为y=xT，即x-y-l=0；

(2)证明：设g(x)=e*lna+l)+er-cos%(x>0),则g(0)=0,

g，(x)=e》ln(x+l)H--------e-x+sin%,

设8(尤)=lru+！，则》。)=!一4=二，

XXXX

当xe(O,l)时，H,(x)<0,H(x)单调递减，

当xe(l,+oo)时,H/(x)>0,"(x)单调递增,

lnx+工21恒成立，

X

由Inx+421可知111(彳+1)+—>1,

所以g'(x)2e‘-eT+sinx(x>0),

设〃(x)=e*-eT+sinx(x>0),则/?(0)=0,

h'(X)=ex+b+cosx>2\Jex-e~x-1=1>0,

所以当xe[0,4<o)时，h'(x)>0,/z(x)单调递增，gz(^)>A(%)>//(0)=0,

所以g(x)单调递增,g(x"g(O)=O,

所以e*ln(x+l)+eT-cosx20.

【点睛】方法点睛：运用导数证明不等式常见方法：

(1)将不等式转化为函数的最值问题：

待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进

行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证.

(2)将不等式转化为两个函数的最值进行比较：

若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量,

达到证明的目标.本例中同时含In尤与ex,不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们

的最值，借助最值进行证明.

(3)适当放缩证明不等式：

导数方法证明不等式中，最常见的是d和:Inx与其他代数式结合的问题，