江苏省无锡市锡山区仓下中学2023-2024学年九年级（上）第一次段考数学试卷

江苏省无锡市锡山区仓下中学2023-2024学年九年级（上）第一

次段考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，

只有一个是正确的，请将正确的选项编号填写在答卷纸相应的位置处.）

1.（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）

A.2/+孙=3B.%2=i

2

CX4^-5=0D.a^+bx+c—0

x

2.（3分）若。。的半径为4cm,点A到圆心。的距离为5cm,那么点A与的位置关系

是（）

A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定

3.（3分）点/是△ABC的外心，则点/是△ABC的（）

A.三条垂直平分线交点B.三条角平分线交点

C.三条中线交点D.三条高的交点

4.（3分）若关于x的方程/-X-相=0没有实数根，则根的值可以为（）

A.-1B.-AC.0D.1

4

5.（3分）下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；

④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.（3分）如图，△ABC内接于ZC=45°,AB=2,则。。的半径为（）

A.1B.2A/2C.2D.72

7.（3分）某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台.设二、三月份每

月的平均增长率为x,根据题意列出的方程是（）

A.100（1+无）2=280

B.100（1+x）+100（1+无）2=280

C.100（1-X）2=280

D.100+100（1+龙）+100（1+无）2=280

8.（3分）如图，。。的直径AB=2,点。在A8的延长线上，。。与相切于点C,连

接AC.若NA=30°,则CD长为（）

B.近

D.M

9.（3分）如图，点O是矩形ABCD对角线8。上的一点，。。经过点C,且与AB边相切

于点E,若AB=4,BC=5,则O。的半径长为（）

万

BC5

f,9

10.（3分）如图，E是。。的直径上一点，AB=1O,BE=2,过点E作弦CZJ1.4B,P

是庇上一动点，连接。P，过点A作A。，尸。，垂足为。，则。。的最小值为（）

P-_c

D・平

A.炳5cSVB

2'"T"

二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案填写

在答卷纸的相应位置处.）

11.（3分）若x=2是方程/+3尤-2机=0的一个根，则根的值为.

12.（3分）方程/=«尤的根是.

13.（3分）若一元二次方程根胫+4尤+5=0有两个不相等实数根，则m的取值范

围.

14.（3分）如图，。。的直径CD垂直弦A8于点E,且CE=3cmDE=1cm,则弦AB=

15.（3分）如图，四边形A8CQ是。。的内接四边形，若/AOC=112°,则NABC的大小

为度.

16.（3分）如图，△ABC中，ZC=90°,AC=6,AB=10,。为BC边的中点，以上

一点0为圆心的OO和AB.BC均相切，则。。的半径为.

17.（3分）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼

成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,

则大正方形的面积为.

18.（3分）如图，AB是。。的直径，点C是AB的中点，点。是直径A8所在直线下方一

点，连接CD,且满足NAZ）8=60°,BD=2,AD=3«,则△A3。的面积

为_____________________;CD的长为.

三、解答题（本大题共8小题，共72分.请在答卷纸上指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤.）

19.（8分）解方程：

（1）（x+3）2=25；

（2）X2-4X+1=0.

20.（8分）已知：口ABCZ）的两边AB、A。的长是关于尤的方程/-1=0的两个实

数根.

（1）当“为何值时，四边形ABCO是菱形？求出这时菱形的边长；

（2）若的长为3,那么。A8CD的周长是多少？

21.（8分）如图，在。。中，直径与弦C£＞相交于点尸，ZCAB=45°,4APD=75；

（1）求的大小；

（2）已知圆心。到8。的距离为3,求的长.

22.（9分）无锡阳山水蜜桃是中国国家地理标志产品，软香可口、汁多味甜，有“水做的

骨肉”美誉.某水果批发商销售阳山水蜜桃，每箱成本是50元，经过调查发现：销售单

价是60元时，平均每天的销量是80箱，当销售单价每提高5元，平均每天就少售出10

箱，但销售单价不得超过90元.

（1）若销售单价为65元，求每天的销售利润；

（2）要使每天销售阳山水蜜桃盈利1200元，水蜜桃属于易坏食品，批发商想要尽快销

售水蜜桃，那么每箱水蜜桃的售价应为多少元？

23.（9分）请仅用无刻度的直尺作图.

（1）如图1,△ABC是。。的内接三角形，点尸在。。上一点，MBP=CP.画出

中的平分线；

（2）如图2,△ABC是的内接三角形，。是2C的中点.画出△ABC中的平

分线；

（3）如图3,。。为AABC的外接圆，BC是非直径的弦，。是BC的中点，E是弦A8

上一点，>DE//AC,请画出△ABC的内心/.

24.（10分）如果一元二次方程办2+6x+c=0的两根xi,无2均为正数,其中X1>X2且满足1

<XI-%2<2,那么称这个方程有“友好根”.

（1）方程（x-五）G-=0“友好根”（填：“有”或“没有”）；

（2）已知关于x的方程/-（f-1）x+f-2=0有"友好根”，求t的取值范围.

25.（3分）已知：如图，在△A8C中，AB^AC,以AC为直径的。。与8c交于点。，DE

LAB,垂足为E,a的延长线与AC的延长线交于点?

（1）试说明：是。。的切线;

（2）若。。的半径为6,BE=2,求CP的长.

26.（11分）如图1,在矩形ABC。中，AB=6cm,BC=8c«i,点P以3cm/s的速度从点A

向点B运动，点。以4cm/s的速度从点C向点8运动.点尸、。同时出发，运动时间为

/秒(0<?<2),是APOB的外接圆.

(1)当f=l时，的半径是cm,与直线。的位置关系

是

(2)在点尸从点A向点8运动过程中,当OM与矩形ABC。相切时，求t的值.

(3)连接PD,交OM于点N,如图2,当/APD=ZNBQ时，r的值

是

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，

只有一个是正确的，请将正确的选项编号填写在答卷纸相应的位置处.）

1.（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）

A.2x2+xy=3B.x2=l

C-X2-^--5=0D.ax^+bx+c—0

x

【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；

8、是一元二次方程，故本选项符合题意；

C、分母中含有未知数，不是整式方程，故本选项不符合题意；

D、当。=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

故选：B.

2.（3分）若。。的半径为4c7九，点A到圆心。的距离为5。小那么点A与。。的位置关系

是（）

A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定

【解答】解：：的半径为4c7〃，点A到圆心。的距离为5<?能，5cm>4cm,

.•.点A在圆外.

故选：A.

3.（3分）点/是△ABC的外心，则点/是△ABC的（）

A.三条垂直平分线交点B.三条角平分线交点

C.三条中线交点D.三条高的交点

【解答】解：点/是△ABC的外心，则点/是△ABC的三条垂直平分线交点，

故选：A.

4.（3分）若关于x的方程/-尤-m=0没有实数根，则m的值可以为（）

A.-1B.-AC.0D.1

4

【解答】解：•••关于X的方程x2-x-机=0没有实数根，

:=（-1）2-4XlX（-nt）=l+4m<0,

解得：m<_1,

故选：A.

5.（3分）下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧;

④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：①优弧比劣弧长，不一定，在同圆或等圆中结论成立，故①错误.

②三点可以确定一个圆，错误，应该是过不在同一直线上的三个点确定一个圆.故②错

误.

③长度相等的弧是等弧，错误，长度相等的弧不一定相等，等弧的长度相等，故③错误.

④经过圆内的一个定点可以作无数条弦，故④正确.

故选：C.

6.（3分）如图，△ABC内接于。。，NC=45°,AB=2,则。。的半径为（）

A.1B.2V2C.2D.V2

【解答】解：连接AO,并延长交。。于点连接8。，

VZC=45°,：.ZD=45a,

为。。的直径，：.ZABD^90°,

：.ZDAB=ZD=45°,

'：AB=2,：.BD=2,

AD=VAB2+BD2=V22+22=2&，

/.oo的半径AO=3D=

7.（3分）某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台.设二、三月份每

月的平均增长率为x,根据题意列出的方程是（）

A.100(1+x)2280

B.100(1+x)+100(1+x)2=280

C.100(1-x)2=280

D.100+100(1+x)+100(1+x)2=280

【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为尤，

则二月份生产机器为：100(1+尤)，

三月份生产机器为：100(1+无)2;

又知二、三月份共生产280台；

所以，可列方程：100(1+x)+100(1+x)2=280.

故选：B.

8.(3分)如图，。。的直径AB=2,点。在的延长线上，。。与相切于点C,连

接AC.若乙4=30°,则C。长为()

DC

A.AB.近C.2^1D.M

333

【解答】解：如图所示，连接BC,0C,

,：AB是直径，

：.ZBCA=90°,

又,.,NA=30°,

：.ZCBA=90°-30°=60°,

♦：DC是切线，

：.ZBCD=ZA=30°,ZOCD=90°

：.ZD=ZCBA-ZBCD=60°-30°=30°,

*：AB=2,

：.OC=1,

00=2,

•'•CZ)=7OD2-OC2=V22-12=^3

故选：D.

9.（3分）如图，点。是矩形ABC。对角线2。上的一点，。。经过点C,且与AB边相切

589

【解答】解：连接。C、OE,作。尸_LBC于点尸，则/OFC=/OP8=90°,

；O。与AB边相切于点E,

：.AB±AB,

•..四边形ABC。是矩形，AB=4,BC=5,

：.ZEBF=90°,ZM=BC=5,

设O。的半径为r,

.：NOEB=NEBF=/OFB=9Q°,

四边形8E0F是矩形，

:.BF=OE=OC=r,

:.CF=5-r,

：/BEO=NA=90°,ZEBO^ZABD,

：.△EBOs^ABD,

•EB=OE；

.而DA，

:.EB=4OE=£,

DA5

：.OF=EB=当,

5

\"OF2+CF2=OC2,

(Ar)2+(5-r)2=2,

5

整理得16r-250r+625=0,

，解得「=生或r=空(不符合题意，舍去),

82

•••OO的半径长为至，

故选：B.

B—__

10.(3分)如图，E是O。的直径A3上一点，AB=10,BE=2,过点E作弦P

是庇上一动点，连接。P，过点A作垂足为。，则。。的最小值为()

P,___

A.V553V5

2~T~D・平

【解答】解：：4。，尸£),垂足为。，

AZAQD=90°,

...点。在以AO为直径的圆上，

连接AD,以为直径作OM,如图,

连接并延长交OM于。'，

当。点运动到。'时，。。的值最小，

连接OD,

在RtZXODE中，

：。£>=5,0E=5-2=3,

•,•£)£=VOD2-OE2=4,

在中，

Rt^AQEAD=>/AE2+DE2=4-75.

.,.MA=MQI=2A/^，

在RtAAOM中，OAf=A/QA2-AM2=疾,

：.OQ'=MQ'-OM=2娓-遍=疾,

；.0Q的最小值为巡.

故选：A.

二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案填写

在答卷纸的相应位置处.）

11.（3分）若尤=2是方程/+3了-2巾=0的一个根，则.的值为5.

【解答】解：把x=2代入，得

22+3X2-2m=0,

解得：机=5.

故答案为：5.

12.（3分）方程x2=J^尤的根是XI=0,X2=J§—.

【解答】解：方程整理得：X（X-V3）=0,

可得x=0或x-^3=0,

解得：%l=0,X2=V3.

故答案为：XI=0,X2=V3

13.（3分）若一元二次方程m?+4x+5=0有两个不相等实数根，则一的取值范围，〃<三且

5

【解答】解：•••一元二次方程如2+4x+5=0有两个不相等实数根，

A=b2-4ac=41-4XmX5=16-20m>0,

解得：m<l,

5

:根WO,

・•・加的取值范围为：m■且机70.

5

故答案为：m<A且根#0.

5

14.（3分）如图，OO的直径CO垂直弦AB于点E,且CE=3an,DE=lcm,贝I］弦AB=

2y/21_cm.

D

【解答】解：连接。4,如图，

VCE=3cm,DE=lcm,

.\CD=10cm,

OC=OA=5cm,OE=2cm,

VAB±CD,

：・AE=BE,

在Rt/XAOE中，^£=5/52-22=721（cm）,

：.AB=2AE=2-/21（cM.

故答案为2j五.

D

15.（3分）如图，四边形ABC。是O。的内接四边形,若NAOC=112°,则/ABC的大小

为124度.

D

1

A

R

【解答】解：；NAOC=112°,

：.ZD=IZAOC=56°,

2

四边形ABCD是。。的内接四边形，

.\ZZ）+ZABC=180°,

/.ZABC=180°-56°=124°.

故答案为：124.

16.（3分）如图，ZkABC中，ZC=90°,AC=6,AB=1O,。为BC边的中点，以AD上

一点。为圆心的O。和A3、8c均相切，则O。的半径为—卫

【解答】解：过点。作。于点E,OFLBC于点F.

'：AB.8c是。。的切线，

点E、F是切点，

：.OE、O尸是。。的半径;

：.OE=OF；

在△ABC中，NC=90°,AC=6,AB=10,

.••由勾股定理,得BC=8；

又•.，。是3c边的中点，

••SAABD=S/\ACD,

又SAABD=SAABO+SABOD,

1.AB-OE+l-BD'OF^1.CD'AC,即10XO£+4XOE=4X6,

222

解得OE=卫，

7

，O。的半径是卫，

7

故答案为£.

7

A

17.（3分）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼

成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,

则大正方形的面积为289.

【解答】解：如图，设内切圆的圆心为。，连接OE,0D,

则四边形EODC为正方形，

OE=0£>=3=AC+BC-BA,

2

：.AC+BC-AB^6,

：.AC+BC^AB+6,

：.(AC+BC)2=(AB+6)2,

/.BC2+AC2+2.BCXAC^AB2+12A8+36,

而BC2+AC2=AB2,

：.2BCXAC=12AB+36①，

•••小正方形的面积为49,

CBC-AC)2=49,

：.BC2+AC2-28CXAC=49②，

把①代入②中得

AB2-12AB-85=0,

(AB-17)(AB+5)=0,

:.AB=n(负值舍去)，

大正方形的面积为289.

故答案为:289.

18.（3分）如图，AB是。。的直径，点C是窟的中点，点Z）是直径所在直线下方一

点，连接C。，且满足/AD8=60°,BD=2,AO=3«,则△A3。的面积为

CD的长为上Z2

一2-

【解答】解：交。。于E,连接8E,连接CA、CB,如图，

,：AB为直径，

/.ZAEB=ZACB^9Q°,

VZADB=60°,

：.DE=^BD=1,

2

:.BE=^^DE=S，

△AB。的面积=工乂3愿义«=包；

22

;点c是源的中点，

AAC=BC>

：.AC=BC,

...△ACB为等腰直角三角形，

把△C£>B绕点C顺时针旋转90°得到△（?刚，过F点作FHLDA于H点，如图,

AZFC£>=90°,NCFA=/CDB,CF=CD,AF=BD=1,

u：ZCFA-^ZCDA=ZCDB+ZCDA=ZADB=60°,

AZAFD+ZADF=30°,

：.ZHAF=30°,

；.FH=lAF=lf

2

:・AH=MFH=M，

在RtADFH中,DF=JFV+DM=V12+（473）2=7'

：.CD=亚o—迤.

22

故答案为：2；迹.

22

三、解答题(本大题共8小题，共72分.请在答卷纸上指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤.)

19.(8分)解方程：

(1)(x+3)2=25；

(2)x2-4x+l—0.

【解答】解：⑴：(x+3)2=25,

・\x+3=±5,

.*.xi=-8,X2=2；

(2)-4x+l=0,

-4x+1+3=0+3,

(x-2)2=3,

则x-2=J§或尤-2=-a，

解得尤I=F+2,X2=~V3+2.

20.(8分)已知：口ABC。的两边A3、的长是关于尤的方程mx+机-1=0的两个实

数根.

(1)当相为何值时，四边形ABC。是菱形？求出这时菱形的边长；

(2)若的长为3,那么。A8CD的周长是多少？

【解答】解：(1)♦.FA8CD为菱形，

：.AB=AD,

，关于x的方程/-mx+m-1=0有两个相等的实数根，

；.△=(-m)2-4X1X-1)=(m-2)2—0,

解得：mi=m2=2,

当机为2时，四边形ABC。是菱形.

将切=2代入原方程得了-2x+l=0,即(尤-1)2=0,

解得：X1=X2=1,

这时菱形的边长为1.

(2)将尤=3代入原方程得32-37〃+"Z-1=0,

解得：相=4,

原方程为f-4x+3=0,

又148。的两边A3、AD的长是关于x的方程/-mx+m-1=0的两个实数根，

：.AB+AD^4,

.•.□ABC。的周长是2(AB+AD)=2X4=8.

21.(8分)如图，在。。中，直径42与弦CD相交于点P,ZC4B=45°,ZAPD=75

(1)求的大小；

(2)已知圆心。到BD的距离为3,求4。的长.

【解答】解：（1）VZCAB=45°,ZAPD=75°.

：.ZC^ZAPD-ZCAB=30°,

:由圆周角定理得：ZC=ZB,

，/2=30°；

c

3

w

D

(2)过。作于E,

过。，

：.BE=DE,

:圆心。到BO的距离为3,

；.0E=3,

\'AO=BO,DE=BE,

：.AD=2OE=6.

22.(9分)无锡阳山水蜜桃是中国国家地理标志产品，软香可口、汁多味甜，有“水做的

骨肉”美誉.某水果批发商销售阳山水蜜桃，每箱成本是50元，经过调查发现：销售单

价是60元时，平均每天的销量是80箱，当销售单价每提高5元，平均每天就少售出10

箱，但销售单价不得超过90元.

(1)若销售单价为65元，求每天的销售利润；

(2)要使每天销售阳山水蜜桃盈利1200元，水蜜桃属于易坏食品，批发商想要尽快销

售水蜜桃，那么每箱水蜜桃的售价应为多少元？

【解答】解：(1)(65-50)X(80-10义65-6°)

5

=(65-50)X(80-10x9)

5

=(65-50)X(80-10)

=15X70

=1050(元).

答：每天的销售利润为1050元.

(2)设每箱水蜜桃的售价为y元，则每箱的销售利润为(y-50)元，平均每天的销量

是(80-IOXXZ^L)箱，

5

依题意得：(y-50)(80-10x11辿)=1200,

5

整理得：j2-150y+5600=0,

解得：yi=70,j2=80,

又：要尽快销售水蜜桃，

...y=70.

答：每箱水蜜桃的售价应为70元.

23.（9分）请仅用无刻度的直尺作图.

（1）如图1,△ABC是O。的内接三角形，点尸在O。上一点，且前=薜.画出△ABC

中NBAC的平分线；

（2）如图2,△ABC是。。的内接三角形，。是BC的中点.画出△ABC中/BAC的平

分线；

（3）如图3,。。为AABC的外接圆，8C是非直径的弦，。是8c的中点，E是弦AB

上一点，1.DE//AC,请画出△ABC的内心/.

二____A工A

p

图1图2图3

【解答】解：（1）连接AP,

,­,BP=AP.

：.ZBAP^ZCAP,

：.AP是/BAC的角平分线；

3

p

图1

（2）连接。。并延长与圆交于点£,连接AE,

:。是8C的中点，

:.BD=CD,

BE=CE，

：.ZBAE=ZCAE,

图2

（3）连接。。并延长与圆交于点G,连接OE并延长与圆交于点F,连接CF、AG相交

于点J,

•.•。是BC的中点，DE//AC,

是AB的中点，

由（2）可知，C户是NACB的平分线，AG是/A4c的平分线，

图3

24.（10分）如果一元二次方程以2+6x+c=0的两根XI,无2均为正数，其中X1>X2且满足1

<X1-X2<2,那么称这个方程有“友好根”.

（1）方程（X_近）G-=0没有“友好根”（填：“有”或“没有”）；

（2）已知关于x的方程/-（f-1）x+f-2=0有"友好根”，求t的取值范围.

【解答】解：（1）方程（x-我）（%-73）=0没有“友好根”，理由如下：

,/（%-/2）（"、&=0,

'.XI—,4^,X2—y[2,

这时％1>0,X2>0,但XLX2V1,

；・满足％1>X2且不满足1〈XI-X2<2这个条件，

...方程(X-V2)(x-V3)=o没有“友好根”;

故答案为：没有；

(2)x2-G-1)x+t-2=0

由已知△=(/-1)2-4XlX。-2)=(/-3)2>0,

.(t-1)±V(t-3)2

••A------------------------------,

2

；・当/>3时，xi=t-2,X2=l,

当/V3时，xi=l,x2—t-2,

・・,一元二次方程〃/+-+。=0有“友好根”，

1•XI,X2均为正数，X1>X2且满足1〈XI-X2V2,

若xi=/-2,X2=l,则1V/-2-1V2,

解得4V/V5；

卜-叱<2,无解

右=1,X2=t~2,贝!<J

0<t-2<l

综上，r的取值范围是4<r<5.

25.(3分)已知：如图，在△ABC中，AB=AC,以AC为直径的OO与3C交于点。，DE

VAB,垂足为E,即的延长线与AC的延长线交于点?

(1)试说明：是O。的切线；

(2)若。。的半径为6,BE=2,求C尸的长.

【解答】(1)证明：如图，连接。。，AD,

是直径，

：.AD±BC,

又：在△ABC中，AB^AC,

：.BD=CD,

9：AO=OC,

：.OD//AB,

DELAB,

：.DE±ODf

•・・。。为。O半径，

・・・OE是。。的切线；

(2)解:「。。的半径为6,AB=AC,

：.AC=AB=6+6=12f

•:BE=2,

：.AE=12-2=10,

过。作0H_L45于H,则四边形ODEH是矩形,

：.EH=OD=6,OH//EF,

：.AH=AE-OD=10-6=4,

:.AH=1AO,

2

AZAOH=30°,

：.ZF=30°