山西省部分学校2024届高三年级下册开学质量检测数学试题 含答案

山西省部分学校2024届高三下学期开学质量检测数学试题

2023〜2024学年第二学期高三开学质量检测

数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡

上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上

各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作

管小尊。.....................................................

4.采或芥题范围：高考范围。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知集合八={-2,1,3},8={1|侬转＞0},则A。8=

人（一去+8）B.{-1}C.{1,3}P.{3}

2.已知复数z=2+i,则?=

B.-fiC.iD.|+fi

3.“a=3”是“直线ax-2y-l=0与直线6工一切+c=0平行”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.“畅通微循环,未来生活更舒适”.我国开展一刻钟便民生活圈建设，推进生活服务业“规范化、

连锁化、便利化、品牌化、特色化、智能化”发展，以提质便民为核心，高质量建设国际消费中心

城市，便民商业体系向高品质发展.某调研机构成立5个调研小组，就4个社区的便民生活圈

的建设情况进行调研，每个调研小组选择其中1个社区，要求调研活动覆盖被调研的社区，共

有派出方案种数为

A.120B.240C.360D.480

5.已知等比数列｛%｝的前〃项和为S”，若知=告，则端其=

A.8B.9C.16D.17

6.已知向量a=(2,tanO'),b=(cos9,―1")，若a〃b,则cos29=

AWC—

,25

「高二并受IS1■&彘涮I・期母维i-ffrr-ffcA市”

7.已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角,半径为2的扇形，则此圆锥内切球的半径为

713713

9

8.已知椭圆C：^+^=l(a>6>0)的离心率为堂，左、右焦点分别为B出，P是C上一动

点，若点P到焦点的最大距岗为2+通，则cosZFiPFz的取值范围为

A[—1,一1]B.[一看1]C.D.

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.下列说法正确的是

A.数据7,8,9,11,10,14,18的平均数为11

B.数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位数为16

C.随机变量£〜N(10,4),则标准差为2

D.设随机事件A和B,已知P(A)=0.8,P(B|A)=0.6,P(B|/)=0.1/」P(B)=0.5

10.正方体ABCD-AIBIGDI的棱长为2,M是正方形ABCD的中心,P为线段上一动

点，则

A.BiM_LAC

B.直线与直线AD所成角的余弦值为第

C.不存在点P使得DP〃平面ABiDi"

D.三棱锥A.-ADP的体积为定值

11.已知为定义在R上的偶函数且/(力不是常函数,F(x)=f(l-z)T,gQ)=fg+l)-l,

若g(z)是奇函数，则

A.的图象关于(1,1)对称B./(x)=/(x+4)

C.F(幻是奇函数D.FQ:)与g(z)关于原点对称

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分。

12.若函数了(1)=43(32+浦">0,0>0,|/<变)的部分图象如图,则了⑺的图象的一

13.已知a>0,6>0,a+6=l,则翁士^十四士^的最小值是•

ab

22

14.已知双曲线C：3一方=13>0,6>0)的左、右焦点分别为凡㈤，点P在C的左支上,

|威|=3%|西+铝|=26,延长P0交C的右支于点Q,点M为双曲线上任意一点(异

于P,Q两点)，则直线MP与MQ的斜率之积归卬•%=.

【高三开学质量检测•数学第2页(共4页)】

四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

记/XABC的内角A,B,C所对的边分别为a,6,c,A=120°,2\ABC的面积为等，且/+妨2—

O

26c=9.

(D证明:c=26；

(2)求AABC的外接圆的半径.

16.(本小题满分15分)

如图，已知四边形ABCD为菱形,DE_L平面ABCD,BF_L平面ABCD,AD=BD=ED=2.

(1)证明:平面BCF〃平面ADE；

若平面平面求BF的长.

(2)AFE_L*BFC,

17.(本小题满分15分)

2023年9月23日第19届亚运会在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥

运项目和9个非奥运项目.为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行

了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件4="了解亚运会项目”,

B="学生为女生”，据统计P(A|B)=4，P(B|A)=4，

(1)根据已知条件，填写下列2X2列联表，并依据a=0.001的独立性检验，能否认为该校学

生对亚运会项目的了解情况与性别有关？

了解不了解合计

男生

女生

合计

(2)现从该校了解亚运会项目的学生中，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，再从

这9名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X,求X的分布列和数学

期望.

附：，=WT着猊卷7T团，〃-+6+c+d.

a0.0500.0100.001

*3.8416.63510.828

「高二并举的悬榆涮・新空箪a市，HA市)】

18.(本小题满分17分

如图，已知抛物线E4=2z与点P(m,州),过点P作E的两条切线，切点分别为A,B.

(D若A(2,—2),求切线PA的方程；

⑵若工。一加+2=0,求证:直线AB恒过定点.

19.(本小题满分17分)

已知函数/(x)=lnx+mx^mE'R').

⑴讨论函数了(%)的单调性；

(2)若m=0,对任意工＞0,些绦抖(z)恒成立，求实数a的取值范围.

X+1

1UJL.A1Z.

2023〜2024学年第二学期高三开学质量检测・数学

参考答案、提示及评分细则

1.C由后干1>0可得B=(一管,+8),所以AnB={l,3}.故选C.

2.C因为之=2+i,所以==2—彳=铝=,事第二卜■一卷i.故选C.

3.B若两直线平行，则有〃=3且cr—2,应选B.

4.B将这5个调研小组分成2,1,1,1这4个小组，然后派往4个社区，所以派出方案种数为&•A|=24O.故

选B.

5.A设Si=H(HKO),则&=4z,因为{a“}为等比数列，所以5,&二S,8—Sa,Sw-82仍成等比数列.

Sis-S&=9z,向2=13人

为S's，故0=用=8.故选A.

"二=3,所以所以Y

Si6—Sj2=27»r,

6.D因为Q〃力，所以cos仇an0H~~1-=0.得5出6=—■，所以cos%=l—2sin20=l—2x(—z-)=—[.故

OD0乙J

选D.

7.D侧面展开图扇形的弧长为2X9=K,圆锥底边的半径「满足2w=n,解得"所以该圆锥轴截面是

乙乙

一个两腰长为2,底边长为1的等腰三角形，底边上的高为空，设内切球半径为R,则R(l+2+2)=lX

年,夫=喑.故选D.

8.B由题意知e=^=<a+c=2+&所以『2一6'所以Q1,故C的方程为3+北1,设

尸(2cos0,sin0),又Fi(—芯,0),F?(禽,0),故PFi=(—虱—2cos一sin。)，PF2=

PF-PF4cos2。-3+sin2夕_3cos2g~2

(5/3^—2cos一sin6)，所以cos/FiPF?}2

|AKl・I户卢I(2+73cos0)(2—点cos0)4-3COS2<?

T+L3；OS2e[一■^,1].故选B.

9.ACD对于A,7+8+9+10jll+14+18=][,即平均数为口，A正确;

对于B,该组数据共10个，贝I]10X80%=8••第80百分位数为%跄=18.5,B错误;

对于C,•.飞〜N(10,4),二方差为4，则标准差为2,C正确;

【高三开学质量检测•数学参考答案第1页(共6页)】

对于D,P(B)=PCAB)+B>AB》=P(A)尸〈B|A)+P(A)P(B|A)=O.8=0.6+(1—0.8JX0.1=0.

48+0.02=0.5,D正确.故选ACD.

10.ABD对于A项,在△〃附中,B|A=BC=2&,M是AC的中点，所以

故A正确;对■于B项，设N是AB的中点，连接MN,则MN//

AQ,所以NBMN是异面直线EM与直线AD所成角(或其补角)，在

△8刖中,82，(庠2+22=代，B[N=/一+22=疝,MN=1,所

6+1—5噂•故B正确;对于C项，根据正方体的性质

以cos/BiMN

2X>/6X1

可知BD//B}D,,BCf//AD,,由于BDU平面AB,D,,B,D}U平面AB}口，所以〃平面AB]口，同理可

证得BG〃平面AB,D,，由于BDDBG=B,BD,BCU平面BGD,所以平面AB)Dt〃平面BQD,当BC,

flB|C=Pn寸.DPU平面BGD.所以DP〃平面A8A,即存在点P使得DP〃平面A8口,故C错误;对

于D项,心“小―叫=y••AB=*X*X2X2X2=q■，故D正确.故选ABD.

11.ABC由题意，得g(z)+g(—z)=0,即/(■!•+1)—1+/(—7+1)—1=0,整理，得—x+1)=

2,所以y=/(z)的图象关于(1,1)对称.故A正确;又为偶函数.则/(.r)+/(a—2)=/(.r)+/(2-.r)

=2,所以/(x-2)+/(j-4)=2,/(x)=八工一4),所以/(H)=f(z+4),故B正确；F(.r)+F(—z)=

/(I—])—1+/(1+Z)L1=0,故C正确；因为F(—.r)=g(.r)，所以F(z)与g(.r)关于y轴对称，不关于原

点对称，故D错误.故选ABC.

12.悟,0)(答案不唯一)由题图可知A=2,因为当工=0时./(z)=一伍，所以si”=一堂.因为1卯1＜

晟•，所以味一看，所以/9=2sin(3"一卷).由题图可知母丁＜缪＜得了,所以即VTV醇所以普〈3

Lro'674iZZbob

vg由题图可知，当z=缪时,/(力取得最大值，所以骋一号=£+2麻柒ez,解得3=%+2,&ez.

□1Z1Z0Z0

又_1_＜3＜当，所以/=2,所以/(父)=2sin(2H—5-),令2支—，=阮,££2,解得MGZ,所以

0000c10

/(7)图象的对称中心为(竽+*,0)决GZ,当k=0时,/(7)图象的一个对称中心为(~1~,0).

13.14由题意知。＞0,6＞0,。+〃=1,则=3+—+2+-y-=5+—+-y-^5+(—+-7-)X

'a"I+"b%।abab、a.b)

(a+〃)=10+立+¥)10+2、阵律=14,当且仅当a=暂时等号成立，所以眦包十辿尹的

abNab66ab

【高三开学质量检测•数学参考答案第2页(共6页)】

最小值是14.

14.2依题意，设双曲线C的半焦距为c,则IBF2I=2c,|FQ|=c，因为。是

F,F2的中点，所以函+前=2而，故由|茂+前|=24得|而|=b,

因为I前I一|茂|=2a,|银|=3",所以|再=a.在△PRF?中，

℃/p”=|PB>+用小」一1PH4:/+4产-9/=/—2a?在

cos/PRFz-2|PF)||>^2|2aX2c-ac'在

2

八,L八|PFtP+I^Op-lPOlL/十，一加

△尸FQ中，cos/0B°=一匕/%—=2ac=

"匚广人V所以中U•呜5合2,所以强Mi

15.⑴证明：因为5人村=得展出八=平，所以〃c=磊，.......................................2分

ZO乙

所以/+4〃­2〃。=9=2尿，..............—...........................................4分

整理得（2〃一「）2=0,所以c=2〃.......................................................6分

⑵解:由（1）知。=2仇又会=£,所以4=普,c=3,.......................................8分

由余弦定理.得/=〃+/—26ccosA,所以。=挈，.........................................10分

由正弦定理，得2R=总'所以R=孽.

13分

16.(1)证明：因为DE_£平面ABCD,BF_L平面ABCD,所以DE//BF,

又DEU平面ADE.BFU平面ADE,所以BF〃平面ADE..................................2分

因为四边形八BCD为菱形.所以BC//AD.

又ADU平面ADE,BCU平面ADE,所以BC〃平面AOE..................................4分

【高三开学质量检测•数学参考答案第3页（共6页）】

DCO,—1,0),ECO,—1,2).................................................................8分

所以FA=(5/3,—1,—a)，E/\=(悟,1,—2)，

设平而EFA的一个法向量为，〃=(l,»,二),

A,

(m•FA=0fy3x—az=0.

叫_e

''in•EA=0〔6工+»—2u=0.

令2=2伍，得m=（2+a,2偌一&a,2悟）;................................................10分

BF=(0,0,“)，BC—(—,—1,0)i

设平面BFC的一个法向量为"=5臼),

<n•BF=0(az\=0,

则4_>X

Li•BC=01一四7］一yi=0,

令力=1,得/i=（l,一悟，0）..................................13分

因为平面八「后_1_平面BFC所以m•〃=4a-4=0,解得a=l,

故BE的长为L........................................................................15分

17.解:⑴因为P〈AB〉=9P(BIA)=4,

o•*

所以对杭州亚运会项目了解的女生为令X50=30,了解亚运会项目的学生为期=45,..............2分

J乙

结合男生和女生各50名，填写2X2列联表为:

了解不了解合计

男生153550

女生302050

合计4555100

3分

零假设H。：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关,

用112切11¥主|+1，力曲阳2100X(15X20—30X35)2100〜八^,

根据列联表中的数据.犬=----50X50X45X55----=H0n9n1n<110n-8o2oo8=现刈，

依据a=0.001的独立性检验,可以推断Hn成立，

即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关........................................7分

（2）由（1）知,采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，其中男生人数为盖加X9=3（人）；

【高三开学质量检测•数学参考答案第4页（共6页）】

女生人数为甘、X9=6（人）.8分

由题意可得，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P（X—0）—Q-42」（XT"。21'

P（X=2）=GG=5p（x=R）=C、C=］

1（X'）a14U（AJ）Q21,

随机变量X的分布列如下：

X0123

51()51

P

4221TT1A

.......................................................................................13分

则E（X）=0X:十1X$+2X9+3X/=告............................................15分

18.⑴解:显然切线PA的斜率存在且不为0,设切线PA：1y+2=4Q—2），

彳C入/=27,得人了？一？》一4人一4=0,：.......................................................2分

由△=（-2）2一必（一心一4）=0,解得/:=--............................................4分

所以直线PA的方程为》+2=一十（工一2），即.r+23，+2=0.................................6分

⑵证明:设A5,»1）,B（才2，32），切线PA：y—yi=k<x—xi'>=*（工-y）,

2

代入）=2工，得/1y-2?+2了］一£乂=0,...................................................8分

由△=（）,解得4=工・......................................................................9分

y\

所以直线PA的方程为了=上工+若，即土—》»+的=0......................................10分

同理直线PB的方程为7—2V+/2=0....................................................11分

因为P（.ro,yo）在直线PA和P6上，

产oc+ii=O，

所以，可得点A（N1，V）,3（/2，82）在直线T—yl）y+xl）=0上，

所以直线A3的方程为］一、”+曲=0....................................................14分

因为Z）一>i+2=0,所以X）=心+2,则直线AB的方程为（1—））7o+①-2）=0.

【高三开学质量检测.数学参考答案第5页（共6页）】

(l—y=O,Lr=2,

由《可得4

IN-2、=0,1^=1,

故直线AB过定点(2,1)・....................................................................................................................................17分

19.解:⑴由题意知/8的定义域为(0,+8),人工〉=十+〃00,.........................................................1分

若切》0/(—