河北省滦南县2024年高考仿真卷数学试卷含解析

河北省滦南县2024年高考仿真卷数学试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知空间两不同直线加、n,两不同平面e,/3,下列命题正确的是（）

A.若7〃£且〃a,则mnB.若〃z，，且加_1_〃，则〃P

C.若加_1_。且加/?,则D.若机不垂直于且“<=a,则M不垂直于“

22

2.存在点/（%,稣）在椭圆=+当=1（。〉6〉0）上，且点M在第一象限，使得过点M且与椭圆在此点的切线

ab

干+等=1垂直的直线经过点［o,-1］，则椭圆离心率的取值范围是（）

3.执行如图所示的程序框图，若输入a=lnl0,b=\ge,则输出的值为（）

A.0B.1C.2IgeD.21gl0

4.若函数〃x）=2sin（x+2d）-osx（0＜^＜!）的图象过点（0,2）,则（）

A.函数y=/（x）的值域是[0,2]B.点是y=/（x）的一个对称中心

C.函数y=/（x）的最小正周期是2»D.直线x=5是y=/（x）的一条对称轴

5.已知随机变量。满足。（。=左）=螳（1—2广"讲，，=1,2,左=0,1,2.若3＜化＜。2＜1,则（）

A.E⑸＜E&）,£＞信）＜小）B.E信）＜E㈤,哨＞鹤）

C.E⑷＞E㈤,£＞（/＜£＞©）D.E⑹〉E©）,。信）＞D倡）

6.运行如图所示的程序框图，若输出的i的值为99,则判断框中可以填（）

A.S>1B.S>2C.5>lg99D.S>lg98

7.以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月=100）变化图表，则以下说

法错误的是（）

1030510305

10265

10225

10185

10145

10105岫

H±Wrt!月隼月月

201*1201922019*3月201

Lii■2u01年4月lkbujidil

图表图表二

(注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是

北京、天津、上海、重庆)

A.3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均

B.4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102

C.四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小

D.仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

2x+y>4

8.设X,y满足—1,贝！Jz=x+y的取值范围是()

x-2y<2

A.[—5,3]B.[2,3]C.[2,+00)D.(—8,3]

9.在关于x的不等式依2+2》+I>O中，是“62+2》+1>0恒成立”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.设函数Ax)的定义域为R,满足/(x+2)=2/(x),且当xe(0,2]时，/(%)=—x(x-2).若对任意xe(-8,利，

都有/(%)<—,则根的取值范围是().

(91(19]23

A.-oo,-B.—C.(-oo,7]D.—00,——

I4」I3」3

11.已知耳,B是双曲线C：j-丁2=1(。〉0)的两个焦点，过点”且垂直于x轴的直线与。相交于AB两点，若

a

|AB|=V2,则AABF2的内切圆半径为()

竽

A3R币「3上D.

・--上5•-----•------

333

12.已知等差数列｛an｝,贝!I"a2>ai”是“数列｛an｝为单调递增数歹U”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，直三棱柱ABC—A4G中，NC4B=90°,AC=AB=2,=2,尸是BQ的中点，则三棱锥C—40/

的体积为.

14.在［也的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于.

15.在AABC中，角所对的边分别为",仇c,S为AABC的面积，若c=2acos3,5=,”2一工。？，则AABC

24

的形状为,C的大小为.

16.某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为

8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为一分钟.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知三棱锥P-A5C（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形A3C。为边长等于0的正方形，AABE

和均为正三角形，在三棱锥P-45C中:

图二

（1）证明：平面B4C_L平面ABC；

（2）若点”在棱物上运动，当直线BM与平面HLC所成的角最大时，求直线与平面所成角的正弦值.

18.(12分)如图，在四棱锥P—ABC。中，平面43。平面BLD,AD//BC,AB=BC=AP=-AD,ZADP=3Q，

2

ZBAD=90，E是尸。的中点.

（1）证明：PD上PB；

（2）设4）=2,点M在线段PC上且异面直线8M与CE所成角的余弦值为手，求二面角"-A3-0的余弦值.

19.（12分）某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如

图1）：规定产品的质量指标值在［65,85）的为劣质品，在［85,105）的为优等品，在［105,115］的为特优品，销售时劣

质品每件亏损0.8元，优等品每件盈利4元，特优品每件盈利6元，以这100件产品的质量指标值位于各区间的频率代

替产品的质量指标值位于该区间的概率.

1410

20

loo

80

fto

4()

2()

01__1_I_I-----1__>__L-

01()2(»4()5060

年皆哥用了(万元)

图2

（1）求每件产品的平均销售利润;

（2）该企业主管部门为了解企业年营销费用X（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对该企业近5年

的年营销费用占和年销售量为,（，=1,2,3,4,5）数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.

555

立,2（%一斤）（匕一可

i=l1=1i=li=l

16.3523.40.541.62

[5]5

表中％=lnx,，匕=ln%,M,v=-^v,..

〉i=l〉z=l

根据散点图判断，y=a/可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）的回归方程.

①求y关于X的回归方程；

②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益=销售

利润—营销费用，取0359=36）

附：对于一组数据（4,匕），（w2,v2）,,（"“』"），其回归直线/=0+的斜率和截距的最小二乘估计分别为

5

,工（4—硕匕―"）

B=-—j-----------，a=v-pii.

£（%—方）2

Z=1

%=3+2cosOL

20.（12分）已知曲线C的参数方程为，9为参数），以直角坐标系原点为极点，以x轴正半轴为极轴并

y=l+2sin（z

取相同的单位长度建立极坐标系.

（1）求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；

（2）若直线I的极坐标方程为sin，-2cos，=工，求曲线C上的点到直线I的最大距离.

P

21.（12分）已知函数〃司=一,

（1）求函数/（九）的单调区间；

4/

（2）当0＜机＜/时，判断函数g（x）=——〃z,（x＞0）有几个零点，并证明你的结论；

（3）设函数〃（％）=；X--+/（X）x---f（x）-ex2,若函数/z（x）在（O,+8）为增函数，求实数C的取值

/X乙X

范围.

22.（10分）已知函数/（x）=|x+a|+|2x-5|（a〉0）.

(1)当a=2时，解不等式/•(尤)25；

(2)当2a-2］时，不等式/(九)W|x+4卜恒成立，求实数。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

因答案A中的直线加，〃可以异面或相交，故不正确；答案B中的直线”U£也成立，故不正确；答案C中的直线机

可以平移到平面£中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面〃，互相垂直，是正确的；答案D中直线心也有可

能垂直于直线"，故不正确.应选答案C.

2、D

【解析】

根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.

【详解】

因为过点M椭圆的切线方程为誓+岑=1，所以切线的斜率为,

aba%

/3

由"#2X1_空］=_1,解得％=2<仇即/<2c2，所以储—<2c2,

XoI«2JoJ2c

所以上〉且.

a3

故选:D

【点睛】

本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.

3、A

【解析】

根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.

【详解】

输入a=lnlO,b=lge,

因为lnlO>l>lge,所以由程序框图知，

输出的值为。一工=In10———=lnl0-lnl0=0.

bIge

故选：A

【点睛】

本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.

4、A

【解析】

根据函数/(%)的图像过点(0,2),求出。，可得/(x)=cos2x+l,再利用余弦函数的图像与性质，得出结论.

【详解】

由函数”x)=2sin(x+2e)-cosx(0<^<|)的图象过点(0,2),

可得2sin26=2,即sin28=1,

20=-,e=~,

24

故/'(x)=2sin(x+26))-cosx=2cos2x=cos2x+l,

对于A,由-1VCOS2XV1,则0</(x)<2,故A正确；

对于B,当x=?时，/^=1,故B错误；

对于C,T=W=兀,故c错误；

2

对于D,当X=(时，=故D错误；

故选：A

【点睛】

本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质，需熟记性质与公式，属于基础题.

5、B

【解析】

根据二项分布的性质可得：E（0）=Pi,D（当）=0（1—0）,再根据g<B<P2<1和二次函数的性质求解.

【详解】

因为随机变量。满足1©=左）=C；（l_p广“3）=1,2,左=0,1,2.

所以。服从二项分布，

由二项分布的性质可得：E低）=p；D值）=Pi（1-0J,

因为g<B<2<l，

所以E信）<E©）,

由二次函数的性质可得：/（%）=x（l-x）,在1,1上单调递减，

所以。侑）>。仁）.

故选：B

【点睛】

本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

6、C

【解析】

模拟执行程序框图，即可容易求得结果.

【详解】

运行该程序：

第一次，，=1,S=lg2；

3

第二次，1=2,S=lg2+lg-=lg3；

4

第三次，i=3,S=lg3+lg-=lg4,

・・・；

99

第九十八次，i=98,S=lg98+lg—=lg99；

98

第九十九次，1=99,S=lg99+lg^=lgl00=2,

此时要输出i的值为99.

此时S=2>/g99.

故选：C.

【点睛】

本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.

7、D

【解析】

采用逐一验证法，根据图表，可得结果.

【详解】

A正确，从图表二可知，

3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大

B正确，从图表二可知，

4月份只有北京市居民消费价格指数低于102

C正确，从图表一中可知，

只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大

D错误，从图表一可知

上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

故选：D

【点睛】

本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.

8、C

【解析】

首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中z的取值范围.

【详解】

'2x+y>4

由题知x,V满足｛x-丁2-1,可行域如下图所示，

x-2y<2

可知目标函数在点A（2,0）处取得最小值，

故目标函数的最小值为2=尤+>=2,

故2=光+丁的取值范围是

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题.

9、C

【解析】

讨论当时，℃2+2%+1>0是否恒成立；讨论当双2+2x+l>0恒成立时，。>1是否成立，即可选出正确答案.

【详解】

解：当时，A=4—4。<0,由y=。必+2x+l开口向上，则依之+2》+1>0恒成立；

当依2+2%+1>0恒成立时，若。=0,则2x+l>0不恒成立，不符合题意，

a>0

若a/0时，要使得翻2+2》+1>0恒成立，贝!）/八，即。>1.

AA=4-4«<0

所以“a>1”是“加+2%+1>0恒成立”的充要条件.

故选:C.

【点睛】

本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若pnq,则推出0

是q的充分条件；若q=p,则推出。是q的必要条件.

10、B

【解析】

求出f(x)在左e(2〃,2"+2］的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案.

【详解】

当xe(2〃,2〃+2］时,x-2ne(0,2］,/(x)=2"(%—2〃)=—2"(九一2〃)(x—2〃一2),

40

/(X)max=2"，X4<y<8,所以加至少小于7,此时〃无)=-23(%-6)(1-8),

令/(x)=*得一23(x—6)(X—8)=［,解得1=］或X=?,结合图象，故机

故选：B.

【点睛】

本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.

11、B

【解析】

首先由|A5|=拒求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求

解.

【详解】

由题意5=1将％=代入双曲线C的方程，得y=土,则2=0,“=应,c=g,由

aa

\AF2\-\AFi\=\BF2\-\BFl\=2a=2y/2,^^ABF2的周长为

\AF2\+\BF2\+\AB\=2a+\AFl\+2a+\BFl\+\AB\=4a+2\AB\=60,

设AABK的内切圆的半径为厂,则1x6后r=、2Gx后,厂=走，

223

故选：B

【点睛】

本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.

12、C

【解析】

试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

解：在等差数列｛an｝中，若a2>ai,则d>0,即数列｛an｝为单调递增数列，

若数列｛an｝为单调递增数列，则a2>ai,成立，

即“a2>ai”是“数列而｝为单调递增数列”充分必要条件，

故选C.

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2

13、一

3

【解析】

证明AB，平面AA.QC,于是匕YGP=匕-AGC=，利用三棱锥的体积公式即可求解.

【详解】

平面ABC,ABI平面ABC,

AB,又

A4]±ABJ_AC,A41cAe=A.

AB_L平面A41clC,

P是6a的中点，

V=VpACC=-KACC=-------------2-2-2=—.

cC—ACp2D—2323

2

故答案为：—

3

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，属于基础题.

【解析】

由题意可得〃=8,再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值.

【详解】

（遥-2厂的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，「.〃=89

x

,.,,,n-4r8-4r8-4r八4,口

r31A

通项公式为=G;（-2）、x3=（-2）.C；.x令二一=°，求得厂=2,

可得二项展开式常数项等于4x或=112,

故答案为1.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

7T

15、等腰三角形C=二

【解析】

■:c-2acosB

：.根据正弦定理可得sinC=2sinAcosB,即sin(A+B)=2sinAcosB

:.sin(A-B)=0

AA=B

AABC的形状为等腰三角形

VS=ia2--c2

24

—a&sinC=—a2+—a2-—c2=—a2+—/72-—c2

444444

由余弦定理可得cosC="一+"「

lab

:.sinC=cosC,即tanC=1

•.•Ce(0,万)

IT

故答案为等腰三角形，一

4

16、7.5

【解析】

分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数.

【详解】

7x6+14x7+15x8+4x10ru

-----------------------------------=7.5

7+14+15+4

故答案为：7.5

【点睛】

此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析(2)豆H

11

【解析】

(1)设AC的中点为。，连接8。,尸。.由展开图可知====40=30=00=1.。为AC的

中点，则有PO±AC,根据勾股定理可证得POLOB,

则P01平面ABC,即可证得平面PAC±平面ABC.

(2)由线面成角的定义可知ZBMO是直线BM与平面PAC所成的角，

B0]

且tanZBMO=----=----,ZBMO最大即为OM最短时，即M是K4的中点

OMOM

AM

建立空间直角坐标系，求出AM与平面的法向量机利用公式sin9=1”)即可求得结果.

\AM\\m\

【详解】

(1)设AC的中点为O,连接BO,PO.

由题意，得PA=PB=PC，PO=1,AO^BO=CO^1.

在B4C中，PA=PC,O为AC的中点，.•.POLAC,

在POB中，PO=1,OB=1,PB=4i，PO2+OB2=PB2,：.PO±OB.

ACOB=O,AC,06u平面，.•.PO,平面ABC,

POu平面PAC,二平面平面ABC.

(2)由(1)知，BO±PO,BOLAC,50,平面PAC,

ZBMO是直线BM与平面PAC所成的角,

且tanZBMO=2"

OM0M

二当OM最短时，即M是PA的中点时，NBMO最大.

由尸。_L平面ABC,OB±AC,

:.PO±OB,POA-OC,

于是以OC,OB,OD所在直线分别为X轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系,

(1

则。(0,0,0),C(l,0,0),5(0,1,0),A(-l,0,0),P(0,0,l),M--,0,-

(22J

BC=(l,-l,0),PC=(1,0,-1),=AM=Q,0,1l

设平面MBC的法向量为加=（4,M，Zi）,直线MA与平面MBC所成角为

m-BC=0,%一％=0

则由《得：＜

m-MC=03%—Z]=0

令王=1,得%=1,4=3,gpm=(1,1,3).

.八|AM-m\22722

esin，=---------

则\AM\\m\11

直线MA与平面MBC所成角的正弦值为2叵.

11

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查线面成角问题，借助空间向量是解决线面成角问题的关键，难度一般.

18、(1)见解析；(2)也

7

【解析】

(1)由平面平面上4。的性质定理得A3,平面上4D,.•.人3，？。.在此4£＞中，由勾股定理得

PDLAP,.1PD，平面？A3,即可得PDLPB；

(2)以P为坐标原点建立空间直角坐标系，由空间向量法和异面直线8M与CE所成角的余弦值为画，得点M的

5

坐标，从而求出二面角AB-P的余弦值.

【详解】

(1)平面A5CD_L平面R4D,平面A5CD平面上4D=AZ),^BAD=90，所以他，相).由面面垂直的

性质定理得AB,平面上4D，在AR4D中，AP=-AD,NADP=30，=由正弦定理可得：

2

sinZADP=-sinZAPD,

2

:.ZAPD=9Q，即PDLAP,..PD，平面PAB,.\PD±PB.

(2)以P为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则6（0,1,1）,C

则=

35

5一I"

CE=fo,--,-l1--.COSBM,CE=产产

I2yCEJ2/—3a+2x店,

V2

#o=-,=而A3=（0,0,l）,设平面ABM的法向量为4=（苍y,z）,由|"山”=。可得:

31333）n-AB-0

&—"：z=°,令x=2,则〃=倒,6,0),取平面R钻的法向量加=(1,0,0),则

尚亍台当故二面角"的余弦值为好

cosm,n=

【点睛】

本题考查了线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用，

属于中档题.

19、(1)3元.(2)①>=36/②216万元

【解析】

(1)每件产品的销售利润为X,由已知可得X的取值，由频率分布直方图可得劣质品、优等品、特优品的概率，从

而可得X的概率分布列，依期望公式计算出期望即为平均销售利润；

(2)①对y=取自然对数，得Iny=ln(a-x")=lna+Z?lnx,

令M=lnx,v=lny,c=lna,则丫=。+次/,这就是线性回归方程，由所给公式数据计算出系数，得线性回归方程,

从而可求得y=

111

②求出收益z=3y-x=3x36x^-x=108x^—x,可设/=户换兀后用导数求出最大值•

【详解】

解：(1)设每件产品的销售利润为X,则X的可能取值为-0.8,4,6.由频率分布直方图可得产品为劣质品、优

等品、特优品的概率分别为0.25、0.65、0.1.

所以P(X=—0.8)=025；P(X=4)=0.65；P(X=6)=0.1.所以X的分布列为

X-0.846

p0.250.650.1

所以E(X)=(—0.8)x0.25+4x0.65+6x0.1=3(元).

即每件产品的平均销售利润为3元.

(2)①由y=a.f,得Iny=ln(a.x")=lna+blnx,

令M=lnx,v=Iny,c=lna,贝！Jv=c+加，

5

V(u.-v)

0.54_1

由表中数据可得b='--------------

£(%-方『L62-3

i=\

八23411635

则2=万一匕万=^——x-^=4.68-1.09=3.59,

535

11(1A

所以C=3.59+—a,即lng=3.59+—lnx=lne3'59•%3,

33

因为取《359=36,所以夕=36，，故所求的回归方程为>=36).

、_11

②设年收益为‘万兀，贝!Jz=3y-x=3x36/-x=108x^—x

令f=［〉0，贝Uz=108"/,z'=108-3/=一3仅2一36),当0</<6时，z'>0,

当r>6时，z'<0,所以当。=6,即x=216时，z有最大值432.

即该企业每年应该投入216万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大，最大收益为432万元.

【点睛】

本题考查频率分布直方图，考查随机变量概率分布列与期望，考查求线性回归直线方程，及回归方程的应用.在求指

数型回归方程时，可通过取对数的方法转化为求线性回归直线方程，然后再求出指数型回归方程.

20、(1)夕2_62cos。—22sin£+4=0,表示圆心为(3,1),半径为2的圆；(2)竽+2

【解析】

(1)根据参数得到直角坐标系方程(尤-3)2+(y-1)2=4,再转化为极坐标方程得到答案.

(2)直线方程为y-2x=l,计算圆心到直线的距离加上半径得到答案.

【详解】

x=3+2cos。，、2,、2、、

(1)\,即(x—3「+(y—1~=4,化简得至！J：7+9―6x—2y+4=0.

y=1+2sin«'''7

即02—6℃os。—22sin©+4=0,表示圆心为(3,1),半径为2的圆.

(2)sin，—2COS6=L,即V—2X=1,圆心到直线的距离为d=二=述.

PV55

故曲线C上的点到直线I的最大距离为4+厂=述+2.

5

【点睛】

本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.

21、(1)单调增区间(0,2),单调减区间为(—8,0),(2,+8)；(2)有2个零点，证明见解析；(3)c<-

【解析】

(1)对函数〃尤)求导，利用导数(%)的正负判断函数/(%)的单调区间即可；

2

⑵函数g(x)=I(x20)有2个零点.根据函数的零点存在性定理即可证明；

(3)记函数2x)=/(x)—(x—工)=工一x+工,x〉0,求导后利用单调性求得产⑴•F(2)<0，由零点存在性定理及单

xexx

调性知存在唯一的毛6(1,2),使口(Xo)=O,求得网龙)为分段函数,求导后分情况讨论：①当》>/时，利用函数的单

调性将问题转化为2c<“x：的问题;②当0<》<不时，当cWO时,勿⑴>0在(0,%)上恒成立，从而求得c的取

值范围.

【详解】

⑴由题意知心)2x,e"—="e"x(2—」九)列表如下：

X(-8,0)0(0,2)2(2,+8)

/'(x)—0+0—

/(x)极小值T极大值

所以函数/(%)的单调增区间为(0,2),单调减区间为(-8,0),(2,+8).

X_..

(2)函数g(%)=-----冽,(冗20)有2个零点.证明如下：

ex

44

因为0<相<下时，所以g(2)=下—根〉0,

ee

因为g⑴=，所以g(x)>0在(0,2)恒成立,g(x)在(0,2)上单调递增,

由g(2)>0,g(0)=-7〃<0,且g(x)在(0,2)上单调递增且连续知，

函数g(x)在(0,2)上仅有一个零点，

由(1)可得x20时,〃x)W/(2)=/(x)1mx,

V24

即上故xNO时，优>/,

e*金

由">必得弟〉百，平方得弟〉耳，所以g(吃)<0,

mm7m

因为g'⑺=x(j「),所以g'(x)<0在(2,a)上恒成立，

44

所以函数gO)在(2,a)上单调递减，因为0<机</,所以赤〉2,

由g(2)>0,g(靠)<0,且g(x)在(2,一)上单调递减且连续得

g(x)在(2,+co)上仅有一个零点，

X2

综上可知：函数g(%)=-—m,(120)有2个零点.

ex

1X21

(3)记函数尸(%)=/(%)—(%—士)=L—九+±,%〉0,下面考察方(%)的符号.

xexx

求导得/(x)=M2：x)—1一A，工〉。.

ex

当％之2时尸(x)<0恒成立.

当0<x<2时，因为<(2_x)V[X+(2-x)2=],

2

所以Ff(x)=l(2<X)=--y<0.

ex~ex~xx

k(x)<0在(0,+s)上恒成立，故E(x)在(0,+8)上单调递减.

143

VF(l)=->0,F(2)=---<0,AF(l)-F(2)<0,又因为歹(x)在工2]上连续,

ee2

所以由函数的零点存在性定理得存在唯一的/e(1,2),使E(x0)=0,

:.x€(0,x0),F(x)>0;xG(x0,+co),F(x)<0,

因为I尸（%）|=X----/（X），所以旗x）=<X

X2