2024届高考数学第一轮专项复习-圆锥曲线的综合应用 教学模板

第58课时圆锥曲线的综合应用（1）第八单元解析几何【课时目标】熟悉圆锥曲线常见的综合题型，掌握一般性的解法.【考情概述】本节内容是圆锥曲线的核心内容，也是新高考中的必考

知识点，难度大，运算量大.

（1）

若直线

l

过双曲线

C

的右焦点，且斜率为－1，求△

PAQ

的面积；

解：（2）

证明：当直线

l

的斜率存在时，设其方程为

y

＝

kx

＋

m

.

总结提炼

1.定点问题（1）

参数法：①

引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量（此处设为“k”）；②

利用条件找到“k”与过定点的曲线F（x，y）＝0之间的关系，得到关于“k”与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点.（2）

由特殊到一般法：利用由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.2.定值问题（1）

直接消参求定值：①

确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②

将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.（2）

从特殊到一般求定值：常用的处理技巧有①

在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；②

巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.[对点训练]1.设抛物线

C

：

y

2＝4

x

的焦点为

F

，过焦点

F

作直线

l

交抛物线

C

于

A

，

B

两点.（1）

若｜

AB

｜＝8，求直线

l

的方程；解：（1）

直线

l

的方程为

x

＋

y

－1＝0或

x

－

y

－1＝0.

（2）

求四边形

ABCD

面积的最大值.

（3）

试判断直线

AD

与

BC

的斜率之积是否为定值.若是，求出该定值；

若不是，请说明理由.

（2）

若轨迹C上存在两点A，B满足kOA

＋kOB

＝－1（kOA

，kOB

分别为直线OA，OB的斜率），求直线AB的斜率的取值范围.

（2）

求四边形

ADBE

面积的最大值.

总结提炼

1.几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意

义，则考虑利用圆锥曲线的定义、几何性质来解决.2.函数取值法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显时，则可

以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法有：

（1）

配方法；（2）

基本不等式法；（3）

单调性法；（4）

三角换

元法；（5）

导数法等.要特别注意自变量的取值范围.

[对点训练]

1.（多选）（2022·新高考Ⅱ卷）已知

O

为坐标原点，过抛物线

C

：

y

2＝

2

px

（

p

＞0）焦点

F

的直线与抛物线

C

交于

A

，

B

两点，其中点

A

在第

一象限，点

M

（

p

，0）.若｜

AF

｜＝｜

AM

｜，则下列结论正确的是

（

ACD

）A.直线

AB

的斜率为2

B.｜

OB

｜＝｜

OF

｜C.｜

AB

｜＞4｜

OF

｜D.∠

OAM

＋∠

OBM

＜180°ACD

对接高考2.（多选）（2022·新高考Ⅰ卷）已知

O

为坐标原点，点

A

（1，1）在抛

物线

C

：

x

2＝2

py

（

p

＞0）上，过点

B

（0，－1）的直线交抛物线

C

于

P

，

Q

两点，则下列结论正确的是（

BCD

）A.抛物线

C

的准线方程为

y

＝－1B.直线

AB

与抛物线

C

相切C.｜

OP

｜·｜

OQ

｜＞｜

OA

｜2D.｜

BP

｜·｜

BQ

｜＞｜

AB

｜2BCD第59课时圆锥曲线的综合应用（2）第八单元解析几何【课时目标】掌握圆锥曲线中一些特殊的解题方法与运算技巧.【考情概述】本节内容是圆锥曲线的核心内容，一直是高考中的必考

知识点，难度大，运算量大.

考点一

齐次化

（1）

求椭圆

C

的方程.

（2）

设直线l不经过点P2且与椭圆C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率之和为－1，求证：直线l过定点.

[拓展探究]

总结提炼

“齐次化”就是把曲线的解析式通过配方，再把一次式乘以

“1”，配成各项都为二次的齐次式，可用来解决过曲线上一定点的两

条直线的斜率和、差、积等为定值的问题.[对点训练]

（2）

设直线BM和BN分别交椭圆于P，Q两点，求证：直线PQ经过定点.

考点二

非对称韦达例2（2023·泰州泰兴模考）已知圆

O

：

x

2＋

y

2＝16，点

A

（6，0），

B

为圆

O

上的动点，线段

AB

的中点

M

的轨迹为曲线

C

.

（1）

求曲线

C

的方程.解：（1）

曲线

C

的方程为（

x

－3）2＋

y

2＝4.

（2）

设T（2，0），过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E，F

两点.①

过点T作与直线l垂直的直线交曲线C于G，H两点，求四边形

EGFH面积的最大值.②

设曲线C与x轴交于P，Q两点，直线PE与直线QF相交于点

N，试讨论点N是否在定直线上.若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.

[拓展探究]

（1）

求曲线

E

的方程.

（2）

若

A

（－2，0），

B

（2，0），过点（

m

，0）的动直线

l

：

x

＝

ty

＋

m

交曲线

E

于

P

，

Q

（不同于点

A

，

B

）两点，直线

AP

与直线

BQ

的

斜率分别记为

kAP

，

kBQ

.

①

求

m

的取值范围；

总结提炼

在有些问题中，我们会遇到涉及

x

1，

x

2的不同系数的代数式的运

算，比如求

，λ

x

1＋μ

x

2之类的结构，就较难转化到运用韦达定理处

理.特别是在圆锥曲线问题中，当联立直线和圆锥曲线方程，消去

x

或

y

，能得到一个一元二次方程时，也会面临同样的困难.我们把这种λ

x

1

＋μ

x

2中

x

1，

x

2的系数不对等的情况，称为“非对称韦达”，可采用反

过来运用韦达定理的方法，会有较好的作用.

[对点训练]

（2）

A

，

B

分别为椭圆

C

的上、下顶点，过点

P

（0，4）且斜率为

k

的直线与椭圆

C

交于

M

，

N

两点，求证：直线

BM

，

AN

的交点在

定直线上.考点三

定比点差

总结提炼

一般地，在处理直线