数学理解视域下跨学科项目化学习的实施

【摘要】数学跨学科学习的开展需要学生在理解数学知识及其他学科知识内涵的基础上，发挥应用意识与创新精神，实现跨学科知识的迁移应用与深度发展。本文提出的基于数学理解的项目化学习过程模型，以沪科版“多边形的镶嵌”为例，在教学中创设艺术情境，确定本质问题，激活经验性理解；归纳概念共性，提炼概念特征，生成形式化理解；聚焦探究问题，构建数学模型，形成结构化理解；拓宽探究思路，应用数学模型，达成迁移性理解；发挥创造能力，创作镶嵌作品，促进文化性理解。本文的教学实践希望可以为数学跨学科项目化学习的实施提供参考。【关键词】数学理解；跨学科项目化学习；多边形的镶嵌一、引言《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）提出：“设立跨学科主题学习活动，加强学科间相互关联，带动课程综合化实施，强化实践性要求。”［1］前言4新课标明确指出，综合与实践主要包括主题活动和项目学习等，初中阶段主要采用项目式学习。［1］42由此可见，以综合与实践为载体的数学跨学科项目化学习是當下教育改革的重点内容。理解是教育最本质的追求，数学学习强调理解，数学跨学科学习亦是如此。跨学科学习的开展需要学生在理解数学知识及其他学科知识内涵的基础上，发挥应用意识与创新精神，实现跨学科知识的迁移应用与深度发展。但在实践教学中，教师常常忽视学生的数学理解水平，组织了高于学生认知水平的教学，长此以往，学生参与跨学科学习的兴趣不高、积极性不强。因此，跨学科学习的教学组织既要关注学生的数学理解水平层次，设置适切的教学“起点”与“终点”，也要让学生经历完整的数学理解过程，发展学生的跨学科素养与数学核心素养，真正发挥数学跨学科项目化学习的价值。二、数学理解与跨学科项目化学习（一）数学理解的内涵认知心理学认为，理解实质上就是学习者以信息的传输、编码为基础，根据已有的信息建构内部心理表征，进而获得心理意义的过程。理解通常被看成是一种认知方式，是一种获得认识的手段。在理解的基础上，数学理解是指让学生经历对数学对象的理解性学习后，形成对数学对象及其知识外延的本质性认识，从而能够描述相关数学对象的内涵、区别、联系，形成数学对象的知识网络，实现将数学对象应用于问题的发现与解决中。数学理解的形成并不是一蹴而就的，研究表明，数学理解性学习需要经历经验性理解、形式化理解、结构化理解、迁移性理解与文化性理解五大阶段，这其中数学理解的层级不断提高，而文化性理解贯穿始终，如图1所示。［2］图1模型为数学理解性学习的开展提供了理论基础，同时也为指向数学理解的跨学科项目化学习的设计与实施提供了明确方向。数学理解可以促进学生进行深度学习，发展学科关键能力，形成良好的科学观念。（二）数学跨学科项目化学习时代在进步，社会的发展需要综合型人才，传统的分科课程模式已经不再能够满足社会发展的需要，我国基础教育课程需要改革创新，在这种情况下，跨学科课程应运而生［3］。项目化学习能够最大程度地赋予学生主体地位，将课堂真正还给学生。数学跨学科项目化学习是以问题解决为导向，整合数学与其他学科（如物理、地理、艺术等）的知识与方法，让学生经历实践、探究、体验、合作、交流等学习过程，从中积累数学活动经验，体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与现实世界之间的关联。跨学科项目化学习强调在真实的项目情境中激发学生的问题意识，提出聚合数学本质的探究问题，并在跨学科综合性思维的指导下分析问题，以数学为主体协同解决问题。［4］不难发现，跨学科项目化学习的实质就是引导学生在项目活动中逐渐形成对跨学科知识的理解、迁移、应用与创造。我国的跨学科课程主要呈现出两种模式：一种是以一门学科为引领，在教学中渗透其他学科；另一种是将多门学科作为联合主体。前者就是项目化学习，借助多门学科之间不可分割的联系，通过持续性的探究来达成问题的解决。（三）数学理解与项目化学习项目化学习的内核是学科关键概念与能力，它不是单一的、零散的知识点，而是以关键知识点为核心的知识结构和关键能力。这与数学理解的概念不谋而合，即在原有概念的基础上，形成新的认知结构。项目化学习因为问题开放、面向的对象开放、过程开放、结果开放，在实际教学中容易出现组织结构松散、学习者思维深度不够等问题。数学理解则可以为优化项目化学习提供有力的抓手，让项目化学习始终以学习者数学素养的提高为目标，即通过创设真实情境，以问题为驱动，在活动中促进学生理解数学知识，形成数学思维。因此，在数学理解视域下实施项目化学习时，首先需要结合学情来深入分析项目化学习涉及的学科关键概念与能力及需要达到的目标水平，合理确定项目化学习的难度与深度。接着，在目标水平的指引下由浅入深地组织项目化学习的各个环节，让学生经历数学理解的五大阶段，在真实项目情境的探索中激活学生对学科关键概念与能力的经验性理解，在项目知识的归纳与提炼中生成形式化理解，在知识脉络与体系的建构中形成结构化理解，在应用知识解决项目问题的过程中达成迁移性理解，在实践感悟与反思评价中发展文化性理解。最终，数学理解的五大阶段贯穿整个项目化学习，促进学生对学科关键概念与能力的理解向高水平、深层次发展，而项目化学习也在一定程度上推进了“为理解而教”“为迁移而教”的教学理念的落实。三、“多边形的镶嵌”的案例分析（一）整体分析古希腊著名数学家毕达哥拉斯认为，数与美紧密关联，甚至可以说，数是美的本源，一切艺术都产生于数。平面镶嵌是几何学中的一颗璀璨之星，它既是简洁、对称、和谐、奇异等数学美的集中体现，也是数学在绘画、建筑等领域广泛应用的现实写照。平面镶嵌的内容在人教版、浙教版、沪科版等版本的初中数学教材中均有体现，是以综合与实践为载体的跨学科项目化学习的重要课例，能充分展现数学与艺术的跨学科融合。沪科版“多边形的镶嵌”先给出了平面镶嵌的概念与具体案例，进而指出正多边形与一般三角形、四边形的平面镶嵌，最后给出两个课题（供学生任选其一展开探究）：①收集生活中的各种镶嵌地板、地砖、墙纸的图案，把它们复制下来与同学交流，并研究它们的构成和拼接方法。②请学生按照要求（分别用一种正多边形、两种正多边形和一种非正多边形）设计一个多边形的镶嵌图案。不难发现，教材希望学生在了解平面镶嵌的基础上开展对“生活中平面镶嵌”与“（正）多边形的平面镶嵌”的探索，但教材蜻蜓点水式的概念引入并不能有力促进学生对平面镶嵌产生较为深入的理解，这就会导致学生无法将概念迁移到探究活动中，不利于学生数学理解的层级发展。因此，本文从跨学科的视角出发对教材内容进行解构与重组，创设以埃舍尔的镶嵌画为背景的艺术情境，提出驱动性问题，引导学生从艺术学科出发探索镶嵌画的数学原理，抽象出平面镶嵌的概念与特征，并用数学模型语言表达，进而探究一种或多种正多边形平面镶嵌的情况，发展学生的代数推理、模型观念等素养。在了解镶嵌画的创作原理后，开展以“创作一幅镶嵌画”为主题的实践活动，促进学生对平面镶嵌知识的迁移与应用，推动学生形成对平面镶嵌的文化性理解。综上所述，本课设计的思路如图2所示。（二）案例实施【环节1】创设艺术情境，确定本质问题，激活经验性理解。播放视频，视频围绕埃舍尔（M.C.Escher）的画作《天空与水》，呈现了一幅空中的鸟与水中的鱼相互交错的动态景象，指明了画作中共生、渐变、镶嵌的图形结构，突显了画作独特的艺术美、科学美。紧接着，简单介绍画家埃舍尔并呈现他的平面镶嵌画，如《骑士》《圆形极限Ⅳ》《蜥蜴》等（教师提供图片）。引导学生用数学的眼光观察埃舍尔的镶嵌画，并鼓励学生提出问题。教师从众多问题中提炼本质问题：镶嵌画的数学原理是什么？进一步联系生活实际，启发学生对镶嵌概念的思考与阐述，初步勾勒平面镶嵌概念的基本轮廓。【设计意图】以视频创设真实的艺术情境，将静态的镶嵌画以动态的形式呈现，激发了学生的兴趣，让其感受到数学知识在艺术创作中的应用。通过提炼本质问题，让学生从艺术美回归到数学美，探寻镶嵌画“美”的缘由。进而，让学生依据生活经验，思考镶嵌画的数学原理，激活了学生对镶嵌概念的经验性理解，让镶嵌的概念从情境中迁移而来，又扎根生长于学生的原有经验，为后续概念的引入做铺垫。【环节2】归纳概念共性，提炼概念特征，生成形式化理解。在学生畅所欲言之后，教师基于学生对平面镶嵌的经验性理解，结合埃舍尔的镶嵌画与生活实例，提炼出平面镶嵌的概念：用形状相同或不同的平面封闭图形覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里叫作平面镶嵌。得出概念后，教师引导学生指出平面镶嵌的关键特征——无缝隙、不重叠。接着，教师围绕平面镶嵌的概念，组织小组活动，让学生尝试用素材包中的正多边形、普通三角形和四边形的纸片以及埃舍尔镶嵌画中的蜥蜴、小矮人、骑士等元素的纸片构造平面镶嵌。学生在经历真正的实践后会思考“如何才能构成平面镶嵌”，即平面镶嵌的数学模型表达。在此基础上，教师进一步引导学生从特殊的正多邊形入手展开研究。【设计意图】数学本质上是“玩”概念，但数学概念是严谨且抽象的东西，学生较难立刻形成内在认同。通过实践操作，学生获得了对平面镶嵌的直观感受，形成了对平面镶嵌的形式化理解，同时也启发了一部分学生用数学的思维思考平面镶嵌，产生了新的探究方向，推动了课堂的深入发展。此外，教师要引导学生参与实践探索，积极与情境交互，鼓励他们提出问题，让学生成为跨学科学习的主角。【环节3】聚焦探究问题，构建数学模型，形成结构化理解。小组活动后，教师挑选典型的多边形镶嵌的案例进行展示（如图3），重点标出各个多边形相交的顶点，再呈现五边形不能平面镶嵌的例子，启发学生用数学的语言来表达“无缝隙、不重叠”，即平面镶嵌的数学原理是“共顶点的各个角之和等于360°”。在了解平面镶嵌的数学原理后，教师鼓励学生完成探究子任务：用一种正多边形完成平面镶嵌。通过对多边形单个内角度数的观察与计算，学生发现正三角形、正方形和正六边形的单个内角度数能被360°整除，因此，正三角形、正方形和正六边形能够平面镶嵌。教师指出，我们无法列出所有的多边形单个内角度数，因此用列举观察的方法并不严谨，那么能否尝试用代数推理的方式证明这个结论呢？即证明m个正n边形能平面镶嵌。学生证明：因为m·[180°（n-2）n]=360°，所以m=[2nn-2=2（n-2）+4n-2=2+4n-2]；因为m为正整数，所以n=3，4，6。探究后，教师指出，埃舍尔的镶嵌画大多是在单个正多边形平面镶嵌的基础上进行平移与旋转而得，例如画作《蜥蜴》中蜥蜴的原形就是正六边形，画作《飞马》中飞马的原形就是正方形等。【设计意图】跨学科项目化学习要坚持学科立场。在数学本位的跨学科项目化学习中，要从数学的视角出发探索跨学科问题，分析跨学科现象，揭示其中的数学原理。在获得平面镶嵌的概念与特征后，通过对实例的观察与数据的分析，构建多边形平面镶嵌的数学模型，可以发展学生的抽象能力、推理能力与模型观念，也能促进学生形成对平面镶嵌的结构化理解。【环节4】拓宽探究思路，应用数学模型，达成迁移性理解。教师继续追问：若用两种正多边形进行平面镶嵌，可以建立什么数学模型呢？三种呢？四种呢？启发学生类比环节3的探究思路并迁移应用到解决新问题中。假设a个正n边形和b个正m边形能够平面镶嵌，学生类比可得两种正多边形能够平面镶嵌需要满足的关系式，即a·[180°（n-2）n]+b·[180°（m-2）m=360°]，化简得[a（n-2）n]+[b（m-2）m]=2，其中n，m≥3，且a，b，n，m为正整数。紧接着，让学生利用所建立的数学模型，思考如下问题：①正方形与正六边形能平面镶嵌吗？为什么？②正方形与正八边形能平面镶嵌吗？为什么？③通过实践操作，请你给出用两种正多边形进行平面镶嵌的具体方案。教师以问题①为例，先假设存在x个正方形与y个正六边形能平面镶嵌，可得[12x+23y=2]，引导学生将“两种正多边形能否平面镶嵌”的问题转化为“二元一次方程是否存在正整数解”的问题，学生通过依次代入数据发现该方程不存在正整数解，即正方形与正六边形不能平面镶嵌。在教师的示范下，学生能够顺利地解决问题②与问题③，最后学生共同努力，总结出两种正多边形平面镶嵌的六种情况。最后，教师将“探究：三种及三种以上正多边形平面镶嵌的情况”作为课后作业，要求学生以小论文的形式撰写探究思路、结果与心得。【设计意图】综合实践活动强调综合性与实践性。综合性是指活动中涉及的知识广泛、思想丰富、学科多样，能够实现学生综合能力的提升。实践性是指学生能够在教师的指导下参与探究活动的全过程。在用两种正多边形进行平面镶嵌的探究与应用中，学生需要将平面镶嵌、多边形内角和、方程、分式等知识综合起来，建立数学知识之间的联系，形成问题解决的基本路径，再加以方程思想、转化思想、类比思想、抽象思想等数学思想方法的应用，最终才能解决问题。此过程充分彰显了探究活动的综合性与实践性，促进了学生抽象能力、模型观念、推理能力、应用意识等素养的发展，实现了平面镶嵌知识从结构化理解向迁移性理解的飞跃。【环节5】发挥创造能力，创作镶嵌作品，促进文化性理解。埃舍尔的镶嵌画是充满数学气息的艺术作品，他采用几何学中的反射、旋转等操作，独具匠心地将基本的几何图形变成了人、鸟、鱼等图案，令人拍案叫绝。教师播放视频，视频介绍了埃舍尔画作《飞马》与《蜥蜴》的创作思路。观看视频后，教师鼓励学生总结埃舍尔的镶嵌画的创作思路，并布置任务：类比埃舍尔的镶嵌画